Міністерство освіти і науки РФ
Череповецький державний університет
Інженерно-економічний інститут
Реферат
Поняття випадкового процесу в математиці
Виконувала студентка
групи 5 ДМУ-21
Іванова Юлія
Череповець
2009
Зміст
Введення
Основна частина
Визначення випадкового процесу і його характеристики
Марковські випадкові процеси з дискретними станами
Стаціонарні випадкові процеси
Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів
Література
Введення
Поняття випадкового процесу введено в XX столітті і пов'язано з іменами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), Е.Е. Слуцького (1880-1948), Н. Вінера (1894-1965).
Це поняття в наші дні є одним з центральних не тільки в теорії ймовірностей, але також в природознавстві, інженерній справі, економіці, організації виробництва, теорії зв'язку. Теорія випадкових процесів належить до категорії найбільш швидко розвиваються математичних дисциплін. Безсумнівно, що ця обставина значною мірою визначається її глибокими зв'язками з практикою. XX століття не міг задовольнитися тим ідейним спадщиною, яку було отримано від минулого. Дійсно, в той час, як фізика, біолога, інженера цікавив процес, тобто зміна досліджуваного явища в часі, теорія ймовірностей пропонувала їм як математичного апарату лише кошти, які вивчали стаціонарні стани.
Для дослідження зміни в часі теорія ймовірностей кінця XIX - початку XX століття не мала ні розроблених приватних схем, ні тим більш загальних прийомів. А необхідність їх створення буквально стукала у вікна та двері математичної науки. Вивчення броунівського руху в фізиці підвело математику до порога створення теорії випадкових процесів.
Вважаю за необхідне згадати ще про дві важливі групах досліджень, розпочатих в різний час і з різних приводів.
По-перше, ця роботи А.А. Маркова (1856-1922) з вивчення ланцюгових залежностей. По-друге, роботи Е.Е. Слуцького (1880-1948) з теорії випадкових функцій.
Обидва ці напрями грали дуже істотну роль у формуванні загальної теорії випадкових процесів.
Для цієї мети вже був накопичений значний вихідний матеріал, і необхідність побудови теорії як би носилися в повітрі.
Залишалося здійснити глибокий аналіз наявних робіт, висловлених в них ідей і результатів і на його базі здійснити необхідний синтез.
Визначення випадкового процесу і його характеристики
Визначення: Випадковим процесом X (t) називається процес, значення якого при будь-якому значенні аргументу t є випадковою величиною.
Іншими словами, випадковий процес являє собою функцію, яка в результаті випробування може прийняти той чи інший конкретний вид, невідомий заздалегідь. При фіксованому t = t 0 X (t 0) являє собою звичайну випадкову величину, тобто перетин випадкового процесу в момент t 0.
Приклади випадкових процесів:
чисельність населення регіону з плином часу;
число заявок, що надходять в ремонтну службу фірми, з плином часу.
Випадковий процес можна записати у вигляді функції двох змінних X (t, ω), де ω € Ω, t € T, X (t, ω) € ≡ і ω - елементарне подія, Ω - простір елементарних подій, Т - безліч значень аргументу t, ≡ - безліч можливих значень випадкового процесу X (t, ω).
Реалізацією випадкового процесу X (t, ω) називається невипадкова функція x (t), в яку перетворюється випадковий процес X (t) в результаті випробування (при фіксованому ω), тобто конкретний вид, який приймає випадковим процесом X (t), його траєкторія.
Таким чином, випадковий процес X (t, ω) поєднує в собі риси випадкової величини і функції. Якщо зафіксувати значення аргументу t, випадковий процес перетворюється на звичайну випадкову величину, якщо зафіксувати ω, то в результаті кожного випробування він перетворюється на звичайну невипадкову функцію. Надалі викладі опустимо аргумент ω, але він буде матися на увазі за умовчанням.
На малюнку 1 зображено кілька реалізацій деякого випадкового процесу. Нехай перетин цього процесу при даному t є випадкової величиною. Тоді випадковий процес X (t) при даному t визначається повністю ймовірності φ (x, t). Очевидно, що щільність φ (x, t) не є вичерпним описом випадкового процесу X (t), бо вона не виражає залежності між його перерізами в різні моменти часу.
Випадковий процес X (t) являє собою сукупність всіх перетинів при всіляких значень t, тому для його опису необхідно розглядати багатовимірну випадкову величину (X (t 1), X (t 2), ..., X (t n)), що складається з усіх сполучень цього процесу. В принципі таких поєднань нескінченно багато, але для опису випадкового процесу вдається частина обійтися відносно невеликою кількістю комбінацій.
