Парадокси в математиці

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

СПЕЦІАЛЬНІСТЬ: "Фінанси і кредит"
Контрольна робота
З ДИСЦИПЛІНИ: "Математика"
Парадокси в математиці

Зміст
Введення
Глава I. Парадокси в математиці
1.1 Властивість парадоксів
1.2 Усунення і пояснення парадоксів
Глава II. Різноманіття парадоксів
2.1 Парадокс "Брехун"
2.2 Парадокс Греллінга
2.3 Парадокс Беррі
2.4 Парадокси з множинами
2.5 Парадокси-петлі
Глава III. Проблеми парадоксів в математиці
Висновок
Бібліографія


Введення

Парадокс у широкому сенсі - це твердження, різко розходиться з загальноприйнятими, усталеними думками, заперечення того, що представляється "безумовно правильним". Саме грецьке слово, від якого вироблено слово "парадокс", буквально означало "незвичайне, дивне, неймовірне, чудове".
Парадокс у більш вузькому і більш сучасному значенні - це два протилежних твердження, для кожного з яких є представляються переконливими аргументи.
Особливе місце займають парадокси в математиці і логіці, так як "чиста математика" - абстрактна наука, побудована на теоріях, які не здаються очевидними з першого погляду. Тут їх статус глибоких і кардинальних проблем не піддається сумніву. Тим більше, що в математиці, як ні в жодній іншій науці, особлива увага звертається на строгість і логічну послідовність доказів. При цьому часто виникають ситуації, в яких міркування, що застосовуються зовсім недавно і вважаються строгими, будуть вимагати додаткового обгрунтування. Тоді математик просто викладає свої ідеї в тому вигляді, як вони у нього виникають. Проте часто виникає необхідність зробити вибір між методами викладу некоректними, але, можливо, плідними, і коректними, але дозволяють висловити думку лише у зміненому вигляді і притому ціною значних зусиль. Ні той, ні інший шлях не вільний від небезпек. Перший шлях веде до виникнення і розвитку нових теорії і нового рівня абстракції, а, отже, і парадоксів, другий до "загасання науки". Тому дана курсова робота ставить перед собою мету розглянути поняття "парадоксів", їх види, а також проблеми парадоксів в математиці та їх значення для розвитку математичної науки.

Глава I. Парадокси в математиці

Парадокс - це два протилежних твердження, для кожного з яких є представляються переконливими аргументи.
Парадокси були типовими способами постановки проблем в античному мисленні. Спочатку парадокси розглядалися лише як продукт філософських вигадок, тепер наука визнала їх повноправними членами спільноти наукових проблем.
Парадокси виникають в сучасних прикладних науках також часто, як і в древніх. Свого часу (VII ст. До н. Е.) вавілонські жерці-астрологи помітили, що деякі планети часом уповільнюють рух, задкують назад, а потім знову продовжують рух у звичному напрямку. Гераклід Пантійскій зміг пояснити "явище блукаючих світил" за допомогою математичної теорії епіциклу. Але при цьому залишалися інші проблеми - не всі світила вели себе по цій схемі. Довгий час вчені за допомогою своїх теорій (геометрична, механічна) не могли пояснити "дуалізм світла" (XVIII-XIX ст.), Тільки припущення Д.К. Максвелла про електромагнітну природу світла дозволив цю проблему. Таким чином, можна вважати, що парадокси виникають в науці там, де теорія не описує процеси належним чином. Дозвіл таких парадоксальних явищ веде в свою чергу до виникнення нових теорій.

1.1 Властивість парадоксів

Всі парадокси мають одну загальну властивість - самопріменімость (циркулярні). У кожному з них об'єкт, про який йде мова, характеризується за допомогою деякої сукупності об'єктів, до якої він сам належить. Якщо ми виділяємо, наприклад, самого хитрого людини, ми робимо це за допомогою сукупності людей, до якої належить і дана людина. І якщо говоримо: "Це висловлювання помилково", ми характеризуємо цікавить нас висловлювання шляхом посилання на включає його сукупність всіх помилкових висловлювань.
У всіх парадокси має місце самопріменімость понять, а значить, є як би рух по колу, що призводить, врешті-решт, до вихідного пункту. Прагнучи охарактеризувати цікавий для нас об'єкт, ми звертаємося до тієї сукупності об'єктів, яка включає його. Однак виявляється, що сама вона для своєї визначеності потребує в даному об'єкті і не може бути ясним чином зрозуміла без нього. У цьому колі, можливо, і криється джерело парадоксів.

