Реферат
Предмет: Теорія автоматичного керування
Тема: Стійкість дискретних систем управління
1. Основні поняття стійкості дискретних систем
Основні визначення стійкості безперервних систем справедливі і для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Необхідною і достатньою умовою стійкості безперервної лінійної системи є розташування в лівій півплощині всіх коренів її характеристичного рівняння. Зіставимо, як виглядають рівняння для безперервних і для дискретних систем.
Для безперервних систем передавальні функції ставлення дробово - раціональних функцій і мають вигляд
Характеристичне рівняння
Наприклад, для передавальної функції
Для дискретних систем передавальні функції мають вигляд
Характеристичне рівняння
Наприклад, для передавальної функції
коріння визначаються зі співвідношень
Кожному з n коренів у площині Р, відповідає безліч періодичних коренів у площині Р *, віддалених один від одного на відстані частоти квантування і розташованих по групах у кожній смузі. Для аналізу властивостей системи досить аналізувати розташування коренів в одній, так званої основній смузі, в якості якої зазвичай вважають смугу частот
Розташування коренів цього рівняння в комплексній площині наведено на рис. 1.
Рис. 1
Дискретна система автоматичного управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги.
Рішення: Характеристичне рівняння системи має вигляд
Визначимо коріння характеристичного рівняння
Система стійка, так як всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги.
Характеристичне рівняння має вигляд
Визначимо коріння характеристичного рівняння заданої системи
Система на межі стійкості, тому що один корінь розташований на уявної осі, а другий стійкий.
2. Визначення стійкості дискретних систем у формі z - перетворення
Використання z-перетворення дозволяє перетворити трансцендентний поліном в ступеневій, що дозволяє спростити процес дослідження дискретних систем управління.
Застосування z-перетворення (рис. 2.3) відображає основну смугу на площину Z, відрізок уявної осі
Отже, дискретна система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги (тобто умова стійкості
Характеристичне рівняння має вигляд
Визначимо коріння характеристичного рівняння
Визначимо модуль коренів
Система не стійка, тому що програмі коренів її характеристичного рівняння менше одиниці.
-
Рис. 2
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Характеристичне рівняння має вигляд 
Визначимо коріння характеристичного рівняння
При цьому модуль кореня
3. Визначення стійкості дискретних систем у формі w - перетворення
З теорії функцій комплексного змінного відомо, що білінійної перетворення (w-перетворення, перетворення Мізеса) відображає коло одиничного радіуса в площині Z у всю ліву полуплоскость площині W, при використанні підстановки
Встановимо зв'язок між площинами Z і W (див. рис. 3).
Рис. 3
1. При ½ z ½ = 1, ½ w +1 ½ = ½ w-1 ½, що відповідає осі j.
2. При ½ z ½ <1, ½ w +1 ½ <½ w-1 ½ - відповідає лівій півплощині пл. W.
3. При ½ z ½> 1, ½ w +1 ½> ½ w-1 ½ - відповідає правій півплощині.
Дискретна система автоматичного управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині площині W.
Отже, при використанні білінійної перетворення умови стійкості безперервних систем можна використовувати для дискретних систем управління.
Характеристичне рівняння має вигляд
Визначимо коріння характеристичного рівняння
Система стійка, оскільки коріння її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині.
-
Рис. 4
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Характеристичне рівняння системи має вигляд
Виконавши білінійної перетворення, отримаємо
Умова стійкості: 1 - b> 0, 1 + b + d> 0, де b = [k (1-d) - (1 + d)].
4. Застосування критеріїв стійкості для дискретних систем
Всі критерії стійкості, які використовуються для аналізу стійкості безперервних систем, можуть бути використані для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Критерій Гурвіца
Критерій стійкості Гурвіца можна використовувати при застосуванні білінійної перетворення. Розглянь алгоритм його використання.
1. Записуємо характеристичне рівняння D (z) = 0
2. Виконуємо підстановку
3. Складаємо визначник Гурвіца
4. Визначаємо стійкість також як і для безперервних систем.
Лінійна дискретна система стійка, якщо при
Розглянемо окремі випадки.
