1. Пароль для входу в комп'ютерну базу даних складається з 7 цифр. Яка вірогідність правильного набору пароля з першого разу, якщо: д) на непарних місцях комбінації стоять однакові цифри
Рішення:
P (A) =
n - загальне число випадків.
Припустимо на непарних місцях варто 0_0_0_0_0
На трьох інших місцях можуть бути: n 0 = комбінацій (10 цифр, 3 місця), якщо на непарних місцях коштує 1,
і т.д.
n = n 0 + n 2 + ... + n 0 = 10 ∙ =
m = число сприятливих результатів
m = 0
P (A) = = 0,0001
Відповідь: 0,0001
2. Дев'ять карток, пронумерованих цифрами від 1 до 9, розташовані один за одним у випадковому порядку. Визначити ймовірності таких подій: Г) кожна з останніх 4 карток має номер більше 3
Будемо використовувати класичне визначення ймовірності:
,
де m - число результатів, що сприяють здійсненню події , А n - число всіх елементарних равновозможних результатів.
Відразу обчислимо, що - Число різних способів розкласти картки.
Знайдемо число результатів, що сприяють цій події. Номер більше трьох мають картки: 4,5,6,7,8,9, всього 6 карток. Вибираємо на останнє місце картка 6 способами (будь-яку з цих шести), на передостаннє місце картка 5 способами (будь-яку з решти п'яти, одна вже вибрана), на третє з кінця місце картки 4 способами, на четверте з кінця місце картка 3 способами. Отримали всього способів розкласти останні 4 картки так, щоб їхній номер був більше 3. Тепер розкладаємо залишилися 5 карток 5! = 120 способами. Разом отримуємо 120 * 360 = 43200 способів.
Тоді ймовірність .
Відповідь: 0,119
3. Відрізок AB розділений точкою C відносно 3:7. На цей відрізок навмання кидається 5 точок. Знайти Найімовірніше число точок, які потрапили на відрізок AC і ймовірність саме такого числа точок на відрізку AC
Впадає 5 точок n = 5
Ймовірність потрапити на АС для однієї точки Р = = 0,3
1) -Найімовірніше число точок, які потрапили на АС
np-q ≤ <Np + p
p = 0,3; q = 1-p = 0, 7
5 ∙ 0,3-0,7 ≤ <5 ∙ 0,3 + 0,3
0,8 ≤ <1,8
= 1
2) Ймовірність саме такого числа точок на АС
(1) =?
Застосуємо формулу Бернуллі.
(K) =
.
.
;
(1) =
.
.
=
∙ 0, 3 ∙
= 5 ∙ 0,3 ∙
= 0,36
Відповідь: 0,36
4. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірності відмови першого, другого і третього елементів відповідно рівні 0,2, 01 і 0,6. Знайти ймовірність того, що не відмовив перший елемент, якщо відомо, що відмовили якісь два елементи
Рішення. = 0,2
= 0,1
= 0,6 - відмова.
= 1 -
= 0,8
= 0,4 - не відмова.
Подія А-відмовили якісь два
- Перший відмовив Р (
) = 0,2 =
(А) =
+
0,2 ∙ 0,1 ∙ 0,4 + 0,2 ∙ 0,9 ∙ 0,6 = 0,116
-Перший не відмовив Р
= 0,8 =
(А) =
0,048
За формулою повної ймовірності
P (A) = 0, 2 ∙ 0,116 +0,8 ∙ 0,048 = 0,0616
Шукану ймовірність знайдемо за формулою Байєса:
(
) =
=
Відповідь: 0,62
5. Кидають дві гральні кістки. Знайти для твору очок на випали гранях: математичне сподівання; дисперсію
Рішення. Введемо незалежні випадкові величини і
рівні, відповідно, числу очок, що випали на першій і на другій кістці. Вони мають однакові розподілу:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 | 1 / 6 |
Знайдемо математичне сподівання
.
Знайдемо дисперсію
.
Тоді математичне очікування суми числа очок, які можуть випасти при одному киданні двох гральних кісток одно
.
Дисперсія суми числа очок, які можуть випасти при одному киданні двох гральних кісток дорівнює (так як кидання костей незалежні):
.
Відповідь: 7; 35 / 6.
6. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно рівні 30 і 4. Знайти ймовірність того, що Х в 5 випробуваннях рівно 3 рази прийме значення, укладену в інтервалі (29, 31)
Рішення. Використовуємо формулу
,
де математичне сподівання , Середньоквадратичне відхилення
α = 29, β = 31.
P (29 <х <31) = Ф ( = Ф (0,25) - (0,25) = Ф (0,25) + Ф (0,25) = 2 ∙ Ф (0,25) = 2 ∙ 0,3413 ∙ 0,25 = 0,17065 Відповідь: 0,17065
7. У порядку серійної вибірки з 1000 контейнерів бесповторном відбором взято 10 контейнерів. Кожен контейнер містить рівну кількість однотипних виробів, отриманих високоточним виробництвом. Межсерійная дисперсія параметра виробу дорівнює 0,01. Знайти: межі, в яких з імовірністю 0,99 укладено середнє значення параметра у всій партії, якщо відібрано 50 контейнерів, а загальна середня дорівнює 5
При бездротовому відборі застосовується формула:
n =
N = 1000 n = = 5
p = 0,99 ≈ 0,98
Підставимо:
5 =
5 =
5000 +0,049 = 98
0,049 = 98
Т.к. х = 5, то інтервалу 5 0,14