Н.М. Кащенко
1. Чисельний метод інтегрування вироджених еліптичних рівнянь
У припущенні звичайних при моделюванні іоносфери наближеннях малості інерційних сил для зарядженої складової плазми і квазіпотенціальної силових ліній магнітного поля Землі рівняння переносу заряджених частинок мають вигляд [3]:
(1)
У цих рівняннях ni - концентрація часток, qi - джерела і втрати, - Матриця коефіцієнтів дифузії, яка має тільки поздовжні компоненти,
- Швидкість переносу часток. Аналогічний вигляд мають рівняння теплопровідності.
Часто зручно вирішувати рівняння таких моделей звичайно-різницевим методом на прямокутних сітках в сферичній системі координат. При цьому виникає проблема вирішення вироджених еліптичних рівнянь із змішаними похідними. Різницева апроксимація таких рівнянь призводить до різницевих схем, для яких не виконана умова монотонності навіть при апроксимації в термінах потоків. Запис цих рівнянь в дипольної системі координат після апроксимації по змінній t призводить до рівнянь виду:
(-Au ¢ + Bu) ¢ + Cu = D, A> 0, C 0, D
0. (2)
Тут диференціювання проводиться по поздовжній координаті, яку позначимо b.
Для вирішення таких рівнянь пропонується в (2) факторізовать диференціальний оператор (диференціальна прогонка), потім факторізованную запис перетворити на сферичну систему координат і вирішувати факторізованние рівняння в цій системі за схемою біжить рахунку. Після факторизації рівняння (2) отримуємо систему
(3)
Тут e і z є допоміжними функціями. Перше і друге рівняння інтегруються в напрямку зростання b, а третє інтегрується у напрямку убування b. Систему (3) можна вирішувати на прямокутній сітці вихідної системи координат, використовуючи відповідні різницеві апроксимації та схеми біжить рахунку.
Нехай (x, y) - вихідна система координат, а (a, b) - нова система і нехай для формул переходу справедливе співвідношення:
Тоді тому
і
апроксимуються різницями тому при n> 0 і різницями вперед при n <0, а
- Різницями у зворотному порядку. Аналогічні апроксимації застосовуються і для похідних по змінній y. Тоді сумарна похибка апроксимації має вигляд Dz + (ADu) ¢ - uDe - eDu, де Dz, Du, De - похибки апроксимацій в рівняннях для z, u і e відповідно.
У залежності від апроксимації недіфференціальних членів системи (3) виходить сімейство різницевих схем з різними величинами сумарної похибки апроксимації. Параметри сімейства слід підбирати для отримання потрібного властивості різницевої схеми, наприклад, для отримання апроксимації другого порядку. У іоносферних моделях для додаткового зменшення похибок апроксимації область інтеграції ділиться навпіл і застосовується зустрічна диференціальна прогонка з умовами гладкості рішення на кордоні поділу [3]. Описана схема реалізована на мові програмування Fortran в рамках чисельної моделі іоносфери.
2. Деякі варіанти скалярної прогонки
Рішення триточкових різницевих рівнянь методом прогонки засноване на неявній факторизації відповідного різницевого оператора. В [2] розглянуто деякі варіанти вирішення триточкових різницевих рівнянь, але, як зазначено в [1], аналіз обчислювальної стійкості проведено не повністю. У роботі [1] показано, що класична запис прогонки навіть при діагональному переважання має похибку порядку O (n3), і там же наведені приклади, що показують, що при кількості вузлів порядку 300 і використанні звичайної точності можуть виходити великі похибки (десятки відсотків і більше ). Там же зазначені способи зменшення цих похибок, зокрема, за допомогою перетворення прогонки до безразностному увазі.
Розглянемо деякі варіанти прогонів без різниць. У цьому випадку, як вказано в [1], похибки округлень накопичуються зі швидкістю не більше ніж O (n2), а за деяких умов на коефіцієнти - O (n). Наведемо кілька варіантів безразностних прогонів.
1. B = 0. Цей випадок розглянуто в [1], а різницева схема для (2) має вигляд:
ai> 0, bi 0, ci> 0, di
0.
У цих рівняннях виконана умова діагонального переважання.
Прямий хід прогонки:
При цьому 0 <ei <1.
Зворотний хід прогонки:
Тут
Отже, формули зворотного ходу можна записати в безразностном вигляді:
Крім зменшення порядку зростання похибок цей варіант прогонки доводить однозначну розв'язність відповідних різницевих рівнянь.
2. B ¹ 0. У цьому випадку різницева схема має вигляд:
ai> 0, bi 0, ci> 0, di
0.
У цих рівняннях умова діагонального переважання в загальному випадку не виконано.
Прямий хід прогонки:
При цьому 0 <ei <1.
Зворотний хід прогонки:
Тут
Отже, формули зворотного ходу можна записати в безразностном вигляді:
Як і в попередньому випадку, крім зменшення порядку зростання похибок цей варіант прогонки доводить однозначну розв'язність відповідних різницевих рівнянь.
3. Циклічний випадок з B = 0. Різницеві рівняння мають вигляд:
ai> 0, bi 0, ci> 0, di
0,
Прямий хід прогонки:
Допоміжний хід прогонки:
Обчислення Yn:
У цих формулах величини ri, si, ui відповідають рівнянням:
Зворотний хід прогонки:
У цьому варіанті прогонки також відсутні різниці, що, як і в попередніх випадках, крім зменшення порядку зростання похибок доводить однозначну розв'язність відповідних різницевих рівнянь.
Список літератури
1. Ільїн В.П. Прямий аналіз стійкості методу прогонки / / Актуальні проблеми обчислювальної математики і математичного програмування. Новосибірськ: Наука, Сибірське відділення, 1985. С. 189-201
2. Самарський О.А., Миколаїв Є.С. Методи рішення сіткових рівнянь. М.: Наука, 1978. 519 с.
3. Кащенко Н.М., Захаров В.Є. Чисельний метод інтегрування системи рівнянь переносу іоносферної плазми / / Доповіді міжнародного математичного семінару. Калінінград: Видавництво КДУ, 2002. С. 287-290