ПОЗИЦІЙНІ ЛАНКИ
ВСТУП
Позиційні ланки - це такі ланки, в яких вихідна і вхідна величини в сталому режимі пов'язані лінійною залежністю y (t) = kg (t). Відповідно, перехідна функція буде мати вигляд
W (s) = k ,
де N (s), L (s) - многочлени.
1. ІДЕАЛЬНЕ підсилювальні (Безінерційний) ЛАНКА
1. Дане ланка описується таким рівнянням:
a o y (t) = b o g (t) (1)
Коефіцієнти мають таке значення:
a o = 2
b o = 4
Запишемо рівняння у стандартній формі. Для цього розділимо (1) на a o:
y (t) = g (t)
y (t) = kg (t) (2),
де k = -Коефіцієнт передачі.
Запишемо вихідне рівняння операторної формі, використовуючи підстановку p = . Одержимо:
y (t) = kg (t) (3)
2. Отримаємо передавальну функцію для ідеальної ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа:
y (t) = Y (s)
g (t) = G (s)
За визначенням передатна функція знаходиться як відношення вихідного сигналу до вхідного. Тоді рівняння (2) матиме вигляд:
Y (s) = kG (s)
W (s) = k (4)
3. Знайдемо вирази для перехідної функції та функції ваги. За визначенням аналітичним виразом перехідної функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто g (t) = 1. Тоді
h (t) = k1 (t) (5)
Функцію ваги можна отримати диференціюванням перехідної функції:
w (t) = = K d (t) (6)
4. Побудуємо графіки перехідної функції та функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі і тимчасові характеристики:
k = 2
h (t) = 2 × 1 (t)
w (t) = 2 × d (t)
Перехідна функція являє собою ступінчасту функцію з кроком k = 2, а функція ваги - імпульсну функцію, площа якої дорівнює k = 2.
5. Отримаємо частотну передавальну функцію, замінивши в передавальної функції (4) s на j w:
W (s) = k
W (j w) = k (7)
W (j w) = U (w) + jV (w)
U (w) = k
V (w) = 0
6. Отримаємо аналітичні вирази для частотних характеристик. За визначенням амплітудна частотна характеристика (АЧХ) - це модуль частотної передавальної функції, тобто
A (w) = ½ W (j w) ½
A (w) = k (8)
Фазова частотна характеристика (ФЧХ) - це аргумент частотної передавальної функції, тобто
j (w) = argW (j w)
j (w) = 0 (9)
Для побудови логарифмічних частотних характеристик обчислимо
L (w) = 20lg A (w)
L (w) = 20lgk
7. Побудуємо графіки частотних характеристик. Для цього спочатку отримаємо їх чисельні значення.
k = 2
A (w) = 2
j (w) = 0
L (w) = 20lg2
U (w) = 2
V (w) = 0
Висновок: Прикладом розглянутого ланки може бути механічний редуктор, дільник напруги, індукційні датчики і т.д. Але бееинерціонное ланка є деякою ідеалізацією реальних ланок. Насправді жодної ланка не може рівномірно пропускати всі частоти від нуля до нескінченності. Зазвичай до такого виду зводиться одне з реальних ланок, розглянутих нижче, якщо можна знехтувати впливом динамічних процесів.
2. Підсилювальна ланка з запізненням
1. Дане ланка описується таким рівнянням:
a o y (t) = b o g (t-t) (1)
Коефіцієнти мають таке значення:
a o = 2
b o = 4
t = 0,1 с
Запишемо це рівняння в стандартній формі. Для цього розділимо (1) на a o:
y (t) = g (t-t)
y (t) = kg (t-t) (2),
де k = -Коефіцієнт передачі.
Запишемо вихідне рівняння операторної формі, використовуючи підстановку p = . Одержимо:
y (t) = kg (t-t) (3)
2. Отримаємо передавальну функцію для ідеальної ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа:
y (t) = Y (s)
g (t-t) = G (s) e - t s
За визначенням передатна функція знаходиться як відношення вихідного сигналу до вхідного. Тоді рівняння (2) матиме вигляд:
Y (s) = kG (s) e - t s
W (s) = ke - t s (4)
3. Знайдемо вирази для перехідної функції та функції ваги. ПО визначення аналітичним виразом перехідної функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто g (t) = 1.Тогда
h (t) = y (t) = kg (t-t) = k1 (t) (5)
Функцію ваги можна отримати диференціюванням перехідної функції:
w (t) = = K d (t-t) (6)
4. Побудуємо графіки перехідної функції та функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі і тимчасові характеристики:
k = 2
h (t) = 2 × 1 (t-t)
w (t) = 2 × d (t-t)
Перехідна функція являє собою ступінчасту функцію з кроком k = 2 і запізненням на t = 0,1 с, а функція ваги - імпульсну функцію з таким же запізненням, площа якої дорівнює k = 2.