При n = 1 характеристичне рівняння має вигляд
Умова стійкості: a 0> 0, a 1> 0, а також: a 0 - a 1> 0.
При n = 2 характеристичне рівняння має вигляд
Умова стійкості: a 0> 0, a 1> 0, a 2> 0, а також:
a 0 - a 1 + a 2> 0, a 0 - a 2> 0.
Приклад Визначити стійкість дискретної системи, якщо передаточна функція розімкнутої системи у формі z - перетворення, має вигляд
Характеристичне рівняння має вигляд
Виконаємо білінійної перетворення
Система не стійка.
Критерій стійкості Михайлова
Доказ частотних критеріїв стійкості базується на слідстві з принципу аргументу. Розглянемо, як він формулюється для дискретних систем.
Нехай задано характеристичне рівняння замкнутої системи
Розглянемо комплексну площину Z (рис. 7), нехай z 2 розташований всередині кола одиничного радіуса, а z 1 поза нього.
При цьому
Якщо замкнута система стійка, то всі корені розташовані в межах окружності одиничного радіуса, а значить
Замкнута дискретна система стійка, якщо характеристична крива D * (jw) при зміні частоти 0 £ w £ p / T послідовно проходить 2n квадрантів.
Порядок побудови характеристичної кривої: визначаємо D (z); виконуємо підстановку
змінюючи 0 £ w £ p / T будуємо D * (j w) (Рис. 5).
а) б)
Рис. 5
Приклад 8. Визначити стійкість за критерієм Михайлова системи, схема якої наведена на рис. 6, якщо T = 1 с, k v = 2 c -1.
-
Рис.6
Рішення: Передавальна функція розімкнутої системи
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Характеристичний поліном має вигляд
Визначаємо вираз
Змінюючи частоту в межах 0 £ w £ p (0 £ w £ p / T) будуємо годограф Михайлова (рис. 7).
Таблиця 1
\
Як видно з малюнка система знаходиться на межі стійкості.
Перевіримо за критерієм Гурвіца при
k v T = 2; z +1 = 0; z 1 = -1; 1 z 1 січня = 1.
Корінь знаходиться на кола одиничного радіуса, отже, система знаходиться на межі стійкості.
Критерій стійкості Михайлова з використанням білінійної перетворення
При цьому вихідним є характеристичний поліном у формі z-перетворення. Виконаємо підстановку
z = (1 + w) / (1-w).
Нехай: w = j l, де l-фіктивна частота (0 £ l £ ¥).
При цьому критерій Михайлова для дискретних систем застосовується в такому ж вигляді, як і для безперервних систем.
Приклад 9. Визначити умова стійкості за критерієм Михайлова дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6.
Рішення:
Характеристичний поліном має вигляд
Виконавши підстановку z = (1 + w) / (1-w), в характеристичний поліном отримаємо
Виконавши підстановку w = j l, в характеристичний поліном отримаємо
Будуємо графік рис. 8. Система стійка при k v T> 2. Критичний коефіцієнт посилення дорівнює k v кр = 2 / T.
Рис. 8
Критерій стійкості Найквіста
Розглянемо функцію, яка пов'язує характеристики розімкнутих і замкнутих дискретних систем
де D * (p) - характеристичний поліном замкнутої системи;
A * (p) - характеристичний поліном розімкнутої системи.
У відповідності зі слідством з принципу аргументу
Розглянемо різні випадки.
Система, стійка в розімкнутому стані
Так як розімкнена дискретна система стійка, то вона не містить коренів у правій півплощині (тобто m = 0), для того щоб і замкнута дискретна система була стійка, повинна виконуватися умова
Формулювання критерію Найквіста:
Система, нестійка в розімкнутому стані
Так як розімкнена система нестійка, то вона містить m коренів у правій півплощині, для того щоб замкнута система була стійка, повинна виконуватися умова:
Графічно це означає, що годограф вектора K (j w) охоплює точку з координатами (-1, j0) m-раз.
Формулювання критерію Найквіста: Замкнута дискретна система стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої нестійкою системи, що має m коренів у правій півплощині, охоплює струму з координатами (-1, j0) m разів.
