Анотація
У даній продажам розглядається моделювання неперервно-стохастичних моделей на ЕОМ.
Робота виклад на 26 сторінках друкованих тексту, містіть: 2додаткі, 4 рисунка та список вікорістаної Літератури з 2 найменуванням.
Робота виконан російскою мовою.
Анотація
У даній роботі розглядається моделювання процесу надходження до моделей на ЕОМ.
Робота викладена на 26 сторінках друкованого тексту, містить: 2 додатка, 4 рисунка і список використаної літератури з 2 найменувань.
Робота виконана російською мовою.
Annotation
In the given work modelling continuous - stochastic models on the computer is considered
Work is stated on 26 pages of the printed text, contains: 2 appendices, figures and the list of the used literature from 2 names.
Work is executed on Russian.
ЗМІСТ
\ T "Запровадження; 1"
Введення. 4
1 Вибір методу моделювання диференціальної стохастичної системи і постановка задачі. 6
1.1 Вибір методу моделювання. 7
1.2 Постановка завдання. 9
2 Побудова чисельної моделі диференціальної стохастичної системи. 11
3 Результати моделювання. 15
Висновок. 19
Список використаної літератури: 21
Додаток А - Текст програми .. 22
Додаток Б - Перевірка датчика випадкових чисел ... ... ... ... ... .... ... ... .. 24
Для вирішення поставленої проблеми існують дві групи методів. Перша група базується на знанні аналітичного виразу щільності ймовірності, а друга група - не вимагає подібної інформації. І так як нам не відома щільність ймовірності, ми повинні скористатися другою групою, тобто виконати математичне моделювання з використанням чисельних методів.
Тому виконаємо безперервно-стохастичне моделювання на ЕОМ.
Таким чином, метою курсової роботи є моделювання стану системи для оцінки виходів ординат випадкового процесу за заданий рівень
Стан системи описується стохастичним диференціальним рівнянням:
з наступними параметрами:
де
і початковими умовами:
і часом моделювання 120 сек, відносна похибка середньоквадратичного відхилення
Для досягнення цієї мети необхідно вирішити такі завдання:
· Вибрати метод моделювання стохастичної диференціальної системи;
· Побудувати чисельну модель стану системи;
· Виконати моделювання по побудованої чисельної моделі;
· Оцінити кількість викидів випадкової величини за заданий рівень
Стохастична диференціальна система - це система з кінцевим вектором стану і значеннями вхідних і вихідних сигналів, які описуються стохастичними диференціальними рівняннями. Для вирішення нелінійних систем використовують чисельні моделі.
Моделювання - процес проведення експериментів на моделі замість проведення експериментів на самій моделі.
Моделювання широко використовується, оскільки значно полегшує наукові дослідження і часто виявляється єдиним засобом пізнання складних систем.
Імітаційне моделювання - моделювання, при якому система замінюється на її імітатора, і з ними проводиться експеримент з метою отримання інформації про систему.
Математичне моделювання - моделювання, при якому ми можемо замінити систему її математичною моделлю і провести експеримент з нею, а не з самою системою.
Сутність імітаційного моделювання полягає в тому,
що в його основу покладена методологія системного аналізу. Вона дає можливість досліджувати проектовану або аналізовану систему
за технологією операційного дослідження, включаючи такі етапи, як смислова постановка задачі; розробка концептуальної моделі; розробка та програмне реалізація імітаційної моделі; перевірка адекватності моделі та оцінка точності результатів моделювання, планування експериментів; прийняття рішень. Завдяки цьому імітаційне моделювання можна застосовувати як універсальний підхід для прийняття рішень в умовах невизначеності та для врахування у моделях чинників, які важко формалізуються, а також для введення в практику основних принципів системного підходу для вирішення практичних завдань.
Але для вирішення нашої задачі ми скористаємося математичним моделюванням, оскільки передбачувана модель диференціальної стохастичної системи буде математичної.
Що ж стосується методу, то виконання поставленої задачі моделювання існують різні методи. У першій групі цих методів потрібно побудувати щільність ймовірності в аналітичному вигляді, коли система описується нелінійними стохастичними рівняннями, що неможливо при даній постановці завдання, оскільки ми не можемо знайти щільність ймовірності в аналітичному вигляді. Тому виконаємо математичне моделювання безперервно-стохастичне системи з використанням чисельного методу.