Кажуть, що випадковий процес має порядок n, якщо він повністю визначається щільністю спільного розподілу φ (x 1, x 2, ..., x n; t 1, t 2, ..., t n) n довільних перерізів процесу, тобто щільністю n-мірної випадкової величини (X (t 1), X (t 2), ..., X (t n)), де X (t i) - поєднання випадкового процесу X (t) в момент часу t i, i = 1, 2, ..., n.
Як і випадкова величина, випадковий процес може бути описаний числовими характеристиками. Якщо для випадкової величини ці характеристики є постійними числами, то для випадкового процесу - невипадковими функціями.
Математичним очікуванням випадкового процесу X (t) називається невипадкова функція a x (t), яка при будь-якому значенні змінної t дорівнює математичному очікуванню відповідного перерізу випадкового процесу X (t), тобто a x (t) = М [X (t )].
Дисперсією випадкового процесу X (t) називається невипадкова функція D x (t), при якому значенні змінної t рівна дисперсії відповідного поєднання випадкового процесу X (t), тобто D x (t) = D [X (t)].
Середнім квадратичним відхиленням σ x (t) випадкового процесу X (t) називається арифметичне значення кореня квадратного з його дисперсії, тобто σ x (t) = D x (t).
Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення - розкид реалізацій щодо середньої траєкторії.
Введених вище характеристик випадкового процесу виявляється недостатньо, тому що вони визначаються тільки одномірним законом розподілу. Якщо для випадкового процесу Х 1 (t) характерно повільне зміна значень реалізацій зі зміною t, то для випадкового процесу Х 2 (t) це зміна проходить значно швидше. Іншими словами, для випадкового процесу Х 1 (t) характерна тісний імовірнісна залежність між двома його поєднаннями Х 1 (t 1) і Х 1 (t 2), в той час як для випадкового процесу Х 2 (t) ця залежність між сполученнями Х 2 (t 1) і Х 2 (t 2) практично відсутня. Зазначена залежність між сполученнями характеризується кореляційною функцією.
Визначення: кореляційною функцією випадкового процесу Х (t) називається невипадкова функція
K x (t 1, t 2) = M [(X (t 1) - a x (t 1)) (X (t 2) - a x (t 2))] (1.)
двох змінних t 1 і t 2, яка при кожній парі змінних t 1 і t 2 дорівнює коваріації відповідних поєднань Х (t 1) і Х (t 2) випадкового процесу.
Очевидно, для випадкового процесу Х (t 1) кореляційна функція K x 1 (t 1, t 2) зменшується в міру збільшення різниці t 2 - t 1 значно повільніше, ніж K x 2 (t 1, t 2) для випадкового процесу Х (t 2).
Кореляційна функція K x (t 1, t 2) характеризує не тільки ступінь тісноти лінійної залежності між двома сполученнями, а й розкид цих поєднань щодо математичного очікування a x (t). Тому розглядається також нормована кореляційна функція випадкового процесу.
Нормованої кореляційної функцією випадкового процесу Х (t) називається функція:
P x (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2) / σ x (t 1) σ x (t 2) (2)
Приклад № 1
Випадковий процес визначається формулою X (t) = X cosωt, де Х - випадкова величина. Знайти основні характеристики цього процесу, якщо М (Х) = а, D (X) = σ 2.
РІШЕННЯ:
На підставі властивостей математичного сподівання і дисперсії маємо:
a x (t) = M (X cosωt) = cosωt * M (X) = a cosωt,
D x (t) = D (X cosωt) = cos 2 ωt * D (X) = σ 2 cos 2 ωt.
Кореляційну функцію знайдемо за формулою (1.)
K x (t 1, t 2) = M [(X cosωt 1 - a cosωt 1) (X cos ωt 2 - a cosωt 2)] =
= Cosωt 1 cosωt 2 * M [(X - a) (X - a)] = cosωt 1 cosωt 2 * D (X) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2.
Нормовану кореляційну функцію знайдемо за формулою (2.):
P x (t 1, t 2) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 / (σ cosωt 1) (σ cosωt 2) ≡ 1.
Випадкові процеси можна класифікувати в залежності від того, плавно або стрибкоподібно змінюються стану системи, в якій вони протікають, звичайно (лічильно) або нескінченно безліч цих станів і т.п. Серед випадкових процесів особливе місце належить Марківському випадковому процесу.
