Зміст
Введення
Глава 1.Построеніе класичного півкільця приватних
Глава 2.Построеніе повного півкільця приватних
Глава 3.Связь між повним і класичним півкільцями приватних
Бібліографічний список
В даний час теорія півкілець активно розвивається і знаходить своє застосування в теорії автоматів, комп'ютерної алгебри та інших розділах математики.
У роботі побудовані повне і класичне півкільця приватних, а так само розглянуто їх зв'язок.
Перш ніж розпочати розгляд цих структур, визначимо комутативне півкільце приватних наступним чином.
Непорожнє безліч з визначеними на ньому бінарними операціями і називається комутативним півкільцем, якщо виконується наступні аксіоми:
A1. - Комутативне напівгрупа з нейтральним елементом , Тобто
1) ;
2)
3)
А2. - Комутативне напівгрупа з нейтральним елементом 1, тобто
1) ;
2)
3)
А3. множення дистрибутивно щодо складання:
, .
А4. .
Таким чином, можна сказати, що півкільце відрізняється від кільця тим, що адитивна операція в ньому необоротна.
Розглянемо пари невід'ємних цілих чисел .
Будемо вважати пари і еквівалентними, якщо , Отримаємо розбиття множини пар на класи еквівалентності.
Потім введемо операції на класах, перетворюють безліч класів еквівалентних пар в полуполе, яке містить півкільце невід'ємних чисел.
Визначення 1. Елемент назвемо мультиплікативно скорочуваним, якщо для з рівності випливає, що .
Позначимо через множина всіх мультиплікативно скорочуваних елементів.
Твердження 1. Мультиплікативно скорочують елемент є неделітелем нуля.
Нехай - Дільник нуля, тобто для деякого . Тоді , Але не є мультиплікативно скорочуваним. ▲
Нехай - Комутативне півкільце з можливістю скорочення на елементи з . Розглянемо безліч впорядкованих пар . Введемо відношення ~ на : для всіх і .
Пропозиція 1. Ставлення ~ є відношенням еквівалентності на .
Покажемо, що ~ є відношенням рефлективності, симетричності і транзитивності.
1.Рефлектівность: у силу комутативності півкільця ;
2. Симетричність: ;
3.Транзітівность: Таким чином, ставлення ~ є відношенням еквівалентності на .
Півкільце розбивається на класи еквівалентності; в кожному класі знаходяться ті елементи, які перебувають у відношенні ~. Позначимо клас еквівалентності пари . Введемо операції на множині всіх класів еквівалентності:
тому що для , , виконано звідси тому отримуємо і оскільки то отже .
Покажемо коректність введених операцій:
Нехай , , Тоді
▲
Теорема 1. - Комутативне півкільце з 1. .
Доказ.
Щоб довести, що безліч всіх класів еквівалентності є комутативним півкільцем з 1, потрібно показати замкнутість на ньому операцій:
складання: для і
1.
2.
Так як праві частини рівні, то ліві частини теж рівні:
3. покажемо, що для .
Так як
Клас є нейтральним по +:
З рівності тоді .
Для складає окремий клас, який грає в роль нуля.
множення: для і
1.
2.
З рівності правих частин випливає, що
3. покажемо, що для .
Нехай
Клас є нейтральним по множенню (одиницею півкільця), тому що , Оскільки з рівності тоді .
4. множення дистрибутивно щодо складання:
Отже, правобічний дистрибутивний закон виконується:
Аналогічно доводиться лівобічний закон дистрибутивності.
Таким чином, доведено, що є комутативним півкільцем з 1.
Півкільце називається класичним півкільцем приватних півкільця . ▲
як частковий ендоморфізму адитивної напівгрупи невід'ємних цілих чисел. Його область визначення - ідеал , І він переводить в , Де . Аналогічно, дріб визначена на ідеалі і переводить в . Ці дві дробу еквівалентні, тобто вони погоджені на перетині своїх областей визначень, рівному ідеалу , Оскільки та і інша дріб переводять в . Відносини визначаються як класи еквівалентних дробів. Варіюючи цей метод, можна вибрати в кожному класі еквівалентності одну «несократімой» дріб. Розглянутий вище клас містить несократімой дріб .
Даний метод можна застосувати до довільного комутативне півкільцю для побудови «повного півкільця приватних», де в якості областей визначення допускаються лише ідеали певного типу - щільні ідеали.
Визначення 2. Ідеал комутативне півкільця називається щільним, якщо для і виконується рівність тоді і тільки тоді, коли .