1.2 Усунення і пояснення парадоксів

Слід звернути увагу на одну важливу відмінність. Усунення парадоксів та їх вирішення - це зовсім не одне і те ж.
Усунути парадокс з деякої теорії - значить перебудувати її так, щоб парадоксальне твердження виявилося в ній довести.
Кожен парадокс спирається на велику кількість визначень, припущень і аргументів. Його висновок в теорії представляє собою деяку ланцюжок міркувань. Формально кажучи, можна піддати сумніву будь-яке її ланка, відкинути його і тим самим розірвати ланцюжок і усунути парадокс. У багатьох роботах так і роблять, і цим обмежуються. Але це ще не вирішення парадоксу. Мало знайти спосіб, як його виключити, треба переконливо обгрунтувати запропоноване рішення. Саме сумнів у якомусь кроці, що веде до парадоксу, має бути добре обгрунтовано.
Перш за все, рішення про відмову від якихось логічних засобів, що використовуються при виведенні парадоксального твердження, повинно бути пов'язане з нашими загальними міркуваннями щодо природи логічного доказу та іншими логічними інтуїціями. Якщо цього немає, усунення парадоксу виявляється позбавленим твердих і стійких основ і вироджується в технічну переважно завдання.
Крім того, відмова від якогось припущення, навіть якщо він і забезпечує усунення деякого конкретного парадоксу, зовсім не гарантує автоматично усунення всіх парадоксів. Це говорить про те, що за парадоксами не слід "полювати" поодинці. Виключення одного з них завжди має бути настільки обгрунтовано, щоб з'явилася певна гарантія, що цим же кроком будуть усунені і інші парадокси.
Однак треба мати на увазі, що непродуманий і необережний відмову від дуже багатьох або занадто сильних припущень може призвести просто до того, що вийде хоча і не містить парадоксів, але істотно слабша теорія, яка має тільки приватний інтерес.

Глава II. Різноманіття парадоксів

2.1 Парадокс "Брехун"