5. Отримаємо частотну передавальну функцію, замінивши в передавальної функції (4) s на j w:
W (s) = ke - t s
W (j w) = ke-j wt = k (cos tw-jsin tw) (7)
W (j w) = U (w) + jV (w)
U (w) = k cos tw
V (w) =- ksin tw
6. Отримаємо аналітичні вирази для частотних характеристик. За визначенням амплітудна частотна характеристика (АЧХ) - це модуль частотної передавальної функції, тобто
A (w) = ½ W (j w) ½
A (w) = k (8)
Фазова частотна характеристика (ФЧХ) - це аргумент частотної передавальної функції, тобто
j (w) = argW (j w)
j (w) = tw (9)
Для побудови логарифмічних частотних характеристик обчислимо
L (w) = 20lg A (w)
L (w) = 20lgk
7. Побудуємо графіки частотних характеристик. Для цього спочатку отримаємо їх чисельні значення.
k = 2
A (w) = 2
j (w) = 0,1 w
L (w) = 20lg2
U (w) = 2cos0, 1 w
V (w) =- 2sin0, 1 w
3. СТАЛИЙ Аперіодичні ЛАНКА 1-го ПОРЯДКУ
1. Дане ланка описується таким рівнянням:
a 1 + a o y (t) = b o g (t) (1)
Коефіцієнти мають таке значення:
a 1 = 1,24
a o = 2
b o = 4
Запишемо це рівняння в стандартній формі. Для цього розділимо (1) на ao:
+ Y (t) =
g (t)
T 1 + Y (t) = kg (t) (2),
де k = -Коефіцієнт передачі,
T 1 = -Постійна часу.
Запишемо вихідне рівняння операторної формі, використовуючи підстановку p = . Одержимо:
(T 1 p +1) y (t) = kg (t) (3)
2. Отримаємо передавальну функцію для аперіодичної ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа:
y (t) = Y (s)
= SY (s)
g (t) = G (s)
За визначенням передатна функція знаходиться як відношення вихідного сигналу до вхідного. Тоді рівняння (2) матиме вигляд:
T 1 sY (s) + Y (s) = kG (s)
W (s) = (4)
3. Знайдемо вирази для перехідної функції та функції ваги. За визначенням аналітичним виразом перехідної функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто g (t) = 1 або за перетвореннями Лапласа
h (t) = H (s)
H (s) = W (s) =
=
Переходячи до оригіналу, отримаємо
h (t) = k × 1 (t) (5)
Функцію ваги можна отримати диференціюванням перехідної функції
w (t) =
або з перетворень Лапласа
w (t) = w (s)
w (s) = W (s) × 1
W (s) = =
Переходячи до оригіналу, отримаємо
w (t) = e
× 1 (t) (6)
4. Побудуємо графіки перехідної функції та функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі, постійні часу і тимчасові характеристики:
k = 2
T 1 = 0.62
h (t) = 2 × 1 (t)
w (t) = 3.2e × 1 (t)
Перехідна функція являє собою експоненту. Множник 1 (t) вказує, що експонента розглядається тільки для позитивного часу t> 0. Функція ваги - також експонента, але зі стрибком в точці t = 0 на величину .
5. Отримаємо частотну передавальну функцію, замінивши в передавальної функції (4) s на j w:
W (s) =
W (j w) = (7)
W (j w) = U (w) + jV (w) = =
-J
U (w) =
V (w) =
6. Отримаємо аналітичні вирази для частотних характеристик. За визначенням амплітудна частотна характеристика (АЧХ) - це модуль частотної передавальної функції, тобто
A (w) = ½ W (j w) ½
A (w) = =
(8)
Фазова частотна характеристика (ФЧХ) - це аргумент частотної передавальної функції, тобто
j (w) = argW (j w)
j (w) = arctgk - arctg
j (w) =- arctgT 1 (9)
Для побудови логарифмічних частотних характеристик обчислимо
L (w) = 20lg A (w)
L (w) = 20lg
7. Побудуємо графіки частотних характеристик. Для цього спочатку отримаємо їх чисельні значення.
k = 2
T 1 = 0.62
A (w) =
j (w) = arctg0.62 w
L (w) = 20lg
U (w) =
V (w) =
4. ХИТЛИВИЙ Аперіодичні ЛАНКА 1-ГО ПОРЯДКУ
1. Дане ланка описується таким рівнянням:
a 1 - a o y (t) = b o g (t) (1)
Коефіцієнти мають таке значення:
a 1 = 1,24
a o = 2
b o = 4
Запишемо це рівняння в стандартній формі. Для цього розділимо (1) на ao:
-Y (t) =
g (t)
T -Y (t) = kg (t) (2),
де k = -Коефіцієнт передачі,
T = -Постійна часу.