Властивості щільних ідеалів півкільця :
1 0 - Щільний ідеал.
Доказ:
Нехай для виконано . Покладемо , Тоді . Таким чином - Щільний ідеал за визначенням. ▲
2 0 Якщо - Щільний ідеал і , То ідеал щільний.
Доказ:
Якщо - Щільний ідеал, то для з рівності слід . Нехай для виконано . Оскільки за умовою візьмемо . Тоді тому - Щільний ідеал отримуємо звідси . Таким чином - Щільний ідеал за визначенням. ▲
3 0 Якщо і - Щільні ідеали, то і - Так само щільні ідеали.
Доказ:
Покладемо для виконується . Нехай , Де , . Елемент тому що , Тоді вірно рівність звідси , Тому що - Щільний ідеал маємо , , І - Щільний, . Таким чином - Щільний ідеал.
Нехай , тоді за визначенням ідеалу: . З іншого боку значить . Тоді по 2 0 - Щільний ідеал. ▲
4 0 Якщо , То 0 не є щільним ідеалом.
Доказ.
Нехай . Для і виконано звідси 0 не є щільним ідеалом. ▲
Визначення 3. Дробом назвемо елемент , Де - Деякий щільний ідеал. ( - Скорочення від - Гомоморфізм, в даному випадку: - Гомоморфізм )
Таким чином, - Гомоморфізм адитивних напівгруп, для якого для і .
Введемо так само дробу , Поклавши і для .
Додавання та множення дробів визначаються наступним чином:
нехай і тоді
,
, .
Покажемо, що є ідеалом, де тобто зберігаються операції:
1. Якщо , То .
Нехай , , Тоді .
2. Якщо і , То . За умовою .
Так як - Комутативне півкільце, то .
. Таким чином, - Ідеал.
Покажемо, що ідеал є щільним: треба довести, що щільний ідеал - , Тобто .
За визначенням додавання і множення , Тобто містить щільний ідеал значить, по властивості 2 0 ідеал є щільним.
Дроби утворюють адитивну комутативними напівгрупу з нулем і напівгрупу з одиницею. Тобто утворюють півкільце.
Доказ:
1. За визначенням додавання і множення:
, .
,
2. Комутативність:
3. Асоціативність:
4. Нейтральний елемент.
5. Дистрибутивність:
Правобічна дистрибутивність аналогічно.
Таким чином, дробу утворюють півкільце.
Визначення 4. Будемо писати якщо і узгоджені на перетині своїх областей визначень, тобто для .
Лемма 1. тоді і тільки тоді, коли і узгоджені на деякому щільному ідеалі.
Доказ.
Якщо то і узгоджені на . По властивості 3 0 ідеал є щільним. Отже, і узгоджені на щільному ідеалі.
Зворотно, нехай і узгоджені на щільному ідеалі . Тоді якщо і , То звідси в силу щільності ідеалу , для , Але це рівність виконується тоді, коли перетином областей визначень і є звідси випливає, що . ▲
Лемма 2. Ставлення є конгруенції на системі .
Доказ.
Для того щоб довести, що - Конгруенції, потрібно показати:
1. ставлення - Рефлексивно, симетрично, транзитивне.
Рефлективність: і узгоджені на щільному ідеалі .
Симетричність: нехай , Тобто і узгоджені на .
Транзитивність: нехай і , Тобто і узгоджені на щільному ідеалі
і узгоджені на щільному ідеалі . Значить і узгоджені на ідеалі , Що є щільним, і узгоджена з на , Тоді узгоджена з на щільному ідеалі по Лемма 1
Таким чином, - Відношення еквівалентності.
2. ставлення зберігає напівкільцеві операції.
Ø Нехай і , Тобто для і для .
Тоді і визначені й узгоджені на щільному ідеалі звідси по Лемма 1 .
Ø Нехай і , Тобто для і для .
Тоді і визначені й узгоджені на щільному ідеалі звідси по Лемма 1 . ▲
Теорема 2. Якщо - Комутативне півкільце то система так само є комутативним півкільцем. . (Будемо називати повним півкільцем приватних півкільця )
Доказ.
- Розбиває безліч дробів на непересічних класів еквівалентності.
За Лемма 2 всі тотожності виконуються в справедливі і в .
Щоб переконається, що комутативне півкільце залишається перевірити справедливість законів дистрибутивності і комутативності.
1. Дистрибутивність.
Відображення: і узгоджені на ідеалі покажемо, що образи відображень і співпадають на цьому ідеалі:
нехай , Де .
Тоді .