Найбільш відомим і, мабуть, найцікавішим з усіх логічних парадоксів є парадокс "Брехун", сформульований грецьким філософом Евбулід з Мілета в IV столітті до н.е.
Є різні варіанти цього парадоксу. У найпростішому варіанті "Брехуна" людина вимовляє всього одну фразу: "Я брешу", або каже: "Висловлення, яке я зараз вимовляю, є хибним". Традиційна лаконічна формулювання цього парадокса говорить: якщо брешуть говорить, що він бреше, то він одночасно бреше і говорить правду.
Даний парадокс можна переформулювати й так. Припустимо, що на лицьовій стороні картки стоять слова: "На іншій стороні цієї картки написане щире висловлення" - і нічого більше. Ясно, що ці слова являють собою осмислене твердження. Перевернувши картку, ми знаходимо на її звороті слова: "На іншій стороні цієї картки написане помилкове висловлення" - і знову ж таки нічого більше. Припустимо, що твердження на лицьовій стороні - істинно. Тоді твердження на звороті має бути істинним і, виходить, затвердження на лицьовій стороні повинне бути помилковим. Але якщо твердження з лицьового боку хибно, тоді твердження на звороті також повинно бути помилковим і, отже, твердження на лицьовій стороні повинне бути істинним. Виходить, що дане твердження не може бути ні істинним, ні помилковим. Але це суперечить принципу виключеного третього. Парадокс приголомшуючий. Він справив величезне враження на греків. Ходить навіть легенда, що він привів до самогубства якогось Філіта Косской. Цей парадокс розбив Аристотель і багато інших логіки, що жили пізніше. Деякі філософи вважали, що оскільки розглядається твердження містить посилання на саму себе, то воно просто не має сенсу, а безглузді висловлювання повинні бути виключені з мови.
З розвитком логіки в ньому почали бачити змішання двох мов: мови, на якому говориться про предмети, що існують у світі, і мови, що служить для опису самого такого "предметного" мови. У нашому звичайному мові ці два рівні не розрізняються.
Було запропоновано інше пояснення, засноване на аналізі однієї досить незвичайною особливості цього висловлювання. Справа в тому, що це висловлювання одночасно є актом дії; причому як раз те, що в цьому висловлюванні стверджується, в той же час стає і дією. Більш того, висловлювання і дію розірвати не можна. Такі висловлювання зустрічаються не так вже й рідко. Наприклад: "Я присягаюся", "Я кажу", "Я брешу", і т.п. Висловлювання такого роду називаються перформативними і до них як вважають деякі автори, не застосовні будь-які оцінки їх істинності. Їх істинність залежить від того, коли, ким і де вони вживаються.
Вище було сказано, що парадокс "Брехун" виникає через змішання двох мов. Як же пов'язаний цей парадокс з ними. Ще античні філософи помітили, що кожне висловлювання природної мови виражає певну думку, але не несе ніякої інформації про те, істинна ця думка чи ні. Більше того, вони показали, що саме це твердження про істинність того чи іншого висловлювання не може бути виражене в природній мові. Міркували вони в такий спосіб. Нехай A 0 є якесь висловлювання, наприклад: "1 січня йшов сніг", і нехай це подія дійсно мала місце. Але так як зі змісту висловлювання А 0 не випливає, що воно істинне, то необхідно додаткове висловлювання A 1: "Вислів A 0 істинно". Неважко, однак, зауважити, що істинність висловлювання A1 теж нізвідки не слід. Тому необхідне нове висловлювання А 2: "Вислів A 1 істинно" і т.д. до нескінченності.
Виходить, що поняття істинності дійсно не виразність засобами природної мови.
Втім, це не зовсім так. Насправді доведено тільки те, що вище описаним способом не можна висловити твердження про істинність висловлювання A 0. Тому залишається питання: "А чи не можна це зробити будь-яким іншим способом?". І взагалі, невже твердження про істинність або хибність якого-небудь конкретного висловлювання не можна сформулювати так, щоб достовірність цього твердження не викликала сумнівів?
Відповісти на це питання вдалося тільки на початку XX століття. До цього часу було усвідомлено, що кожна теорія описує якусь свою, цілком певну предметну область і користується при цьому тільки такими мовними засобами, які для цього необхідні. Якщо, наприклад, взяти арифметику, то її предметною областю є безліч натуральних чисел, а необхідним для опису цієї області мовою є мова, на якому можна говорити про операції і відносинах, заданих на множині натуральних чисел. Як же йде справа з "істинністю" арифметичних висловлювань? Загальноприйняте визначення істинності як відповідності реальному стану справ у даному випадку виявляється недостатньо ясним. По-перше, існують такі висловлювання, безпосередня перевірка істинності яких неможлива або вельми скрутна (це, наприклад, гіпотеза про неможливість існування четвірок Ферма)
По-друге, формалізовані теорії взагалі абстрагуються від практики і виводять свої теореми з одних тільки аксіом. По-третє, з'ясувалося, що навіть після уточнення поняття "істинності", безліч істинних формул арифметики тим не менш виявляється невимовним на предметному мовою арифметики. Це означає, що поняття "істинності" не виразність мовою арифметики. Значить, це поняття належить до іншої мови.
Таким чином, можна прийти до висновку, що в пізнанні існують два рівні - дві ієрархічні щаблі. На першому рівні будується теорія, що описує деяку предметну область (в даному випадку - арифметику). Для опису цієї області використовується спеціальний, заздалегідь фіксований предметний мову. На другому рівні виникає метатеорія, предметом дослідження якої стає раніше створена предметна теорія першого рівня. У метатеорії досліджується, зокрема, питання про "істинності" висловів предметної теорії. Для цієї мети використовується спеціальний метамову.
Предметний мова та метамова - це різні мови, це мови, що відносяться до різних ієрархічних рівнях. Ігнорування цієї обставини неминуче має привести до протиріч. Прикладом може послужити описаний вище парадокс "брехун". Покажемо, що це дійсно так.
З одного боку, пропозиція "Висловлення, яке я зараз вимовляю, помилково" відноситься до метамови, оскільки в ньому йдеться про хибність деякого висловлювання.
З іншого боку, оскільки про якийсь висловлюванні йдеться, що воно помилкове, то висловлювання, хибність якого затверджується, повинна ставитися до предметного мови. Але в даному випадку вислів стверджує хибність самого себе. Отже, саме це висловлювання повинно відноситься до предметного мови. Виходить, що розглядається пропозиція відноситься і до метамови, і до предметного мови. Але це ж різні мови. Ігнорування цієї відмінності і призвело до парадоксу.

