Інтегрування рівнянь руху матеріальної точки що знаходиться під дією змінних сил

«Інтегрування рівнянь руху матеріальної точки, що знаходиться під дією змінних сил»

Завдання: На похилій ділянці АВ труби на вантаж D, масою m діють сила тяжіння і сила опору R, відстань від точки А, де V = V _0, до точки В, так само L. На горизонтальній ділянці ЗС на вантаж діє сила тяжіння і змінна сила F = F (t).

Дано:

m = 4, кг

V ₀ = 12, м / с

Q = 12, Н

R = 0,8 V ^2, Н

L = 2.5, м

F _x = -8 cos (4 t), Н

Визначити:

Закон руху вантажу на ділянці ВС (x = f (t)).

Рішення:

1. Нехай вантаж - матеріальна точка. Зобразимо і . Проведемо вісь Ax і складемо диференціальне рівняння в проекції на цю вісь:

Далі знаходимо:

Враховуючи, що V _x = V:

або

Виведемо:

де g = 10 м / с.

Тоді:

Поділяючи змінні та інтегруючи:

За Н.У. при x = 0: V = V _0, звідки:

;

Отримаємо:

;

Звідки:

і

У результаті:

Вважаючи, що x = L = 2.5 і замінюючи k і n визначимо V _B:

2. Розглянемо рух на BC.

Розглянемо рух ПС (V ₀ = V). Зобразимо , , І .

або , Де

При t = 0; V = V ₀ = V _B = 8.29 м / с:

З ₂ = V _B = 8.29 м / с.

К-3 Варіант 18

а ^вр

А

a _A C _v

а ^вр

a _c

а ^цс

E _oa a ^цс C

a _B

W _oa

a _B О В

Y

a _B

X

Дано: ОА = 10 АВ = 10 АС = 5 W _oa = 2 E _OA = 6

Знайти: Прискорення у всіх точках

Va = Woa * OA = 20

Va = Wao * Acv = Wab * AB * sin45

Wab = Va / Cva = 4 / 2 ^{1 / 2}

Vb = Wab * BCv = Wab * AB * cos45 = 20

Vc = Wab * CCv = 2 ^{1 / 2 2} * BC/2ctg45 = 52 ^{1 / 2} / 2

a _A ^bp = E _oa * OA = 60

a _A ^цс = W _OA ² * OA = 40

a _B ^цс = W _OA ² * AB = 80

a _{B =} a _A ^bp + a _A ^цс + a _AB ^ЦС + a _AB ^bp

X: 2 ^{1 / 2} / 2 * a _{B =} a _A ^цс + a _AB ^BP

Y: 2 ^{1 / 2} / 2 * a _{B =} a _A ^BP + a _AB ^ЦС

a _AB ^BP == ========= == MOI === \ KOI0-U = 140-40 = 100

E _AB = 100/10 = 10

a _{B =} a _A ^ВP + a _A ^цс + a _AC ^ЦС + a _AC ^ВP

a _AC ^ВP = E _AB * АВ = 50

a _AC ^ЦС = W _AВ ² * АС = 40

X: 2 ^{1 / 2} / 2 * a _{c =} a _A ^цс + a _AB ^BP

Y: 2 ^{1 / 2} / 2 * ac ₌ a _A ^BP + a _AB ^ЦС

a _C = (a _cx ² + a _cy ^{2) 1 / 2}

«Визначення швидкості та прискорення точки по заданим рівнянням її руху».

Завдання: За заданими рівняннями руху точки М встановити вид її траєкторії і

для моменту часу t = t 1 (c) знайти положення точки на траєкторії, її швидкість, повне, дотичне і нормальне прискорення, а так само радіус кривизни траєкторії.

Вихідні дані:

Рішення:

Для знаходження траєкторії точки, зведемо в квадрат і прирівняємо ліві частини рівнянь руху, попередньо виділивши з них cos і sin відповідно, в результаті отримаємо:

- Траєкторія точки в координатній формі.

Траєкторія представляє з себе коло радіуса r = 3 см.

Знайдемо проекції швидкості і прискорення на осі координат диференціюючи за часом рівняння руху:

За знайденими проекціям визначаються модуль швидкості і модуль прискорення точки:

Знайдемо модуль дотичного прискорення точки за формулою:

-Висловлює проекцію прискорення точки на напрям її швидкості. Знак «+» при означає, що рух точки прискорене, напрями і збігаються, знак «-» означає, що рух уповільнене.

Модуль нормального прискорення точки: ; Оскільки радіус кривизни відомий, але в якості перевірки застосуємо іншу формулу для знаходження модуля нормального прискорення:

Коли знайдено нормальне прискорення, радіус кривизни траєкторії в даній точці визначається з виразу:

Результати обчислень занесемо в таблицю (для моменту часу t = t ₁ = ₁ c):

Знайдений радіус кривизни збігається з певним з рівняння траєкторії точки.