В якості чисельного методу для вищевказаного моделювання скористаємося методом Ейлера, тому що він найбільш оптимально підходить для вирішення даного завдання, оскільки може забезпечити цілком прийнятну точність розрахунків при відносній простоті. Безумовно, існує ряд інших методів, які забезпечують більш високу точність, наприклад метод Рунге Кутта, але вони є значно складнішими.
Збіжність застосовуваного методу (методу Ейлера) забезпечується середньоквадратичне. В якості критерію для вибору кроку будемо застосовувати відносну похибку середньоквадратичного відхилення.
Якщо цей критерій менший або дорівнює 0.05, то результат задовільний, інакше необхідно зменшити крок інтегрування в 2 рази і
вторити ітерацію.
Виконати моделювання процесу надходження до системи на ЕОМ, стан якої описується стохастичним диференціальним рівнянням
з наступними параметрами:
де
і часом моделювання 120 сек, причому відносна похибка середньоквадратичного відхилення
якщо:
а) випадкове вплив має спектральну щільність
б) якщо випадкове вплив X (t) є білим шумом.
Моделювання виконується з метою обчислення кількості ординат випадкового процесу y (t), які виходять за рівень
Будемо використовувати нелінійне стохастичне рівняння 2-го порядку
де
Для реалізації математичної моделі у випадках:
а) випадкове вплив має спектральну щільність
де
а) якщо випадковий процес має спектральну щільність.
Білий шум - стаціонарний випадковий процес з нульовим математичним очікуванням і кореляційною функцією, рівній дельта-функції.
Моделювання білого шуму здійснюється за наступною формулою:
де
N o - коефіцієнт інтенсивності білого шуму або висота спектральної щільності.
Моделювання випадкового впливу з спектральною щільністю
в систему рівнянь 1-ого порядку, для цього введемо спеціальні змінні:
У результаті отримаємо наступну систему 1-го порядку:
Застосовуємо до кожного рівнянню метод Ейлера
отримаємо таку чисельну модель:
У випадку а) коли випадкове вплив - білий шум, аналогічно, математична модель буде мати вигляд:
При моделюванні безперервної стохастичної моделі слід виконати такі дії:
1) Підбір коефіцієнта інтенсивності білого шуму (його ми здійснимо за допомогою табуляції функції
її максимальне значення і буде необхідним кроком);
2) розробити датчик випадкових чисел з нормальним законом розподілу.
Для цього необхідно:
- Згенерувати два випадкових числа з рівномірним законом розподілу, 1-е число
(Малюнок 1);
- Порівняти, якщо V 1> f (V 1), то всі числа відкидаються і генерація повторюється заново, інакше менше число приймається як вірне;
3) вибрати довільний крок табулювання;
4) отримати значення з систем рівнянь (8), (9);
5) перевірити збіжність - перевірка виконується середньоквадратичне за формулою
Якщо похибка середньоквадратичного відхилення менше або дорівнює 0.05, то отримані значення вважаються рішенням, інакше необхідно зменшити крок в 2 рази і повторити ітерацію.
Причому у випадку, де X (t) - білий шум забезпечуємо збіжність тільки по x 1 (8); а у випадку, де випадкове вплив має спектральну щільність (2), збіжність забезпечуємо і по x 1 і з x 3.
Алгоритм роботи програми наступний:
- Знаходиться коефіцієнт інтенсивності білого шуму No, для цього функція
Перша частина завдання, де m (t) білий шум:
- Застосовується генератор випадкових чисел з нормальним розподілом;
- Вибирається довільний крок;
- Виходять залежності y (t) від t і y '(t);
- Виконується контроль середньоквадратичного відхилення
за формулою
-Якщо середньоквадратичного відхилення менше, або дорівнює 0.05 то отримані залежності вважаються рішенням, інакше крок табулювання зменшується у два рази.
Рішення другої частини завдання, де х (t) задана функція, виконується по вище описаним алгоритмом лише з тією різницею, що контроль середньоквадратичного відхилення ведеться не тільки за x1, але і по x3. (З формули (6)). Отриманий результат виводиться в текстовий файл.
Після завершення роботи програми були отримані необхідні точкові оцінки диференціального стохастичного рівняння.
Результати представлені нижче на малюнках 1-6.
Програма наведена в додатку А.
