Федеральне агентство з освіти РФ
Дагестанський державний університет
Математичний факультет
Кафедра прикладної математики
Курсова робота
Статистичне дослідження властивостей псевдовипадкових чисел одержуваних методом Джона фон Неймана.
Підготувала:
студентка 4к. 5 гр. Омарова А.Г.
Науковий керівник:
професор Назаралієв М. А.
Махачкала 2010
Зміст
Введення
Способи отримання псевдовипадкових чисел. Генератор псевдовипадкових чисел Джона фон Неймана
Характеристики генератора псевдовипадкових чисел
Рівномірний закон розподілу
Поняття про критерії згоди
Критерій згоди χ-квадрат (Пірсона)
Критерій Колмогорова
Перевірка гіпотези про рівномірний розподіл
Програма обчислення . Таблиця результатів
Програма обчислення . Таблиця результатів
Висновок
Список літератури
Введення
Сучасна інформатика широко використовує псевдовипадкові числа в самих різних додатках. При цьому від якості використовуваних генераторів псевдовипадкових чисел залежить якість отриманих результатів.
Однією з найважливіших задач математичної статистики є встановлення теоретичного закону розподілу випадкової величини, що характеризує досліджуваний ознака по досвідченому (емпіричному) розподілу, який представляє варіаційний ряд.
Як би добре не був підібраний теоретичний закон розподілу, між емпіричними і теоретичними розподілами неминучі розбіжності. Природно виникає питання: пояснюються ці розбіжності тільки випадковими обставинами, пов'язаними з обмеженим числом спостережень, або вони є суттєвими і пов'язані з тим, що теоретичний закон розподілу підібраний невдало. Для відповіді на це питання і служать критерії згоди.
Критерій Пірсона і критерій Колмогорова можна використовувати для тестування генераторів випадкових чисел на їх рівність для всіх. Але довести «чисту випадковість» неможливо, можна лише з певним ступенем імовірності спростувати протилежне твердження. Таким чином, для вирішення чи є відмінність достовірним необхідно встановити межі для близькості - розходження частот у вибірці і теоретично очікуваних частот.
Способи отримання псевдовипадкових чисел. Генератор псевдовипадкових чисел Джона фон Неймана
У програмуванні досить часто знаходять застосування послідовності чисел, обраних випадковим чином з деякого безлічі. Як приклади завдань, в яких використовуються випадкові числа, можна навести наступні:
тестування алгоритмів;
імітаційне моделювання;
деякі завдання чисельного аналізу;
імітація користувача введення.
Пристрої або алгоритми отримання випадкових чисел називають генераторами випадкових чисел або датчиками випадкових чисел.
Для отримання випадкових чисел можна використовувати різні способи. У загальному випадку всі методи генерування випадкових чисел (ГВЧ) можна розділити на наступні:
фізичні
табличні
алгоритмічні.
Фізичні ГВЧ
Прикладом фізичних ГВЧ можуть служити: монета («орел» - 1, «решка» - 0); гральні кістки; поділений на сектори з цифрами барабан зі стрілкою; апаратурний генератор шуму, в якості якого використовують шумляче теплове пристрій, наприклад, транзистор.
Табличні ГВЧ
Табличні ГВЧ як джерело випадкових чисел використовують спеціальним чином складені таблиці, що містять перевірені некоррелірованнимі, тобто ніяк не залежать один від одного, цифри. У табл.1 наведено невеликий фрагмент такої таблиці. Обходячи таблицю зліва направо зверху вниз, можна отримувати рівномірно розподілені від 0 до 1 випадкові числа з потрібним числом знаків після коми (у нашому прикладі ми використовуємо для кожного числа по три знаки). Так як цифри в таблиці не залежать один від одного, то таблицю можна обходити різними способами, наприклад, зверху вниз, або справа наліво, чи, скажімо, можна вибирати цифри, що знаходяться на парних позиціях.
Таблиця 1.
Рівномірно розподілені від 0 до 1 випадкові числа
Випадкові цифри
Рівномірно розподілені від 0 до 1 випадкові числа
9
2
9
2
0
4
2
6
0.929
9
5
7
3
4
9
0
3
0.204
5
9
1
6
6
5
7
6
0.269
...
...