2.2 Парадокс Греллінга

Парадокс Греллінга був сформульований в 1908 році математиками Куртом Греллінга (1886-1941) та Леонардом Нельсоном (1882-1927). У цьому парадоксі мова йде про прикметники. Кожне прикметник або саме володіє тим властивістю, яке воно виражає, або - ні. Наприклад, прикметник "російський" (-а, - е, - і) сама є російським, а прикметник "блакитний" (-а, - е, - і) саме, звичайно, блакитним не є. Прикметники першого виду описують самих себе, тобто застосовні до себе. Такі прикметники назвемо "автологічних". Прикметники другого виду не застосовні до себе, їх ми назвемо "гетерологічної". Введемо тепер позначення: прикметники позначимо буквами р, g ,..., а виражаються ними властивості позначимо, відповідно, літерами Р, G, ... .
Пропозиція "Прикметник р застосовно до себе" символічно запишеться у формі Р (р), а пропозиція "Прикметник р не застосовується до себе" запишеться у формі Р (р). Якщо щодо деякого прикметника р встановлено Р (p), то за прийнятим визначенням, прикметник р буде гетерологічної. Позначивши властивість "бути гетерологічної" через G отримаємо: "p (G (p)" (P (p)) (*).
Слово "гетерологічної" саме теж є прикметником. Позначимо це прикметник буквою g. Тоді при р = g з умови (*) отримаємо протиріччя: (g) "G (g).
Це протиріччя знімається, якщо врахувати, що спочатку ми мали тільки прикметники деякого предметного мови, які класифікувалися на автологічних і гетерологічної; прикметник ж "гетерологічної" з'явилося тільки при описі цієї класифікації і, значить, відноситься до метамови. Тому в умові (*) квантор спільності мав сенс "для всіх прикметників предметного мови" і підстановка р = g була неправомірною.

2.3 Парадокс Беррі

Ще один зовні простий парадокс був зазначений у самому початку нашого століття Д. Беррі, який займав посаду бібліотекаря Оксфордського університету. Пізніше він був опублікований Бертраном Расселом. У російській інтерпретації він звучить так: безліч натуральних чисел нескінченно. Безліч ж тих імен цих чисел, які є в російській мові і містять менше, ніж, припустимо, сто слів, є кінцевим. Це означає, що існують такі натуральні числа, для яких у російською мовою немає імен менш ніж зі ста слів. Серед цих чисел є, очевидно, найменше число. Його не можна назвати допомогою російського вираження, яке містить менше ста слів. Але вираз "найменше натуральне число, для якого не існує в російській мові його складне ім'я, що складається з менш ніж ста слів" є якраз ім'ям цього числа. Це ім'я сформульовано в російській мові і містить лише дев'ятнадцять слів. Очевидний парадокс: названим виявилося те число, для якого немає імені.
Цей парадокс зникає, якщо розрізняти предметний мову і метамову. Справді, у розглянутій фразою мова йде про різних описах названого числа, зроблених на деякій предметному мовою, отже, в цій фразі стверджується, що ці описи повинні містити не менше 100 літер предметного мови; сама ж ця фраза належить метамови і тому може містити і меншу кількість літер.