\ S
Малюнок 1 - Залежність y від t
\ S
Рисунок 2 - Залежність y 'від t
Випадкове вплив на систему-задана функція:
\ S
\ S
Рисунок 4 - Залежність z від t
з наступними параметрами:
де
і часом моделювання 120 сек, відносна похибка середньоквадратичного відхилення,
якщо:
а) випадкове вплив має спектральну щільність
б) якщо випадковий процес є білим шумом.
В даній роботі:
Ø вибрали метод моделювання стохастичної диференціальної системи;
Ø побудували чисельну модель стану системи;
Ø виконали моделювання по побудованої чисельної моделі;
Ø оцінили викид випадкової величини за рівень
Ø Виконали перевірку датчика сл.чіс.с допомогою критерію Хі квадрат.
(Додаток Б)
Моделювання виконувалось з метою обчислення кількості ординат випадкового процесу y (t), які виходять за рівень
2. Статистичні методи для ЕОМ / Под ред. К. Енслейна: Пер. з англ. / Под ред. М. Б. Малютова .- М.: Наука. Гл.ред. фіз. Мат., Літ. 1986.-464с.
# Include <math.h>
# Include <stdlib.h>
int main () {
int const k = 1000;
double t, y, z;
int i, j;
int n = 120;
int n0 = 1;
double w = 1;
double b1 = 0.5;
double b2 = 1.5;
double c1 = 1.2;
double c3 =- 1.5;
double M = 0.03;
double h = 0.1;
t = 0;
double t1 = 0;
z = 0;
double z1 = 0;
y = 0.15;
double y1 = 0.15;
double y_max, y_rez, eps, eps1;
double mas1 [1200];
double mas [1200];
double e;
FILE * stream;
printf ("t | y | z \ n");
/ / / Fprintf (stream, "t | y | z \ n");
i = 0;
/ * Open a file for update * /
stream = fopen ("DUMMY.FIL", "w +");
while (t <120)
{
double j1, j2, r1, r2, s;
j1 = -1.0 + 2.0 * rand ()/(( double) RAND_MAX - 1.0);
j2 = -1.0 + 2.0 * rand ()/(( double) RAND_MAX - 1.0);
s = j1 * j1 + j2 * j2;
if (s <1)
{
r1 = j1 * sqrt (-2 * log (s) / s);
r2 = j2 * sqrt (-2 * log (s) / s);
};
e = r1;
t = t + h;
y = y + h * z;
z = z + h * (e * pow ((n0 / h), 1 / 2)-b1 * z-b2 * fabs (z) * z-c1 * y-c3 * pow (y, 3));
mas [i] = y;
printf ("% f |% f |% f \ n", t, y, z);
/ * Write some data to the file * /
fprintf (stream, "% f |% f |% f \ n", t, y, z);
t1 = t1 + h / 2;
y1 = y + ((h / 2) * z1);
z1 = z1 + ((h / 2) * (e * pow ((n0 / h), 1 / 2)-b1 * z-b2 * fabs (z) * z-c1 * y-c3 * pow (y, 3 )));
mas1 [i] = y1;
i = i +1;
}
/ * Close the file * /
/ / Fclose (stream);
y_rez = 0;
y_max = mas1 [0];
for (i = 0; i <= 119; i + +)
{
y_rez = y_rez + (pow ((mas1 [i]-mas [i]), 2));
if (mas1 [i]> y_max)
y_max = mas1 [i];
}
eps = pow (y_rez / n, 0.5) / fabs (y_max);
printf ("% f epsilon for our operations \ n", eps);
fprintf (stream, "% f epsilon for our operations \ n", eps);
fclose (stream);
return 0;
}
У даній продажам розглядається моделювання неперервно-стохастичних моделей на ЕОМ.
Робота виклад на 26 сторінках друкованих тексту, містіть: 2додаткі, 4 рисунка та список вікорістаної Літератури з 2 найменуванням.
Робота виконан російскою мовою.
Анотація
У даній роботі розглядається моделювання процесу надходження до моделей на ЕОМ.
Робота викладена на 26 сторінках друкованого тексту, містить: 2 додатка, 4 рисунка і список використаної літератури з 2 найменувань.
Робота виконана російською мовою.
Annotation
In the given work modelling continuous - stochastic models on the computer is considered
Work is stated on 26 pages of the printed text, contains: 2 appendices, figures and the list of the used literature from 2 names.