Теорема. Випадковий процес X (t) є гільбертовому тоді і тільки тоді, коли існує R (t, t ') для всіх (t, t') € T * T.
Теорію гільбертовому випадкових процесів називають кореляційної.
Зауважимо, безліч Т може бути дискретним і континуальним. У першому випадку випадковий процес Х t називають процесом з дискретним часом, у другому - з безперервним часом.
Відповідно поєднання Х t можуть бути дискретними і безперервними випадковими величинами.
Випадковий процес називається Х (t) вибірково неправильним, диференційовних і інтегрованим в точці ω € Ω, якщо його реалізація x (t) = x (t, ω) відповідно безупинна, дифференцируема і інтегровна.
Випадковий процес Х (t) називається безперервним: майже, напевно, якщо
P (A) = 1, A = {ω € Ω: lim x (t n) = x (t)}
У середньому квадратичному, якщо
Lim M [(X (t n) - X (t)) 2] = 0
За ймовірності, якщо
Aδ ≥ 0: lim P [| X (t n) - X (t) |> δ] = 0
Збіжність в середньому квадратичному позначають також:
X (t) = lim X (t n)
Виявляється, з вибіркової безперервності слід безперервність майже напевно, з безперервності майже напевно і в середньому квадратичному слід безперервність по ймовірності.
Теорема. Якщо X (t) - Гільбертом випадковий процес, безперервний у середньому квадратичному, то m x (t) - безперервна функція і має місце співвідношення
Lim M [X (t n)] = M [X (t)] = M [lim X (t n)].
Теорема. Гільбертом випадковий процес X (t) безперервний у середньому квадратичному тоді і тільки тоді, коли безупинна його коваріаційна функція R (t, t ') в точці (t, t).
Гільбертом випадковий процес X (t) називається диференційовних в середньому квадратичному, якщо існує випадкова функція X (t) = dX (t) / dt така, що
X (t) = dX (t) / dt = lim X (t + Δt) - X (t) / Δt
(T € T, t + Δt € T),
т. е. коли
Lim M [((X (t + Δt) - X (t) / (Δt)) - X (t)) 2] = 0
Випадкову функцію X (t) будемо називати похідної в середньому квадратичному випадкового процесу X (t) відповідно в точці t або на T.
Теорема. Гільбертом випадковий процес X (t) диференціюємо в середньому квадратичному в точці t тоді і тільки тоді, коли існує
δ 2 R (t, t ') / δ t δ t' в точці (t, t '). При цьому:
R x (t, t ') = M [X (t) X (t')] = δ 2 R (t, t ') / δ t δ t'.
Якщо Гільбертом випадковий процес диференціюємо на Т, то його похідна в середньому квадратичному також є гільбертовому випадковим процесом; якщо вибіркові траєкторії процесу діфференцируєми на Т з імовірністю 1, то з імовірністю 1 їх похідні збігаються з похідними в середньому квадратичному на Т.
Теорема. Якщо X (t) - Гільбертом випадковий процес, то
M [dX (t) / dt] = (d / dt) M [X (t)] = dm x (t) / dt.
Нехай (0, t) - кінцевий інтервал, 0 <t 1 <... <t n = t - його точки
X (t) - Гільбертом випадковий процес.
Y n = Σ X (t i) (t i - t i-1) (n = 1,2, ...).
Тоді випадкова величина
Y (t) = lim Y n
max (t i - t i -1) → 0
Називається інтегралом в середньому квадратичному процесу X (t) на (0, t) і позначається:
Y (t) = ∫ X (τ) dτ.
Теорема. Інтеграл Y (t) в середньому квадратичному існує тоді і тільки тоді, коли коваріаційна функція R (t, t ') гильбертова процесу X (t) неперервна на Т × Т і існує інтеграл
R y (T, t ') = ∫ ∫ R (τ, τ') dτdτ '
Якщо інтеграл в середньому квадратичному функції X (t) існує, то
M [Y (t)] = ∫ M [X (τ)] dτ,
R Y (t, t ') = ∫ ∫ R (τ, τ') dτdτ '
K y (T, t ') = ∫ ∫ K (τ, τ') dτdτ '
Тут R y (t, t ') = M [Y (t) Y (t')], K y (t, t ') = M [Y (t) Y (t')] - коваріаційна і кореляційна функції випадкового процесу Y (t).