2.4 Парадокси з множинами

У результаті абстракції неминуче виникають поняття, що відносяться до більш високому ієрархічному рівню, ніж вихідні. Таким є, зокрема, і поняття множини, що є ключовим у сучасній математиці. Щоб у цьому переконатися, уявімо собі, що спостерігаємо стадо, яке складається з п'яти корів. Коли ми говоримо про стадо, ми маємо на увазі безліч цих корів, і ми уявляємо його саме як окремий самостійний предмет. Таким чином, виходить шість предметів: п'ять корів і стадо, яке складається з них. Але якщо нас запитають: "Скільки предметів ви бачите?" - Ми відповімо: "П'ять!". Шостий предмет побачити не можна! Безліч - це предмет, створений нашою думкою. Ми подумки об'єднуємо ці корови і уявляємо собі результат об'єднання як щось ціле, самостійне.
Георг Кантор (1843-1918), творець теорії множин, назвав цей уявний акт "згортанням". У результаті виникає абстрактний, уявний предмет. Від рівня реально існуючих предметів ми піднімаємося на вищий ієрархічний рівень пізнання і потрапляємо у світ абстрактних понять. Продовжуючи процес сходження до все більш і більш абстрактним поняттям, ми одночасно будемо переходити і на нові, більш високі ієрархічні рівні пізнання. Це дуже наочно можна показати наступним чином.
Нехай дано деякий безліч людей, що живуть в одному і тому ж будинку, причому кожен мешканець живе в окремій квартирі. Значить, роль безлічі виконує будинок, а елементами множини є мешканці, які живуть в окремих квартирах цього будинку. Побудуємо тепер безліч всіх підмножин даної множини. Підмножинами очевидно будуть різні будинки, в яких будуть жити відповідні підмножини мешканців первісного будинку. Але так як кожен елемент вихідної безлічі є в той же час і елементом цілого ряду підмножин, то кожен житель первісного будинку повинен жити одночасно й у цілому ряді будинків - підмножин. Це означає, що один і той же житель буде мати квартири в цілому ряді будинків. Якими будуть ці будинки?
Оскільки однією з підмножин є порожня множина, то повинен існувати порожній будинок, в якому ніхто не живе. Це може бути, наприклад, будівля клубу чи театру, або церкву. Одноелементні підмножини будуть відповідати одноквартирні будинки, двоелементний - двоквартирні і т.д.
Припустимо, що побудова будинків-підмножин закінчено. Що ж вийшло? Сукупність будинків, що виникла в результаті нашого побудови, будинком не є. Побудований місто, що складається з будинків. Якщо спочатку ми мали справу з множинами мешканців і називали ці безлічі будинками, то тепер виникло безліч нового виду - безліч будинків і це нове безліч ми, природно, називаємо по-іншому: це місто. Можна тепер йти далі і розглядати безліч всіх підмножин цього міста. Те, що ми отримаємо, не буде містом, це буде щось більш загальне. Можна, наприклад, назвати цю сукупність міст "країною".
Наведений приклад показує, що при сходженні до абстракцій вищого рівня, ми неминуче переходимо і на більш високий ієрархічний рівень. Ігнорування цієї обставини може призвести до виникнення протиріч і парадоксів. Покажемо це на конкретному прикладі.
Розглянемо множину всіх одноелементні множин до і позначимо його через U. Побудуємо тепер безліч E, єдиним елементом якого є U. Значить, E = {U}.
З цього визначення випливає: U є елемент E. Але, оскільки E є одноелементні безліччю, а U - це множина всіх одноелементні множин, E є елемент U.
Таким чином, виявилося, що безліч U, будучи сукупністю одноелементні множин, в той же час утримується в якості елемента в одному зі своїх підмножин. Але цього ж бути не може, так як E і U різні.
Причина суперечності криється знову в ігноруванні ієрархічних відмінностей. Безліч U було безліччю всіх одноелементні множин деякого вихідного ієрархічного рівня, а безліч E було сформовано пізніше; воно відноситься вже до іншого, більш високому ієрархічному рівню. Тому твердження E елемент з U було неправомірним, так як на вихідному ієрархічному рівні безлічі Е не було.
Цей парадокс можна пояснити і невизначеністю змісту слова "все". Якщо слово "все" відноситься до елементів цілком певної множини, то сенс цього терміну досить ясний. А якщо безліч задано недостатньо чітко, якщо його межі розпливчасті, якщо допускається можливість виявлення нових елементів, про існування яких заздалегідь нічого не відомо, що тоді означає "все"? Очевидно, повинен бути уточнений зміст терміну "все", а це якраз і відбувається, коли враховується приналежність предметів до того чи іншого ієрархічному рівню.
Наступний парадокс, що свідчить про необхідність врахування ієрархічних відмінностей, - це знаменитий парадокс Кантора, що полягає в тому, що універсальне, всеосяжне "множина всіх множин" ніякої потужністю володіти не може.
Кантор виходив з того, що кожне безліч А повинно володіти деякою "потужністю". Під "потужністю" він розумів кількісну характеристику множини.
Потужність множини А Кантор позначив через , Відзначаючи двома рисками, що вона виходить в результаті подвійної абстракції: абстракції від природи елементів та абстракції від їх порядку. Безліч всіх підмножин даної множини А (зване також булеаном множини А) означено через Р (А). Кантор довів, що .
Розглянемо тепер множина всіх множин, назвемо його "універсумом" і позначимо через U. З наведеної вище теореми при А = U отримаємо, що .
З іншого боку, оскільки U - це множина всіх множин, то воно повинно мати максимальної потужністю, і, значить, . Вийшло протиріччя.
У здається нерозв'язності цієї суперечності і полягає парадокс Кантора. Насправді цей парадокс все ж дозволимо. Справа в тому, що ми неявним чином припустили, що універсум U є таким же безліччю, як і всі інші множини, і тому теж має деяку потужністю.
Протиріччя ж показує, що воно ніякої потужністю володіти не може. Значить, універсум U безліччю не є. U - це об'єкт, який належить до іншого ієрархічному рівню.

