Механіка рідин і газів в законах і рівняннях

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

ГОУ ВПО
ОМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ
Реферат на тему:
МЕХАНІКА РІДИНИ і газів
Виконав:
Студент гр. МС-116
Оконешніков А.В.
Перевірив:
Шевченко С.С.
Омськ - 2007

1. МЕХАНІКА РІДИНИ
Сукупність векторів v (t), заданих для всіх точок простору, називається полем вектора швидкості. Це поле можна наочно зобразити за допомогою ліній струму (рис. 39.1). Лінію струму

Рис. 39.1. Лінії струму проводяться так, щоб вектор v в кожній точці простору був спрямований по дотичній до відповідної лінії
Ріс.39.2. За час Δ t через поверхню S пройдуть всі частинки рідини, укладені в обсязі між S і S '


можна провести через будь-яку точку простору. Якщо побудувати всі мислимі лінії струму, вони просто зіллються один з одним. Тому для наочного подання течії рідини будують лише частина ліній, вибираючи їх так, щоб густота ліній струму була чисельно дорівнює модулю швидкості в даному місці. Тоді по картині ліній струму можна судити не тільки про напрямок, але і про модуль вектора v в різних точках простору. Наприклад, у точці А на ріс.39.1 густота ліній, а отже і модуль v, ніж у точці В. Оскільки різні частки рідини можуть проходити через дану точку простору з різними швидкостями (тобто v = V (t)), картина ліній струму, взагалі кажучи, весь час змінюється. Якщо швидкість в кожній точці простору залишається постійною (V = const), то протягом рідини Називається стаціонарним (сталим). При стаціонарному перебігу будь-яка частка рідини проходить через дану точку простору з однією і тією ж швидкістю v. Картина ліній струму при стаціонарному перебігу залишається незмінною, і лінії струму в цьому випадку збігаються з траєкторіями частинок. Якщо через всі точки невеликого замкнутого контуpa провести лінії струму, утворюється поверхня, яку називають трубкою струму. Вектор v   дотичних до поверхні трубки струму в кожній її точці. Отже, частки рідини при своєму русі не перетинають стінок трубки струму.
Візьмемо трубку струму, досить тонку для того, щоб у всіх точках її поперечного перерізу S швидкість частинок v була одна і та ж (рис. 39.2). При стаціонарному перебігу трубка струму подібна стінок жорсткої труби. Тому через перетин 5 пройде за час Δt об'єм рідини, що дорівнює SvΔt, а в одиницю часу обсяг

(39.1)

Рідина, щільність якої всюди однакова і змінюватися не може, називається нестисливою. На рис. 39.3 зображено два перетину дуже тонкої трубки струму - S1 і S2. Якщо рідина нестислива, то к - ть її між цими перетинами залишається незмінним. Звідси випливає, що
Рис 39.4. При русі в звужується трубці швидкість частинок зростає - частки рухаються прискорено.
Ріс39.3. Для нестисливої ​​рідини при стаціонарному перебігу S 1 v 1 = S 2 v 2


обсяги рідини, що протікають в одиницю часу через перерізу S1 і S2, повинні бути однаковими:

(39.2)
(Нагадаємо, що через бічну поверхню трубки струму частинки рідини не проникають).
Рівність (39.2) справедливо для будь-якої пари довільно взятих перетинів. Отже, для нестисливої ​​рідини при стаціонарному перебігу твір Sv в будь-якому перетині даної трубки струму має однакове значення:

(39.3)
Це твердження носить назву теореми про нерозривність струменя.
Ми отримали формулу (39.3) для нестисливої ​​рідини. Однак вона застосовується до реальних рідин і навіть до газів в тому випадку, коли їх стискальністю можна знехтувати. Розрахунки показують, що при русі газів зі швидкостями, багато меншими швидкості звуку в цьому середовищі, їх можна з достатньою точністю вважати нестисливою.
Зі співвідношення (39.3) випливає, що при змінному перетині трубки струму частинки нестисливої ​​рідини рухаються з прискоренням (рис. 39.4). Якщо трубка струму горизонтальна, це прискорення може бути обумовлено тільки непостійністю тиску уздовж трубки - у місцях, де швидкість більше, тиск повинен бути менше, і навпаки. Аналітичну зв'язок між швидкістю течії і тиском ми встановимо в наступному параграфі.
2. Рівняння Бернуллі
У реальних рідинах при переміщенні шарів рідини один щодо одного виникають сили внутрішнього тертя, які гальмують відносний зсув шарів. Уявна рідина, у якої внутрішнє тертя повністю відсутній, називається ідеальною. Перебіг ідеальної рідини не супроводжується диссипацией енергії (див. передостанній абзац § 24).
Розглянемо стаціонарне протягом нестисливої ​​ідеальної рідини. Виділимо об'єм рідини, обмежений стінками вузької трубки струму і перпендикулярними до ліній струму перерізами S 1 і S 2 (рис. 40.1), За час А / цей обсяг зміститься уздовж трубки струму, причому межа обсягу S 1 отримає переміщення Δ l 2, а кордон S 2 - переміщення Δ l 2. Робота, що здійснюється при цьому силами тиску, раїна збільшенню повної енергії (E k + E p), укладеної в аналізованому обсязі рідини.
Сили тиску на стінки трубки струму перпендикулярні в кожній точці до напрямку переміщення рідини, внаслідок чого роботи не здійснюють. Відмінна від нуля лише робота сил тиску, прикладених до січень S1 і S2. Ця робота дорівнює (див. рис. 40.1).

Повна енергія розглянутого об'єму рідини складається з кінетичної енергії і потенціалальной енергії в полі сил земного тяжіння. Внаслідок стаціонарності течії повна енергія тієї частини рідини, яка обмежена перерізами 1 'і 2 (внутрішня незаштріхованная частину трубки струму на рис. 40.1), за час Δ t не змінюється. Тому приріст повної енергії дорівнює різниці значень повної енергії заштрихованих обсягів Δ V 2 і Δ V 1, маса яких Δm = рΔ V (р - щільність рідини).
Візьмемо перетин S трубки струму і переміщення Δ l настільки малими, щоб всі точки кожного з заштрихованих обсягів можна було приписати одне і те ж значення швидкості v, тиску p, і висоти h. Тоді дли збільшення повної енергії виходить вираз

Прирівнявши вирази (40.1) і (40.2), скоротивши на AV і перенісши члени з однаковими індексами в 'одну частину рівності, прийдемо до рівняння

Це рівняння стає цілком суворим лише при прагненні поперечного перерізу S до нуля, тобто при стягуванні трубки струму в лінію. Отже, величини і, h і р в обох частинах рівності потрібно розглядати як відносяться до двох довільним точкам однієї і тієї ж лінії струму.
При виведенні формули (40.3) перерізу S 1 і S 2 були взяті абсолютно довільно. Тому можна стверджувати, що в стаціонарно поточної нестисливої ​​та ідеальної рідини уздовж будь-якої лінії струму виконується умова

Рівняння (40.3) або рівнозначне йому рівняння (40.4) називається рівнянням Бернуллі. Хоча це рівняння було отримано для ідеальної рідини, воно добре виконується для реальних рідин, у яких внутрішнє тертя невелике.
3. Витікання рідини з отвору
Розглянемо закінчення ідеальної нестисливої ​​рідини з невеликого отвору в широкому відкритому посудині (рис. 41.1). Виділимо подумки в рідині трубку струму, перерізами якої є відкрита поверхня рідини S 1 і перетин струменя при виході з отвору S 2 (якщо не вжити спеціальних заходів, то перетин струменя буде менше отвори). Для всіх точок кожного з цих перерізів швидкість рідини v і висоту h над деяким вихідним рівнем можна вважати однаковими. Тому до даних перетинах можна застосувати теорему Бернуллі. Тиску р 1 і р 2 в обох перетинах однакові і рівні атмосферному. Швидкістю v 1 переміщення відкритої поверхні рідини через її малість можна знехтувати. Тому рівняння (40.3) в даному випадку спрощується наступним чином:

