Міністерство Освіти Російської Федерації
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
«Зредуковані півкільця»
\ Підпис \ ____________
Науковий керівник:
К.фіз.-мат. наук
.
\ Підпис \ ____________
Рецензент:
Д. фіз.-мат. наук, професор
.
\ Підпис \ ____________
Допущений до захисту в ГАК
Зав. кафедрою ___________________.
«___»________________
Декан факультету _______________.
«___»________________
Кіров, 2003.
План.
1. Введення.
2. Основні поняття, леми і пропозиції.
3. Доказ основної теореми.
1.Вступ
Визначення 1. Непорожнє безліч S з бінарними операціями + і × називається півкільцем, якщо виконуються наступні аксіоми:
1. (S, +) - комутативне напівгрупа з нейтральним елементом 0;
2. (S, ×) - напівгрупа з нейтральним елементом 1;
3. множення дистрибутивно щодо складання:
a (b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc
для будь-яких a, b, c Î S;
4. 0a = 0 = a0 для будь-якого a Î S.
Отже, за прийнятим нами визначенню півкільце відрізняється від асоціативного кільця з одиницею відсутністю операції віднімання і саме це викликає основні труднощі при роботі з півкільцями.
У даній роботі розглядається такий клас півкілець, як редуковані півкільця.
Визначення 2. Півкільце S називається редукованим, якщо для будь-яких a, b Î S виконується a = b, як тільки a
Метою даної роботи є доказ наступної теореми.
Теорема. Для будь-якого редуцированного півкільця S рівносильні наступні умови:
1. S слабо ріккартово;
2. "A, b Î S (D (a) Ç D (b) = Æ Þ
3. Всі ідеали O p, P Î S pec S, первинні (еквівалентно, цілком первинні, псевдопрости);
4.
всі ідеали O M, M Î Max S, первинні (еквівалентно, цілком первинні, псевдопрости) і P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S і M Î Max S;
5. Кожен первинний ідеал півкільця S містить єдиний мінімальний первинний ідеал;
6. "A, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);
abc = ab ¢ c Û acb = acb ¢.
Визначення 4. Елемент a Î S називається нільпотентних, якщо в послідовності a, a
Пропозиція 1. Редуцированное півкільце S є симетричним півкільцем без нільпотентов.
Доказ: Нехай ab = ab ¢. Тоді
baba = bab ¢ a і b ¢ aba = b ¢ ab ¢ a,
звідки
baba + b ¢ ab ¢ a = bab ¢ a + b ¢ aba
чи інакше
(Ba)
У силу редуцированность ba = b ¢ a, тобто
ab = ab ¢ Þ ba = b ¢ a. (1)
Аналогічно доводиться ba = b ¢ a Þ ab = ab ¢.
Нехай ab = ab ¢. Тоді за допомогою (1) ba = b ¢ a, звідки bac = b ¢ ac і acb = acb ¢. Значить, маємо:
ab = ab ¢ Þ acb = acb ¢, ba = b ¢ a Þ bca = b ¢ ca. (2)
Нехай зараз abc = abc ¢. Тоді
abc = Ab ¢ c Þ acbc = acb ¢ c Þ acbac = acb ¢ ac Þ acbacb = acb ¢ acb і
acbacb ¢ = Acb ¢ acb ¢ Þ (acb)
Таким же чином доводиться інша імплікація.
Нехай a
Приклад. Розглянемо півкільце S = {0, a, b, 1}, операції в якому задані наступним чином:
Приклад цього півкільця показує, що, по-перше, у визначенні симетричності півкільця імплікації потрібні в обидві сторони, оскільки aa = Ab, але aa ¹ ba. По-друге, S - Півкільце без нільпотентов, більше того, без дільників нуля, а проте симетричним, зокрема, редукованим, воно не є. У цьому проявляється відмінність від кілець, оскільки відомо, що відсутність нільпотентов в кільці тягне кільцеву симетричність.
Визначення 5. Власний двосторонній ідеал P півкільця S називається первинним, якщо AB Í P тягне A Í P або B Í P для будь-яких ідеалів A і B. Первинний ідеал комутативне півкільця називається простим.
Визначення 6. Правий ідеал P півкільця S називається псевдопростим, якщо ab = 0 тягне a Î P або b Î P для "a, b Î S.
Пропозиція 2. Ідеал P півкільця S первинний тоді і тільки тоді, коли для будь-яких елементів a, b Î S \ P знайдеться елемент s Î S такий, що asb Ï P. Якщо S - Комутативне півкільце, то ідеал P простий тоді і тільки тоді, коли a, b Ï P тягне ab Ï P.
Доказ: Нехай P первинний і елементи a, b Ï P. Тоді головні ідеали (a) і (b) не лежать в P, як і їхній твір. Значить, певний елемент t Î aSb не належить P, оскільки t =
Зворотно. Нехай твір ідеалів A і B лежить в P, але A
Затвердження для комутативних випадку очевидно.
