Хвилі та частки у класичному природознавстві.
Речовина в класичній теорії звичайно розглядається як сукупність дискретних неподільних частинок - матеріальних точок. У залежності від розглянутої задачі в їх ролі можуть виступати макроскопічні об'єкти, молекули, атоми і т.д.
Введення в природознавство концепції поля, в більшості випадків описуваного безперервними і звертаються на нескінченності в 0 вельми складними функціями координат і часу, ставить питання про їх розкладанні за більш простим "базисним" функцій, з якими легше робити розрахунки. Таке уявлення функцій аналогічно процедурі знаходження проекцій вектора на обрані осі координат. Основна відмінність полягає в тому, що у випадку "звичайних" векторів число ортогональних координатних осей і відповідних їм базисних векторів (розмірність простору) досить обмежена (в евклідовому просторі їх 3), простір ж безперервних функцій виявляється нескінченно мірним, число елементів його базису часто виявляється навіть незліченною. В якості базисних можуть вибиратися різні набори функцій. У більшості завдань найбільш зручні гармонійні: синуси і косинуси. Теорема про розкладання в ряди та інтеграли Фур'є стверджує, що будь-яка досить гладка функція може бути представлена як суперпозиція (сума або інтеграл) гармонійних функцій з різними частотами.
У випадку залежить тільки від часу вихідної функції про її Фур'є розкладанні говорять як про подання у вигляді суми гармонійних коливань різних частот, кожне з яких має вигляд
(1).
У природі зустрічається безліч процесів, що представляють собою майже гармонійні коливання (напр. зміна електричного поля в конденсаторі, включеному в ланцюг коливального контуру, широко використовується як маятника в електронному годиннику). По суті всі системи, що мають точки стійкої рівноваги, можуть здійснювати гармонічні коливання поблизу цих точок.
Якщо розглянута функція залежить тільки від просторових координат 
, Вона може бути представлена сумою просторових гармонік види:
(2).
У загальному випадку функцій, що залежать і від координат і від часу, їх можна представити у вигляді суми плоских монохроматичних хвиль, кожна з яких описується математичним виразом вигляду:
(3).
Крім плоских хвиль іноді використовують розкладання на сферичні, циліндричні та ін монохроматичні хвилі. Як приклад наведена "миттєва фотографія" кругових (двомірних сферичних) хвиль. Прикладами об'єктів природи, наближено описуваних окремими плоскими монохроматичним хвилями, є хвилі на поверхні моря (без "гребінців"), звукові хвилі від камертона, випромінювання лазера.
Т.ч. монохроматичні хвилі, як і точкові частинки, є не стільки поняттями, що відбивають властивості реально існуючих об'єктів, скільки моделями, істотно полегшують математичне розгляд явищ природи. Наявність ряду об'єктів і явищ, наближено описуваних цими моделями, призвело до їх деякої абсолютизації на класичному етапі розвитку природознавства.
Математичний формалізм опису хвиль і частинок.
Функцію, що описує плоску монохроматичну хвилю (3), зручно записувати з використанням багатовимірних позначень у комплексному вигляді
(4),
причому знак операції взяття дійсної частини комплексного числа зазвичай для стислості опускається.
Для опису розподілу густин (маси, заряду, спина і т.д.) точкових об'єктів вводять так звані дельта-функції, математичні властивості яких вельми екзотичні:
(5),
причому на нескінченність функція йде так "далеко", що обсяг під її графіком виявляється рівним кінцевої величиною - 1.
Аналогія між розкладанням вектора по базису і Фур'є-виставою функцій. Ортонормованих базис (сукупності взаємно ортогональних векторів одиничної довжини) {e} визначається співвідношенням:
(6),
Будь-який вектор R може бути розкладений за обраним базису:
(7),
тобто представлений як сума одиничних ортов, домноженних на числа, що називаються проекціями вектора на напрямок орта. Вираз для проекцій виходить з урахуванням (6) в результаті скалярного множення (7) на кожен з ортов:
(8).
У функціональному просторі роль векторів відіграють безперервні функції, роль скалярного твору (операція, яка ставить у відповідність двох векторах число) - інтеграл по конфігуранціонному простору аргументів від їх твори:
(9).
Роль ортонормованого базису може грати безліч гармонійних функцій:
(10),
причому дельта функція в (10) є аналогом символу Кронекера в (6). Теорема про розкладання в інтеграл Фур'є, що має вигляд:
(11)
аналогічна розкладанню (7), причому амплітуди хвиль ("проекції функції F на гармонійні отри") знаходяться аналогічно тому, як це робилося для векторів у (8):
(12).