Теорема. Нехай X (t) - Гільбертом випадковий процес з ковариационной функцією R (t, t '), φ (t) - речова функція і існує інтеграл
∫ ∫ φ (t) φ (t ') R (t, t') dtdt '
Тоді існує в середньому квадратичному інтеграл
∫ φ (t) X (t) dt.
Випадкові процеси:
X i (t) = V i φ i (t) (i = 1n)
Де φ i (t) - задані речові функції
V i - Випадкові величини з характеристиками
M (V I = 0), D (V I) = D I, M (V i V j) = 0 (i ≠ j)
Називають елементарними.
Канонічним розкладанням випадкового процесу X (t) називають його подання у вигляді
X (t) = m x (t) + Σ V i φ i (t) (t € T)
Де V i - коефіцієнти, а φ i (t) - координатні функції канонічного розкладання процесу X (t).
З відносин:
M (V I = 0), D (V I) = D I, M (V i V j) = 0 (i ≠ j)
X (t) = m x (t) + Σ V i φ i (t) (t € T)
Слід:
K (t, t ') = Σ D i φ i (t) φ i (t')
Цю формулу називають канонічним розкладанням кореляційної функції випадкового процесу.
У випадку рівняння
X (t) = m x (t) + Σ V i φ i (t) (t € T)
Мають місце формули:
X (t) = m x (t) + Σ V i φ (t)
∫ x (τ) dt = ∫ m x (τ) dτ + Σ V i ∫ φ i (t) dt.
Таким чином, якщо процес X (t) представлений його канонічним розкладанням, то похідна і інтеграл від нього також можуть бути представлені у вигляді канонічних розкладань.
Марковські випадкові процеси з дискретними станами
Випадковий процес, що протікає в деякій системі S з можливими станами S 1, S 2, S 3, ..., називається Марківським, або випадковим процесом без наслідки, якщо для будь-якого моменту часу t 0 ймовірні характеристики процесу в майбутньому (при t> t 0) залежить тільки від його стану в даний момент t 0 і не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан; тобто не залежать від її поведінки в минулому (при t <t 0).
Прикладом Марківського процесу: система S - лічильник у таксі. Стан системи в момент t характеризується числом кілометрів (десятих часток кілометрів), пройдених автомобілем до даного моменту. Нехай в момент t 0 Лічильник показує S 0 / Ймовірність того, що в момент t> t 0 Лічильник покаже те чи інше число кілометрів (точніше, відповідне число рублів) S 1 залежить від S 0, але не залежить від того, в які моменти часу змінилися показання лічильника до моменту t 0.
Багато процесів можна наближено вважати Марковський. Наприклад, процес гри в шахи; система S - група шахових фігур. Стан системи характеризується числом фігур супротивника, що збереглися на дошці в момент t 0. Ймовірність того, що в момент t> t 0 матеріал перевага буде на боці одного із супротивників, залежить в першу чергу від того, в якому стані перебуває система в даний момент t 0, а не від того, коли і в якій послідовності зникли фігури з дошки до моменту t 0.
У ряді випадків передісторією розглянутих процесів можна просто знехтувати і застосовувати для їх вивчення Марковські моделі.
Марківським випадковим процесом з дискретними станами і дискретним часом (або ланцюгом Маркова) називається Марковський процес, в якому його можливі стани S 1, S 2, S 3, ... можна заздалегідь перерахувати, а перехід зі стану в стан відбувається миттєво (стрибком), але тільки в певні моменти часу t 0, t 1, t 2, ..., звані кроками процесу.
Позначимо p ij - імовірність переходу випадкового процесу (системи S) зі стану I у стан j. Якщо ці ймовірності не залежать від номера кроку процесу, то такий ланцюг Маркова називається однорідною.
Нехай число станів системи звичайно і дорівнює m. Тоді її можна характеризувати матрицею переходу P 1, яка містить всі ймовірності переходу:
p 11 p 12 ... p 1m
p 21 p 22 ... p 2m
... ... ... ...
P m1 p m2 ... p mm
Природно, по кожному рядку Σ p ij = 1, I = 1, 2, ..., m.