Гідність цього методу в тому, що він дає дійсно випадкові числа, так як таблиця містить перевірені некоррелірованнимі цифри. Недоліки методу: для зберігання великої кількості цифр потрібно багато пам'яті; великі труднощі породження і перевірки такого роду таблиць, повтори при використанні таблиці вже не гарантують випадковості числової послідовності, а значить, і надійності результату.
Алгоритмічні ГВЧ
Числа, що генеруються за допомогою цих ГВЧ, завжди є псевдовипадковими, тобто кожне наступне згенероване число залежить від попереднього:
Послідовності, складені з таких чисел, утворюють петлі, тобто обов'язково існує цикл, що повторюється нескінченне число разів. Повторювані цикли називаються періодами.
Перевагою даних ГВЧ є швидкодія; генератори практично не вимагають ресурсів пам'яті, компактні. Недоліки: числа не можна повною мірою назвати випадковими, оскільки між ними є залежність, а також наявність періодів в послідовності псевдовипадкових чисел.
До алгоритмічним методам отримання ГВЧ ставитися метод серединних квадратів, запропонований в 1946 р. Дж. фон Нейманом.
Метод серединних квадратів
Є деяке чотиризначне число R0. Це число зводиться в квадрат і заноситься в R1. Далі з R1 береться середина (чотири середні цифри) - нове випадкове число - і записується в R0. Потім процедура повторюється. Зазначимо, що насправді в якості випадкового числа необхідно брати не ghij, а 0.ghij - з приписаним зліва нулем і десятковою крапкою. Пояснимо його на прикладі. Нехай задано 4-значне ціле число n1 = 9876. Зведено його в квадрат. Отримаємо, взагалі кажучи, 8-значне число 97535376. Виберемо чотири середні цифри з цього числа і позначимо n2 = 5353. Потім зведемо його в квадрат (28654609) і знову винесемо 4 середні цифри. Отримаємо n3 = 6546. Далі, 42 850116, n4 = 8501 і т. д. В якості значень випадкової величини пропонується використовувати значення 0,9876; 0,5353; 0,6546; 0,8501; 0,2670; 0,1289.
Недоліки методу:
1) якщо на деякій ітерації число R0 стане рівним нулю, то генератор вироджується, тому важливий правильний вибір початкового значення R0;
2) генератор буде повторювати послідовність через Mn кроків (в кращому випадку), де n - розрядність числа R0, M - основа системи числення.
Для прикладу: якщо число R0 буде представлено в двійковій системі числення, то послідовність псевдовипадкових чисел повториться через 24 = 16 кроків. Зауважимо, що повторення послідовності може відбутися і раніше, якщо початкова число буде вибрано невдало.
Характеристики генератора псевдовипадкових чисел
Послідовності випадкових чисел, що формуються тим чи іншим ГВЧ, повинні задовольняти ряду вимог. По-перше, числа повинні вибиратися з певної множини, найчастіше це дійсні числа в інтервалі від 0 до 1 або цілі від 0 до N. По-друге, послідовність повинна підкорятися певним розподілу на заданій множині, найчастіше розподіл рівномірний.
ГВЧ повинен видавати близькі до наступних значення статистичних параметрів, характерних для рівномірного випадкового закону:
- Математичне очікування; - Дисперсія; - Середньоквадратичне відхилення. |
Необов'язковим є вимога відтворюваності послідовності. Якщо ГВЧ дозволяє відтворити заново одного разу сформовану послідовність, налагодження програм з використанням такого ГВЧ значно спрощується.
Оскільки псевдовипадкові числа не є дійсно випадковими, якість ГВЧ дуже часто оцінюється по «випадковості» одержуваних чисел. В цю оцінку можуть входити різні показники, наприклад, довжина циклу (кількість ітерацій, після якого ГВЧ зациклюється), взаємозалежності між сусідніми числами (можуть виявлятися за допомогою різних методів теорії ймовірностей і математичної статистики) і т.п.
За еталон генератора випадкових чисел (ГВЧ) прийнятий такий генератор, який породжує послідовність випадкових чисел з рівномірним законом розподілу в інтервалі (0; 1). За одне звернення даний генератор повертає одне випадкове число.
Якщо спостерігати такий ГВЧ досить тривалий час, то виявиться, що, наприклад, у кожний з десяти інтервалів (0; 0.1), (0.1; 0.2), (0.2; 0.3), ..., (0.9; 1) потрапить практично однакову кількість випадкових чисел - тобто вони будуть розподілені рівномірно по всьому інтервалу (0; 1).