Крім гармонійних функцій існує нескінченна безліч інших ортонормованих наборів, конкретний вибір яких визначається специфікою завдання. Зокрема, можуть використовуватися і дельта-функції, суворе математичне визначення яких аналогічно розкладання (7) і (11):
(13).
Т.ч. з точки зору математики дельта функції (що описують точкові частинки) і гармонійні функції (що описують монохроматичні хвилі) складають ортонормованих набори і можуть використовуватися для розкладання більш складних функцій і однаково придатні для опису об'єктів і процесів з дуже різними властивостями.
Акустичні хвилі. Звук являє собою поздовжні хвилі стиснення, що розповсюджуються в пружних матеріальних середовищах. У твердих тілах можливий "поперечний" звук. Вухо людини сприймає коливання, частоти яких лежать в діапазоні від?? Гц до Гц??. Висота звуку визначається частотою коливань: більш високі частоти викликають відчуття "більш високого звуку", "баси" відповідають низькочастотним коливанням. Відчуття гучність звуку визначається енергією, яку переносять звуковою хвилею (пропорційна квадрату амплітуди коливань тиску).
Органи слуху ссавців представляють собою досить досконалий акустичний прилад, що дозволяє реєструвати звук у широких діапазонах гучності ("сила виникає відчуття" пропорційна логарифму енергії). Основу "вхідного пристрою" звукового каналу становить акустичний резонатор, який виділяє і підсилює зі всіляких акустичних коливань лише ті, що лежать в діапазоні сприйняття. Основна роль в аналізі звуку належить спеціальним пружним волоскам різних розмірів, пов'язаних із чутливими нервовими закінченнями. Гармонійні Фур'є-складові, на які можна розкласти звукові коливання, внаслідок явища резонансу (різке збільшення амплітуди коливань при збігу власної і змушують частот) сильно розгойдують волоски суворо визначених розмірів, що викликає появи імпульсів у відповідних нервових закінченнях. Відповідна інформація передається в мозок, де і виникає відчуття звуку (ця частина процесу сприйняття вивчена найбільш погано). Т.а, у вусі відбувається фур'є-аналіз звукових коливань.
Коливання повітря, що створюються вільно хитаються струнами, дуже близькі до гармонійним ("чистий звук"), хоча і містять малі домішки частот, кратних головної - обертони. Їх наявність пояснює факт різного звучання однієї і тієї ж ноти на різних інструментах. Обертони "несуть відповідальність" за розпізнавання мови: при вимові голосних звуків голосові зв'язки людини створюють відповідні його висоті голосу частоти, вельми багаті обертонами. Рух мови і губ змінюють форму ротової порожнини, що виконує роль акустичного резонатора, і, як наслідок, - режими загасання різних гармонік.
Музичні звуки представляють собою суміш кількох гармонійних коливань, частоти яких відносяться як невеликі цілі числа і викликають у людини приємні відчуття (механізм останнього не з'ясований). Близькі, але різні за частотою коливання викликають неприємні відчуття дисонуюча звуку. Звукові коливання з суцільними спектром частот сприймаються людиною як шум.
Коливання щільності з частотами, що лежать нижче частотного порога сприйняття, називаються інфразвуком. Є дані про те, що інтенсивний інфразвук певних частот може надавати дуже несприятливий вплив на людину, що мабуть пов'язано з його резонансним впливом на які відбуваються в організмі періодичні процеси.
Акустичні коливання з частотами, що перевищують поріг сприйняття, носять назви ультразвуку. Ультразвук широко використовується в локації у випадках, коли відстані до об'єкта настільки малі, що вимірювання часу поширення електромагнітних хвиль перетворюється на трудомістку задачу. Виникає при відображенні звукових хвиль від рухомих об'єктів ефект Доплера дозволяє визначати швидкості об'єкта, що спостерігається
Видиме світло являє собою поперечні електромагнітні хвилі, що лежать в частотному діапазоні від?? Гц до?? Гц. Викликаного їм відчуття яскравості визначається логарифмом енергії світлової хвилі (енергія пропорційна квадрату амплітуди). Очі людини і ряду вищих ссавців здатні здійснювати частотний Фур'є-аналіз електромагнітного поля, створюючи різні відчуття кольору. Зміна кольорів при русі по спектру від червоного до фіолетового відповідає збільшенню частот монохроматичних гармонік електромагнітного поля.
Нижче меж чутливості людського ока на шкалі частот електромагнітного випромінювання лежить інфрачервоне випромінювання, безперервно переходить у радіохвилі. Їх біологічний вплив в переважній більшості випадків зводиться до ефектів, пов'язаних з нагріванням. Ультрафіолетове, рентгенівське і гамма випромінювання характеризуються частотами, що лежать вище межі зорового сприйняття.
Зростання частоти електромагнітного випромінювання супроводжується збільшенням його шкідливого впливу на біологічні об'єкти.