Визначення 7. Підмножина T півкільця називається m - системою, якщо 0 Ï T, 1 Î T і для будь-яких a, b Î T знайдеться такий s Î S, що asb Î T.
Приклад. Розглянемо безліч T = {a
Легко побачити, що якщо P - первинний ідеал, то S \ P є m-системою. І хоча додаток до m - системи не зобов'язана бути первинним ідеалом, наступне твердження показує, що між ними існує глибокий зв'язок.
Пропозиція 3. Нехай T - m - система, а J - Довільний ідеал півкільця S, що не перетинається з T. Тоді будь-який максимальний ідеал серед містять J і не перетинаються з T первинний.
Доказ: Нехай P Ê J, P Ç T = Æ і P - максимальний у сімействі ідеалів, що задовольняють цим умовам. Припустимо, що aSb Í P для деяких a, b Ï P. Ідеали P + SaS і P + SbS суворо містять ідеал P, і значить, перетинаються з T. Нехай m Î (P + SaS) Ç T, r Î (P + SbS) Ç T і msr Î T для деякого s Î S. Але, з іншого боку,
msr Î (P + SaS) × (P + SbS) Í P + SaSbS Í P.
Отримали протиріччя, що P перетинається з T. Значить, припущення, що aSb Î P невірно, і P - Первинний ідеал. Пропозиція доведено.
Визначення 8. Власний ідеал M півкільця S називається максимальним ідеалом, якщо M Í A тягне M = A або A = S для кожного ідеалу A.
Пропозиція 4. Максимальний ідеал півкільця первинний.
Доказ: Розглянемо нульової ідеал J і не перетинає з ним m-систему T = {1}. Будь-який максимальний ідеал M півкільця містить J і не перетинається з T, значить, за пропозицією 3 він буде первинним.
Визначення 9. Для будь-якого a Î S безліч
Ann aS = {t Î S: ("s Î S) ast = 0} називається аннулятором елемента a.
Ann aS є двостороннім ідеалом півкільця S.
Ann a = {s Î S: as = 0} - правий ідеал і Ann aS Í Ann a.
Визначення 10. Для будь-якого ідеалу P безліч O p = {s Î S: ($ t Ï P) sSt = 0} = {s Î S: Ann sS
Лемма 1. O p є ідеалом для будь-якого первинного ідеалу P.
Доказ: Нехай a, b Î O p. Тоді aSt = 0 і bSu = 0 для деяких t, u Ï P. У силу первинності P tsu Ï P для відповідного s Î S. Для будь-якого v Î S
(A + b) vtsu = (avt) su + b (vts) u = 0.
Далі, (as) vt = a (sv) t = 0, (sa) vt = s (avt) = s 0 = 0, тому a + b, sa, as Î O p, і O p - ідеал.
Лемма 2. Нехай P Í M - Первинні ідеали півкільця.
Тоді O M Í O p Í P.
Доказ: Нехай a Î O M, тоді aSt = 0 для деякого t Ï M. Оскільки t Ï P, то a Î O p, і значить, O M Í O p. Для будь-якого s Î S 0 = ast Î P. Оскільки P первинний, то a Î P або t Î P, звідси a Î P, і отже, O p Í P.
Лемма 3. Для довільних первинних ідеалів P і P ¢ симметрического півкільця S вірна імплікація:
P Ç P ¢ не містить первинних ідеалів Þ O p
Доказ: Припустимо, що O p Í P ¢. Вважаючи A = S \ P і B = S \ P ¢, розглянемо безліч AB всіляких кінцевих творів елементів з A È B. Покажемо, що AB Ç O p = Æ. У самому справі, якщо s Î AB Ç O p, то sb = 0 для деякого b Î A, тобто {0} Î AB. Оскільки s є твором елементів з A È B, то в силу первинності ідеалів P і P ¢ та властивості симетричних півкілець uv = 0 для відповідних u Î B, v Î A. Звідки u Î O p
Таким чином, AB є m-системою, і значить, існує первинний ідеал Q, що не перетинається з AB і містить O p. А так як A È B Í AB, то P Ç P ¢ Ê Q. Отримали протиріччя з умовою, значить наше припущення не так, і Op
Наслідок 1. Для довільних первинних ідеалів P і P ¢ у симетричній півкільці, якщо O p Í P ¢ , То перетин P і P ¢ містить хоча б один первинний ідеал.
Визначимо безліч (a, b)
Для довільного ідеалу A позначимо
Визначення 11. Півкільце S називається строго полупервічним, якщо для будь-яких елементів a, b Î S виконується
Визначення 12. Перетин rad S всіляких первинних ідеалів в S називається первинним радикалом півкільця S.
Визначення 13. Півкільце називається полупервічним, якщо його первинний радикал дорівнює нулю.