Областю визначення є . За визначенням ідеалу: то для , А ідеал (Властивість 3 0) то: . Тоді за визначенням складання звідси випливає . Покажемо . За визначенням
Аналогічно .
Тоді:
Таким чином, де . По властивості 3 0 - Щільний ідеал значить і узгоджені на щільному ідеалі .
2. Комутативність.
Відображення і узгоджені на щільному ідеалі доведемо що їх образи співпадають на цьому ідеалі: .
Доведено раніше, що нехай елементи тоді
Звідси випливає, що і узгоджені на щільному ідеалі .
Таким чином, по Лемма 1.
Нарешті зіставимо дріб: з областю визначення при якій переходить в .
Пропозиція 2. Відображення є гомоморфізму тобто зберігає операції:
Доказ:
1. Нехай , і де і .
Потрібно показати, що . Покажемо рівність образів і .
Розглянемо дріб , Таку що
для . (1)
З іншого боку розглянемо дробу і , Такі що для . (2)
З (1) і (2) випливає, що .
По властивості складання суміжних класів:
для
2. Нехай , і де і .
Потрібно показати, що . Покажемо рівність образів і .
Розглянемо дріб , Таку що
для . (3)
З іншого боку розглянемо дробу і , Такі що для . (4)
З (3) і (4) випливає, що .
По властивості множення суміжних класів:
для .
Таким чином гомоморфізм.
Нехай , Тоді
тобто і узгоджені на деякому щільному ідеалі значить для , Так як - Щільний ідеал, то звідси - Ін'єктивні.
Тому, гомоморфізм є мономорфізму і вкладається в повне півкільце приватних.
Гомоморфізм будемо називати канонічним мономорфізму в . ▲
зіставимо щільний ідеал . Якщо , То елемент назвемо класичної дробом, вважаючи для .
Теорема 3. Безліч дробів утворює подполукольцо повного півкільця приватних, ізоморфне класичному півкільцю приватних півкільця .
Доказ:
Розглянемо відображення , Тобто .
1. Доведемо, що - Відображення: якщо і , , Де , , То .
Маємо
Візьмемо елемент з перетину щільних ідеалів , Тобто і
Тоді , Домножимо на отримаємо . Так як і на виконується комутативність по множенню, то , звідси для .
2. Доведемо, що є напівкільцеві гомоморфізму, тобто зберігаються напівкільцеві операції.
2.1
. Покажемо, що дріб узгоджена з на щільному ідеалі .
Нехай , .
для .
Отже .
2.2
.
Ідеал містить , Покажемо, що і узгоджені на щільному ідеалі .
Нехай , . Тоді
для .
Значить .
Таким чином - Напівкільцевий гомоморфізм класичного півкільця приватних в повне півкільце приватних .
3. Доведемо, що - Ін'єктивні гомоморфізм.
Нехай для . Припустимо, що дроби і узгоджені на деякому щільному ідеалі , Тобто для виконано . Але , . Тоді . Домножимо обидві частини рівності на отримаємо:
тому що - Щільний ідеал , Що суперечить умові.
Значить, є ін'єктивні гомоморфізму або мономорфізму в .
Так як , То , Де - Елемент подполукольца повного півкільця приватних , Тобто і . Оскільки - Ін'єктивні гомоморфізм, то згідно теореми про гомоморфізм існує ізоморфізм звідси випливає .
Мономорфизм називається вкладенням класичного півкільця приватних в повне півкільце приватних півкільця . ▲
2. Ламбек, І. Кільця та модулі [Текст] / І. Ламбек. - Москва.: Світ, 1971. - 288 с.
3. Чермний, В. В. Півкільця [Текст] / В. В. Чермний. - Кіров.: ВДПУ, 1997. - 131 с.
Введення
Глава 1.Построеніе класичного півкільця приватних
Глава 2.Построеніе повного півкільця приватних
Глава 3.Связь між повним і класичним півкільцями приватних
Бібліографічний список
Введення
В даний час теорія півкілець активно розвивається і знаходить своє застосування в теорії автоматів, комп'ютерної алгебри та інших розділах математики. У роботі побудовані повне і класичне півкільця приватних, а так само розглянуто їх зв'язок.
Перш ніж розпочати розгляд цих структур, визначимо комутативне півкільце приватних наступним чином.
Непорожнє безліч
A1.
1)
2)
3)
А2.
1)
2)
3)
А3. множення дистрибутивно щодо складання:
А4.
Таким чином, можна сказати, що півкільце відрізняється від кільця тим, що адитивна операція в ньому необоротна.
Глава 1.