Особливості кольорового зору. Цікавою фізіологічною особливістю зору є той факт, що певним чином підібрана суміш монохроматичних випромінювань може створювати точно таке ж відчуття: як інше монохроматичне випромінювання (суміш червоного і жовтого кольорів сприймається як помаранчевий, а не "червоно-жовтий"). Пояснення криється в будові світлочутливих клітин - паличок і колбочок, що утворюють сітківку ока. Більш чутливі палички реагують тільки на енергію світлової хвилі (у сутінках зображення втрачають свій колір), а колбочки містять три сорти зорового пігменту, що мають різні криві спектральної чутливості. У результаті протікають в них фізико-хімічних процесів при опроміненні клітин формуються електричні імпульси, величини яких визначаються твором інтенсивності світлової гармоніки на чутливість пігменту на її частоті. Т.ч. перетворення світлових сигналів при зоровому сприйнятті з математичної точки зору може розглядатися як проектування з нескінченновимірного простору амплітуд Фур'є-гармонік електромагнітного поля в тривимірний простір електричних імпульсів. Будь-яке проектуванні на підпростір меншої розмірності супроводжується частковою втратою інформації, що і призводить до неоднозначності колірного сприйняття.
Фізіологічні особливості зорового сприйняття образів. Фізико-хімічні процеси перетворення оптичних сигналів в електрохімічні є першою ланкою у довгому ланцюгу, що приводить до формування у свідомості зорового образу. Багато ланки цього ланцюга вивчені досить неповно.
Світлочутливі клітини сітківки з'єднані не лише з мозком, на і один з одним, утворюючи нейронну мережу, що виробляє первинну обробку зорових сигналів і яка є винесеної вперед частиною мозку. Про складність процесів формування зорового образу свідчать такі особливості нашого сприйняття:
1. Оптична система ока формує на сітківці перевернуте зображення, що не позначається на сприйнятті. При використанні спеціальних оптичних систем, що змінюють зображення на сітківці на неперевернутим, людина втрачає здатність адекватного зорового сприйняття. Через кілька днів користування такою системою зорова інформація знову починає сприйматися нормально.
2. Сітківка розділена на дві приблизно рівні області, нервові волокна від яких ідуть у різні півкулі мозку. Незважаючи на те, що межа розділу припадає на центр зорового поля, зображення не сприймається як розірваний на дві частини.
3. Наявність на сітківці "сліпої плями" (області, позбавленої світлочутливих клітин) не призводить до виникнення незаповненою області в зоровій картині навіть при сприйнятті її одним оком.
4. Відчуття об'ємного безперервного способу будується з двох не співпадаючих одне з одним мозаїчних картин, що виникають на сітківці очей.
5. Здатність розпізнавання образів тривимірних об'єктів за їх плоским контурним зображенням і можливість їх класифікації.
Остання, можливо найбільш дивовижна здатність зору людини, тісно пов'язана з інтенсивно розробляється в математиці і техніці проблемою розпізнавання образів.
Фур'є-аналіз зображень. При попаданні в полі зору людини нового об'єкта, його зоровий образ у свідомості виникає дуже швидко, але потім уточнюється і добудовується (іноді з виправленням помилок початкового сприйняття (всі любителі збору грибів знають, як "завмирає серце" при вигляді гриба, через мить "перетворюється "в опалий лист). Очевидно, що на більш ранніх стадіях еволюції зазначене властивість була вельми корисним з точки зору виживання.
Зазначена особливість добре вписується в концепцію Фур'є-аналізу зображень, згідно з якою обробка нервовою системою зорового образу починається з розкладання описує розподіл інтенсивності на сітківці ока функції I (x, y) в просторовий ряд Фур'є, Його подальший аналіз починається з найбільш повільних просторових гармонік і складається в порівнянні їх амплітуд з "зберігається в пам'яті бібліотекою образів". За результатами аналізу порівняно невеликої кількості гармонік робиться попередній висновок про об'єкт, який згодом уточнюється в результаті аналізу вищих складових. Поряд з "хвильової" існує і "точкова" концепція сприйняття зорових образів, згідно з якою зображення сприймається як сукупність світних крапок.
Т.ч. навіть на рівні класичного опису з точки зору математики немає принципової різниці між корпускулярним і хвильовим підходами до опису реальності. Відмінність полягає у виборі набору базисних функцій. Правильним формулюванням питання до природознавства в розглянутому блоці проблем, мабуть полягає в тому, чи існують в природі реальні об'єкти, властивості яких близькі (або навіть тотожні) властивостями окремо взятої базисної функції (гармонійної або дельта-функції). Класичне природознавство відповідало на так поставлене питання ствердно.