Позначимо p ij (n) - ймовірністю того, що в результаті n кроків система перейде зі стану I у стан j. При цьому при I = 1 маємо ймовірності переходу, що утворюють матрицю P 1, тобто p ij (1) = p ij
Необхідно, знаючи ймовірності переходу p ij, знайти p ij (n) - ймовірності переходу системи зі стану I у стан j за n кроків. З цією метою будемо розглядати проміжне (між I і j) стан r, тобто будемо вважати, що з первинного стану I за k кроків система перейде в проміжний стан r з імовірністю p ir (k), після чого за решту n - k кроків з проміжного стану r вона перейде в кінцевий стан j з імовірністю p rj (n - k). Тоді за формулою повної ймовірності
P ij (n) = Σ p ir (k) p rj (n - k) - рівність Маркова.
Переконаємося в тому, що, знаючи все ймовірності переходу p ij = p ij (1), тобто матрицю P 1 переходу зі стану в стан за один крок, можна знайти ймовірність p ij (2), тобто матрицю P 2 переходу зі стану в стан за два кроки. А знаючи матрицю P 2, - знайти матрицю P 3 переходу зі стану в стан за три кроки, і т.д.
Дійсно, вважаючи n = 2 у формулі P ij (n) = Σ p ir (k) p rj (n - k), тобто k = 1 (проміжне між кроками стан), отримаємо
P ij (2) = Σ p ir (1) p rj (2-1) = Σ p ir p rj
Отримане рівність означає, що P 2 = P 1 P 1 = P 1 Лютий
Вважаючи n = 3, k = 2, аналогічно одержимо P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3, а в загальному випадку P n = P 1 n
Приклад
Сукупність сімей деякого регіону можна розділити на три групи:
сім'ї, які не мають автомобіля і не збираються його купувати;
сім'ї, які не мають автомобіля, але мають намір його придбати;
сім'ї, що мають автомобіль.
Проведене статистичне обстеження показало, що матриця переходу за інтервал в один рік має вигляд:
0,8 0,1 0,1
0 0,7 0,3
0 0 1
(У матриці P 1 елемент р 31 = 1 означає ймовірність того, що сім'я, що має автомобіль, також буде його мати, а, наприклад, елемент р 23 = 0,3 - ймовірність того, що сім'я, що не мала автомобіля, але вирішила його придбати, здійснить свій намір у наступному році, і т.д.)
Знайти ймовірність того, що:
сім'я, що не мала автомобіля і е збиралася його придбати, буде перебувати в такій же ситуації через два роки;
сім'я, що не мала автомобіля, але яка має намір його придбати, буде мати автомобіль через два роки.
РІШЕННЯ: знайдемо матрицю переходу Р 2 через два роки:
0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21
0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51
0 0 1 0 0 1 0 0 1
Тобто шукані в прикладі 1) і 2) ймовірності рівні відповідно
р 11 = 0,64, р 23 = 0,51
Далі розглянемо Марковський випадковий процес з дискретними станами і безперервним часом, в якому, на відміну від розглянутої вище ланцюга Маркова, моменти можливих переходів системи зі стану не фіксовані заздалегідь, а випадкові.
При аналізі випадкових процесів з дискретними станами зручно користуватися геометричній схемою - так званим графіком подій. Зазвичай стану системи зображуються прямокутниками (кружками), а можливі переходи зі стану в стан - стрілками (орієнтованими дугами), що з'єднують стану.
Приклад. Побудувати граф станів наступного випадкового процесу: пристрій S складається з двох вузлів, кожен з яких у випадковий момент часу може вийти з ладу, після чого миттєво починається ремонт вузла, що триває заздалегідь невідоме випадковий час.
РІШЕННЯ. Можливі стану системи: S 0 - обидва вузла справні; S 1 - перший вузол ремонтується, другий справний; S 2 - другий вузол ремонтується, перший справний; S 3 - обидва вузла ремонтуються.
Стрілка, напрямки, наприклад, з S 0 в S 1, означає перехід системи в момент відмова першого вузла, з S 1 в S 0 - перехід в момент закінчення ремонту цього вузла.
На графі відсутні стрілки з S 0 в S 3 і з S 1 в S 2. Це пояснюється тим, що виходи вузлів з ладу передбачається незалежними один від одного і, наприклад, імовірностями одночасного виходу з ладу двох вузлів (перехід з S 0 в S 3) або одночасного закінчення ремонтів двох вузлів (перехід з S 3 в S 0) можна знехтувати.
Стаціонарні випадкові процеси
Випадковий процес Х (t) називають стаціонарним у вузькому сенсі, якщо
F (x 1, ..., x n; t 1, ..., t n) = F (x 1, ..., x n; t 1 + Δ, ..., t n + Δ)
При довільних
n ≥ 1, x 1, ..., x n, t 1, ..., t n; Δ; t 1 € T, t i + Δ € T.