Приклад 10. Визначити умови стійкості та величину критичного коефіцієнта підсилення за критерієм Найквіста дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6.
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
При цьому вираз для частотної характеристики має вигляд
Будуємо частотну характеристику дискретної системи відповідно до таблиць 2 і 3 (рис. 9).
Характеристику будуємо на інтервалі частот 0 £ w £ p / T надалі характеристики повторюються, так як вони носять періодичний характер.
Умова стійкості даної дискретної системи визначається співвідношенням k v T / 2 = 1. 0 £ w £ p / T
Таблиця 2
Таблиця 3
Критичний коефіцієнт посилення системи дорівнює k v кр = 2 / Т.
Література
1. Дорф Р., Бішоп Р. Автоматика. Сучасні системи управління. 2002р. - 832с.
2. Харазов В. Г. Інтегровані системи управління технологічними процесами: Довідник. Видавництво: ПРОФЕСІЯ, ВИДАВНИЦТВО, 2009. - 550С.
3. Чебурахін І. Синтез дискретних керуючих систем і математичне моделювання: теорія, алгоритми, програми. Вид-во: НДЦ РХД, Фізматліт ®, 2004. - 248c.
Предмет: Теорія автоматичного керування
Тема: Стійкість дискретних систем управління
1. Основні поняття стійкості дискретних систем
Основні визначення стійкості безперервних систем справедливі і для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Необхідною і достатньою умовою стійкості безперервної лінійної системи є розташування в лівій півплощині всіх коренів її характеристичного рівняння. Зіставимо, як виглядають рівняння для безперервних і для дискретних систем.
Для безперервних систем передавальні функції ставлення дробово - раціональних функцій і мають вигляд
Характеристичне рівняння
Наприклад, для передавальної функції
Для дискретних систем передавальні функції мають вигляд
Характеристичне рівняння
Наприклад, для передавальної функції
коріння визначаються зі співвідношень
Кожному з n коренів у площині Р, відповідає безліч періодичних коренів у площині Р *, віддалених один від одного на відстані частоти квантування і розташованих по групах у кожній смузі. Для аналізу властивостей системи досить аналізувати розташування коренів в одній, так званої основній смузі, в якості якої зазвичай вважають смугу частот
Розташування коренів цього рівняння в комплексній площині наведено на рис. 1.
+ J |
3w n 2 |
-3w n 2 |
Доп. смуга |
Доп. смуга |
Осн. смуга |
+ |
w n 2 |
-W n 2 |
p n |
p n |
p n |
2w n 2 |
-2w n 2 |
+ |
Рис. 1
Дискретна система автоматичного управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги.
Приклад 1. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією
Рішення: Характеристичне рівняння системи має вигляд
Визначимо коріння характеристичного рівняння
Система стійка, так як всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги.
Приклад 2. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією
Характеристичне рівняння має вигляд
Визначимо коріння характеристичного рівняння заданої системи
Система на межі стійкості, тому що один корінь розташований на уявної осі, а другий стійкий.
2. Визначення стійкості дискретних систем у формі z - перетворення
Використання z-перетворення дозволяє перетворити трансцендентний поліном в ступеневій, що дозволяє спростити процес дослідження дискретних систем управління.
Застосування z-перетворення (рис. 2.3) відображає основну смугу на площину Z, відрізок уявної осі
Отже, дискретна система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги (тобто умова стійкості
Приклад 3. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією
Характеристичне рівняння має вигляд
Визначимо коріння характеристичного рівняння
Визначимо модуль коренів
Система не стійка, тому що програмі коренів її характеристичного рівняння менше одиниці.
Приклад 4. Визначити стійкість дискретної системи, структурна схема якої представлена на рис. 2.
x |
T |
y |
2 p +1 |
-
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Характеристичне рівняння має вигляд Визначимо коріння характеристичного рівняння
При цьому модуль кореня
3. Визначення стійкості дискретних систем у формі w - перетворення
З теорії функцій комплексного змінного відомо, що білінійної перетворення (w-перетворення, перетворення Мізеса) відображає коло одиничного радіуса в площині Z у всю ліву полуплоскость площині W, при використанні підстановки
Встановимо зв'язок між площинами Z і W (див. рис. 3).
w |
+ |
-1 +1-1 +1 -1 +1 |
-1 |
1 |
+ |
пл. Z |
Рис. 3
1. При ½ z ½ = 1, ½ w +1 ½ = ½ w-1 ½, що відповідає осі j.