Ріс.41.1.
де v - швидкість рідини в перерізі S 2 (швидкість витікання з отвору). Скоротивши на р, можна написати, що де h = h 1 - h 2 - висота відкритої поверхні над отвором.
Формула (41.1) називається формулою Торрічеллі. З неї випливає, що швидкість витікання рідини з отвору, що знаходиться на глибині h під відкритою поверхнею рідини, співпаде зі швидкістю, яку набуває будь-яке тіло, падаючи з висоти h (у разі, якщо опором повітря можна знехтувати). Цей результат отриманий у припущенні, що рідина ідеальна. Для реальних рідин швидкість спливу буде менше, причому тим сильніше відрізняється від значення, що визначається формулою Торрічеллі, чим більше внутрішнє тертя в рідині. Наприклад, гліцерин буде витікати з посудини повільніше, ніж вода.
4. В'язкість. Перебіг рідини в трубах
Ідеальна рідина, тобто рідина без внутрішнього тертя, є абстракцією. Всім реальним рідин і газів в більшій чи меншій мірі властиве внутрішнє тертя, зване також в'язкістю. В'язкість проявляється, зокрема, в тому, що виникло в рідині або газі рух, після припинення дії причин, його викликали, поступово припиняється. Прикладом може служити рух рідини в склянці після того, як її перестають розмішувати ложечкою.
Розглянемо протягом рідини в круглій трубі. Вимірювання показують, що при повільному плині швидкість частинок рідини змінюється від нуля в безпосередній близькості до стінок труби до максимуму на осі труби.

Рідина при цьому виявляється як би розділеної на тонкі циліндричні шари, які ковзають один відносно одного, не перемішуючись (рис. 42.1). Таке протягом називається ламінарним або шаруватим (латинське слово lamina означає платівку, смужку). Відсутність перемішування шарів можна спостерігати, створивши у скляній трубці діаметра кілька сантиметрів слабкий потік води і вводячи на осі труби через вузьку трубочку забарвлену рідину (наприклад, анілін). Тоді по всій довжині труби виникне тонка пофарбована цівка, що має чітку межу з водою.
З повсякденного досвіду відомо, що для того, щоб започаткувати постійним протягом рідини в трубі, необхідна наявність між кінцями труби різниці тисків. Оскільки при сталому перебігу рідина рухається без прискорення, необхідність дії сил тиску вказує на те, що ці сили, врівноважуються якимись силами, гальмуючим рух. Цими силами є сили внутрішнього тертя на кордоні зі стінкою труби і на межах між шарами. Більш швидкий шар прагне захопити за собою більш повільний шар, діючи на нього з силою F 1 спрямованої за течією. Одночасно більш повільний шар прагне уповільнити рух більш швидкого слон, діючи на нього з силою F 2 y направленому проти течії (рис. 42.2).
Експериментально встановлено, що модуль СИЛИ внутрішнього тертя, яка додається до майданчика 5, що лежить на кордоні між шарами, визначається формулою

де n-званий в'язкістю коефіцієнт пропорційності, що залежить від природи і стану

(Наприклад, температури) рідини, dv / dz-похідна, що показує, як швидко змінюється в даному місці швидкість течії в напрямків г, перпендикулярному до майданчика S. У випадку кочення рідини в трубі вісь z спрямована в кожній точці кордону між шарами по радіус} грубі (див. pіc, 42.1), Тому замість dv / dz можна написати, dv / df, Знак модуля у формулі (42.1) поставлений у зв'язку з тим, що в залежності від вибору напрямку осі z і характеру зміни швидкості похідна dv / dz може бути як позитивною, так і негативною, в той час як модуль сили є позитивною величиною.
Ми вже відзначали, що при ламінарному перебігу рідини в круглій трубі швидкість дорівнює нулю у стінки труби і максимальна па осі труби. Знайдемо закон зміни швидкості. Виділимо уявний циліндричний об'єм рідини радіуса r і довжини l (Рис. 42.3). При стаціонарному перебігу цей обсяг рухається без прискорення. Отже, сума доданих до неї сил дорівнює нулю. У напрямку
руху на рідину діє сила тиску, модуль якої дорівнює p 1 П r 2; в зустрічному напрямку-сила тиску, модуль якої дорівнює p 2 П r 2. Результуюча сил тиску має модуль

(П r 2 - площа основи циліндра).
На бічну поверхню діє гальмує рух сила внутрішнього тертя, модуль якої
згідно з формулою
(42.1) дорівнює

