Стійкість радіоелектронних систем, що стежать

Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
«Стійкість радіоелектронних систем, що стежать»
МІНСЬК, 2008

Стійкість - здатність системи повертатися в стан рівноваги після припинення обурює впливу, яким система була виведена зі стану рівноваги.
Стійкість є одним з основних показників якості систем, що стежать. Система, яка не володіє стійкістю, практично непрацездатна. Стійкість визначається характером власних коливань в системі при відсутності зовнішніх впливів.
Диференціальне рівняння, що описує роботу системи, що стежить:
, (1)
де - Задає вплив; y (t) - керована величина.
Рішення диференціального рівняння представляється сумою загального розв'язку однорідного диференціального рівняння і часткового розв'язку неоднорідного диференціального рівняння:
,
де - Спільне рішення однорідного диференціального рівняння, що визначає характер власних коливань в системі при відсутності зовнішніх впливів; - Приватне рішення неоднорідного диференціального рівняння, що визначає реакцію системи на зовнішній вплив.
Таким чином, характер власних коливань визначається рішенням рівняння, яке має вигляд:
,
, (2)
де - Коефіцієнти, що визначаються початковими умовами (початкові умови - значення вихідної величини та її n-1 похідних при t = 0); - Корені характеристичного рівняння, що отримується з знаменника передавальної функції:
.
Якщо всі речові коріння характеристичного рівняння негативні, а комплексні корені мають негативні речові частини, то, як випливає з (3.2), власні коливання системи є згасаючими і система є стійкою.
Таким чином, для оцінки стійкості системи слід вирішити характеристичне рівняння і визначити положення його коренів на комплексній площині. Якщо всі корені належать лівої півплощини комплексної площині - система стійка. Якщо хоча б один з коренів знаходиться в правій півплощині - система нестійка. Однак внаслідок складності виразів для коренів характеристичних рівнянь високих порядків цей метод практично непридатний для аналізу стійкості. У зв'язку з цим розроблені критерії стійкості, що дозволяють оцінити стійкість без рішення характеристичного рівняння. Існують алгебраїчні та частотні критерії стійкості.
Алгебраїчні критерії стійкості
Алгебраїчно критерії стійкості полягають у перевірці системи нерівностей, складених з коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Для систем, що описуються диференціальними рівняннями не вище 2-го порядку, необхідною і достатньою умовою стійкості є позитивність коефіцієнтів характеристичного рівняння:
> 0; ; ,
де n ─ порядок характеристичного рівняння.
Для n> 2 ця умова є необхідною, але не достатнім. У цьому випадку з коефіцієнтів характеристичного рівняння необхідно скласти матрицю Гурвіца, з матриці скласти визначники і обчислити.
Якщо все n визначників, складених з матриці Гурвіца. позитивні при позитивному значенні коефіцієнта , Система стійка.
Якщо хоча б один з визначників негативний - система не стійка. Система знаходиться на межі стійкості, якщо n-й визначник дорівнює нулю.
Перевагою методу є його простота, недоліком - необхідність щоразу при зміні параметрів системи складати матрицю і обчислювати визначники. Метод не дозволяє також визначити запаси стійкості.
Розглянемо приклад. Нехай n = 5.
Матриця складається за наступним правилом.
По головній діагоналі записують коефіцієнти від до . Потім заповнюються рядки

коефіцієнтами в порядку зростання індексів зліва направо від елемента, що стоїть на головній діагоналі і в порядку убування індексів праворуч ліворуч від елемента, що стоїть на головній діагоналі. Якщо індекс більший n або менше нуля, то на відповідній позиції записують нуль.
Після складання матриці обчислюють визначники Гурвіца, симетричні відносно головної діагоналі. Фактично необхідно обчислити n-2 визначника:
; ;
і т.д. ( , .
При цьому
Якщо > 0 то визначається .
Частотні критерії стійкості
До частотним критеріям них відносяться критерії Михайлова та Найквіста.
Критерій Михайлова базується на дослідженні характеристичного комплексу замкнутої системи - знаменника частотної передавальної функції замкнутої системи.
Як всяка комплексна функція, характеристичний комплекс може бути представлений вектором на комплексній площині. При зміні частоти кінець вектора описує криву, називану годографом характеристичного комплексу.
При зміні від до аргумент характеристичного комплексу набуває прирощення, величина якого визначається порядком характеристичного комплексу та стійкістю системи.
Якщо при зміні від до , То система є стійкою. Якщо < то система нестійка.
- Містить парні ступеня. При зміні від 0 до система буде стійка, якщо і не стійка, якщо .
Стосовно до поведінки годографа характеристичного комплексу критерій може бути сформульовано таким чином: замкнута система стійка, якщо при зміні частоти від 0 до годограф характеристичного комплексу послідовно прокреслює n - квадрантів. Якщо послідовність порушується, система нестійка. Якщо годограф проходить через початок координат, система знаходиться на межі стійкості (рис. 1).
Практичне застосування критерію на обов'язково вимагає побудови годографа.
Приклад.
Хай порядок характеристичного комплексу n = 6. Розділимо характеристичний комплекс на дійсну та уявну частини, дійсна містить коефіцієнти з парними індексами, а уявна - з непарними:
;
.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