Якщо зобразити на графіку k = 10 інтервалів і частоти Ni влучень у них, то вийде експериментальна крива щільності розподілу випадкових чисел.
Рівномірний закон розподілу
Неперервна випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу на відрізку [a, b], якщо її щільність розподілу f (x) постійна на цьому відрізку і дорівнює нулю поза ним, тобто
f (x) =
Крива розподілу f (x) і графік функції розподілу F (x) випадкової величини X наведені рис. 1.1.
а б
рис. 1.1
Теорема. Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за рівномірним законом, є
F (x) =
її математичне сподівання
M (X) = (1.3)
а дисперсія
D (X) = (1.4)
Рівномірний закон розподілу використовується при аналізі помилок округлення при проведенні числових розрахунків, в ряді задач масового обслуговування, при статистичному моделюванні спостережень, підпорядкованих заданому розподілу. Так, випадкова величина Х, розподілена за рівномірним законом на відрізку [0,1], звана «випадковим числом від 0 до 1», служить матеріалом для отримання випадкових величин з будь-яким законом розподілу.
Поняття про критерії згоди
Повного збігу між теоретичними і емпіричними частотами немає. Більше того, іноді між досвідченими і теоретичними частотами спостерігаються значні розбіжності. Наприклад, якщо виходити з того, що зростання чоловіка має нормальний розподіл, то з 1000 чоловіків 173 повинні мати зріст від 161 до 164 см. Насправді їх виявилося 181. Якщо припустити, що число розпадаються за 1 / 8 хв атомів радіоактивної речовини слід за законом Пуассона, то з 2608 проміжків повинно бути 407 таких, в яких розпадається по 2 атома. Насправді їх було 383. Різниця становить 24 проміжку і здається значною. Ці розбіжності можна пояснити двояко:
1. Розбіжності між досвідченими і теоретичними частотами несуттєві, вони пояснюються випадковістю відбору окремих елементів або результатів одиничних спостережень. Допущення про розподіл досліджуваного ознаки за законом, обраному в якості передбачуваного теоретичного, має бути визнано не суперечить наявним досвідченим даними, погодженим з ними.
2. Відмінності між теоретичними і спостереження частота пояснити випадковістю не можна, дослідне і теоретичне розподілу суперечать один одному. Допущення про розподіл досліджуваного ознаки по обраному закону необхідно визнати помилковим.
Але що дозволить зробити перший або другий висновок? Цю можливість дають критерії згоди.
Можна розглянути різні види розбіжностей між теоретичним і досвідченим розподілами. Кожен вид такої розбіжності є випадковою величиною. Іноді вдається встановити її закон розподілу. Знаючи його, можна сформулювати пропозицію (правило), що встановлює коли отримане в дійсності розбіжність між передбачуваним теоретичним і досвідченим розподілами слід визнати несуттєвим, випадковим, а коли істотним, невипадковим. Ця пропозиція і буде критерієм згоди.
Отже, припустимо, що невідомий закон розподілу випадкової величини Х, яка характеризує певний вид або функцію розбіжностей між передбачуваним теоретичним і досвідченим розподілами. З іншого боку, маючи дослідне розподіл ознаки, можна знайти значення α, яке в даному випадку прийняла випадкова величина Х.
Закон розподілу випадкової величини Х визначає ймовірність того, що вона прийме якесь значення, не менше α. Нехай ця ймовірність Р (Х ≥ α) = β. Згідно з принципом практичної впевненості при одноразовому спостереженні відбувається немаловероятное подія. Тому якщо величина α була отримана як результат спостереження саме випадкової величини Х, тобто при розподілі розглянутого ознаки по передбачуваному теоретичного закону, то ймовірність β не повинна бути малою. Якщо ж імовірність β виявилася досить малою, то це означає, що настав малоймовірне подія, яка відповідно з тим же принципом практичної впевненості при розподілі ознаки в генеральній сукупності за запропонованим законом не мало настати. Наступ події з такою ймовірністю пояснюється, очевидно, тим, що спостерігалася випадкова величина, розподілена не по припущень закону, а по якомусь іншому. Таким чином, у випадку, коли ймовірність β не мала, розбіжності між емпіричним і теоретичним розподілами слід визнати несуттєвими, випадковими, а дослідне і теоретичне розподілу - не суперечать, узгоджуються один з одним. Якщо ж імовірність β мала, то розбіжності між досвідченим і теоретичним розподілами істотні, пояснити їх випадковістю не можна, а гіпотезу про розподіл ознаки за запропонованим теоретичного закону слід вважати не підтвердилися, вона не узгоджується з досвідченими даними. Мабуть, при виборі передбачуваного теоретичного закону не були в достатній мірі враховані особливості наявних досвідчених даних або при цьому позначилися суб'єктивні якості дослідника. Слід уважніше вивчити досвідчені дані і спробувати знайти новий теоретичний закон в якості передбачуваного для розглянутого ознаки, який краще, повніше враховував би особливості досвідченого розподілу.
