Позитивні і обмежені півкільця

Випускна кваліфікаційна робота
Позитивні і обмежені півкільця

Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
Глава 1. Основні поняття теорії півкілець ............................................. 4
1.1. Визначення півкільця. Приклади ................................................. . 4
1.2. Дистрибутивні решітки ................................................ .................... 5
1.3. Ідеали півкілець ................................................ ............................... 6
Глава 2 Позитивні і обмежені півкільця .................................. 7
2.1. Визначення та приклади позитивних і обмежених півкілець 7
2.2. Основні властивості позитивних і обмежених півкілець ..... 7
Бібліографічний список ................................................ ........................... 16

Введення
Теорія півкілець - це розділ сучасної алгебри, узагальнюючий як кільця, так і дистрибутивні решітки. Поняття півкільця виникло в 30-х роках минулого століття. Як самостійна теорія півкільця почали вивчатися в 50-і роки. Особливо інтенсивно теорія півкілець розвивається останні 20 років, що викликано не тільки теоретичним інтересом, а й численними її додатками.
Метою даної роботи є вивчення класів позитивних і обмежених півкілець, розгляд основних властивостей даних алгебраїчних об'єктів, частина з яких доводиться автором роботи самостійно; наведені приклади півкілець.
Робота складається з 2 розділів. У першу главу увійшли основні визначення і факти, на які спирається ця робота. Друга - основна частина всієї роботи, в ній розглянуто визначення та властивості позитивних і обмежених півкілець, наведені приклади, доведені деякі теореми.

Глава I. «Основні поняття теорії півкілець»
1.1. Визначення півкільця. Приклади
Визначення півкільця: непорожнє безліч S з бінарними операціями + і · називається півкільцем, якщо виконуються наступні аксіоми:
1. (S, +) - комутативне напівгрупа з нейтральним елементом 0;
· Асоціативність: ;
· Комутативність: ;
· Існування нейтрального елемента: .
2. (S, ·) - напівгрупа:
· Асоціативність: ;
3. Множення дистрибутивно щодо складання:
· Ліва дистрибутивність: а (в + с) = ав + ас;
· Права дистрибутивність: (А + в) с = ас + НД
4. Мультиплікативного властивості 0:
· .
Ця аксіоматика з'явилася в 1934 році і її автором є Вандовер.
Півкільце S називається комутативним, якщо операція в ньому коммутативна: .
Півкільце S називається півкільцем з одиницею, якщо в ньому існує нейтральний елемент по множенню, який називається одиницею (1):
Приклади півкілець:
1. <N ,+,·>, де N - множину невід'ємних цілих чисел із звичайними операціями + і ·;
2. <{0 },+,·> - тривіальне півкільце;
3. Двохелементний півкільця: <Z ₂ ,+,·>, <У ,+,·> (в В 1 +1 = 1);
4. Безліч матриць з елементами з півкільця N і операціями + і ;
5. Множини N, Z, Q ^+, Q, R ^+, R і введених на них різних комбінацій операцій: звичайні додавання і множення, максимум і мінімум двох чисел, НОД і НОК, коли вони визначені.
Півкільце з імплікацією називається мультиплікативно (адитивно) скоротливості.
Півкільце, в якому виконується рівність , Називається мультиплікативно (адитивно) Ідемпотентний.
1.2. Дистрибутивні решітки.
Нехай L - довільна множина. Введемо на L ставлення поклавши,
.
Ставленням порядку називається рефлексивне, транзитивне, антисиметричною бінарне відношення на множині L, при цьому безліч L назвемо частково упорядкованим безліччю.
Ставлення на множині L є відношенням порядку.
Нехай M - непорожня підмножина частково впорядкованої множини L . Нижньої гранню множини M називається такий елемент , Що для будь-якого . Нижня межа m множини M називається точною нижньою гранню, якщо , Де n - Довільна нижня грань множини M. Двоїстим чином визначається точна верхня грань.
Частково впорядкована множина L називається гратами, якщо будь-які два елементи мають точну верхню і точну нижню грані; решітка називається дистрибутивної, якщо в ній виконуються дистрибутивні закони:


Крім цього визначення існує ще одне визначення дистрибутивної решітки. Алгебраїчна система L з двома бінарними операціями додавання + і множення ∙ називається гратами, якщо (L, +) і (L, ∙) є Ідемпотентний комутативними напівгрупами і операції пов'язані законами поглинання
, ;
Решітка називається дистрибутивної, якщо для будь-яких , Обмеженою, якщо вона має 0 і 1.
1.3. Ідеали півкілець.
Непорожнє підмножина I півкільця S називається лівим (правим) ідеалом півкільця S, якщо для будь-яких елементів a, b I, s S елементи a + b і sa (as) належать I.
Непорожнє підмножина, що є одночасно лівим і правим ідеалом, називається двостороннім ідеалом або просто ідеалом півкільця. Ідеал, відмінний від півкільця S називається власним. Найменший з усіх (лівих) ідеалів, що містить елемент a S, називається головним (головним лівим) ідеалом, породженим елементом a. Позначається (a) або SaS, односторонні Sa і aS - лівий і правий відповідно. Безліч всіх елементів належать головному ідеалу можна записати так .
Власний ідеал M півкільця S називається максимальним (максимальним правим) ідеалом, якщо тягне M = A або A = S для кожного ідеалу A.
Прикладами ідеалів можуть бути такі підмножини:
1. {0} - нульовий ідеал;
2. S - ідеал, що співпадає з усім півкільцем;
3. Ідеал на півкільці : ;
4. Головний ідеал обмеженою дистрибутивної решітки L, породжений елементом a: .

Глава II «Позитивні і обмежені півкільця»
2.1. Визначення, приклади і основні властивості
Півкільце S з 1 називається позитивним, якщо для будь-якого елемента а S елемент а +1 звернемо в S, тобто .
Прикладами позитивних півкілець служать наступні алгебраїчні системи:
1. обмежені дистрибутивні решітки;
2. півкільця безперервних R ⁺ - значних функцій;
3. множина всіх ідеалів півкільця, з операціями додавання і множення.
Півкільце S називається обмеженим, якщо для будь-якого виконується . Обмежене півкільце - приватний випадок позитивного півкільця.
Приклади обмежених півкілець:
1. обмежені дистрибутивні решітки;
2. множина всіх ідеалів півкільця, з операціями додавання і множення.
2.1.Основние властивості позитивних і обмежених півкілець:
I. Для півкільця S наступні умови рівносильні:
1. S - позитивне півкільце;
2. для будь-якого максимального одностороннього ідеалу M в S і будь-яких a та b S
(A + b M) (A M & b M).
Доказ:
1 2. Нехай для довільних і максимального правого ідеалу M. Припустимо, що , Тоді і для деяких і . Маємо:
.
У лівій частині останнього рівності - елемент з M, тоді як у правій частині оборотний праворуч елемент; протиріччя.
2 1. Нехай виконано 2 і з - довільний елемент з S. Елемент 1 + з не лежить ні в одному максимальному односторонньому ідеалі півкільця S (тому що в противному випадку в силу умови 2 в ідеалі повинен лежати елемент 1, протиріччя), значить, 1 + з звернемо.
II. У позитивному півкільці S справедливі імплікації:

Доказ. Нехай . Оскільки S позитивно, то для x +1 знайдеться деякий , Такий що . Тоді
, Тому що . Отримали y = 1 і значить .
Таким чином ми довели, якщо позитивне півкільце мультиплікативно Ідемпотентний, то воно обмежено,
Тепер, нехай , Тоді , Тобто таке півкільце ще й адитивно Ідемпотентний.
Оскільки виконується для , То для x = 1, також виконується. Зворотно, 1 +1 = 1, множитимемо обидві частини на x і отримаємо необхідне рівність.
III. Півкільце S позитивно тоді і тільки тоді, коли для будь-якого елементу і будь-якого оборотного елементу елемент звернемо.
Доказ.
Півкільце позитивно, отже, елемент - Звернемо. Помножимо оборотний елемент на зворотній, отримаємо зворотний.