Запишемо вихідне рівняння операторної формі, використовуючи підстановку p = . Одержимо:
(T p-1) y (t) = kg (t) (3)
2. Отримаємо передавальну функцію для аперіодичної ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа:
y (t) = Y (s)
= SY (s)
g (t) = G (s)
За визначенням передатна функція знаходиться як відношення вихідного сигналу до вхідного. Тоді рівняння (2) матиме вигляд:
T sY (s)-Y (s) = kG (s)
W (s) = (4)
3. Знайдемо вирази для перехідної функції та функції ваги. За визначенням аналітичним виразом перехідної функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто g (t) = 1 або за перетвореннями Лапласа
h (t) = H (s)
H (s) = W (s) =
=
Переходячи до оригіналу, отримаємо
h (t) = k × 1 (t) (5)
Функцію ваги можна отримати диференціюванням перехідної функції
w (t) =
або з перетворень Лапласа
w (t) = w (s)
w (s) = W (s) × 1
W (s) = =
Переходячи до оригіналу, отримаємо
w (t) = e
× 1 (t) (6)
4. Побудуємо графіки перехідної функції та функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі, постійні часу і тимчасові характеристики:
k = 2
T = 0.62
h (t) = 2 × 1 (t)
w (t) = 3.2e × 1 (t)
Перехідна функція являє собою експоненту. Множник 1 (t) вказує, що експонента розглядається тільки для позитивного часу t> 0. Функція ваги - також експонента, але зі стрибком в точці t = 0 на величину .
5. Отримаємо частотну передавальну функцію, замінивши в передавальної функції (4) s на j w:
W (s) =
W (j w) = (7)
W (j w) = =
j
= U (w) + jV (w)
U (w) =
V (w) =
6. Отримаємо аналітичні вирази для частотних характеристик. За визначенням амплітудна частотна характеристика (АЧХ) - це модуль частотної передавальної функції, тобто
A (w) = ½ W (j w) ½
A (w) = =
(8)
Фазова частотна характеристика (ФЧХ) - це аргумент частотної передавальної функції, тобто
j (w) = argW (j w)
j (w) = arctgk - arctg
j (w) =- arctg (-T w) (9)
Для побудови логарифмічних частотних характеристик обчислимо
L (w) = 20lg A (w)
L (w) = 20lg
7. Побудуємо графіки частотних характеристик. Для цього спочатку отримаємо їх чисельні значення.
k = 2
T = 0.62
A (w) =
j (w) =- arctg (-0.62 w)
L (w) = 20lg
U (w) =
V (w) =
5. Аперіодичні ЛАНКА 2-ГО ПОРЯДКУ
1. Дане ланка описується таким рівнянням:
a 2 + A 1
+ a o y (t) = b o g (t) (1)
Коефіцієнти мають таке значення:
a 2 = 0,588
a 1 = 50,4
a o = 120
b o = 312
Запишемо це рівняння в стандартній формі. Для цього розділимо (1) на ao:
+
+ Y (t) =
g (t)
+ T 1
+ Y (t) = kg (t) (2),
де k = -Коефіцієнт передачі,
T 1 = , T 2 2 =
-Постійні часу.
Якщо коріння характеристичного рівняння для диференціального рівняння 2-го порядку речовинні (це виконується при T 1> 2T 2), то воно є апериодическим 2-го порядку. Перевіримо це для нашого рівняння:
T 1 = 0,42
2T 2 = 0,14
0,42> 014, отже, дане рівняння - апериодическое.
