Пермський державний технічний університет
Будівельний факультет
Кафедра будівельної механіки та обчислювальної техніки
Курсова робота
з дисципліни
ІНФОРМАТИКА
Тема: Обчислення площ епюр з використанням чисельних методів
Роботу виконав:
Роботу прийняв:
м. Перм, 2008 р.
ЗМІСТ
Введення
1 Рішення нелінійного рівняння
1.1 Відділення (локалізація) коренів
1.2 Уточнення кореня
1.2.1 Метод Ньютона
2 Чисельне інтегрування
2.1 Квадратурні формули прямокутників
Введення
Часто рішення деяких будівельних завдань зводиться до вирішення досить складних нелінійних рівнянь, які можуть являти собою самостійну задачу (наприклад, при проектуванні очисних споруд залежності, що зв'язують проектні параметри процесу очищення є найчастіше нелінійними) або бути складовою частиною більш складних завдань (наприклад, частиною розрахунку споруди на стійкість). Коріння таких рівнянь порівняно рідко вдається знайти точними методами. Крім того, в деяких випадках і коефіцієнти рівняння, отримані в процесі експерименту або як результати попередніх розрахунків, відомі лише приблизно. Значить, сама задача про точному визначенні коренів рівняння втрачає сенс, і важливе значення набувають способи наближеного знаходження коренів рівняння і оцінки ступеня їх точності.
Нелінійні рівняння бувають алгебраїчними і трансцендентними.
Будь-яке нелінійне рівняння з одним невідомим можна представити у вигляді
де функція
Будь-яке значення х *, що звертає рівняння
З геометричної точки зору завдання знаходження коренів рівняння
Методи рішення нелінійних рівнянь діляться на прямі (точні) та ітераційні (наближені).
Прямі методи дозволяють записати коріння рівняння в аналітичному вигляді, тобто у вигляді деякої формули. На практиці клас таких рівнянь дуже невеликий.
Ітераційні (наближені) методи - це методи послідовних наближень.
Алгоритм знаходження наближених значень коренів рівняння складається з двох етапів.
Перший етап - відділення або локалізація коренів. На цьому етапі необхідно вирішити такі завдання:
· Дослідити кількість, характер і розташування коренів;
· Знайти їх наближені значення (нульові ітерації).
Другий етап - уточнення наближеного кореня до заданого ступеня точності
1. Рішення нелінійного рівняння
Теорема 1. Якщо неперервна на відрізку [a; b] функція f (x) приймає на кінцях його протилежні знаки, тобто f (a) f (b) <0, то всередині цього відрізка міститься щонайменше один корінь рівняння f (x) = 0. Корінь свідомо буде єдиним, якщо похідна f / (x) існує і зберігає постійний знак всередині інтервалу (a; b), тобто якщо f / (x)> 0 (або f / (x <0)) при а <х <b.
Шуканий корінь рівняння знаходиться в інтервалі (3; 4).
х 1, х 2, ..., х п
Якщо ця послідовність має межу
то кажуть, що ітераційний процес збігається і сходиться до точного розв'язання рівняння х [3; 4].
На практиці потрібно обмежувати ітераційний процес кінцевим числом кроків (ітерацій) п. Кількість ітерацій залежить від необхідної точності знаходження кореня.
Для припинення ітераційного процесу застосовуються різні критерії, що залежать від виду функції у = f (х) в околі кореня.
Існує кілька ітераційних методів розв'язання нелінійних рівнянь: метод половинного ділення (бисекции), метод хорд, метод Ньютона (метод дотичних), модифікований метод Ньютона.
Розглянемо більш детально метод хорд.
Нехай функція у = е х + ln х-10х на відрізку [3; 5] задовольняє умовам теореми 1.
Покладемо для визначеності
Проведемо дотичну до кривої у = f (x) в точці В 0 [х 0; f (x 0)]. В якості першого наближення кореня х 1 возмем абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю ОХ. Через точку В 1 [х 1; f (x 1)] знову проведемо дотичну, абсциса точки перетину якої з віссю ОХ дасть нам друге наближення кореня х 2 і т.д.
Рівняння дотичної в точці В 1 [х 1; f (x 1)] (п = 0,1,2 ...) до нашої кривої записується
Полога у = 0, х = х п +1, отримаємо формулу для побудови послідовності кореня нашого рівняння, тобто итерационную послідовність
Метод дотичних добре реалізується на ЕОМ
Висновок: до заданої точності 
Перевіримо рішення даного рівняння методом надбудови:
Дуже часто застосовують формули для наближеного обчислення інтегралів.