Необхідно тільки встановити, які ймовірності вважаються «малими». Зазвичай це ймовірно, не перевершують 0,01. В інших випадках вважають малими ймовірно, не перевершують 0,05.
Існує багато критеріїв згоди. Розглянемо критерій χ-квадрат (Пірсона) і критерій Колмогорова.
Критерій згоди (Пірсона)
Нехай в результаті n спостережень отримано варіаційний ряд з досвідченими частотами n1, n2, ..., nm. Тоді сума їх n1 + n2 + .. + nm = n. Аналіз дослідних даних привів, допустимо, до вибору деякого теоретичного закону розподілу як передбачуваного для розглянутого ознаки, а за дослідними даними знайдені його параметри (якщо вони не були відомі заздалегідь). За допомогою самого закону обчислені теоретичні частоти n01, n02, ..., n0m, відповідні емпіричним частотах. Сума теоретичних частот також дорівнює обсягу сукупності n:
n01 + n02 + ... + n0m = n.
В якості міри розбіжності теоретичного та емпіричного рядів частот можна взяти величину
З цього виразу видно, що χ2 дорівнює нулю лише при збігу всіх відповідних емпіричних і теоретичних частот: ni = n0i (i = 1, 2, ..., m). В іншому випадку χ2 відмінно від нуля і тим більше, чим більше розходження між зазначеними частотами.
Величина χ2, обумовлена рівністю, є випадковою, яка як можна показати, має χ2-розподіл, де k - число ступенів свободи. Число k = m - s, де m - число груп емпіричного розподілу, а s - число параметрів теоретичного закону, знайдених за допомогою цього розподілу, разом з числом додаткових співвідношень, яким підпорядковані емпіричні частоти. Якщо ж емпіричне розподіл не використовувалося для знаходження параметрів теоретичного закону і теоретичних частот, а емпіричні частоти не зв'язані ніякими додатковими співвідношеннями, то k дорівнює числу груп емпіричного розподілу, причому в обох випадках спостережені частоти повинні бути не малі. Малі частоти слід об'єднати з сусідніми з тим, щоб укрупнити групи. Це буде показано на прикладі наводиться нижче.
Таким чином, схема розрахунку критерію згоди χ2 наступна:
За досвідченим даними вибрати в якості передбачуваного закон розподілу досліджуваної ознаки і знайти його параметри.
Визначити теоретичні частоти за допомогою отриманого закону розподілу. Якщо серед досвідчених частот є нечисленні, об'єднати їх з сусідніми.
За формулою (1) обчислити величину χ2. Нехай вона виявилася рівною χ20.
Визначити число ступенів свободи k.
У додатку 4 по отриманим значенням χ2 і k знайти ймовірність β того, що випадкова величина, що має χ2-розподіл, прийме якесь значення, не менше χ20: P (χ2 χ20) =
.
Сформулювати висновок, керуючись загальним принципом застосування критеріїв згоди, а саме: якщо ймовірність β більше 0.01, то наявні розбіжності між теоретичними і досвідченими частотами слід вважати несуттєвими, а дослідне розподіл - узгоджується з теоретичним. В іншому випадку (β <0.01) зазначені розбіжності визнаються невипадковими, а закон розподілу, обраний в якості передбачуваного теоретичного, відкидається.
Критерій Колмогорова
На практиці крім критерію χ2 часто використовується критерій Колмогорова, в якому в якості міри розбіжності між теоретичними і емпіричними розподілами розглядають максимальне значення абсолютної величини різниці між емпіричної функцією розподілу і відповідної теоретичної функцією розподілу
зване статистикою критерію Колмогорова.
