Кільця і ​​півкільця приватних

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст
Введення
Глава 1.Построеніе класичного півкільця приватних
Глава 2.Построеніе повного півкільця приватних
Глава 3.Связь між повним і класичним півкільцями приватних
Бібліографічний список


Введення

В даний час теорія півкілець активно розвивається і знаходить своє застосування в теорії автоматів, комп'ютерної алгебри та інших розділах математики.
У роботі побудовані повне і класичне півкільця приватних, а так само розглянуто їх зв'язок.
Перш ніж розпочати розгляд цих структур, визначимо комутативне півкільце приватних наступним чином.
Непорожнє безліч з визначеними на ньому бінарними операціями і називається комутативним півкільцем, якщо виконується наступні аксіоми:
A1. - Комутативне напівгрупа з нейтральним елементом , Тобто
1) ;
2)
3)
А2. - Комутативне напівгрупа з нейтральним елементом 1, тобто
1) ;
2)
3)
А3. множення дистрибутивно щодо складання:
, .
А4. .
Таким чином, можна сказати, що півкільце відрізняється від кільця тим, що адитивна операція в ньому необоротна.

Глава 1.

Для побудови класичного півкільця приватних можна скористатися таким методом:
Розглянемо пари невід'ємних цілих чисел .
Будемо вважати пари і еквівалентними, якщо , Отримаємо розбиття множини пар на класи еквівалентності.
Потім введемо операції на класах, перетворюють безліч класів еквівалентних пар в полуполе, яке містить півкільце невід'ємних чисел.
Визначення 1. Елемент назвемо мультиплікативно скорочуваним, якщо для з рівності випливає, що .
Позначимо через множина всіх мультиплікативно скорочуваних елементів.
Твердження 1. Мультиплікативно скорочують елемент є неделітелем нуля.
Нехай - Дільник нуля, тобто для деякого . Тоді , Але не є мультиплікативно скорочуваним. ▲
Нехай - Комутативне півкільце з можливістю скорочення на елементи з . Розглянемо безліч впорядкованих пар . Введемо відношення ~ на : для всіх і .
Пропозиція 1. Ставлення ~ є відношенням еквівалентності на .
Покажемо, що ~ є відношенням рефлективності, симетричності і транзитивності.
1.Рефлектівность: у силу комутативності півкільця ;
2. Симетричність: ;
3.Транзітівность: Таким чином, ставлення ~ є відношенням еквівалентності на .
Півкільце розбивається на класи еквівалентності; в кожному класі знаходяться ті елементи, які перебувають у відношенні ~. Позначимо клас еквівалентності пари . Введемо операції на множині всіх класів еквівалентності:

тому що для , , виконано звідси тому отримуємо і оскільки то отже .
Покажемо коректність введених операцій:
Нехай , , Тоді


Теорема 1. - Комутативне півкільце з 1. .
Доказ.
Щоб довести, що безліч всіх класів еквівалентності є комутативним півкільцем з 1, потрібно показати замкнутість на ньому операцій:
складання: для і
1.
2.

Так як праві частини рівні, то ліві частини теж рівні:

3. покажемо, що для .
Так як
Клас є нейтральним по +:

З рівності тоді .
Для складає окремий клас, який грає в роль нуля.
множення: для і
1.
2.

З рівності правих частин випливає, що
3. покажемо, що для .
Нехай
Клас є нейтральним по множенню (одиницею півкільця), тому що , Оскільки з рівності тоді .
4. множення дистрибутивно щодо складання:


Отже, правобічний дистрибутивний закон виконується:

Аналогічно доводиться лівобічний закон дистрибутивності.
Таким чином, доведено, що є комутативним півкільцем з 1.
Півкільце називається класичним півкільцем приватних півкільця . ▲