2.5 Парадокси-петлі

Вище було показано, що ігнорування ієрархічних відмінностей призводить до протиріч і парадоксів. Проведені при цьому міркування мають іноді вид дивних петель: виходячи з деякого твердження, що відноситься до певного ієрархічному рівню, ми по ходу міркування потрапляємо на інший ієрархічний рівень і вже на цьому новому рівні якимось дивним чином приходимо до первісного твердженням.
Петля міркування замикається неможливим чином: на новому рівні ми виявляємо то твердження, яке насправді ставиться до початкового ієрархічному рівню. Так вийшло і з парадоксом брехуна.
Парадокс Рассела (Про перукарі) було знайдено Бертраном Расселом (1872-1970). Припустимо, що в деякому селищі немає бородатих людей і всі чоловіки голяться або самі, або у місцевого перукаря. Припустимо також, що в цьому селищі прийнято правило, згідно з яким перукар голить тих і тільки тих, хто не голиться сам. Питається: голить чи перукар самого себе? Виявляється, що ні "так", ні "ні" відповісти не можна. Якщо перукар голить самого себе, то він відноситься до категорії тих, хто голиться сам, а людей цієї категорії, згідно з прийнятим правилом, він не повинен голити. Значить, він не повинен себе голити. Якщо ж перукар не буде голити самого себе, то він відноситься до категорії тих, хто не голиться сам, а таких людей він якраз і повинен голити. Значить, він повинен голитися сам.
Виходить дивна, неможлива петля: якщо перукар голиться сам, то він не повинен голити себе, а якщо він не голить себе, то він, навпаки, повинен голитися сам. Якщо ж він голиться сам, то повторюється попереднє міркування. Виходить дивна, нескінченна зачарована петля, з якої немає виходу. Пояснення ж парадоксу полягає в тому, що при формулюванні правила, яким має керуватися перукар, не були враховані ієрархічні відмінності. Правило повинно відноситься до всіх жителів селища, крім перукаря, так як перукар у даному випадку відноситься до іншої ієрархічної категорії.
Якщо ж не враховувати ієрархічних відмінностей і не уточнювати правило, яким повинен керуватися перукар, то парадокс говорить тільки про те, що такого перукаря бути не може.
Парадокс Маннурі (Про мера) голландського математика Герріта Маннурі (1867-1956) схожий на попередній парадокс. У цьому парадоксі мова йде про країну, що складається з окремих областей. Кожна з яких має мера, який, проте, не обов'язково повинен жити в тій же області, якою він керує. На підставі цього положення всіх мерів можна розділити на дві категорії. До однієї з них відносяться ті мери, які живуть в тій же області, якої вони управляють, - їх ми назвемо "хорошими"; до іншої відносяться всі ті, які не живуть в тій області, якої вони управляють, - цих ми назвемо "поганими ".
Відомо також, що президент країни виділив для поганих мерів окрему область і видав наказ, який зобов'язував всіх поганих мерів переселитися саме в цю нову область. Крім того у наказі було сказано, що в новій області ніхто крім поганих мерів проживати не може. Очевидно, нова область повинна була мати і свого мера. У зв'язку з цим питається: яким буде цей мер - добрим чи поганим?
Якщо він хороший, то він повинен жити в тій області, якою він керує, але там він жити не може, оскільки ця область створена тільки для поганих мерів, а він, за припущенням, хороший.
Якщо ж він поганий, то з одного боку з визначення поняття "поганий" випливає, що він не повинен жити в тій області, якою він керує, а з іншого боку він повинен жити саме в цій області, так як вона спеціально створена для поганих мерів .
Таким чином, виникає та ж сама нерозв'язна ситуація: мер особливої ​​області не може бути ні хорошим, ні поганим, і не може жити ні в самій цій області, ні поза нею. У чому ж справа?
Причина парадоксу в тому, що ієрархічні рівні знову опинилися поплутаними. У даному випадку всі жителі розглянутого держави розпадаються на три категорії: звичайні громадяни, мери звичайних областей, і мер тієї особливої ​​області, в якій живуть усі погані мери.
Мер особливої ​​області суттєво відрізняється від інших мерів: звичайні мери управляють громадянами, а мер особливої ​​області управляє мерами - це новий, більш високий ієрархічний рівень. Властивості "бути поганим мером" і "бути хорошим мером" придатні тільки для характеристики звичайних мерів, а мер особливої ​​області відноситься до іншої категорії, - його характеризують інші властивості, і тому безглуздо питати, хороший він, чи поганий. Виявлене протиріччя якраз і показує, що він не може бути ні тим, ні іншим.
Принципова відмінність у властивостях елементів різних ієрархічних рівнів на практиці зазвичай відразу ж впадає в очі. Наприклад, всі яблука, що лежать на столі, можуть бути жовтими - це їх загальна властивість. Але безліч цих яблук жовтим бути не може, оскільки безліч яблук - це абстрактний, ідеальний предмет, що відноситься до абсолютно іншого ієрархічному рівню.
Елементи певного ієрархічного рівня або мають деяким, природним для них властивістю, або ні. Нічого іншого бути не може. Третього не дано. Тому, коли виявляється елемент, який не може володіти; цим властивістю і в той же час не може не володіти ним, а третього не дано, то це протиріччя здається нерозв'язним. Але це тільки здається протиріччя. Третє все ж дано! Розглянутий елемент насправді ставиться до іншої категорії і має інші властивості.
Властивості елементів різних ієрархічних рівнів абсолютно різні - вони не зводяться один до одного. Властивості елементів більш високого рівня не можна визначити, не можна пояснити, не можна звести до властивостей елементи будь-якого іншого рівня. Таким чином, можна сказати, що розглянуті парадокси виникають внаслідок ігнорування ієрархічних відмінностей.
Слід зауважити, що в кожному з розглянутих парадоксів є неусвідомлене і до того ж неправомірне припущення. Саме воно і призводить до протиріччя. Тому парадокс насправді слід розглядати як доказ помилковості прийнятого припущення. Тут, по суті, має місце доказ "від протилежного".