Пропозиція 5. Півкільце S полупервічно тоді і тільки тоді, коли
Доказ: При a = 1 rad S =
Нехай S - полупервічное півкільце і b Î
Наслідок 2. Строго полупервічное півкільце є полупервічним.
Пропозиція 6. Всяке редуцированное півкільце S суворо полупервічно.
Доказ: Нехай c Ï (a, b)
Отримали
Позначимо через S pec S безліч всіх первинних ідеалів півкільця S. Для будь-якого ідеалу A півкільця S покладемо
D (A) = {P Î S pec S: A
Безліч D ({0}) = {P Î S pec S: {0}
D (A) Ç D (B) = {P Î S pec S: A
S pec S є топологічним простором з сімейством відкритих множин виду D (A).
Лемма 4. Для будь-якого ідеалу A полупервічного півкільця S
Доказ: Позначимо через Y праву частину доказуваного рівності. Якщо P Î D (A), тобто A
Зворотно, нехай P Ï
D (A) Ç D (B) = Æ, тоді AB Í rad S = 0, тобто B Í Ann A.
Тоді P не містить Ann A , Інакше P містив би B. Отже, P Ï Y. Отримали Y Í
Лемма 5. Нехай P - Первинний ідеал редуцированного півкільця S. Тоді P = O p Û P - Мінімальний первинний ідеал.
Доказ: Нехай P = O p, P ¢ Î S pec S і P ¢ Í P. Тоді O p Í O P ¢ Í P ¢. Тому P ¢ = P, і P мінімальний.
Зворотно, нехай дано мінімальний первинний ідеал P редуцированного півкільця S. Припустимо, що існує a Î P \ O p. Ступені елемента a утворюють m-систему (0 Ï {a
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
«Зредуковані півкільця»
Роботу виконав студент
математичного факультету\ Підпис \ ____________
Науковий керівник:
К.фіз.-мат. наук
.
\ Підпис \ ____________
Рецензент:
Д. фіз.-мат. наук, професор
.
\ Підпис \ ____________
Допущений до захисту в ГАК
Зав. кафедрою ___________________.
«___»________________
Декан факультету _______________.
«___»________________
Кіров, 2003.
План.
1. Введення.
2. Основні поняття, леми і пропозиції.
3. Доказ основної теореми.
1.Вступ
Визначення 1. Непорожнє безліч S з бінарними операціями + і × називається півкільцем, якщо виконуються наступні аксіоми:
1. (S, +) - комутативне напівгрупа з нейтральним елементом 0;
2. (S, ×) - напівгрупа з нейтральним елементом 1;
3. множення дистрибутивно щодо складання:
a (b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc
для будь-яких a, b, c Î S;
4. 0a = 0 = a0 для будь-якого a Î S.
Отже, за прийнятим нами визначенню півкільце відрізняється від асоціативного кільця з одиницею відсутністю операції віднімання і саме це викликає основні труднощі при роботі з півкільцями.
У даній роботі розглядається такий клас півкілець, як редуковані півкільця.
Визначення 2. Півкільце S називається редукованим, якщо для будь-яких a, b Î S виконується a = b, як тільки a
Метою даної роботи є доказ наступної теореми.
Теорема. Для будь-якого редуцированного півкільця S рівносильні наступні умови:
1. S слабо ріккартово;
2. "A, b Î S (D (a) Ç D (b) = Æ Þ
3. Всі ідеали O p, P Î S pec S, первинні (еквівалентно, цілком первинні, псевдопрости);
4.
5. Кожен первинний ідеал півкільця S містить єдиний мінімальний первинний ідеал;
6. "A, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);
Ця теорема узагальнює факти, доведені в класі кілець ([1]).
2.Основні поняття, леми та пропозиції
Для доказу нашої теореми нам потрібно визначити деякі поняття і вивести декілька фактів.
Визначення 3. Півкільце S називається симетричним, якщо для будь-яких елементів a, b, b ¢, c Î S виконуєтьсяabc = ab ¢ c Û acb = acb ¢.
Визначення 4. Елемент a Î S називається нільпотентних, якщо в послідовності a, a
Пропозиція 1. Редуцированное півкільце S є симетричним півкільцем без нільпотентов.
Доказ: Нехай ab = ab ¢. Тоді
baba = bab ¢ a і b ¢ aba = b ¢ ab ¢ a,
звідки
baba + b ¢ ab ¢ a = bab ¢ a + b ¢ aba
чи інакше
(Ba)
У силу редуцированность ba = b ¢ a, тобто
ab = ab ¢ Þ ba = b ¢ a. (1)
Аналогічно доводиться ba = b ¢ a Þ ab = ab ¢.