Такі формули називають квадратурних формул або формулами чисельного інтегрування.
Ідея чисельного методу полягає в заміні криволінійної трапеції фігурою, площа, якої обчислюється досить просто.
п-1), де h крок розбиття. При цьому позначимо у i = f (х i).
Площа кожної елементарної криволінійної трапеції замінимо площею прямокутника з основою h і висотою
Існує кілька формул прямокутників: «лівих» (відвідувачів), «правих» (що виходять) і «середніх».
У нашому випадку розглянемо докладніше формулу «середніх» прямокутників, коли
Зробимо розбивку для n = 5 і n = 10:
Будівельний факультет
Кафедра будівельної механіки та обчислювальної техніки
Курсова робота
з дисципліни
ІНФОРМАТИКА
Тема: Обчислення площ епюр з використанням чисельних методів
Роботу виконав:
Роботу прийняв:
м. Перм, 2008 р.
ЗМІСТ
Введення
1 Рішення нелінійного рівняння
1.1 Відділення (локалізація) коренів
1.2 Уточнення кореня
1.2.1 Метод Ньютона
2 Чисельне інтегрування
2.1 Квадратурні формули прямокутників
Введення
Часто рішення деяких будівельних завдань зводиться до вирішення досить складних нелінійних рівнянь, які можуть являти собою самостійну задачу (наприклад, при проектуванні очисних споруд залежності, що зв'язують проектні параметри процесу очищення є найчастіше нелінійними) або бути складовою частиною більш складних завдань (наприклад, частиною розрахунку споруди на стійкість). Коріння таких рівнянь порівняно рідко вдається знайти точними методами. Крім того, в деяких випадках і коефіцієнти рівняння, отримані в процесі експерименту або як результати попередніх розрахунків, відомі лише приблизно. Значить, сама задача про точному визначенні коренів рівняння втрачає сенс, і важливе значення набувають способи наближеного знаходження коренів рівняння і оцінки ступеня їх точності.
Нелінійні рівняння бувають алгебраїчними і трансцендентними.
Будь-яке нелінійне рівняння з одним невідомим можна представити у вигляді
де функція
Будь-яке значення х *, що звертає рівняння
З геометричної точки зору завдання знаходження коренів рівняння
Методи рішення нелінійних рівнянь діляться на прямі (точні) та ітераційні (наближені).
Прямі методи дозволяють записати коріння рівняння в аналітичному вигляді, тобто у вигляді деякої формули. На практиці клас таких рівнянь дуже невеликий.
Ітераційні (наближені) методи - це методи послідовних наближень.
Алгоритм знаходження наближених значень коренів рівняння складається з двох етапів.
Перший етап - відділення або локалізація коренів. На цьому етапі необхідно вирішити такі завдання:
· Дослідити кількість, характер і розташування коренів;
· Знайти їх наближені значення (нульові ітерації).
Другий етап - уточнення наближеного кореня до заданого ступеня точності
1. Рішення нелінійного рівняння
1.1 Відділення (локалізація) коренів
Відокремити (локалізувати) коріння - це значить виділити з області допустимих значень функції f (x) відрізки, в кожному з яких міститься єдиний корінь. Відокремити корені можна різними способами: побудовою таблиці значень функції y = f (x); графічним методом; виходячи з фізичного змісту завдань. Розглянемо більш детально графічний метод. Побудуємо графік функції| Х | у = е ^ х + lnx-10 * x | |
| 1,000000 | -7,281718 | |
| 1,200000 | -8,497562 | |
| 1,400000 | -9,608328 | |
| 1,600000 | -10,576964 | |
| 1,800000 | -11,362566 | |
| 2,000000 | -11,917797 | |
| 2,200000 | -12,186529 | |
| 2,400000 | -12,101355 | |
| 2,600000 | -11,580751 | |
| 2,800000 | -10,525734 | |
| 3,000000 | -8,815851 | |
| 3,200000 | -6,304319 | |
| 3,400000 | -2,812125 | |
| 3,600000 | 1,879168 | |
| 3,800000 | 8,036186 | |
| 4,000000 | 15,984444 | |
| 4,200000 | 26,121416 | |
| 4,400000 | 38,932473 | |
| 4,600000 | 55,010372 | |
| 4,800000 | 75,079033 | |
| 5,000000 | 100,022597 | |
Теорема 1. Якщо неперервна на відрізку [a; b] функція f (x) приймає на кінцях його протилежні знаки, тобто f (a) f (b) <0, то всередині цього відрізка міститься щонайменше один корінь рівняння f (x) = 0. Корінь свідомо буде єдиним, якщо похідна f / (x) існує і зберігає постійний знак всередині інтервалу (a; b), тобто якщо f / (x)> 0 (або f / (x <0)) при а <х <b.