Тут F (x 1, ..., x n; t 1, ..., t n) - n-мірний функція розподілу випадкового процесу Х (t).
Випадковий процес Х (t) називають стаціонарним у широкому сенсі, якщо
m (t) = m (t + Δ), K (t, t ') = K (t + Δ, t' + Δ)
(T € T, t '€ T, t + Δ € T), t' + Δ € T)
Очевидно, що з стаціонарності у вузькому сенсі слід стаціонарність у широкому сенсі.
З формул:
m (t) = m (t + Δ), K (t, t ') = K (t + Δ, t' + Δ)
(T € T, t '€ T, t + Δ € T), t' + Δ € T)
Слід, що для процесу, стаціонарного в широкому сенсі, можна записати
m (t) = m x (0) = const;
D (t) = K (t, t) = K (0,0) = const;
K (t, t ') = K (t - t', 0) = K (0, t '- t)
Таким чином, для процесу, стаціонарного в широкому сенсі, математичне очікування і дисперсія не залежать від часу, а K (t, t ') являє собою функцію вида:
K (t, t ') = k (τ) = k (- τ), τ = t' - t.
Видно, що k (τ) - парна функція, при цьому
K (0) = В = σ 2; | k (τ) | ≤ k (0); Σ Σ ά i α j k (t i - t j) ≥ 0
Тут D - дисперсія стаціонарного процесу
Х (t), α i (I = 1, n) - довільні числа.
Перше рівність системи
K (0) = В = σ 2; | k (τ) | ≤ k (0); Σ Σ ά i α j k (t i - t j) ≥ 0
випливає з рівняння K (t, t ') = k (τ) = k (- τ), τ = t' - t. Перше рівність
K (0) = В = σ 2; | k (τ) | ≤ k (0); Σ Σ ά i α j k (t i - t j) ≥ 0 - простий наслідок нерівності Шварца для перерізів X (t), X (t ') стаціонарного випадкового процесу X (t). Останнє нерівність:
K (0) = В = σ 2; | k (τ) | ≤ k (0); Σ Σ ά i α j k (t i - t j) ≥ 0
Отримують наступним чином:
Σ Σ α i α j k (t i - t j) = Σ Σ K (t i, t j) α i α j = Σ Σ M [(α i X i) (α j X j)] = M [(Σ α i X i ) 2] ≥ 0
Враховуючи формулу кореляційної функції похідної dX (t) / dt випадкового процесу, для стаціонарної випадкової функції X (t) отримаємо
K 1 (t, t ') = M [(dX (t) / dt) * (dX (t') / dt ')] = δ 2 K (t, t') / δ t δ t '= δ 2 k (t '- t) / δ t δ t'
Оскільки
δ k (t '- t) / δ t = (δ k (τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δ k (τ) / δτ,
δ 2 k (t '- t) / δ t δ t' = - (δ 2 k (τ) / δτ 2) * (δτ / δ t ') = - (δ 2 k (τ) / δτ 2)
то K 1 (t, t ') = k 1 (τ) = - (δ 2 k (τ) / δτ 2), τ = t' - t.
Тут K 1 (t, t ') і k 1 (τ) - кореляційна функція першої похідної стаціонарного випадкового процесу X (t).
Для n-й похідної стаціонарного випадкового процесу формула кореляційної функції має вигляд:
K n (τ) = (-1) n * (δ 2 n * k (τ) / δτ 2 n)
Теорема. Стаціонарний випадковий процес X (t) з кореляційною функцією k (τ) безперервний у середньому квадратичному в точці t € T тоді і тільки тоді, коли
Lim k (τ) = k (0)
Для доказу запишемо очевидну ланцюжок рівностей:
M [| X (t + τ) - X (T) | 2] = M [| X (t) | 2] - 2 M [| X (t + τ) X (t) |] + M [X ( t) 2] =
= 2 D -2 k (τ) = 2 [k (0) - k (τ)].
Звідси очевидно, що умова безперервності в середньому квадратичному процесу X (t) в точці t € T
Lim M [| X (t + τ) - X (t) | 2] = 0
Має місце тоді і тільки тоді, коли виконується Lim k (τ) = k (0)
Теорема. Якщо кореляційна функція k (τ) стаціонарного випадкового процесу X (t) неперервна в середньому квадратичному в точці τ = 0, то вона неперервна в середньому квадратичному в будь-якій точці τ € R 1.