2. При ½ z ½ <1, ½ w +1 ½ <½ w-1 ½ - відповідає лівій півплощині пл. W.
3. При ½ z ½> 1, ½ w +1 ½> ½ w-1 ½ - відповідає правій півплощині.
Дискретна система автоматичного управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині площині W.
Отже, при використанні білінійної перетворення умови стійкості безперервних систем можна використовувати для дискретних систем управління.
Приклад 5. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією
Характеристичне рівняння має вигляд
Визначимо коріння характеристичного рівняння
Система стійка, оскільки коріння її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині.
Приклад 6. Визначити стійкість дискретної системи, структурна схема якої представлена на рис. 4.
x |
y |
T |
k p (T 1 p +1) |
-
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Передавальна функція замкнутої дискретної системи
Характеристичне рівняння системи має вигляд
Виконавши білінійної перетворення, отримаємо
Умова стійкості: 1 - b> 0, 1 + b + d> 0, де b = [k (1-d) - (1 + d)].
4. Застосування критеріїв стійкості для дискретних систем
Всі критерії стійкості, які використовуються для аналізу стійкості безперервних систем, можуть бути використані для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Критерій Гурвіца
Критерій стійкості Гурвіца можна використовувати при застосуванні білінійної перетворення. Розглянь алгоритм його використання.
1. Записуємо характеристичне рівняння D (z) = 0
2. Виконуємо підстановку
3. Складаємо визначник Гурвіца
4. Визначаємо стійкість також як і для безперервних систем.
Лінійна дискретна система стійка, якщо при
Розглянемо окремі випадки.
При n = 1 характеристичне рівняння має вигляд
Умова стійкості: a 0> 0, a 1> 0, а також: a 0 - a 1> 0.
При n = 2 характеристичне рівняння має вигляд
Умова стійкості: a 0> 0, a 1> 0, a 2> 0, а також:
a 0 - a 1 + a 2> 0, a 0 - a 2> 0.
Приклад Визначити стійкість дискретної системи, якщо передаточна функція розімкнутої системи у формі z - перетворення, має вигляд
Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Характеристичне рівняння має вигляд
Виконаємо білінійної перетворення
Система не стійка.
Критерій стійкості Михайлова
Доказ частотних критеріїв стійкості базується на слідстві з принципу аргументу. Розглянемо, як він формулюється для дискретних систем.
Нехай задано характеристичне рівняння замкнутої системи
Розглянемо комплексну площину Z (рис. 7), нехай z 2 розташований всередині кола одиничного радіуса, а z 1 поза нього.
При цьому
Якщо замкнута система стійка, то всі корені розташовані в межах окружності одиничного радіуса, а значить
Замкнута дискретна система стійка, якщо характеристична крива D * (jw) при зміні частоти 0 £ w £ p / T послідовно проходить 2n квадрантів.
Порядок побудови характеристичної кривої: визначаємо D (z); виконуємо підстановку
змінюючи 0 £ w £ p / T будуємо D * (j w) (Рис. 5).
+ J n = 1 D * (jw) + w = p / Tw = 0 |
+ J zz 1 z 1 + P / 2 -P / 2 z-z 2 z 2 |
+ |
а) б)
Рис. 5
Приклад 8. Визначити стійкість за критерієм Михайлова системи, схема якої наведена на рис. 6, якщо T = 1 с, k v = 2 c -1.
x |
T |
y |
k v p |
1-e-pT p |
Рис.6
Рішення: Передавальна функція розімкнутої системи
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
Характеристичний поліном має вигляд
Визначаємо вираз
Змінюючи частоту в межах 0 £ w £ p (0 £ w £ p / T) будуємо годограф Михайлова (рис. 7).