Доведено, що якою б не була функція розподілу F (x) випадкової величини X, при необмеженому збільшенні числа спостережень (n ) Ймовірність нерівності P (D
) Прагне до межі
задаючи рівень значимості α, зі співвідношення
можна знайти відповідне критичне значення .
Перевірка гіпотези про рівномірний розподіл
При використанні критерію Пірсона для перевірки гіпотези про рівномірний розподіл генеральної сукупності з передбачуваною щільністю ймовірності f (x) необхідно обчисливши за наявною вибіркою значення, оцінити параметри a і b по формулах
,
Де a * і b * - оцінки a і b. Дійсно, для рівномірного розподілу
M (X) =
σ = =
,
звідки можна отримати систему для визначення a * і b *:
f (x) = ,
рішенням якої є вирази (*). Потім, припускаючи, що
f (x) = ,
можна знайти теоретичні частоти за формулами:
,
,
,
,
Тут s - число інтервалів, на які розбита вибірка. Спостережуване значення критерію Пірсона обчислюється за формулою:
а критичне по таблиці з урахуванням того, що число ступенів свободи k = s-3.
Для обраного критерію будується правобічна критична область, обумовлена умовою
,
де α - рівень значущості. Отже, критична область задається нерівністю , А область прийняття гіпотези -
. Таким чином, якщо
, То нульову гіпотезу приймають, якщо
, То її відкидають.
Для критерію Колмогорова теоретичні та емпіричні функції розподілу знаходимо таким же чином, як і для критерію Пірсон.
Схема застосування критерію Колмогорова:
Будуються передбачуване теоретична функція розподілу F (x).
Знаходимо величину за наступною формулою
де
;
3. Якщо обчислене значення
,
де α критичне значення знайдене при заданому рівні значимості, то перевіряється нульова гіпотеза про те що випадкова величина Х має заданий закон розподілу, відкидається, в іншому випадку гіпотеза не відкидається.
Програма обчислення . Таблиця результатів
uses crt;
const n = 100; s = 10;
var
A1, h, R, min, max, x_v, D_v, at, bt, Xi2: real;
a: array [1 .. N] of real;
alfa: array [1 .. s +1] of real;
x, mt: array [1 .. s] of real;
m: array [1 .. s] of integer;
i, k: integer;
begin
clrscr;
writeln ('A1');
read (A1);
for I: = 1 to n do
begin
a [i]: = sqr (a1) / 1000000;
a [i]: = (trunc ((a [i]-trunc (a [i])) * 10000));
if a [i] <100 then A1: = random (7999) +2000
else a1: = a [i];
a [i]: = a [i] / 10000;
writeln (a [i]: 8:4);
end;
begin
min: = a [1];
max: = a [1];
for i: = 1 to N do
if max <a [i] then max: = a [i];
for i: = 1 to N do
if min> a [i] then min: = a [i];
R: = max-min;
h: = R / s;
alfa [1]: = min;
for k: = 2 to S +1 do
alfa [k]: = alfa [k-1] + h;
for k: = 1 to s do
x [k]: = alfa [k] + h / 2;
for k: = 1 to s do
for i: = 1 to N do
if (a [i]> = alfa [k]) and (a [i] <alfa [k +1]) then
m [k]: = m [k] +1;
x_v: = 0; D_v: = 0;
for k: = 1 to s do
x_v: = x_v + x [k] * m [k];
x_v: = x_v / n; writeln ('X_v =', x_v: 8:4);
for k: = 1 to s do
D_v: = D_v + sqr (x [k]) * m [k];
D_v: = sqrt (D_v / N-sqr (x_v)); writeln ('D_v =', D_v: 8:4);
at: = x_v-D_v * sqrt (3);
bt: = x_v + D_v * sqrt (3);
mt [1]: = N * (alfa [2]-at) / (bt-at);
for k: = 2 to s-1 do
mt [k]: = N * (alfa [k +1]-alfa [k]) / (bt-at);
mt [s]: = N * (bt-alfa [s]) / (bt-at);
Xi2: = 0;
for k: = 1 to s do
if mt [k] <> 0 then
Xi2: = Xi2 + (sqr (m [k]-mt [k])) / mt [k];
for k: = 1 to s do
writeln ('i', k, 'x [k] =', x [k]: 8:4, 'n [k] =', m [k], 'nt [k] =', mt [k] : 8:4);
writeln ('Xi2 =', Xi2: 8:4); readkey;
end; end;
end.