Нехай ab = ab ¢. Тоді за допомогою (1) ba = b ¢ a, звідки bac = b ¢ ac і acb = acb ¢. Значить, маємо:
ab = ab ¢ Þ acb = acb ¢, ba = b ¢ a Þ bca = b ¢ ca. (2)
Нехай зараз abc = abc ¢. Тоді
abc = Ab ¢ c Þ acbc = acb ¢ c Þ acbac = acb ¢ ac Þ acbacb = acb ¢ acb і
acbacb ¢ = Acb ¢ acb ¢ Þ (acb)
Таким же чином доводиться інша імплікація.
Нехай a
Приклад. Розглянемо півкільце S = {0, a, b, 1}, операції в якому задані наступним чином:
| + | a b 1 |
| a b 1 | a b 1 b b b 1 b 1 |
| · | a b 1 |
| a b 1 | a a a b b b a b 1 |
Приклад цього півкільця показує, що, по-перше, у визначенні симетричності півкільця імплікації потрібні в обидві сторони, оскільки aa = Ab, але aa ¹ ba. По-друге, S - Півкільце без нільпотентов, більше того, без дільників нуля, а проте симетричним, зокрема, редукованим, воно не є. У цьому проявляється відмінність від кілець, оскільки відомо, що відсутність нільпотентов в кільці тягне кільцеву симетричність.
Визначення 5. Власний двосторонній ідеал P півкільця S називається первинним, якщо AB Í P тягне A Í P або B Í P для будь-яких ідеалів A і B. Первинний ідеал комутативне півкільця називається простим.
Визначення 6. Правий ідеал P півкільця S називається псевдопростим, якщо ab = 0 тягне a Î P або b Î P для "a, b Î S.
Пропозиція 2. Ідеал P півкільця S первинний тоді і тільки тоді, коли для будь-яких елементів a, b Î S \ P знайдеться елемент s Î S такий, що asb Ï P. Якщо S - Комутативне півкільце, то ідеал P простий тоді і тільки тоді, коли a, b Ï P тягне ab Ï P.
Доказ: Нехай P первинний і елементи a, b Ï P. Тоді головні ідеали (a) і (b) не лежать в P, як і їхній твір. Значить, певний елемент t Î aSb не належить P, оскільки t =
Зворотно. Нехай твір ідеалів A і B лежить в P, але A
Затвердження для комутативних випадку очевидно.
Визначення 7. Підмножина T півкільця називається m - системою, якщо 0 Ï T, 1 Î T і для будь-яких a, b Î T знайдеться такий s Î S, що asb Î T.
Приклад. Розглянемо безліч T = {a
Легко побачити, що якщо P - первинний ідеал, то S \ P є m-системою. І хоча додаток до m - системи не зобов'язана бути первинним ідеалом, наступне твердження показує, що між ними існує глибокий зв'язок.
Пропозиція 3. Нехай T - m - система, а J - Довільний ідеал півкільця S, що не перетинається з T. Тоді будь-який максимальний ідеал серед містять J і не перетинаються з T первинний.
Доказ: Нехай P Ê J, P Ç T = Æ і P - максимальний у сімействі ідеалів, що задовольняють цим умовам. Припустимо, що aSb Í P для деяких a, b Ï P. Ідеали P + SaS і P + SbS суворо містять ідеал P, і значить, перетинаються з T. Нехай m Î (P + SaS) Ç T, r Î (P + SbS) Ç T і msr Î T для деякого s Î S. Але, з іншого боку,
msr Î (P + SaS) × (P + SbS) Í P + SaSbS Í P.
Отримали протиріччя, що P перетинається з T. Значить, припущення, що aSb Î P невірно, і P - Первинний ідеал. Пропозиція доведено.
Визначення 8. Власний ідеал M півкільця S називається максимальним ідеалом, якщо M Í A тягне M = A або A = S для кожного ідеалу A.
Пропозиція 4. Максимальний ідеал півкільця первинний.
Доказ: Розглянемо нульової ідеал J і не перетинає з ним m-систему T = {1}. Будь-який максимальний ідеал M півкільця містить J і не перетинається з T, значить, за пропозицією 3 він буде первинним.
Визначення 9. Для будь-якого a Î S безліч
Ann aS = {t Î S: ("s Î S) ast = 0} називається аннулятором елемента a.
Ann aS є двостороннім ідеалом півкільця S.
Ann a = {s Î S: as = 0} - правий ідеал і Ann aS Í Ann a.
Визначення 10. Для будь-якого ідеалу P безліч O p = {s Î S: ($ t Ï P) sSt = 0} = {s Î S: Ann sS
Лемма 1. O p є ідеалом для будь-якого первинного ідеалу P.
Доказ: Нехай a, b Î O p. Тоді aSt = 0 і bSu = 0 для деяких t, u Ï P. У силу первинності P tsu Ï P для відповідного s Î S. Для будь-якого v Î S
(A + b) vtsu = (avt) su + b (vts) u = 0.
Далі, (as) vt = a (sv) t = 0, (sa) vt = s (avt) = s 0 = 0, тому a + b, sa, as Î O p, і O p - ідеал.