Шуканий корінь рівняння знаходиться в інтервалі (3; 4).
1.2 Уточнення кореня
Ітераційний процес полягає у послідовному уточненні початкового наближення кореня х 0. У результаті цього процесу перебуває послідовність наближень (ітерацій) значень кореня рівняння f (x) = 0:х 1, х 2, ..., х п
Якщо ця послідовність має межу
то кажуть, що ітераційний процес збігається і сходиться до точного розв'язання рівняння х [3; 4].
На практиці потрібно обмежувати ітераційний процес кінцевим числом кроків (ітерацій) п. Кількість ітерацій залежить від необхідної точності знаходження кореня.
Для припинення ітераційного процесу застосовуються різні критерії, що залежать від виду функції у = f (х) в околі кореня.
Існує кілька ітераційних методів розв'язання нелінійних рівнянь: метод половинного ділення (бисекции), метод хорд, метод Ньютона (метод дотичних), модифікований метод Ньютона.
Розглянемо більш детально метод хорд.
1.2.1 Метод Ньютона
Геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої ділянки дуги кривої у = f (x) дотичній, проведеної в деякій точці цієї кривої.Нехай функція у = е х + ln х-10х на відрізку [3; 5] задовольняє умовам теореми 1.
Покладемо для визначеності
Проведемо дотичну до кривої у = f (x) в точці В 0 [х 0; f (x 0)]. В якості першого наближення кореня х 1 возмем абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю ОХ. Через точку В 1 [х 1; f (x 1)] знову проведемо дотичну, абсциса точки перетину якої з віссю ОХ дасть нам друге наближення кореня х 2 і т.д.
Рівняння дотичної в точці В 1 [х 1; f (x 1)] (п = 0,1,2 ...) до нашої кривої записується
Полога у = 0, х = х п +1, отримаємо формулу для побудови послідовності кореня нашого рівняння, тобто итерационную послідовність
Метод дотичних добре реалізується на ЕОМ
| Метод Ньютона | ||||||
| Вибір нульового наближення: Х0 = | 5,0000 | |||||
| f (x) = е ^ х + lnх-10 * х | ||||||
| f (X0) * f''(X0)> 0 | ||||||
| f '(x) = е ^ x +1 / x-10 | ||||||
| n | Xn | f (Xn) | f '(Xn) | If (Xn) I | ||
| 0 | 5,00000 | 100,02260 | 138,61316 | 100,02260 | ||
| 1 | 4,27840 | 30,79482 | 62,35902 | 30,79482 | ||
| 2 | 3,78457 | 7,50210 | 34,28113 | 7,50210 | ||
| 3 | 3,56573 | 0,97941 | 25,64582 | 0,97941 | ||
| 4 | 3,52754 | 0,02541 | 24,32372 | 0,02541 | ||
| 5 | 3,52650 | 0,00002 | 24,28827 | 0,00002 | ||
| 6 | 3,52650 | 0,00000 | 24,28824 | 0,00000 | ||
| 7 | 3,52650 | 0,00000 | 24,28824 | 0,00000 | ||
| 8 | 3,52650 | 0,00000 | 24,28824 | 0,00000 | ||
Перевіримо рішення даного рівняння методом надбудови:
| Нелінійне рівняння е ^ x + lnx-10 * x = 0 | ||||
| Х0 | Xn | F (Xn) | ||
| 3,5265 | 3,5265 | 0,00005 | ||
2 Чисельне інтегрування
При вирішенні досить великого кола технічних завдань доводиться стикатися з необхідністю обчислення визначеного інтеграла.Дуже часто застосовують формули для наближеного обчислення інтегралів.
Такі формули називають квадратурних формул або формулами чисельного інтегрування.
Ідея чисельного методу полягає в заміні криволінійної трапеції фігурою, площа, якої обчислюється досить просто.