У лівій частині оборотний елемент, значить і в правій елемент теж звернемо.
і - Оборотні, тоді їх твір також оборотно , Значить звернемо.
IV. Для комутативне позитивного півкільця S рівносильні наступні умови:
1. S - дистрибутивна решітка.
2.
Доказ.
. Очевидно.
. По властивості 2 слід , Тоді:
і .
Ці умови поряд з асоціативністю, комутативність і Ідемпотентний законами визначають дистрибутивну грати.
V. В обмеженому півкільці одиниця 1 - єдиний оборотний елемент.
Доказ.
Нехай є деякий оборотний елемент u,
і

VI. Нехай a - фіксований елемент півкільця S, тоді кожне з тверджень тягне наступне твердження:
1. A +1 = 1;
2.  
3.
Доказ.
. Доведемо методом математичної індукції по числу n.
I. База. К = 1. (Виконується за умовою).
II. Індуктивне припущення. Нехай для к <n умова виконується, тобто
Розглянемо для k = n
і a +1 = 1

З I і II Слід .
. .
Можна вибрати з усієї кількості N, деяке число, для якого теж даний вираз буде вірно.
Прикладом того, що умова 3 не тягне умова 1 є півкільце матриць . Зафіксуємо елемент , Де . Для n = 2
вірно, але зовсім невірно.
VII. Якщо S - півкільце з мультиплікативним скороченням і адитивно Ідемпотентний, то всі твердження попереднього властивості рівносильні.
Доказ.
Залишилося довести .
Маємо . Додамо до правої та лівої частини вираження рівні елементи :

У силу адитивної Ідемпотентний ми можемо підбирати коефіцієнти перед . Відповідно до биномом Ньютона, підберемо коефіцієнти і отримаємо:

Використовуючи мультипликативную скоротність, отримаємо a +1 = 1. Що й доводить равносильность умов 1 - 3.
VIII. Нехай S - обмежена півкільце, і існує таке , Що для всіх . Тоді:
1. для всіх ;
2. - Комутативне обмежене півкільце з 1, де I - множина всіх мультиплікативних ідемпотентов з S, а операція визначається так:
.
Доказ.
1. Візьмемо .
Тоді , Тому що .
Для доказу знадобиться
Лемма: В обмеженому півкільці
.
Доказ: ММІ за кількістю n в .
I. База. N = 1. З умови обмеженості


II. І.П. n = i -1.

З умови II і обмеженості:

.
За ІП:

З умов I, II отримали, що це рівність вірно для , Лема доведена.
Розглянемо :

Оскільки ступінь дорівнює 2 n -1, то в кожному з складових суму доданків, або (1 група), або (2 група), і тільки так.
Серед складових 1 групи є член . Цей член в сумі з кожним доданком 1 групи буде давати самого себе, за умови і Лемма 1. з групи 1 залишиться тільки елемент
Аналогічно з елементами групи 2, в якій є елемент , Який і залишиться. Отримуємо

2. Перш за все перевіримо замкнутість операцій і + на безлічі I.


(1) Оскільки як адитивної операції вибрано додавання, і всі елементи з півкільця, значить (I, +) - комутативне напівгрупа з нейтральним елементом 0.
(2) Доведемо, що - Комутативне напівгрупа з нейтральним елементом 1:
a). Асоціативність:
Розглянемо елемент




Елемент X складається з таких складових, які отримані при множенні, крім тих які отримані при творі з усіма 1, або з усіма с. Елемент мається на якості співмножники в кожному доданку X, тобто



З іншого боку


Таким чином, праві частини розглянутих тотожностей рівні, значить асоціативність доведена.
b). 1 - нейтральний елемент:

с). Комутативність:
,
1.

2.

З 1 і 2 слід , З причини рівностей правих частин кожного, а значить слід рівність . Комутативність доведена. - Комутативне напівгрупа з нейтральним елементом 1.
(3) Дистрибутивність:


(4)
Всі аксіоми півкільця доведені, а значить - Комутативне півкільце і його елементи - елементи обмеженого півкільця, значить півкільце - обмежена.
IX. Якщо у позитивному півкільці S виконується рівність
,
то S - адитивно Ідемпотентний.
Доказ.

Розглянемо t> 1








Розглянемо t = 1,



...










тому що півкільце позитивно, то в обох частинах оборотні елементи, домножимо на зворотний і отримаємо 1 +1 = 1, помножимо обидві частини на u, отримаємо u + u = u, що й означає адитивну Ідемпотентний.
X. У позитивному півкільці S справедливо наступне тотожність:

Доказ.

Домножимо на зворотний до :
Отримаємо:

Що і потрібно було довести.

Бібліографічний список
1. Чермний, В.В. Півкільця [Текст] / В.В. Чермний - К.: Вид-во ВДПУ, 1997. - Ст.7 - 87.
2. Вечтомов, Є.М. Введення в півкільця [Текст] / О.М. Вечтомов - К.: Видавництво ВГ ПУ, 2000. - Ст.5 - 30.