Таблиця результатів N = 1000, m = 10, k = 7; A1 = 9887
xi
0.05
112
103.87
0.15
91
100.92
0.25
103
100.12
0.35
94
100.92
0.45
113
100.89
0.55
99
100.92
0.65
98
100.72
0.75
95
109.42
0.85
107
109.42
0.95
88
958.76
По таблиці хі-квадрат розподілу = 9.037. Так як
, То гіпотеза H0 узгоджується з досвідченими даними.
Програма обчислення . Таблиця результатів
uses crt;
const n = 100;
var A1, min, max, alf, min1, max1: real;
a, D, D1, b: array [1 .. N] of real;
i, k, j: integer;
procedure swap (var x, y: real);
var t: real;
begin
t: = x; x: = y; y: = t;
end;
function f (s: real): real;
begin
if s <= 0 then
f: = 0;
if (s> 0) and (s <= 1) then
f: = s;
if s> 1 then
f: = 1; end;
begin
clrscr;
writeln ('A1'); read (A1);
for I: = 1 to n do
begin
a [i]: = sqr (a1) / 1000000;
a [i]: = (trunc ((a [i]-trunc (a [i])) * 10000));
if a [i] <100 then A1: = random (7999) +2000
else a1: = a [i];
a [i]: = a [i] / 10000;
end;
begin
for j: = 1 to n-1 do
for i: = n downto j do
if a [i-1]> a [i] then
swap (a [i-1], a [i]);
for i: = 1 to n do
end;
begin
for i: = 1 to n do
D [i]: = abs (i / nf (a [i]));
for i: = 1 to n do
begin
max: = d [1];
min: = d [1];
for i: = 1 to N do
if max <d [i] then max: = d [i];
for i: = 1 to N do
if min> d [i] then min: = d [i];
begin
for i: = 1 to n do
D1 [i]: = abs (f (a [i]) - (i-1) / n);
for i: = 1 to n do
begin
max1: = d1 [1];
min1: = d1 [1];
for i: = 1 to N do
if max1 <d1 [i] then max1: = d1 [i];
for i: = 1 to N do
if min1> d1 [i] then min1: = d1 [i];
writeln ('max', max: 8:4)
writeln ('max1', max1: 8:4);
alf: = sqrt (n) * max;
writeln ('alf', alf: 8:3);
readkey;
end;
end.
Таблиця результатів
N = 100; A1 = 9876
При рівні значущості 0,1 критичне значення дорівнює 1,22.
За формулою підставляючи це значення отримаємо
отже гіпотеза про рівномірний розподіл випадкових чисел отриманих методом Неймана неотвергается.
Висновок
Встановлений теоретичний закон відрізняється незначно від закону, отриманого в результаті експерименту. Ці розбіжності пояснюються випадковими обставинами, пов'язаними з обмеженим числом спостережень.
Критерій Пірсона спростовує гіпотезу про те, що псевдовипадкові числа отримані методом Неймана не розподілені за рівномірним законом розподілу з рівнем значущості α = 0.25.
Критерій Колмогорова підтверджує гіпотезу про рівномірний розподіл випадкових чисел отриманих методом Неймана з рівнем значущості α = 0.1
Числові характеристики близькі до статистичних параметрах, характерних для рівномірно розподілених чисел
Отже, випадкові числа одержувані методом Неймана розподілені рівномірно на інтервалі (0,1).
Список літератури
1. Гмурман В. Є. - Теорія ймовірностей і математична статистика .- М.: Вища. шк., 2003
2. Кремер Н. Ш. - Теорія ймовірностей і математична статистика .- М.: Юніті, 2006
3. Крамер Г. - Математичні методи статистики. - М.: Мир, 1975
4. Гнеденко Б. В. - Теорія ймовірностей і математична статистика .- М.: Наука, 1970
5. Ветцель О.С.; Овчаров Л.А. - Теорія ймовірностей. - М.: Наука, 1986
6. Єрмаков С.М.; Михайлов Г.А. - Статистичне моделювання. - М.: Наука, 1983