Властивості математичного сподівання і дисперсії

Реферат

на тему:

“Властивості математичного

сподівання і дисперсії”

1.1Властивості математичного сподівання.

1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійній величині, тобто:

М(С)=С

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання

M(kx)=kM(x)

3. Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань:

M(x+y)=M(x)+M(y)

4. Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань цих величин:

5. Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне й те саме число C , то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) на те саме число:

M(X–C)=M(X)–C

Наслідок:

Математичне сподівання відхилення випадкової величини X , від її математичного сподівання дорівнює 0

Математичне сподівання дискретної величини

Приклад:

У парку організована безпрограшна лотерея. Маємо 1000 виграшів, з них 400 по 10 коп.,300 – по 20 коп., 200 – по 1 грн.,100 – по 2грн. Середній розмір виграшу для відвідувача парка, що придбав один квиток дорівнює загальній сумі виграшу, що поділена на загальну кількість виграшів.

Загальна сума дорівнює:

Середній виграш дорівнює

З іншого боку, якщо розглянемо закон розподілу

X	0,1	0,2	1	2
P	0,4	0,3	0,2	0,1

то таку ж величину отримаємо при знаходженні суми добутку значень випадкових величин на відповідні ймовірності

М(х)=0,10,4+0,30,2+20,1=0,5

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутку всіх її значень на відповідні їм ймовірності:

де

Дисперсія дискретної випадкової величини.

Дисперсія (з лат. – розсіяність). В більшості випадків тільки математичне сподівання не може в достатній мірі характеризувати випадкову величину.

Приклад №1

При однаковій середній величині опадів в двох місцевостях за рік не можна казати, що клімат цих міст однаковий.

Приклад №2

Середня заробітна платня не дає можливості казати про питому вагу високо й низькооплачуваних робітників, тобто по математичному сподіванню не можна казати, які відхилення від нього хоча б у середньому можливі.

Найбільш розповсюджена міра розсіювання – це дисперсія та безпосередньо отримане з неї середнє квадратичне відхилення.

ппре

Розкид значень випадкової величини X від її математичного сподівання а характеризують різницю х_і–а, однак середнє значення їх не може характеризувати розсіювання, тому що, відповідно наслідку, математичне сподівання цієї різниці буде дорівнювати 0. Отже розглядають квадрати вказаних відхилень:

Це математичне сподівання й називається дисперсією випадкової величини X, а позначається D(x) або

Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення її математичного сподівання.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називається арифметичне значення квадратного кореню від дисперсії, тобто:

Властивості дисперсії

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D(с)=0

2. Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його до квадрату, тобто:

3. Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному сподіванню квадрату її без квадрату математичного сподівання цієї величини:

4. Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

Наслідок:

Середньоквадратичне суми скінченого числа незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середньоквадратичних відхилень, тобто:

5) Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює:

або

Математичні сподівання

та дисперсії деяких випадкових величин.

Теорема 1 Якщо X₁, X₂,…,X_N однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких дорівнює а , тоді математичне сподівання їх суми дорівнює na, тобто

М(Х₁+ Х₂+ …Х_n )=na

Наслідок:

Математичне сподівання від середнього значення випадкової величини буде дорівнювати а, тобто: .

Теорема 2. Якщо X₁, X₂, …, X_N однаково розподілені незалежні випадкові величини, дисперсія кожної з яких дорівнює , тоді дисперсія суми цих випадкових величин :

Наслідок:

Дисперсія середнього арифметичного випадкових величин дорівнює

Теорема 3. Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої згідно біноміальному закону, тобто кількість наступів події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може настати з постійною ймовірністю р, дорівнює np, а дисперсія дорівнює D(x)=npq, q=1–p.

Теорема 4. Математичне сподівання частоти (частості) події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може наступити з постійною ймовірністю p дорівнює цій ймовірності p тобто:

,

а дисперсія буде дорівнювати:

Теорема 5. Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини, розподіленої згідно закону Пуассона, співпадають та дорівнюють :

де .

Функція розподілу випадкової величини.

Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке–небудь значення менше будь–якого числа X. Ця подія має певну ймовірність.

xi	X1	X2	…	Xn
Pi	P1	P2	…	Pn

Позначимо

При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x) можна розглядати як функцію змінної величини X.

Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого.

F(x) – постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням.

Використана література:

1. Методичні вказівки до курсу лекцій. З теорії ймовірностей та математичної статистики / Під ред. проф. Толока В.О.