де 2П rl - площа бічної поверхні циліндра, dv / dr - значення похідної на відстані r від осі труби. Швидкість зменшується з відстанню від осі труби, тому похідна dv / dr негативна і її модуль дорівнює - dv / dr {модуль негативного числа дорівнює цього числа, взятому з протилежним знаком).
Прирівнявши вирази (42.2) і (42.3), прийдемо до диференціальних рівнянь

Розділивши змінні, одержимо рівняння

інтегрування якого дає, що

Постійну інтегрування С потрібно вибрати так, щоб на стінці труби (тобто при г = R) швидкість об * звертатися в нуль. Ця умова виконується при

Підстановка цього значення в (42.4) приводить до формули
Швидкість на осі труби дорівнює

З урахуванням цього формулу (42.5) можна написати у вигляді

Звідси випливає, що при ламінарному течії швидкість змінюється з відстанню від осі труби але параболическому законом (рис. 42.4а).

За допомогою формули (42.7) можна вичистити, потік рідини Q, тобто об'єм рідини, що протікає через поперечний переріз труби і одиницю часу. Розіб'ємо перетин труби на кільця ширини dr (рис. 42.5). Через кільце радіуса r пройде в одиницю часу обсяг рідини dQ, що дорівнює добутку площі кільця 2П rdr на швидкість v (t) на відстані від осі труби:

(Ми скористалися формулою (42.7)). Проінтегрувавши цей вираз по м в межах ВІД кулі до R, отримаємо потік Q:
(S-площа перерізу труби). Потік можна представити як добуток середнього по перерізу значення швидкості <і> на площу 5. З формули (42.8) випливає, що при ламінарному перебігу середнє значення швидкості дорівнює половині значення швидкості на осі труби.
Підставивши в (42.8) вираз (42.6) дли з> о, отримаємо формулу

яка називається ф о р м у л і й П у о з е і л я. З неї випливає, що потік дуже сильно залежить від радіуса труби.
Природно, що Q пропорційний відношенню {P 1 - Р 2) / l т. е. перепаду тиску на одиниці довжини труби, а також обернено пропорційний в'язкості рідини n.
Формула Пуазейля використовується для визначення в'язкості рідин і газів. Пропускаючи рідина або газ через трубку відомого радіуса, вимірюють перепад тиску і потік Q. Потім на підставі отриманих даних обчислюють n.
Ми весь час підкреслювали, що припускаємо протягом повільним для того, щоб воно мало ламінарний характер. Нагадаємо, що ламінарний течія є стаціонарним. Це означає, що швидкість частинок рідини, що проходять через дану точку простору, весь час одна і та ж. Якщо збільшувати швидкість течії, то при досягненні певного значення швидкості характер перебігу різко змінюється. Перебіг стає нестаціонарним - швидкість частинок в кожній точці простору весь час безладно змінюється. Таке протягом називається турбулентним. При турбулентному плині відбувається інтенсивне перемішування рідини. Якщо в турбулентний потік ввести забарвлену цівку, то вже на невеликій відстані від місця її введення забарвлена ​​рідина рівномірно розподілиться по всьому перетину потоку. Це можна спостерігати у згадуваному вище досвіді, якщо збільшити потік води в скляній трубці.
Оскільки при турбулентному плині швидкість в кожній точці весь час змінюється, можна говорити тільки про середню за часом значенні швидкості, яка при незмінних умовах перебігу виявляється постійною в кожній точці простору. Профіль середніх швидкостей для одного з перерізів труби при турбулентному плині показаний на рис. 42.56. Порівняння з рис. 42.5 а показує, що поблизу стінки труби швидкість змінюється набагато сильніше, ніж при ламінарному течії; в іншій частині перерізу швидкість змінюється менше.
Рейнольдс встановив, що характер перебігу визначається значенням безрозмірною величини

де р - щільність рідини (або газу), v - Середня по перерізу труби швидкість потоку, n - в'язкість рідини, l - характерний для поперечного перерізу потоку розмір, наприклад сторона квадрата при квадратному перерізі, радіус або діаметр при круглому перерізі. Величина Re називається числом Рейнольдса.
При малих значеннях Re протягом носить ламінарний характер. Починаючи з деякого значення Re, званого критичним, протягом набуває турбулентний характер. Якщо в якості характерного розміру труби взяти її радіус (в цьому випадку Re = pvr / n), то критичне значення числа Рейнольдса виявляється рівним приблизно 1000 (якщо в якості / взяти діаметр труби, то критичне значення Re дорівнюватиме 2000).
Число Рейнольдса служить критерієм подібності для течії рідин у трубах, каналах і т. д. Наприклад, характер перебігу різних рідин (або газів) в круглих трубах різних діаметрів буде однаковим, якщо кожному течією відповідає одне і те ж значення Re.
У число Рейнольдса входить відношення щільності р і в'язкості т). Величина