Work is executed on Russian.
ЗМІСТ
\ T "Запровадження; 1"
Введення. 4
1 Вибір методу моделювання диференціальної стохастичної системи і постановка задачі. 6
1.1 Вибір методу моделювання. 7
1.2 Постановка завдання. 9
2 Побудова чисельної моделі диференціальної стохастичної системи. 11
3 Результати моделювання. 15
Висновок. 19
Список використаної літератури: 21
Додаток А - Текст програми .. 22
Додаток Б - Перевірка датчика випадкових чисел ... ... ... ... ... .... ... ... .. 24
Введення
Існує проблема оцінки функціонування довільної системи, тобто оцінки виходу її характеристик за певний рівень.Для вирішення поставленої проблеми існують дві групи методів. Перша група базується на знанні аналітичного виразу щільності ймовірності, а друга група - не вимагає подібної інформації. І так як нам не відома щільність ймовірності, ми повинні скористатися другою групою, тобто виконати математичне моделювання з використанням чисельних методів.
Тому виконаємо безперервно-стохастичне моделювання на ЕОМ.
Таким чином, метою курсової роботи є моделювання стану системи для оцінки виходів ординат випадкового процесу за заданий рівень
Стан системи описується стохастичним диференціальним рівнянням:
з наступними параметрами:
де
і часом моделювання 120 сек, відносна похибка середньоквадратичного відхилення
Для досягнення цієї мети необхідно вирішити такі завдання:
· Вибрати метод моделювання стохастичної диференціальної системи;
· Побудувати чисельну модель стану системи;
· Виконати моделювання по побудованої чисельної моделі;
· Оцінити кількість викидів випадкової величини за заданий рівень
1 Вибір методу моделювання диференціальної стохастичної системи і постановка задачі
У даному розділі ми здійснимо вибір методу моделювання диференціальної стохастичної системи з метою виявлення найбільш оптимального методу за критеріями - точність, простота.Стохастична диференціальна система - це система з кінцевим вектором стану і значеннями вхідних і вихідних сигналів, які описуються стохастичними диференціальними рівняннями. Для вирішення нелінійних систем використовують чисельні моделі.
Моделювання - процес проведення експериментів на моделі замість проведення експериментів на самій моделі.
Моделювання широко використовується, оскільки значно полегшує наукові дослідження і часто виявляється єдиним засобом пізнання складних систем.
1.1 Вибір методу моделювання
Існує математичне та імітаційне моделювання.Імітаційне моделювання - моделювання, при якому система замінюється на її імітатора, і з ними проводиться експеримент з метою отримання інформації про систему.
Математичне моделювання - моделювання, при якому ми можемо замінити систему її математичною моделлю і провести експеримент з нею, а не з самою системою.
Сутність імітаційного моделювання полягає в тому,
що в його основу покладена методологія системного аналізу. Вона дає можливість досліджувати проектовану або аналізовану систему
за технологією операційного дослідження, включаючи такі етапи, як смислова постановка задачі; розробка концептуальної моделі; розробка та програмне реалізація імітаційної моделі; перевірка адекватності моделі та оцінка точності результатів моделювання, планування експериментів; прийняття рішень. Завдяки цьому імітаційне моделювання можна застосовувати як універсальний підхід для прийняття рішень в умовах невизначеності та для врахування у моделях чинників, які важко формалізуються, а також для введення в практику основних принципів системного підходу для вирішення практичних завдань.
Але для вирішення нашої задачі ми скористаємося математичним моделюванням, оскільки передбачувана модель диференціальної стохастичної системи буде математичної.
Що ж стосується методу, то виконання поставленої задачі моделювання існують різні методи. У першій групі цих методів потрібно побудувати щільність ймовірності в аналітичному вигляді, коли система описується нелінійними стохастичними рівняннями, що неможливо при даній постановці завдання, оскільки ми не можемо знайти щільність ймовірності в аналітичному вигляді. Тому виконаємо математичне моделювання безперервно-стохастичне системи з використанням чисельного методу.
В якості чисельного методу для вищевказаного моделювання скористаємося методом Ейлера, тому що він найбільш оптимально підходить для вирішення даного завдання, оскільки може забезпечити цілком прийнятну точність розрахунків при відносній простоті. Безумовно, існує ряд інших методів, які забезпечують більш високу точність, наприклад метод Рунге Кутта, але вони є значно складнішими.