На малюнку показане положення точки М в заданий момент часу

Додаткове завдання. Визначення швидкості та прискорення точки при її русі по просторової траєкторії. Для цього до двох рівнянь руху додається 3-е рівняння.

Вихідні дані:

Рішення:

Визначимо просторову траєкторію точки в координатній формі:

- Траєкторія точки в координатній формі.

Знайдемо проекції швидкості і прискорення на осі координат диференціюючи за часом рівняння руху:

За знайденими проекціям визначаються модуль швидкості і модуль прискорення точки:

Знайдемо модуль дотичного прискорення точки за формулою:

-Висловлює проекцію прискорення точки на напрям її швидкості. Знак «+» при означає, що рух точки прискорене, напрями і збігаються, знак «-» означає, що рух уповільнене.

Модуль нормального прискорення точки: ; Оскільки радіус кривизни не відомий, застосуємо іншу формулу для знаходження модуля нормального прискорення:

Коли знайдено нормальне прискорення, радіус кривизни траєкторії в даній точці визначається з виразу:

Результати обчислень занесемо в таблицю (для моменту часу t = t ₁ = ₁ c):

«Визначення реакцій опор твердого тіла».

Завдання: Знайти реакції опор конструкції.

Дано:

Q = 6, кН

G = 2, кН

a = 60, см

b = 40, см

c = 60, см

Визначити:

Реакції опор конструкції.

Рішення:

До рами ABCD включені сила тяжіння , Сила , Реакція стрижня DC та реакції опор A і B. Реакція кульового шарніра А визначається трьома складовими: , А реакція петлі У двома: .

З цих сил - шість невідомих. Для їх визначення можна скласти 6 рівнянь рівноваги.

Рівняння моментів сил щодо координатних осей:

Рівняння проекцій сил на осі координат:

З цих рівнянь знаходимо: вирішуючи рівняння, знаходимо невідомі реакції.

Результати обчислень заносимо в таблицю:

Перевірка:

Перевірка показала, що реакції опор твердого тіла знайдені правильно.

У 18. Д - 1.

Дано: V _A = 0, a = 30 °, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. Знайти: h і t.

Рішення: Розглянемо рух каменя на ділянці АВ. На нього діють сили тяжіння G, нормальна реакція N і сила тертя F. Складаємо диференціальне рівняння руху в проекції на вісь X _1: = G × sin a - F, (F = f × N = fG × cos a) Þ = G × sin a - fg × cos a,

Двічі інтегруючи рівняння, отримуємо:

= G × (sin a - f × cos a) × t + C _1, x ₁ = g × (sin a - f × cos a) × t ² / ² + C ₁ t + C _2,

За початковим умовам (при t = 0 x ₁₀ = 0 і = V _A = 0) знаходимо З ₁ і С _2: C ₁ = 0, C ₂ = 0,

Для визначення V _B і t використовуємо умови: у т. B (при t = t), x ₁ = ℓ, = V _B. Вирішуючи систему рівнянь знаходимо:

x ₁ = ℓ = g × (sin a - f × cos a) × t ² / ² Þ 2 = 9,81 × (sin 30 ° - 0,1 × cos 30 °) × t ² / ^2, Þ t = 0,99 c,

= V _B = g × (sin a - f × cos a) × t V _B = 9,81 × (sin30 ° - 0,1 × cos30 °) × 0,99 = 4,03 м / с,

Розглянемо рух каменя на ділянці ВС.На нього діє тільки сила тяжіння G. Складаємо диференціальні рівняння руху

в проекції на осі X, Y: = 0, = G,

Двічі інтегруємо рівняння: = З _3, = Gt + C _4,

x = C ₃ t + C _5, y = gt ² / ² + C ₄ t + C _6,

Для визначення З _3, C _4, C _5, C _6, використовуємо початкові умови (при t = 0): x ₀ = _0, y ₀ = _0, = V _B × cos a, = V _B × sin a,

Звідси знаходимо: = З _3, Þ C ₃ = V _B × cos a, = C _4, Þ C ₄ = V _B × sin a

x ₀ = C _5, Þ C ₅ = 0, y ₀ = C _6, Þ C ₆ = 0

Отримуємо рівняння: = V _B × cos a, = Gt + V _B × sin a

x = V _B × cos a × t, y = gt ² / ² + V _B × sin a × t

Виключаємо параметр t: y = gx ² + x × tg a,

2 V ² _B × cos ² a

У точці С x = d = 3 м, у = h. Підставляючи в рівняння V _B і d, знаходимо h: h = 9,81 × 3 ² + 3 × tg 30 ° = 5,36 м,

2 × 4,03 ² × cos ³⁰ лютого °