Глава III. Проблеми парадоксів в математиці

Відкриття Кантора пов'язані приблизно до 1873 р. і поступово оформилися в самостійну галузь математики, спочатку натрапили на недовіру і навіть прямий антагонізм багатьох математиків і байдужість з боку переважної більшості філософів. Тільки на початку дев'яностих років теорія множин увійшла в моду, і була, понад всякі очікування, широко застосовуватися в аналізі та геометрії. Але в той самий момент, коли сміливе бачення Кантора, здавалося, з тріумфом досягло кульмінації, коли його результати взяли остаточний систематизований вигляд, він зіткнувся з першим із таких парадоксів. Це відбулося в 1895 р. Кантор не був здатний в той час запропонувати вирішення цього парадоксу, ситуація не здавалася надто серйозною: цей перший парадокс виникав у досить спеціальної області теорії цілком упорядкованих множин, і, ймовірно, була надія, що легкий перегляд доказів теорем, входять в цю область, міг би врятувати становище, як це не раз бувало раніше при аналогічних обставинах.
Цьому оптимізмові, однак, завдано рішучого удару. У 1902 р. Бертран Рассел вразив філософів і математиків, вказавши на парадокс, що відноситься до самих початків теорії множин і показував, що в підставах цієї дисципліни щось не гаразд. Але парадокс Рассела потряс основи не тільки теорії множин: в небезпеці опинилася і сама логіка. Треба було лише легка зміна у формулюванні, щоб перевести парадокс Рассела в протиріччя, яке можна було б сформулювати у термінах самих основних логічних понять. Ніколи раніше парадокси не виникали на такому елементарному рівні, зачіпаючи так сильно найфундаментальніші поняття двох самих "точних" наук - логіки і математики.
Парадокс Рассела з'явився істинним потрясінням для тих небагатьох мислителів, які займалися проблемами обгрунтування на рубежі минулого і нинішнього століть. Дедекінд у своїх глибоких дослідженнях про природу і призначення чисел поклав в основу арифметики ставлення приналежності - його метод "ланцюгів" може навіть бути взятий за основу в теорії цілком упорядкованих множин - і використовував поняття множини в його повному канторівскої сенсі для доказу існування нескінченних множин. Внаслідок удару, нанесеного йому парадоксом Рассела, Дедекінд на деякий час припинив публікацію своїх досліджень, основу яких він вважав розхитаною.
Ще більш трагічною була доля Фреге. Він вважав, що основним питанням, на яке потрібно відповісти при обгрунтуванні арифметики, є питання про те, завдяки чому ми маємо право вважати числа певними, конкретними предметами. Адже "чисельність" безлічі - це властивість, а не предмет, і тим не менш ми оцінюємо чисельність за допомогою натурального числа, сприйманого нами саме як предмет. Відбувається опредметнення: властивість перетворюється на предмет. Значить, укладає Фреге, без оператора опредметнення не обійтися. І Фреге формулює "Основний закон": кожної функції f відповідає її графік Гf. Таким чином, у предметну область крім вихідних, початкових предметів, що позначаються "Істина" (І) і "Брехня" (Л), потрапляють і нові предмети - графіки функцій.
Фреге хотів сконструювати універсальну предметну область, в якій всі предмети були б абсолютно "рівноправні". Але саме це і призвело до змішування ієрархій. Адже предмети з деякого множини і функції, визначені на цій множині, - це різні речі, пов'язані з абсолютно різних ієрархічних рівнях. Немає нічого дивного в тому, що багато математиків, тільки-тільки почали сприймати теорію множин як повноправного члена спільноти математичних наук, змінили свою позицію.
Минуло близько століття з тих пір, як почалося жваве обговорення парадоксів. З плином часу відношення до парадоксів стало більш спокійним і навіть більш терпимим, ніж у момент їх виявлення. Справа не тільки в тому, що парадокси стали чимось звичним. І, зрозуміло, не в тому, що з ними змирилися. Вони все ще залишаються в центрі уваги логіків і математиків, пошуки їх рішень активно тривають.
Ситуація змінилася перш за все тому, що парадокси виявилися, так би мовити, локалізованими. Вони знайшли своє певне, хоча й неспокійне місце в широкому спектрі логічних досліджень. Стало ясно, що абсолютна строгість, якою вона малювалася в кінці минулого століття і навіть іноді на початку нинішнього, - це в принципі недосяжний ідеал.
Було усвідомлено також, що немає однієї-єдиної, що стоїть окремо проблеми парадоксів. Проблеми, пов'язані з ними, відносяться до різних типів і зачіпають, по суті, всі основні розділи логіки й математики. Виявлення парадоксу примушує глибше проаналізувати наші логічні інтуїції і зайнятися систематичної переробкою основ логіки і математики. При цьому прагнення уникнути парадоксів не є ні єдиною, ні навіть, мабуть, головним завданням. Вони є хоча і важливим, але тільки приводом для роздумів над центральними темами математики та логіки. Якщо порівняти парадокси з особливо виразними симптомами хвороби, можна сказати, що прагнення негайно виключити парадокси було б подібно бажанням зняти такі симптоми, не особливо дбаючи про саму хворобу. Потрібно не просто дозвіл парадоксів, необхідно їх пояснення, поглиблює наші уявлення про логічні закономірності мислення.