Для побудови класичного півкільця приватних можна скористатися таким методом:Розглянемо пари невід'ємних цілих чисел
Будемо вважати пари
Потім введемо операції на класах, перетворюють безліч класів еквівалентних пар в полуполе, яке містить півкільце невід'ємних чисел.
Визначення 1. Елемент
Позначимо через
Твердження 1. Мультиплікативно скорочують елемент є неделітелем нуля.
Нехай
Нехай
Пропозиція 1. Ставлення ~ є відношенням еквівалентності на
Покажемо, що ~ є відношенням рефлективності, симетричності і транзитивності.
1.Рефлектівность: у силу комутативності півкільця
2. Симетричність:
3.Транзітівность:
Півкільце
Покажемо коректність введених операцій:
Нехай
Теорема 1.
Доказ.
Щоб довести, що безліч
складання: для
1.
2.
Так як праві частини рівні, то ліві частини теж рівні:
3. покажемо, що для
Так як
Клас
З рівності
Для
множення: для
1.
2.
З рівності правих частин випливає, що
3. покажемо, що для
Нехай
Клас
4. множення дистрибутивно щодо складання:
Отже, правобічний дистрибутивний закон виконується:
Аналогічно доводиться лівобічний закон дистрибутивності.
Таким чином, доведено, що
Півкільце
Глава 2
Для побудови повного півкільця приватних можна скористатися наступним методом. Розглянемо дрібДаний метод можна застосувати до довільного комутативне півкільцю для побудови «повного півкільця приватних», де в якості областей визначення допускаються лише ідеали певного типу - щільні ідеали.
Визначення 2. Ідеал
Властивості щільних ідеалів півкільця
1 0
Доказ:
Нехай для
2 0 Якщо
Доказ:
Якщо
3 0 Якщо
Доказ:
Покладемо для
Нехай
4 0 Якщо
Доказ.
Нехай
Визначення 3. Дробом назвемо елемент
Таким чином,
Введемо так само дробу
Додавання та множення дробів визначаються наступним чином:
нехай
Покажемо, що
1. Якщо
Нехай
2. Якщо
Так як
Покажемо, що ідеал
За визначенням додавання і множення
Дроби утворюють адитивну комутативними напівгрупу
Доказ:
1. За визначенням додавання і множення:
2. Комутативність:
3. Асоціативність:
5. Дистрибутивність:
Правобічна дистрибутивність аналогічно.
Таким чином, дробу утворюють півкільце.
Визначення 4. Будемо писати
Лемма 1.
Доказ.
Якщо
Зворотно, нехай
Лемма 2. Ставлення
Доказ.
Для того щоб довести, що
1. ставлення
Рефлективність:
Симетричність: нехай
Транзитивність: нехай
Таким чином,
2. ставлення
Ø Нехай
Тоді
Ø Нехай
Тоді
Теорема 2. Якщо
Доказ.
За Лемма 2 всі тотожності виконуються в
Щоб переконається, що
1. Дистрибутивність.
Відображення:
нехай
Тоді
Областю визначення
Аналогічно
Тоді:
2. Комутативність.
Відображення
Доведено раніше, що
Звідси випливає, що
Таким чином,
Нарешті
Пропозиція 2. Відображення
Доказ:
1. Нехай
Потрібно показати, що
Розглянемо дріб
З іншого боку розглянемо дробу
З (1) і (2) випливає, що
По властивості складання суміжних класів:
2. Нехай
Потрібно показати, що
Розглянемо дріб
З іншого боку розглянемо дробу
З (3) і (4) випливає, що
По властивості множення суміжних класів:
Таким чином
Нехай
Тому, гомоморфізм
Гомоморфізм
Глава 3.
Визначення 5. Будь-якому мультиплікативно скорочують елементуТеорема 3. Безліч дробів
Доказ:
Розглянемо відображення
1. Доведемо, що
Маємо
Візьмемо елемент
Тоді
2. Доведемо, що
2.1
Нехай
для
Отже
2.2
Ідеал
Нехай
Значить
Таким чином
3. Доведемо, що
Нехай для
Значить,
Так як
Мономорфизм
Бібліографічний список
1. Вечтомов, Є. М. Введення в півкільця [Текст] / Є. М. Вечтомов. - Кіров.: ВДПУ, 2000.2. Ламбек, І. Кільця та модулі [Текст] / І. Ламбек. - Москва.: Світ, 1971. - 288 с.
3. Чермний, В. В. Півкільця [Текст] / В. В. Чермний. - Кіров.: ВДПУ, 1997. - 131 с.