Збіжність застосовуваного методу (методу Ейлера) забезпечується середньоквадратичне. В якості критерію для вибору кроку будемо застосовувати відносну похибку середньоквадратичного відхилення.
Якщо цей критерій менший або дорівнює 0.05, то результат задовільний, інакше необхідно зменшити крок інтегрування в 2 рази і
вторити ітерацію.
1.2 Постановка завдання
Виходячи з вище розглянутого матеріалу уточнюємо і формулюємо постановку задачі:Виконати моделювання процесу надходження до системи на ЕОМ, стан якої описується стохастичним диференціальним рівнянням
з наступними параметрами:
де
і часом моделювання 120 сек, причому відносна похибка середньоквадратичного відхилення
якщо:
а) випадкове вплив має спектральну щільність
б) якщо випадкове вплив X (t) є білим шумом.
Моделювання виконується з метою обчислення кількості ординат випадкового процесу y (t), які виходять за рівень
2 Побудова чисельної моделі диференціальної стохастичної системи.
Виконаємо математичне моделювання процесу надходження до системи.Будемо використовувати нелінійне стохастичне рівняння 2-го порядку
де
Для реалізації математичної моделі у випадках:
а) випадкове вплив має спектральну щільність
де
а) якщо випадковий процес має спектральну щільність.
Білий шум - стаціонарний випадковий процес з нульовим математичним очікуванням і кореляційною функцією, рівній дельта-функції.
Моделювання білого шуму здійснюється за наступною формулою:
де
N o - коефіцієнт інтенсивності білого шуму або висота спектральної щільності.
Моделювання випадкового впливу з спектральною щільністю
в систему рівнянь 1-ого порядку, для цього введемо спеціальні змінні:
У результаті отримаємо наступну систему 1-го порядку:
Застосовуємо до кожного рівнянню метод Ейлера
отримаємо таку чисельну модель:
У випадку а) коли випадкове вплив - білий шум, аналогічно, математична модель буде мати вигляд:
При моделюванні безперервної стохастичної моделі слід виконати такі дії:
1) Підбір коефіцієнта інтенсивності білого шуму (його ми здійснимо за допомогою табуляції функції
її максимальне значення і буде необхідним кроком);
2) розробити датчик випадкових чисел з нормальним законом розподілу.
a |
b |
V 1 |
V 2 |
f m |
f (x) |
x |
Рисунок 1 - Розподіл щільності ймовірності |
f (V 1) |
Для цього необхідно:
- Згенерувати два випадкових числа з рівномірним законом розподілу, 1-е число
(Малюнок 1);
- Порівняти, якщо V 1> f (V 1), то всі числа відкидаються і генерація повторюється заново, інакше менше число приймається як вірне;
3) вибрати довільний крок табулювання;
4) отримати значення з систем рівнянь (8), (9);
5) перевірити збіжність - перевірка виконується середньоквадратичне за формулою
Якщо похибка середньоквадратичного відхилення менше або дорівнює 0.05, то отримані значення вважаються рішенням, інакше необхідно зменшити крок в 2 рази і повторити ітерацію.
Причому у випадку, де X (t) - білий шум забезпечуємо збіжність тільки по x 1 (8); а у випадку, де випадкове вплив має спектральну щільність (2), збіжність забезпечуємо і по x 1 і з x 3.
3 Результати моделювання
На основі обраної чисельної моделі була розроблена програма з моделювання системи.Алгоритм роботи програми наступний:
- Знаходиться коефіцієнт інтенсивності білого шуму No, для цього функція
Перша частина завдання, де m (t) білий шум:
- Застосовується генератор випадкових чисел з нормальним розподілом;
- Вибирається довільний крок;
- Виходять залежності y (t) від t і y '(t);
- Виконується контроль середньоквадратичного відхилення
за формулою
-Якщо середньоквадратичного відхилення менше, або дорівнює 0.05 то отримані залежності вважаються рішенням, інакше крок табулювання зменшується у два рази.
Рішення другої частини завдання, де х (t) задана функція, виконується по вище описаним алгоритмом лише з тією різницею, що контроль середньоквадратичного відхилення ведеться не тільки за x1, але і по x3. (З формули (6)). Отриманий результат виводиться в текстовий файл.