Для доказу запишемо очевидні рівності:
k (τ + Δ τ) - k (τ) = M [X (t + τ + Δ τ) X (t)] - M [X (t + τ) X (t)] =
= M {X (t) [X (t + τ + Δ τ) - X (t + τ)]}
Потім, застосовуючи нерівність Шварца до співмножників в фігурної дужки і враховуючи співвідношення:
K (t, t ') = k (τ) = k (- τ), τ = t' - t.
K (0) = В = σ 2; | k (τ) | ≤ k (0); Σ Σ ά i α j k (t i - t j) ≥ 0
Отримаємо:
0 ≤ [k (τ + Δ τ) - k (τ)] 2 ≤ M [X (t) 2] M [| X (t + τ + Δ τ) - X (t + τ) | 2] =
= 2 D [D - k (Δ τ)].
Переходячи до межі при Δ τ → 0 і беручи до уваги умову теореми про безперервність k (τ) в точці τ = 0, а також перше рівність системи
K (0) = В = σ 2, знайдемо
Lim k (τ + Δ τ) = k (τ)
Оскільки тут τ - довільне число, теорему слід вважати доведеною.
Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів
Нехай Х (t) - стаціонарний випадковий процес на відрізку часу [0, T] з характеристиками
M [X (t)] = 0, K (t, t ') = M [X (t) X (t')] = k (τ),
τ = t '- t, (t, t') € T × T.
Ергодична властивість стаціонарного випадкового процесу полягає в тому, що за досить тривалої реалізації процесу можна судити про його математичне сподівання, дисперсії, кореляційної функції.
Більш строго стаціонарний випадковий процес Х (t) будемо називати ергодичним з математичного очікуванню, якщо
Lim M {| (1 / T) ∫ X (t) dt | 2} = 0
Теорема
Стаціонарний випадковий процес Х (t) з характеристиками:
M [X (t)] = 0, K (t, t ') = M [X (t) X (t')] = k (τ),
τ = t '- t, (t, t') € T × T
є ергодичним з математичного очікуванню тоді і тільки тоді, коли
Lim (2 / T) ∫ k (τ) (1 - τ / t) dτ = 0.
Для доказу, очевидно, досить переконатися, що справедливо рівність
M {(1 / T) ∫ X (t) dt | 2} = (2 / T) ∫ k (τ) (1 - τ / t) dτ
Запишемо очевидні співвідношення
C = M {| (1 / T)) ∫ X (t) dt | 2} = (1 / T 2) ∫ ∫ k (t '- t) dt' dt = (1 / T) ∫ dt ∫ k ( t '- t) dt'.
Вважаючи тут τ = t '- t, dτ = dt' та враховуючи умови (t '= T) → (τ = T - t),
(T '= 0) → (τ = - t), отримаємо
С = (1 / T 2) ∫ dt ∫ k (τ) dτ = (1 / T 2) ∫ dt ∫ k (τ) dτ + (1 / T 2) ∫ dt ∫ k (τ) dτ =
= - (1 / T 2) ∫ dt ∫ k (τ) dτ - (1 / T 2) ∫ dt ∫ k (τ) dτ
Вважаючи у першому та другому доданків правої частини цієї рівності відповідно τ =-τ ', d τ = - d τ', τ = T-τ ', d τ = - d τ', знайдемо
С = (1 / T 2) ∫ dt ∫ k (τ) dτ + (1 / T 2) ∫ dt ∫ k (T - τ) dτ
Застосовуючи формулу Дирихле для подвійних інтегралів, запишемо
С = (1 / T 2) ∫ dt ∫ k (τ) dτ + (1 / T 2) ∫ dt ∫ k (T - τ) dτ = (1 / T 2) ∫ (T - τ) k (τ) dτ + (1 / T 2) ∫ τk (T - τ) dτ
У другому доданку правої частини можна покласти τ '= T-τ, d τ = - d τ', після чого матимемо
С = (1 / Т 2) ∫ (Т - τ) k (τ) dτ - (1 / T 2) ∫ (T - τ) k (τ) dτ = 2 / T ∫ (1 - (τ / T) ) k (τ) d τ
Звідси і з визначення констант видно, що рівність
M {(1 / T) ∫ X (t) dt | 2} = (2 / T) ∫ k (τ) (1 - τ / t) dτ
Справедливо.