2.1 Квадратурні формули прямокутників
Відрізок інтегрування [а; b] розбиваємо на п рівних відрізків і отримуємо п +1 рівновіддалених точок: х 0 = а, х п = b, х i +1 = x i + h, i = (0,1,2 ...,п-1), де h крок розбиття. При цьому позначимо у i = f (х i).
Площа кожної елементарної криволінійної трапеції замінимо площею прямокутника з основою h і висотою
Існує кілька формул прямокутників: «лівих» (відвідувачів), «правих» (що виходять) і «середніх».
У нашому випадку розглянемо докладніше формулу «середніх» прямокутників, коли
Зробимо розбивку для n = 5 і n = 10:
a = | 3,0000 | Чисельне інтегрування | ||||||
| b = | 3,5265 | n = | 5 | J = | ||||
| h = | 0,1053 | |||||||
| Номер | Значення | f (x) | Метод | |||||
| вузла | вузла | ср.прямоуг | ||||||
| 1 | 3,0000 | -8,8159 | 0,0000 | |||||
| 2 | 3,1053 | -7,6040 | -0,9228 | |||||
| 3 | 3,2106 | -6,1456 | -1,7179 | |||||
| 4 | 3,3159 | -4,4131 | -2,3595 | |||||
| 5 | 3,4212 | -2,3759 | -2,8187 | |||||
| 6 | 3,5265 | 0,0000 | -3,0633 | |||||
| a = | 3,0000 | |||||||
| b = | 3,5265 | n = | 10 | |||||
| h = | 0,0527 | |||||||
| Номер | Значення | f (x) | Метод | |||||
| вузла | вузла | ср.прямоуг | ||||||
| 1 | 3,0000 | -8,8159 | 0,0000 | |||||
| 2 | 3,0527 | -8,2391 | -0,4628 | |||||
| 3 | 3,1053 | -7,6040 | -0,8952 | |||||
| 4 | 3,1580 | -6,9073 | -1,2941 | |||||
| 5 | 3,2106 | -6,1456 | -1,6564 | |||||
| 6 | 3,2633 | -5,3154 | -1,9786 | |||||
| 7 | 3,3159 | -4,4131 | -2,2571 | |||||
| 8 | 3,3686 | -3,4346 | -2,4880 | |||||
| 9 | 3,4212 | -2,3759 | -2,6675 | |||||
| 10 | 3,4739 | -1,2325 | -2,7912 | |||||
| 11 | 3,5265 | 0,0000 | -2,8547 | |||||
| a = | 3,5265 | Чисельне інтегрування | ||||||
| b = | 4,0000 | n = | 5 | J = | ||||
| h = | 0,0947 | |||||||
| Номер | Значення | f (x) | Метод | |||||
| вузла | вузла | ср.прямоуг | ||||||
| 1 | 3,5265 | 0,0000 | 0,0000 | |||||
| 2 | 3,6212 | 2,4572 | 0,0045 | |||||
| 3 | 3,7159 | 5,2492 | 0,2417 | |||||
| 4 | 3,8106 | 8,4093 | 0,7433 | |||||
| 5 | 3,9053 | 11,9743 | 1,5441 | |||||
| 6 | 4,0000 | 15,9844 | 2,6825 | |||||
| a = | 3,5265 | |||||||
| b = | 4,0000 | n = | 10 | |||||
| h = | 0,0474 | |||||||
| Номер | Значення | f (x) | Метод | |||||
| вузла | вузла | ср.прямоуг | ||||||
| 1 | 3,5265 | 0,0000 | 0,0000 | |||||
| 2 | 3,5739 | 1,1887 | 0,0011 | |||||
| 3 | 3,6212 | 2,4572 | 0,0585 | |||||
| 4 | 3,6686 | 3,8093 | 0,1760 | |||||
| 5 | 3,7159 | 5,2492 | 0,3575 | |||||
| 6 | 3,7633 | 6,7810 | 0,6072 | |||||
| 7 | 3,8106 | 8,4093 | 0,9294 | |||||
| 8 | 3,8580 | 10,1388 | 1,3287 | |||||
| 9 | 3,9053 | 11,9743 | 1,8099 | |||||
| 10 | 3,9527 | 13,9211 | 2,3780 | |||||
| 11 | 4,0000 | 15,9844 | 3,0382 | |||||