Після завершення роботи програми були отримані необхідні точкові оцінки диференціального стохастичного рівняння.
Результати представлені нижче на малюнках 1-6.
Програма наведена в додатку А.
Результати роботи програм представлені у вигляді графіків залежностей.
Випадковий процес є білим шумом:Малюнок 1 - Залежність y від t
Рисунок 2 - Залежність y 'від t
Випадкове вплив на систему-задана функція:
Рисунок 4 - Залежність z від t
Висновок
Була виконана робота з моделювання стану системи процесу надходження на ЕОМ, стан якої описується стохастичним диференціальним рівняннямз наступними параметрами:
де
і часом моделювання 120 сек, відносна похибка середньоквадратичного відхилення,
якщо:
а) випадкове вплив має спектральну щільність
б) якщо випадковий процес є білим шумом.
В даній роботі:
Ø вибрали метод моделювання стохастичної диференціальної системи;
Ø побудували чисельну модель стану системи;
Ø виконали моделювання по побудованої чисельної моделі;
Ø оцінили викид випадкової величини за рівень
Ø Виконали перевірку датчика сл.чіс.с допомогою критерію Хі квадрат.
(Додаток Б)
Моделювання виконувалось з метою обчислення кількості ординат випадкового процесу y (t), які виходять за рівень
Список використаної літератури:
1. Томашевський В. М., Жданова В. Г., Жолдак О.О.. Вирішення практичних завданнь методами комп'ютерного моделювання: Навч. посібник .- К.: "Корнійчук", 2001.-268с.2. Статистичні методи для ЕОМ / Под ред. К. Енслейна: Пер. з англ. / Под ред. М. Б. Малютова .- М.: Наука. Гл.ред. фіз. Мат., Літ. 1986.-464с.
Додаток А - Текст програми 1
# Include <stdio.h># Include <math.h>
# Include <stdlib.h>
int main () {
int const k = 1000;
double t, y, z;
int i, j;
int n = 120;
int n0 = 1;
double w = 1;
double b1 = 0.5;
double b2 = 1.5;
double c1 = 1.2;
double c3 =- 1.5;
double M = 0.03;
double h = 0.1;
t = 0;
double t1 = 0;
z = 0;
double z1 = 0;
y = 0.15;
double y1 = 0.15;
double y_max, y_rez, eps, eps1;
double mas1 [1200];
double mas [1200];
double e;
FILE * stream;
printf ("t | y | z \ n");
/ / / Fprintf (stream, "t | y | z \ n");
i = 0;
/ * Open a file for update * /
stream = fopen ("DUMMY.FIL", "w +");
while (t <120)
{
double j1, j2, r1, r2, s;
j1 = -1.0 + 2.0 * rand ()/(( double) RAND_MAX - 1.0);
j2 = -1.0 + 2.0 * rand ()/(( double) RAND_MAX - 1.0);
s = j1 * j1 + j2 * j2;
if (s <1)
{
r1 = j1 * sqrt (-2 * log (s) / s);
r2 = j2 * sqrt (-2 * log (s) / s);
};
e = r1;
t = t + h;
y = y + h * z;
z = z + h * (e * pow ((n0 / h), 1 / 2)-b1 * z-b2 * fabs (z) * z-c1 * y-c3 * pow (y, 3));
mas [i] = y;
printf ("% f |% f |% f \ n", t, y, z);
/ * Write some data to the file * /
fprintf (stream, "% f |% f |% f \ n", t, y, z);
t1 = t1 + h / 2;
y1 = y + ((h / 2) * z1);
z1 = z1 + ((h / 2) * (e * pow ((n0 / h), 1 / 2)-b1 * z-b2 * fabs (z) * z-c1 * y-c3 * pow (y, 3 )));
mas1 [i] = y1;
i = i +1;
}
/ * Close the file * /
/ / Fclose (stream);
y_rez = 0;
y_max = mas1 [0];
for (i = 0; i <= 119; i + +)
{
y_rez = y_rez + (pow ((mas1 [i]-mas [i]), 2));
if (mas1 [i]> y_max)
y_max = mas1 [i];
}
eps = pow (y_rez / n, 0.5) / fabs (y_max);
printf ("% f epsilon for our operations \ n", eps);
fprintf (stream, "% f epsilon for our operations \ n", eps);
fclose (stream);
return 0;
}