Лемма 2. Нехай P Í M - Первинні ідеали півкільця.
Тоді O M Í O p Í P.
Доказ: Нехай a Î O M, тоді aSt = 0 для деякого t Ï M. Оскільки t Ï P, то a Î O p, і значить, O M Í O p. Для будь-якого s Î S 0 = ast Î P. Оскільки P первинний, то a Î P або t Î P, звідси a Î P, і отже, O p Í P.
Лемма 3. Для довільних первинних ідеалів P і P ¢ симметрического півкільця S вірна імплікація:
P Ç P ¢ не містить первинних ідеалів Þ O p
Доказ: Припустимо, що O p Í P ¢. Вважаючи A = S \ P і B = S \ P ¢, розглянемо безліч AB всіляких кінцевих творів елементів з A È B. Покажемо, що AB Ç O p = Æ. У самому справі, якщо s Î AB Ç O p, то sb = 0 для деякого b Î A, тобто {0} Î AB. Оскільки s є твором елементів з A È B, то в силу первинності ідеалів P і P ¢ та властивості симетричних півкілець uv = 0 для відповідних u Î B, v Î A. Звідки u Î O p
Таким чином, AB є m-системою, і значить, існує первинний ідеал Q, що не перетинається з AB і містить O p. А так як A È B Í AB, то P Ç P ¢ Ê Q. Отримали протиріччя з умовою, значить наше припущення не так, і Op
Наслідок 1. Для довільних первинних ідеалів P і P ¢ у симетричній півкільці, якщо O p Í P ¢ , То перетин P і P ¢ містить хоча б один первинний ідеал.
Визначимо безліч (a, b)
Для довільного ідеалу A позначимо
Визначення 11. Півкільце S називається строго полупервічним, якщо для будь-яких елементів a, b Î S виконується
Визначення 12. Перетин rad S всіляких первинних ідеалів в S називається первинним радикалом півкільця S.
Визначення 13. Півкільце називається полупервічним, якщо його первинний радикал дорівнює нулю.
Пропозиція 5. Півкільце S полупервічно тоді і тільки тоді, коли
Доказ: При a = 1 rad S =
Нехай S - полупервічное півкільце і b Î
Наслідок 2. Строго полупервічное півкільце є полупервічним.
Пропозиція 6. Всяке редуцированное півкільце S суворо полупервічно.
Доказ: Нехай c Ï (a, b)
Отримали
Позначимо через S pec S безліч всіх первинних ідеалів півкільця S. Для будь-якого ідеалу A півкільця S покладемо
D (A) = {P Î S pec S: A
Безліч D ({0}) = {P Î S pec S: {0}
D (A) Ç D (B) = {P Î S pec S: A
S pec S є топологічним простором з сімейством відкритих множин виду D (A).
Лемма 4. Для будь-якого ідеалу A полупервічного півкільця S
Доказ: Позначимо через Y праву частину доказуваного рівності. Якщо P Î D (A), тобто A
Зворотно, нехай P Ï
D (A) Ç D (B) = Æ, тоді AB Í rad S = 0, тобто B Í Ann A.
Тоді P не містить Ann A , Інакше P містив би B. Отже, P Ï Y. Отримали Y Í
Лемма 5. Нехай P - Первинний ідеал редуцированного півкільця S. Тоді P = O p Û P - Мінімальний первинний ідеал.
Доказ: Нехай P = O p, P ¢ Î S pec S і P ¢ Í P. Тоді O p Í O P ¢ Í P ¢. Тому P ¢ = P, і P мінімальний.
Зворотно, нехай дано мінімальний первинний ідеал P редуцированного півкільця S. Припустимо, що існує a Î P \ O p. Ступені елемента a утворюють m-систему (0 Ï {a
Лемма 6. Будь-який первинний правий ідеал симметрического півкільця псевдопрост.
Доказ: Справді, якщо a, b Î S \ P, то asb Ï P для відповідного s Î S, звідки asb ¹ 0 і ab ¹ 0.
Визначення 14. S - слабо ріккартово Û "a Î S" b Î Ann aS
Ann aS + Ann b = S
Приклад. Позначимо через N - Півкільце всіх невід'ємних цілих чисел із звичайними операціями додавання і множення. Візьмемо a = 0 Î N. Тоді Ann aS = N. У результаті отримаємо, що Ann aS + Ann b = N. Тепер візьмемо a Î N \ {0}. Тоді Ann aS = {0}, а Ann b = N. У результаті отримаємо, що Ann aS + Ann b = {0} + N = N. Таким чином, N - Слабо ріккартово півкільце. Аналогічно, будь-півкільце без дільників нуля буде слабко ріккартовим.
3. Доказ основної теореми.