Висновок

Таким чином:
Парадокс у широкому сенсі - це твердження, різко розходиться з загальноприйнятими, усталеними думками, заперечення того, що представляється "безумовно правильним".
Парадокс у більш вузькому і більш сучасному значенні - це два протилежних твердження, для кожного з яких є представляються переконливими аргументи.
Всі парадокси мають одну загальну властивість - самопріменімость або циркулярно.
Парадокси виникають в науці там, де теорія не описує процеси належним чином. Дозвіл таких парадоксальних явищ веде в свою чергу до виникнення нових теорій.
Усунути парадокс з деякої теорії - значить перебудувати її так, щоб парадоксальне твердження виявилося в ній довести.
Рішення про відмову від якихось логічних засобів, що використовуються при виведенні парадоксального твердження, повинно бути пов'язане з загальними міркуваннями щодо природи логічного доказу та іншими логічними інтуїціями.
Проблеми, пов'язані з парадоксами, відносяться до різних типів і зачіпають всі основні розділи логіки й математики. Потрібно не просто дозвіл парадоксів, необхідно їх пояснення, поглиблює уявлення про логічні закономірності мислення.

Бібліографія

1. Бурбакі Н. Нариси з історії математики. - М., 1963.
2. Івлєв Ю.В. Логіка. - М., 2004.
3. Кантор Г. Праці з теорії множин. - М., 1985.
4. Мадер В.В. Введення в методологію математики. - М., 1994.
5. Мадер В.В. Про логіко-арифметичної концепції Готлоба Фреге / / Історико-математичні дослідження, вип.30. - М., 1986.
6. Медведєв Ф.А. Розвиток теорії множин у XIX ст. - М., 1965.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
67.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Софізми в математиці
Поняття евристики в математиці
Застосування ТЗН у математиці
Інтерпретації існування в математиці
Використання програмування в математиці
Роль простих чисел в математиці
Поняття випадкового процесу в математиці
Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці
Реалізація рівневої диференціації при навчанні математиці
© Усі права захищені
написати до нас