називається кінематичною в'язкістю. Щоб відрізнити її від v, величину n називають динамічною в'язкістю. Будучи вираженим через кінематичну в'язкість, число Рейнольдса має вигляд
5. Рух тіл в рідинах і газах.
Вплив рідкої або газоподібного середовища на рухоме в ній з постійною швидкістю v тіло буде таким же, яким було б дію на нерухоме тіло набігає на нього зі швидкістю v однорідного потоку рідини чи газу (надалі для стислості ми будемо говорити тільки про рідину, маючи на увазі при цьому і гази). Отже, при з'ясуванні сил, що діють на тіло, байдуже, що вважати рухомим - тіло або середу. Зручно припускати тіло нерухомим, а середовище рухається. Тому ми будемо, як правило, розглядати дію на нерухоме тіло набігаючого
па пего потоку, пам'ятаючи, що результати, отримані в цьому випадку, будуть справедливими і для випадку руху тіла відносно нерухомої середовища.
Силу F, з якою потік, що набігає діє на тіло, можна розкласти на дві складові: спрямовану вздовж швидкості v незбуреного потоку силу X, звану лобовим опором, і перпендикулярну до v силу У, звану підйомної силою. Лобове опір складається з сил тиску і сил внутрішнього тертя. Очевидно, що на тіло, симетричне щодо направлення швидкості потоку v, може діяти тільки лобове опір, підйомна ж сила в цьому випадку буде відсутній.
Можна довести, що в нестисливої ​​ідеальної рідини рівномірний рух тіла довільної форми мало б відбуватися без лобового опору. Цей результат одержав назву парадоксу Даламбера.
Покажемо відсутність лобового опору на прикладі обтікання ідеальною рідиною дуже довгого («нескінченного») циліндра (рис. 43.1). Не володіючи в'язкістю, ідеальна рідина повинна ковзати по поверхні циліндра, повністю обтікаючи його.

Тому лінії струму будуть симетричними як відносно прямої, що проходить через точки 2 і 3, так і відносно прямої, що проходить через точки 2 і 4. Теорема Бернуллі дозволяє по картині ліній струму судити про тиск у різних точках потоку. Поблизу точок 1 і 3 тиск однаково (і більше, ніж у невозмущенном потоці, так як швидкість поблизу цих точок менше). Поблизу точок 2 і 4 тиск також однаково (і менше, ніж у невозмущенном потоці, так як швидкість поблизу цих точок, більше) Отже, результуюча сил тиску на поверхню циліндра (яка за відсутності в'язкості могла б зумовити лобове опір) буде дорівнює нулю. Як вже зазначалося, такий же результат виходить і для тіл будь-який (в тому числі і несиметричною) форми. Цей висновок стосується тільки лобового опору. Підйомна сила, рівна нулю для симетричних тіл (див., наприклад, рис. 43.1), для несиметричних тел відмінна від нуля.
На рис. 43.2 показані лінії струму при обтіканні ідеальною рідиною напівциліндра. Внаслідок ідеального обтікання лінії струму несиметричні відносно прямої, що проходить через точки 2 і 4. Однак відносної прямої, що проходить через точки, 1 і 3 картина ліній струму несиметрична. Поблизу точки 2 де лінії гущі, тиск менший, ніж поблизу доньки 4, внаслідок чого виникає підйомна сила.
Інша справа при русі тіла в в'язкої рідини. У цьому випадку дуже топкий шар рідини прилипає до поверхні тіла і рухається з ним як одне ціле, тягнучи за собою з-за внутрішнього тертя наступні шари. У міру віддалення від поверхні тіла швидкість верств стає все менше і, нарешті, на деякій відстані від поверхні рідина буде не обуреної рухом тіла. Таким чином, тіло виявляється оточеним шаром рідини з швидко мінливих всередині нього швидкістю. Цей шар називається прикордонним. У ньому діють сили в'язкого тертя, які в кінцевому рахунку включені до тіла і призводять до виникнення лобового опору.
Але вплив в'язкості не вичерпується виникненням сил тертя. Наявність граничного шару в корені змінює характер обтікання тіла рідиною.
Повне обтікання стає неможливим. Дія сил тертя в прикордонному