Теорема. Для будь-якого редуцированного півкільця S рівносильні наступні умови:
1. S слабо ріккартово;
2. "A, b Î S (D (a) Ç D (b) = Æ Þ
3. Всі ідеали O p, P Î S pec S, первинні (еквівалентно, цілком первинні, псевдопрости);
4. всі ідеали O M, M Î Max S, первинні (еквівалентно, цілком первинні, псевдопрости) і P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S і M Î Max S;
5. Кожен первинний ідеал півкільця S містить єдиний мінімальний первинний ідеал;
6. "A, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);
Доказ: Нехай S - Редуцированное півкільце. Таке S - симетрична (за пропозицією 1), тому S має всі властивості симетричних півкілець. Доказ проведемо за схемою 1) Þ3) Þ4) Þ5) Þ6) Þ1) і 2) Û6).
1) Þ 3). Виходячи з 1), покажемо, що кожен ідеал O p цілком первинний. Нехай P Î S pec S і ab Î O p при a, b Î S.
Тоді $ з Î S \ P: abSc = 0, тобто absc = 0 для "s Î S.
Візьмемо s = 1 Þ abc = 0 Þ bc Î Ann aS (за визначенням Ann aS). Але Ann aS Í Ann a. Тоді bc Î Ann a. За умовою 1) S - слабо ріккартово, тобто Ann aS + Ann bc = S для a Î S, bc Î Ann aS.
$ E Î Ann aS, f Î Ann bc: e + f = 1 (1ÎS).
Припустимо, що a Ï O p Þ Ann aS Í P (за визначенням Ann aS) Þ e Î P.
Тоді f Ï P, тому що у противному випадку 1Î P. Але P - первинний ідеал Þ P - власний Þ 1Ï P.
f Î Ann bc Þ bcf = 0. Оскільки S - симетрична Þ bScf = 0. Але cf Ï P (тому c Ï P, f Ï P, а P - первинний ідеал) Þ b Î O p.
Таким чином, отримали, що всі ідеали O p, P Î S pec S, цілком первинні.
3) Þ 4). За умовою 3, всі ідеали O p, де P Î S pec S, первинні. Але M Î Max S - є первинним ідеалом (пропозиція 4), тобто M Î S pec S. Але тоді за умовою 3) даної теореми випливає, що всі ідеали O M , Де M Î S pec S і M Î Max S, первинні.
Нехай P Í M. Тоді O M Í O p (лема 2).
Якщо a Î O p, тобто ab = 0 при деякому b Î S \ P і s = 1Î S, то a Î O M, бо b Ï O M Í P, а ab = 0 Î O M і O M псевдопрост (доведено вище). Значить і O p Í O M. Тоді O p = O M.
4) Þ 5). Нехай P - первинний ідеал з S і P Í M. За умовою 4) даної теореми O M - первинний ідеал і так як P Í M Þ O p = O M . Також O p Í P (Лемма 2). Доведемо, що O M - Мінімальний первинний ідеал в S, що лежить в P. Нехай в P лежить Q - мінімальний первинний ідеал півкільця S. Але Q Í M Þ O M Í O Q Í Q. За умовою 4) даної теореми O M = O Q. . Так як Q - мінімальний первинний ідеал Þ O Q = Q (Лемма 5). По властивості транзитивності рівності отримуємо, що O p = OM = Q.
Доведемо тепер єдиність такого первинного ідеалу. Нехай P ¢ - довільний мінімальний первинний ідеал в S, відмінний від Q і лежить в M. Тоді O P ¢ = O M (За умовою 4)). Також O P ¢ = P ¢.
Тоді отримали рівність Q = O Q = O M = O P ¢ = P ¢. Єдиність доведена.
Так як всі первинні ідеали півкільця S містяться в M Î Max S, то ми отримали, що кожен первинний ідеал півкільця S містить єдиний мінімальний первинний ідеал.
5) Þ 6). Нехай ab = 0, але Ann a + Ann b ¹ S для деяких a, b Î S.
Тоді Ann a + Ann b Í M для відповідного M Î Max S.
Розглянемо єдиний мінімальний первинний ідеал P, що міститься в M. Тоді O M Í P (Лемма 2). Припустимо, що $ a Î P \ O M. Ступені елемента a утворюють m-систему (0 Ï {a
Нехай q, w Î S \ P і q, w Î S \ P ¢. Тоді $ s Î S: qsw Ï P Þ qsw Ï P Ç P ¢ Þ P Ç P ¢-первинний ідеал, що суперечить мінімальності P. Значить P Í OM і P = O M. Первинний ідеал O M псевдопрост, тому a Î O M або b Î O M. Звідки за визначенням нуль-компонент Ann a
6) Þ 1). Візьмімо "a, b Î S: ab = 0 Þ b Î Ann aS.
З умови 6) даної теореми випливає рівність:
Ann a + Ann b = S. Так як в симетричних півкільці Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким чином, півкільце S-слабо ріккартово, що й потрібно було довести.