Теорема
Якщо кореляційна функція k (τ) стаціонарного випадкового процесу X (t) задовольняє умові
Lim (1 / T) ∫ | k (τ) | dt = 0
Те X (t) є ергодичним з математичного очікуванню.
Дійсно, з огляду на співвідношення
M {(1 / T) ∫ X (t) dt | 2} = (2 / T) ∫ k (τ) (1 - τ / t) dτ
Можна записати
0 ≤ (2 / Т) ∫ (1 - τ / t) k (τ) dτ ≤ (2 / T) ∫ (1 - τ / t) | k (τ) | dτ ≤ (1 / T) ∫ | k (τ) | dτ
Звідси видно, що якщо виконано умову, то
Lim (2 / T) ∫ (1 - τ / T) k (τ) dτ = 0
Тепер, беручи до уваги рівність
С = (1 / Т 2) ∫ (Т - τ) k (τ) dτ - (1 / T 2) ∫ (T - τ) k (τ) dτ = 2 / T ∫ (1 - (τ / T) ) k (τ) d τ
І умова Lim M {| (1 / T) ∫ X (t) dt | 2} = 0
Ергодичності з математичного очікуванню стаціонарного випадкового процесу X (t), знаходимо, що необхідна доведено.
Теорема.
Якщо кореляційна функція k (τ) стаціонарного випадкового процесу
X (t) интегрируема і необмежено убуває при τ → ∞, тобто виконується умова
При довільному ε> 0, то X (t) - ергодічеськой з математичного очікуванню стаціонарний випадковий процес.
Дійсно, з огляду на вираз
Для Т ≥ Т 0 маємо
(1 / T) ∫ | k (τ) | dτ = (1 / T) [∫ | k (τ) | dτ + ∫ | k (τ) | dτ ≤ (1 / T) ∫ | k (τ) | dτ ε (1 - T 1 / T).
Переходячи до межі при Т → ∞, знайдемо
0 ≤ lim ∫ | k (τ) | dτ = ε.
Оскільки тут ε> 0 - довільна, скільки завгодно мала величина, то виконується умова ергодичності з математичного очікуванню. Оскільки це випливає з умови
Про необмеженій убуванні k (τ), то теорему слід вважати доведеною.
Доведені теореми встановлюють конструктивні ознаки ергодичності стаціонарних випадкових процесів.
Нехай
X (t) = m + X (t), m = const.
Тоді M [X (T)] = m, і якщо X (t) - ергодічеськой стаціонарний випадковий процес, то умова ергодичності Lim M {| (1 / T) ∫ X (t) dt | 2} = 0 після нескладних перетворень можна представити у вигляді
Lim M {[(1 / T) ∫ X (t) dt - m] 2} = 0
Звідси випливає, що якщо X (t) - ергодічеськой з математичного очікуванню стаціонарний випадковий процес, то математичне сподівання процесу X (t) = m + X (t) наближено може бути обчислено за формулою
M = (1 / T) ∫ x (t) dt
Тут Т - досить тривалий проміжок часу;
x (t) - реалізація процесу X (t) на відрізку часу [0, Т].
Можна розглядати ергодичності стаціонарного випадкового процесу X (t) за кореляційної функції.
Стаціонарний випадковий процес X (t) називається ергодичним за кореляційної функції, якщо
Lim M {[(1 / T) ∫ X (t) X (t + τ) dt - k (τ)] 2]} = 0
Звідси випливає, що для ергодичної за кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу X (t) можна покласти
k (τ) = (1 / T) ∫ x (t) x (t + τ) dt
при досить великому Т.
Виявляється, умова
обмеженості k (τ) досить для ергодичності за кореляційної функції стаціонарного нормально розподіленого процесу X (t).
Зауважимо, випадковий процес називається нормально розподіленим, якщо будь-яка його скінченновимірна функція розподілу є нормальною.
Необхідною і достатньою умовою ергодичності стаціонарного нормально розподіленого випадкового процесу є співвідношення
τ 0: lim (1 / T) ∫ [k (τ) 2 + k (τ + τ 0) k (τ - τ 0)] (1 - τ / T) dτ = 0
Література
Н.Ш. Кремер «Теорія ймовірностей і математична статистика» / ЮНИТИ / Москва 2007.
Ю.В. Кожевников «Теорія ймовірностей і математична статистика» / Машинобудування / Москва 2002.
Б.В. Гнеденко «Курс теорії ймовірностей" / Головна редакція фізико-математичної літератури / Москва 1988.