Стійка система

SHAPE \ * MERGEFORMAT

Нестійка система

Рис. 1. Годографи характеристичного комплексу
Знаходимо корені уявної частини характеристичного комплексу, прирівнюючи його нулю: Im ( ) = 0. Знайдені значення коренів підставимо в дійсну частину і обчислимо її. Якщо дійсна частина змінює знак при послідовній підстановці коренів в порядку збільшення їх значень, то система стійка. Інакше кажучи, в сталій системі коріння уявної та дійсної частин характеристичного комплексу перемежовуються.
Оскільки в замкнутій системі всі передавальні функції, що зв'язують вхідні і вихідні величини, не відрізняються знаменником, то для визначення стійкості можна використовувати характеристичний комплекс будь-частотної передавальної функції замкнутої системи.
Коефіцієнт ( ) Є коефіцієнтом посилення розімкнутої системи , При збільшенні годограф зміщується вправо і при критичному значенні пройде через початок координат. Тому величина А (рис. 4.1) визначає запас стійкості по амплітуді.
Критерій Найквіста базується на дослідженні поведінки годографа частотної передавальної функції (амплітудно-фазової характеристики) розімкнутої системи.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

Вуст. Сист.

Неустой. Сист.

Рис.2. Годографи частотної передавальної функції розімкнутої системи
Якщо годограф частотної передавальної функції розімкнутої системи, стійкою в розімкнутому стані, при зміні частоти від 0 до не охоплює точку з координатами (-1; j0), то система стійка, в іншому випадку система не стійка (рис. 2).
Якщо годограф проходить через точку з координатами (-1; j0), то система знаходиться на межі стійкості. Це означає, що на деякій частоті фазовий зсув дорівнює , А модуль частотної передавальної функції А (ω) = 1. Оскільки в замкнутій системі має місце негативна зворотній зв'язок, то при такому фазовому зсуві зворотній зв'язок стає позитивною і виконуються умови самозбудження.
Для систем, що містять інтегруючі ланки, годограф йде в «нескінченність» при . Тоді, щоб вирішити охоплює чи ні годограф точку з координатами (-1; j0), його доповнюють дугою нескінченно великого радіуса, яка починається на позитивній півосі дійсних чисел і закінчується на перетині з годографом. Дуга проводиться в напрямку за годинниковою стрілкою.
Необхідність у додаток годографа дугою обумовлена ​​наступним. Висновок критерію Найквіста базується на критерії стійкості Михайлова, з якого випливає: якщо в точку з координатами (-1; j0), помістити початок вектора, що з'єднує цю точку з кривою АФХ розімкнутої системи (рис.4.3), то для усталеної системи цей вектор при зміні частоти від 0 до , Описавши АФХ цієї системи, не повинен зробити жодного обороту навколо точки з координатами (-1; j0). Якщо ж АФХ охоплює цю точку, то повне прирощення аргументу вектора складе 360 градусів.
Критерій дозволяє оцінити запас стійкості по фазі і амплітуді (рис. 4). Запас стійкості по фазі показує на яку величину необхідно збільшити запізнювання в системі, щоб вона опинилася на межі стійкості і розраховується за формулою:
,
де ─ частота зрізу визначається з умови:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Ріс.3.Годограф, доповнений дугою
Запас стійкості по фазі для добре демпфірованним систем повинен складати .
Запас стійкості по амплітуді У показує у скільки разів необхідно збільшити посилення в системі, щоб вона опинилася на межі стійкості:
,
SHAPE \ * MERGEFORMAT SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис 4. Визначення запасів стійкості

Визначення стійкості за допомогою ЛАЧХ розімкнутої системи
Стійкість мінімально-фазових систем, може бути визначена за ЛАЧХ. Необхідною і достатньою умовою стійкості в цьому випадку є перетин ЛАЧХ осі частот з нахилом -20дБ/дек.). Запас вважається достатнім, якщо протяжність цієї ділянки не менше однієї декади.
Якщо система не є мінімально-фазової, то для визначення стійкості та запасу стійкості, необхідно використовувати ЛФЧХ.
Умова стійкості: значення фази на частоті зрізу менше :
.
Запас стійкості по фазі:
або .
Запас стійкості по амплітуді визначається на : ;
Запас стійкості по амплітуді показує на скільки дБ необхідно збільшити посилення в системі, щоб вона опинилася на межі стійкості (рис. 5)
SHAPE \ * MERGEFORMAT

ЛАХ

ЛАЧХ

1

ФЧХ

2

2

12

9

6

0

p / 2

p

100

А

Б

1

100

0