2) Û 6). Нехай a, b Î S і ab = 0. D (a) Ç D (b) = {P Î S pec S: a Ï P Ù b Ï P} = {P Î S pec S: ab Ï P} (в силу первинності) = D (ab) = D (0) = Æ.
Зворотно, D (a) Ç D (b) = {P Î S pec S: a Ï P Ù b Ï P} = {P Î S pec S: ab Ï P} = D (ab) = Æ Þ ab = 0 , так як D (x) = Æ Û x = 0.
Таким чином, ab = 0 Û D (a) Ç D (b) = Æ.
Так як S - симетрична півкільце на підставі пропозиції 1, то до нього можна застосувати пропозицію 6, тобто S суворо полупервічно. За слідству 2 S є і полупервічним. Тепер ми можемо застосувати лему 4. На підставі цієї леми
Тоді Ann a + Ann b
В інший бік, нехай Ann a + Ann b = S Þ Ann a
Тоді
Теорема доведена повністю.
C войство:
Якщо редуцированное півкільце S слабо ріккартово, то для будь-якого правого ідеалу A і елементів a, b півкільця S виконується імплікація:
ab = 0 і a + B Î A Þ a Î A.
Доказ: Нехай дано в S правий ідеал A і такі елементи a і b, що ab = 0 і a + B Î A. Так як умова 6) доведеної теореми рівнозначно тому, що S слабо ріккартово, то ми можемо довести це властивість, виходячи з нього. Тоді Ann a + Ann b = S, тобто c + k = 1 при деяких c Î Ann a і k Î Ann b.
c Î Ann a Þ ac = 0 (за визначенням аннулятора).
k Î Ann b Þ bk = 0.
a = a × 1 + 0 = a × (c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b) × k = (a + b) × k Î A.
Отримали a Î A, що і потрібно було довести.
Література.
1. Є.М. Вечтомов. «Функціональні подання кілець». - М.: МПГУ ім. Леніна, 1993. - 190 с.
2. В. В. Чермний. «Півкільця». Кіров: Вид-во ВДПУ, 1997. - 131 с.
Доказ: Справді, якщо a, b Î S \ P, то asb Ï P для відповідного s Î S, звідки asb ¹ 0 і ab ¹ 0.
Визначення 14. S - слабо ріккартово Û "a Î S" b Î Ann aS
Ann aS + Ann b = S
Приклад. Позначимо через N - Півкільце всіх невід'ємних цілих чисел із звичайними операціями додавання і множення. Візьмемо a = 0 Î N. Тоді Ann aS = N. У результаті отримаємо, що Ann aS + Ann b = N. Тепер візьмемо a Î N \ {0}. Тоді Ann aS = {0}, а Ann b = N. У результаті отримаємо, що Ann aS + Ann b = {0} + N = N. Таким чином, N - Слабо ріккартово півкільце. Аналогічно, будь-півкільце без дільників нуля буде слабко ріккартовим.
3. Доказ основної теореми.
Теорема. Для будь-якого редуцированного півкільця S рівносильні наступні умови:
1. S слабо ріккартово;
2. "A, b Î S (D (a) Ç D (b) = Æ Þ
3. Всі ідеали O p, P Î S pec S, первинні (еквівалентно, цілком первинні, псевдопрости);
4.
5. Кожен первинний ідеал півкільця S містить єдиний мінімальний первинний ідеал;
6. "A, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);
Доказ: Нехай S - Редуцированное півкільце. Таке S - симетрична (за пропозицією 1), тому S має всі властивості симетричних півкілець. Доказ проведемо за схемою 1) Þ3) Þ4) Þ5) Þ6) Þ1) і 2) Û6).
1) Þ 3). Виходячи з 1), покажемо, що кожен ідеал O p цілком первинний. Нехай P Î S pec S і ab Î O p при a, b Î S.
Тоді $ з Î S \ P: abSc = 0, тобто absc = 0 для "s Î S.
Візьмемо s = 1 Þ abc = 0 Þ bc Î Ann aS (за визначенням Ann aS). Але Ann aS Í Ann a. Тоді bc Î Ann a. За умовою 1) S - слабо ріккартово, тобто Ann aS + Ann bc = S для a Î S, bc Î Ann aS.
$ E Î Ann aS, f Î Ann bc: e + f = 1 (1ÎS).
Припустимо, що a Ï O p Þ Ann aS Í P (за визначенням Ann aS) Þ e Î P.
Тоді f Ï P, тому що у противному випадку 1Î P. Але P - первинний ідеал Þ P - власний Þ 1Ï P.
f Î Ann bc Þ bcf = 0. Оскільки S - симетрична Þ bScf = 0. Але cf Ï P (тому c Ï P, f Ï P, а P - первинний ідеал) Þ b Î O p.
Таким чином, отримали, що всі ідеали O p, P Î S pec S, цілком первинні.