Таблиця 1
|
| w | 0 | p / 4 | p / 2 | p3 / 4 | p |
| X * (w) | 2 | 1 + Ö2 / 2 | 1 | 1-Ö2 / 2 | 0 |
| Y * (w) | 0 | Ö2 / 2 | 1 | Ö2 / 2 | 0 |
Перевіримо за критерієм Гурвіца при
k v T = 2; z +1 = 0; z 1 = -1; 1 z 1 січня = 1.
Корінь знаходиться на кола одиничного радіуса, отже, система знаходиться на межі стійкості.
Критерій стійкості Михайлова з використанням білінійної перетворення
При цьому вихідним є характеристичний поліном у формі z-перетворення. Виконаємо підстановку
z = (1 + w) / (1-w).
Нехай: w = j l, де l-фіктивна частота (0 £ l £ ¥).
При цьому критерій Михайлова для дискретних систем застосовується в такому ж вигляді, як і для безперервних систем.
Приклад 9. Визначити умова стійкості за критерієм Михайлова дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6.
Рішення:
Характеристичний поліном має вигляд
Виконавши підстановку z = (1 + w) / (1-w), в характеристичний поліном отримаємо
Виконавши підстановку w = j l, в характеристичний поліном отримаємо
Будуємо графік рис. 8. Система стійка при k v T> 2. Критичний коефіцієнт посилення дорівнює k v кр = 2 / T.
+ J |
k v T> 2 k v T = 2 + k v T <2 |
Рис. 8
Критерій стійкості Найквіста
Розглянемо функцію, яка пов'язує характеристики розімкнутих і замкнутих дискретних систем
де D * (p) - характеристичний поліном замкнутої системи;
A * (p) - характеристичний поліном розімкнутої системи.
У відповідності зі слідством з принципу аргументу
Розглянемо різні випадки.
Система, стійка в розімкнутому стані
Так як розімкнена дискретна система стійка, то вона не містить коренів у правій півплощині (тобто m = 0), для того щоб і замкнута дискретна система була стійка, повинна виконуватися умова
Формулювання критерію Найквіста:
Замкнута дискретна система стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої стійкої системи не охоплює струму з координатами (-1, j0).
Графічно це означає, що годограф вектора W * (j w) не охоплює початку координат, а вектора K * (j w)-точку з координатами (- 1, j0).Система, нестійка в розімкнутому стані
Так як розімкнена система нестійка, то вона містить m коренів у правій півплощині, для того щоб замкнута система була стійка, повинна виконуватися умова:
Графічно це означає, що годограф вектора K (j w) охоплює точку з координатами (-1, j0) m-раз.
Формулювання критерію Найквіста: Замкнута дискретна система стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої нестійкою системи, що має m коренів у правій півплощині, охоплює струму з координатами (-1, j0) m разів.
Приклад 10. Визначити умови стійкості та величину критичного коефіцієнта підсилення за критерієм Найквіста дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6.
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
При цьому вираз для частотної характеристики має вигляд
Будуємо частотну характеристику дискретної системи відповідно до таблиць 2 і 3 (рис. 9).
Характеристику будуємо на інтервалі частот 0 £ w £ p / T надалі характеристики повторюються, так як вони носять періодичний характер.
Умова стійкості даної дискретної системи визначається співвідношенням k v T / 2 = 1. 0 £ w £ p / T
Таблиця 2
| w | 0 | p/2T | p / T |
| P * (w) | -K v T / 2 | -K v T / 2 | -K v T / 2 |
| Q * (w) | - ¥ | -K v T / 2 | 0 |
+ J -K v T / 2 + K * (jw) |
Рис. 9 |
Таблиця 3
| a | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
| ctga | - ¥ | Ö3 | 1 | 1/Ö3 | 0 |
Література
1. Дорф Р., Бішоп Р. Автоматика. Сучасні системи управління. 2002р. - 832с.
2. Харазов В. Г. Інтегровані системи управління технологічними процесами: Довідник. Видавництво: ПРОФЕСІЯ, ВИДАВНИЦТВО, 2009. - 550С.
3. Чебурахін І. Синтез дискретних керуючих систем і математичне моделювання: теорія, алгоритми, програми. Вид-во: НДЦ РХД, Фізматліт ®, 2004. - 248c.