шарі призводить до того, що потік відривається від поверхні тіла, в результаті чого позаду тіла виникають вихори (рис. 43.3). Вихори несеться потоком і поступово затухають внаслідок тертя; при цьому енергія вихорів витрачається на нагрівання рідини. Тиск в утворюється за тілом вихровий області виявляється зниженим, внаслідок чого результуюча сил тиску відмінна від нуля. Це в свою чергу обумовлює лобове опір.
Таким чином, як вже зазначалося, лобове опір складається з опору тертя і опору тиску. За даних поперечних розмірах тіла опір тиску сильно залежить від форми тіла. Найменшим опором тиску мають тіла добре обтічної каплевидної форми (рис. 43.4).
Співвідношення між опором тертя і опором тиску визначається значенням числа Рейнольдса (див. формулу (42.10)). У даному випадку v - Швидкість тіла відносно рідини (або швидкість потоку, що набігає на тіло), l - характерний розмір тіла, наприклад радіус для тіла кульової форми. При малих Re (тобто при малих v і l) основну роль грає опір тертя, так що опором тиску можна знехтувати. З ростом в'язкості відносна роль сил тертя зростає. У міру збільшення Re роль опору тиску все більше зростає. При великих значеннях Re в ло «бовом опорі переважають сили тиску.
Визначаючи характер сил, що діють на тіло в потоці рідини чи газу, число Рейнольдса служить критерієм подібності і в цьому випадку. Ця обставина використовується при моделюванні. Наприклад, модель літака веде себе в потоці газу так само, як і її прообраз, якщо крім геометричної подоби моделі і літака буде дотримано рівність для них значень числа Рейнольдса.
Стокс встановив, що при невеликих швидкостях і розмірах тіл (тобто при малих Re, коли опір середовища обумовлено практично тільки силами тертя), модуль сили опору визначається формулою
Тут n - динамічна в'язкість середовища, v - швидкість руху тіла, l - характерний розмір тіла, k - коефіцієнт пропорційності, який залежить від форми тіла. Для кулі, якщо взяти в якості l його радіус r, коефіцієнт пропорційності дорівнює 6 П. Отже, сила опору руху в рідинах невеликих кульок при малих швидкостях дорівнює

Треба мати на увазі, що формула Стокса справедлива за умови, що відстань від тіла до кордонів рідини (наприклад, до стінок посудини) багато більше розмірів тіла.

Літак підтримується в повітрі підйомної силою, що діє на його крила. Лобове опір відіграє при польоті літака шкідливу роль З цього крил і фюзеляжу літака надають удобообтекаемую форму (рис. 43.5). Внаслідок асиметричної форми і похилого розміщення крила швидкість повітря над крилом виявляється більше (а, отже, тиск менше), ніж під крилом. Завдяки цьому створюється підйомна сила. Істотну роль в утворенні підйомної сили грає в'язкість повітря, яка обумовлює утворення вихорів, відриваються від задньої кромки крила. Однак вникати в деталі явищ, що обумовлюють підйомну силу, ми не маємо можливості.
Основи теорії крила літака створив в 1904 р. Жуковський, який сформулював теорему про підйомну силу і вивів формулу для визначення цієї сили, що є основою всіх аеродинамічних розрахунків літаків.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Реферат
52кб. | скачати


Схожі роботи:
Статика рідин та газів
Вимірювання динамічної в`язкості рідин і газів
Неоптолемеевская механіка як механіка ери космосу
Хімічна реакція у суміші ідеальних газів Константа хімічної рівноваги в суміші ідеальних газів
Властивості рідин
Перемішування рідин
Табличні значення найбільш поширених рідин
Нирки і циркуляція рідин в організмі людини
Підходи до аналізу нелінійної динаміки рідин
© Усі права захищені
написати до нас