Запишемо вихідне рівняння операторної формі, використовуючи підстановку p = . Одержимо:
( p 2 + T 1 p +1) y (t) = kg (t) (3)
2. Отримаємо передавальну функцію для коливального ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа:
y (t) = Y (s)
= SY (s)
= S 2 Y (s)
g (t) = G (s)
За визначенням передатна функція знаходиться як відношення вихідного сигналу до вхідного. Тоді рівняння (2) матиме вигляд:
s 2 Y (s) + T 1 sY (s) + Y (s) = kG (s)
W (s) = (4)
3. Знайдемо вирази для перехідної функції та функції ваги. За визначенням аналітичним виразом перехідної функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто g (t) = 1 або за перетвореннями Лапласа
h (t) = H (s)
H (s) = W (s) =
=
,
Де T 3,4 =
Розклавши на елементарні дроби праву частину цього виразу, отримаємо
H (s) =
=
Переходячи до оригіналу, отримаємо
h (t) = k × 1 (t) =
k × 1 (t) (5)
Функцію ваги можна отримати диференціюванням перехідної функції
w (t) =
або з перетворень Лапласа
w (t) = w (s)
w (s) = W (s) × 1 = =
Розклавши на елементарні дроби праву частину цього виразу, отримаємо
w (s) =
=
Переходячи до оригіналу, отримаємо
w (t) = =
= (6)
4. Побудуємо графіки перехідної функції та функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі, постійні часу і тимчасові характеристики:
5. Отримаємо частотну передавальну функцію, замінивши в передавальної функції (4) s на j w:
W (s) =
W (j w) = (7)
Виділимо речову та уявну частини:
W (j w) = =
U (w) =
V (w) =
6. Отримаємо аналітичні вирази для частотних характеристик. За визначенням амплітудна частотна характеристика (АЧХ) - це модуль частотної передавальної функції, тобто
A (w) = ½ W (j w) ½
A (w) = =.. (8)
Фазова частотна характеристика (ФЧХ) - це аргумент частотної передавальної функції, тобто
j (w) = argW (j w)
Для побудови логарифмічних частотних характеристик обчислимо
L (w) = 20lg A (w)
7. Побудуємо графіки частотних характеристик. Для цього спочатку отримаємо їх чисельні значення.
6. Коливальні (СТАЛИЙ) ЛАНКА
1. Дане ланка описується таким рівнянням:
a 2 + A 1
+ a o y (t) = b o g (t) (1)
Коефіцієнти мають таке значення:
a 2 = 0,588
a 1 = 0,504
a o = 12
b o = 31,20
Запишемо це рівняння в стандартній формі. Для цього розділимо (1) на ao:
+
+ Y (t) =
g (t)
+ T 1
+ Y (t) = kg (t) (2),
де k = -Коефіцієнт передачі,
T 1 = , T 2 2 =
-Постійні часу.
Якщо коріння характеристичного рівняння для диференціального рівняння 2-го порядку комплексні (це виконується при T 1 <2T 2), то воно є коливальним. Перевіримо це для нашого рівняння:
T 1 = 0,042
2T 2 = 0,14
0,042 <014, отже, дане рівняння - коливальний.
Уявімо дане рівняння в наступному вигляді:
нехай T 2 = T, .
Тоді рівняння (2):
Тут T - постійна часу, x - декремент загасання (0 <x <1).
Запишемо вихідне рівняння операторної формі, використовуючи підстановку p = . Одержимо:
( p 2 +2 x Tp +1) y (t) = kg (t) (3)
2. Отримаємо передавальну функцію для коливального ланки. Скористаємося перетвореннями Лапласа:
y (t) = Y (s)
= SY (s)
= S 2 Y (s)
g (t) = G (s)
За визначенням передатна функція знаходиться як відношення вихідного сигналу до вхідного. Тоді рівняння (2) матиме вигляд:
s 2 Y (s) +2 x T sY (s) + Y (s) = kG (s)
W (s) = (4)
3. Знайдемо вирази для перехідної функції та функції ваги. За визначенням аналітичним виразом перехідної функції є рішення рівняння (2) при нульових початкових умовах, тобто g (t) = 1 або за перетвореннями Лапласа
h (t) = H (s)
H (s) = W (s) =
Розклавши на елементарні дроби праву частину цього виразу, отримаємо
H (s) = =
=
Замінимо в цьому виразі ,
. Тоді
H (s) = =
=
Переходячи до оригіналу, отримаємо
h (t) = k =
= K × 1 (t) (5)
Функцію ваги можна отримати диференціюванням перехідної функції
w (t) =
або з перетворень Лапласа
w (t) = w (s)
w (s) = W (s) × 1 = =
=
=
Переходячи до оригіналу, отримаємо
w (t) = (6)
4. Побудуємо графіки перехідної функції та функції ваги. Підставляючи вихідні дані, обчислимо коефіцієнт передачі, постійні часу і тимчасові характеристики:
5. Отримаємо частотну передавальну функцію, замінивши в передавальної функції (4) s на j w:
W (s) =
W (j w) = (7)
Виділимо речову та уявну частини:
W (j w) =
U (w) =
V (w)
6. Отримаємо аналітичні вирази для частотних характеристик. За визначенням амплітудна частотна характеристика (АЧХ) - це модуль частотної передавальної функції, тобто
A (w) = ½ W (j w) ½
A (w) = =
(8)
Фазова частотна характеристика (ФЧХ) - це аргумент частотної передавальної функції, тобто
j (w) = argW (j w)
j (w) = argk - arg (2 x Tj w - T 2 w 2 +1) = - arctg
j (w) = - arctg (9)
Для побудови логарифмічних частотних характеристик обчислимо
L (w) = 20lg A (w)
L (w) = 20lg