3) Þ 4). За умовою 3, всі ідеали O p, де P Î S pec S, первинні. Але M Î Max S - є первинним ідеалом (пропозиція 4), тобто M Î S pec S. Але тоді за умовою 3) даної теореми випливає, що всі ідеали O M , Де M Î S pec S і M Î Max S, первинні.
Нехай P Í M. Тоді O M Í O p (лема 2).
Якщо a Î O p, тобто ab = 0 при деякому b Î S \ P і s = 1Î S, то a Î O M, бо b Ï O M Í P, а ab = 0 Î O M і O M псевдопрост (доведено вище). Значить і O p Í O M. Тоді O p = O M.
4) Þ 5). Нехай P - первинний ідеал з S і P Í M. За умовою 4) даної теореми O M - первинний ідеал і так як P Í M Þ O p = O M . Також O p Í P (Лемма 2). Доведемо, що O M - Мінімальний первинний ідеал в S, що лежить в P. Нехай в P лежить Q - мінімальний первинний ідеал півкільця S. Але Q Í M Þ O M Í O Q Í Q. За умовою 4) даної теореми O M = O Q. . Так як Q - мінімальний первинний ідеал Þ O Q = Q (Лемма 5). По властивості транзитивності рівності отримуємо, що O p = OM = Q.
Доведемо тепер єдиність такого первинного ідеалу. Нехай P ¢ - довільний мінімальний первинний ідеал в S, відмінний від Q і лежить в M. Тоді O P ¢ = O M (За умовою 4)). Також O P ¢ = P ¢.
Тоді отримали рівність Q = O Q = O M = O P ¢ = P ¢. Єдиність доведена.
Так як всі первинні ідеали півкільця S містяться в M Î Max S, то ми отримали, що кожен первинний ідеал півкільця S містить єдиний мінімальний первинний ідеал.
5) Þ 6). Нехай ab = 0, але Ann a + Ann b ¹ S для деяких a, b Î S.
Тоді Ann a + Ann b Í M для відповідного M Î Max S.
Розглянемо єдиний мінімальний первинний ідеал P, що міститься в M. Тоді O M Í P (Лемма 2). Припустимо, що $ a Î P \ O M. Ступені елемента a утворюють m-систему (0 Ï {a
Нехай q, w Î S \ P і q, w Î S \ P ¢. Тоді $ s Î S: qsw Ï P Þ qsw Ï P Ç P ¢ Þ P Ç P ¢-первинний ідеал, що суперечить мінімальності P. Значить P Í OM і P = O M. Первинний ідеал O M псевдопрост, тому a Î O M або b Î O M. Звідки за визначенням нуль-компонент Ann a
6) Þ 1). Візьмімо "a, b Î S: ab = 0 Þ b Î Ann aS.
З умови 6) даної теореми випливає рівність:
Ann a + Ann b = S. Так як в симетричних півкільці Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким чином, півкільце S-слабо ріккартово, що й потрібно було довести.
2) Û 6). Нехай a, b Î S і ab = 0. D (a) Ç D (b) = {P Î S pec S: a Ï P Ù b Ï P} = {P Î S pec S: ab Ï P} (в силу первинності) = D (ab) = D (0) = Æ.
Зворотно, D (a) Ç D (b) = {P Î S pec S: a Ï P Ù b Ï P} = {P Î S pec S: ab Ï P} = D (ab) = Æ Þ ab = 0 , так як D (x) = Æ Û x = 0.
Таким чином, ab = 0 Û D (a) Ç D (b) = Æ.
Так як S - симетрична півкільце на підставі пропозиції 1, то до нього можна застосувати пропозицію 6, тобто S суворо полупервічно. За слідству 2 S є і полупервічним. Тепер ми можемо застосувати лему 4. На підставі цієї леми
Тоді
Теорема доведена повністю.
C войство:
Якщо редуцированное півкільце S слабо ріккартово, то для будь-якого правого ідеалу A і елементів a, b півкільця S виконується імплікація:
ab = 0 і a + B Î A Þ a Î A.
Доказ: Нехай дано в S правий ідеал A і такі елементи a і b, що ab = 0 і a + B Î A. Так як умова 6) доведеної теореми рівнозначно тому, що S слабо ріккартово, то ми можемо довести це властивість, виходячи з нього. Тоді Ann a + Ann b = S, тобто c + k = 1 при деяких c Î Ann a і k Î Ann b.
c Î Ann a Þ ac = 0 (за визначенням аннулятора).
k Î Ann b Þ bk = 0.
a = a × 1 + 0 = a × (c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b) × k = (a + b) × k Î A.
Отримали a Î A, що і потрібно було довести.
Література.
1. Є.М. Вечтомов. «Функціональні подання кілець». - М.: МПГУ ім. Леніна, 1993. - 190 с.
2. В. В. Чермний. «Півкільця». Кіров: Вид-во ВДПУ, 1997. - 131 с.