Глава 2

Для побудови повного півкільця приватних можна скористатися наступним методом. Розглянемо дріб як частковий ендоморфізму адитивної напівгрупи невід'ємних цілих чисел. Його область визначення - ідеал , І він переводить в , Де . Аналогічно, дріб визначена на ідеалі і переводить в . Ці дві дробу еквівалентні, тобто вони погоджені на перетині своїх областей визначень, рівному ідеалу , Оскільки та і інша дріб переводять в . Відносини визначаються як класи еквівалентних дробів. Варіюючи цей метод, можна вибрати в кожному класі еквівалентності одну «несократімой» дріб. Розглянутий вище клас містить несократімой дріб .
Даний метод можна застосувати до довільного комутативне півкільцю для побудови «повного півкільця приватних», де в якості областей визначення допускаються лише ідеали певного типу - щільні ідеали.
Визначення 2. Ідеал комутативне півкільця називається щільним, якщо для і виконується рівність тоді і тільки тоді, коли .
Властивості щільних ідеалів півкільця :
1 0 - Щільний ідеал.
Доказ:
Нехай для виконано . Покладемо , Тоді . Таким чином - Щільний ідеал за визначенням. ▲
2 0 Якщо - Щільний ідеал і , То ідеал щільний.
Доказ:
Якщо - Щільний ідеал, то для з рівності слід . Нехай для виконано . Оскільки за умовою візьмемо . Тоді тому - Щільний ідеал отримуємо звідси . Таким чином - Щільний ідеал за визначенням. ▲
3 0 Якщо і - Щільні ідеали, то і - Так само щільні ідеали.
Доказ:
Покладемо для виконується . Нехай , Де , . Елемент тому що , Тоді вірно рівність звідси , Тому що - Щільний ідеал маємо , , І - Щільний, . Таким чином - Щільний ідеал.
Нехай , тоді за визначенням ідеалу: . З іншого боку значить . Тоді по 2 0 - Щільний ідеал. ▲
4 0 Якщо , То 0 не є щільним ідеалом.
Доказ.
Нехай . Для і виконано звідси 0 не є щільним ідеалом. ▲
Визначення 3. Дробом назвемо елемент , Де - Деякий щільний ідеал. ( - Скорочення від - Гомоморфізм, в даному випадку: - Гомоморфізм )
Таким чином, - Гомоморфізм адитивних напівгруп, для якого для і .
Введемо так само дробу , Поклавши і для .
Додавання та множення дробів визначаються наступним чином:
нехай і тоді
,
, .
Покажемо, що є ідеалом, де тобто зберігаються операції:
1. Якщо , То .
Нехай , , Тоді .
2. Якщо і , То . За умовою .
Так як - Комутативне півкільце, то .
. Таким чином, - Ідеал.
Покажемо, що ідеал є щільним: треба довести, що щільний ідеал - , Тобто .
За визначенням додавання і множення , Тобто містить щільний ідеал значить, по властивості 2 0 ідеал є щільним.
Дроби утворюють адитивну комутативними напівгрупу з нулем і напівгрупу з одиницею. Тобто утворюють півкільце.
Доказ:
1. За визначенням додавання і множення:
, .
,
2. Комутативність:

3. Асоціативність:
4. Нейтральний елемент.


5. Дистрибутивність:

Правобічна дистрибутивність аналогічно.
Таким чином, дробу утворюють півкільце.
Визначення 4. Будемо писати якщо і узгоджені на перетині своїх областей визначень, тобто для .
Лемма 1. тоді і тільки тоді, коли і узгоджені на деякому щільному ідеалі.
Доказ.
Якщо то і узгоджені на . По властивості 3 0 ідеал є щільним. Отже, і узгоджені на щільному ідеалі.
Зворотно, нехай і узгоджені на щільному ідеалі . Тоді якщо і , То звідси в силу щільності ідеалу , для , Але це рівність виконується тоді, коли перетином областей визначень і є звідси випливає, що . ▲
Лемма 2. Ставлення є конгруенції на системі .
Доказ.
Для того щоб довести, що - Конгруенції, потрібно показати:
1. ставлення - Рефлексивно, симетрично, транзитивне.
Рефлективність: і узгоджені на щільному ідеалі .
Симетричність: нехай , Тобто і узгоджені на .
Транзитивність: нехай і , Тобто і узгоджені на щільному ідеалі
і узгоджені на щільному ідеалі . Значить і узгоджені на ідеалі , Що є щільним, і узгоджена з на , Тоді узгоджена з на щільному ідеалі по Лемма 1
Таким чином, - Відношення еквівалентності.
2. ставлення зберігає напівкільцеві операції.
Ø Нехай і , Тобто для і для .
Тоді і визначені й узгоджені на щільному ідеалі звідси по Лемма 1 .
Ø Нехай і , Тобто для і для .
Тоді і визначені й узгоджені на щільному ідеалі звідси по Лемма 1 . ▲
Теорема 2. Якщо - Комутативне півкільце то система так само є комутативним півкільцем. . (Будемо називати повним півкільцем приватних півкільця )
Доказ.
- Розбиває безліч дробів на непересічних класів еквівалентності.
За Лемма 2 всі тотожності виконуються в справедливі і в .
Щоб переконається, що комутативне півкільце залишається перевірити справедливість законів дистрибутивності і комутативності.
1. Дистрибутивність.
Відображення: і узгоджені на ідеалі покажемо, що образи відображень і співпадають на цьому ідеалі:
нехай , Де .
Тоді .
Областю визначення є . За визначенням ідеалу: то для , А ідеал (Властивість 3 0) то: . Тоді за визначенням складання звідси випливає . Покажемо . За визначенням
Аналогічно .
Тоді:
Таким чином, де . По властивості 3 0 - Щільний ідеал значить і узгоджені на щільному ідеалі .
2. Комутативність.
Відображення і узгоджені на щільному ідеалі доведемо що їх образи співпадають на цьому ідеалі: .
Доведено раніше, що нехай елементи тоді
Звідси випливає, що і узгоджені на щільному ідеалі .
Таким чином, по Лемма 1.
Нарешті зіставимо дріб: з областю визначення при якій переходить в .
Пропозиція 2. Відображення є гомоморфізму тобто зберігає операції:

Доказ:
1. Нехай , і де і .
Потрібно показати, що . Покажемо рівність образів і .
Розглянемо дріб , Таку що
для . (1)
З іншого боку розглянемо дробу і , Такі що для . (2)
З (1) і (2) випливає, що .
По властивості складання суміжних класів:
для
2. Нехай , і де і .
Потрібно показати, що . Покажемо рівність образів і .
Розглянемо дріб , Таку що
для . (3)
З іншого боку розглянемо дробу і , Такі що для . (4)
З (3) і (4) випливає, що .
По властивості множення суміжних класів:
для .
Таким чином гомоморфізм.
Нехай , Тоді
тобто і узгоджені на деякому щільному ідеалі значить для , Так як - Щільний ідеал, то звідси - Ін'єктивні.
Тому, гомоморфізм є мономорфізму і вкладається в повне півкільце приватних.
Гомоморфізм будемо називати канонічним мономорфізму в . ▲

Глава 3.

Визначення 5. Будь-якому мультиплікативно скорочують елементу зіставимо щільний ідеал . Якщо , То елемент назвемо класичної дробом, вважаючи для .
Теорема 3. Безліч дробів утворює подполукольцо повного півкільця приватних, ізоморфне класичному півкільцю приватних півкільця .
Доказ:
Розглянемо відображення , Тобто .
1. Доведемо, що - Відображення: якщо і , , Де , , То .
Маємо
Візьмемо елемент з перетину щільних ідеалів , Тобто і
Тоді , Домножимо на отримаємо . Так як і на виконується комутативність по множенню, то , звідси для .
2. Доведемо, що є напівкільцеві гомоморфізму, тобто зберігаються напівкільцеві операції.
2.1


. Покажемо, що дріб узгоджена з на щільному ідеалі .
Нехай , .

для .
Отже .
2.2

.
Ідеал містить , Покажемо, що і узгоджені на щільному ідеалі .
Нехай , . Тоді
для .
Значить .
Таким чином - Напівкільцевий гомоморфізм класичного півкільця приватних в повне півкільце приватних .
3. Доведемо, що - Ін'єктивні гомоморфізм.
Нехай для . Припустимо, що дроби і узгоджені на деякому щільному ідеалі , Тобто для виконано . Але , . Тоді . Домножимо обидві частини рівності на отримаємо:
тому що - Щільний ідеал , Що суперечить умові.
Значить, є ін'єктивні гомоморфізму або мономорфізму в .
Так як , То , Де - Елемент подполукольца повного півкільця приватних , Тобто і . Оскільки - Ін'єктивні гомоморфізм, то згідно теореми про гомоморфізм існує ізоморфізм звідси випливає .
Мономорфизм називається вкладенням класичного півкільця приватних в повне півкільце приватних півкільця . ▲

Бібліографічний список

1. Вечтомов, Є. М. Введення в півкільця [Текст] / Є. М. Вечтомов. - Кіров.: ВДПУ, 2000.
2. Ламбек, І. Кільця та модулі [Текст] / І. Ламбек. - Москва.: Світ, 1971. - 288 с.
3. Чермний, В. В. Півкільця [Текст] / В. В. Чермний. - Кіров.: ВДПУ, 1997. - 131 с.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
129.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Кільця
Редуковані півкільця
Позитивні і обмежені півкільця
Позитивні і обмежені півкільця 2
Восьміелементние асоціативні кільця
Розширення кільця за допомогою полутела
Будова ідеалів півкільця натуральних чисел
Міста Золотого Кільця як унікальні туристські об`єкти
Оподаткування діяльності приватних підприємців
© Усі права захищені
написати до нас