Введення
Математичне освіта, здобута в загальноосвітній школі, є найважливішим компонентом загальної освіти та загальної культури сучасної людини. Практично все, що оточує сучасної людини - це всі так чи інакше пов'язане з математикою. А останні досягнення у фізиці, техніці та інформаційних технологіях не залишають жодного сумніву, що і в майбутньому стан речей залишиться тим самим. Тому вирішення багатьох практичних завдань зводиться до вирішення різних видів рівнянь, які необхідно навчитися вирішувати.
У елементарної математики виділяють два види рівнянь: алгебраїчні і трансцендентні. До алгебраїчним рівнянням відносяться:
лінійне;
квадратне;
кубічне;
біквадратное;
рівняння четвертого ступеня загального вигляду;
двучленное алгебраїчне рівняння n-го ступеня;
статечне алгебраїчне;
- Поворотне (алгебраїчне);
- А лгебраіческое рівняння
го ступеня загального вигляду;
дробові алгебраїчні рівняння, тобто рівняння, що містять многочлени і алгебраїчні дроби (дробу виду
, Де
і
- Многочлени);
ірраціональні рівняння, тобто рівняння, що містять радикали, під якими розташовуються многочлени і алгебраїчні дроби;
рівняння, що містять модуль, під модулем яких містяться многочлени і алгебраїчні дроби.
Рівняння, що містять трансцендентні функції, такі, як логарифмічна, показова або тригонометрическая функція, називаються трансцендентними. У нашій роботі розглянемо детальніше алгебраїчні рівняння.
У навчальній і методичній літературі традиційно розглядаються спеціальні прийоми розв'язання рівнянь. Між тим специфіка рішення рівнянь кожного розділу - справа другорядна. По суті, застосовуються чотири основні методи:
• заміна рівняння h (f (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x);
• метод заміни змінної;
• метод розкладання на множники;
• функціонально-графічний метод і їх різні модифікації.
Найпоширеніший з них - метод заміни змінної.
Виходячи з цього, ми формулюємо мету своєї роботи: вивчити можливості методу заміни невідомого при вирішенні алгебраїчних рівнянь і продемонструвати їх застосування в стандартних та нестандартних ситуаціях. Для того, щоб досягти поставленої мети необхідно вирішити наступні завдання:
Розкрити зміст основних понять і тверджень, які стосуються теорії розв'язання рівнянь: рішення рівняння, равносильность і наслідок, загальні методи розв'язання рівнянь.
Виявити можливості застосування методу заміни невідомого при вирішенні алгебраїчних рівнянь в стандартних та нестандартних ситуаціях.
Здійснити типізацію прийомів введення нових невідомих під час вирішення алгебраїчних рівнянь і виявити критерії їх застосування
Скласти комплект типових задач, що зводяться до застосування методу заміни при вирішенні рівнянь, і продемонструвати їх рішення.
1. Основні поняття і твердження, що відносяться до теорії розв'язання рівнянь
У першому розділі нашої роботи розкриємо зміст основних понять і тверджень, які стосуються теорії розв'язання рівнянь.
З поняттям «рівняння» на уроках математики ми знайомимося вже в початковій школі, а завдання «вирішити рівняння», ймовірно, найбільш часто зустрічається завдання. Проте дати точне визначення поняття «рівняння», точно визначити, що означає «вирішити рівняння», не виходячи далеко за межі курсу елементарної математики, ми не можемо. Для цього необхідно залучати досить серйозні логічні і навіть філософські категорії. Нам цілком достатньо знайомства з цими поняттями на рівні «здорового глузду».
Розглянемо два рівняння А і В з одним і тим же невідомим. Ми будемо говорити, що рівняння В є наслідком рівняння А, якщо будь-який корінь рівняння А є коренем рівняння В.
Рівняння називаються рівносильними, якщо будь-який корінь одного з них є коренем іншого і навпаки. Таким чином, рівняння рівносильні, якщо кожне з них є наслідком іншого.
З даних визначень випливає, наприклад, що два рівняння, що не мають рішень, рівносильні. Якщо А не має рішень, то В є наслідком А, яке б не було рівняння В.
Визначимо поняття «вирішити рівняння». Вирішити рівняння - означає знайти всі такі значення назв невідомих, які звертають рівняння в тотожність. Ці значення називаються коренями рівняння.
Процес рішення рівнянь полягає в основному в заміні даного рівняння іншим, йому рівносильним.
Як було раніше сказано, виділяють чотири найбільш загальних методу, що використовуються при вирішенні рівнянь будь-яких видів. Зупинимося докладніше на кожному методі.
Метод заміни рівняння h (f (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x) можна застосовувати тільки в тому випадку, коли - Монотонна функція, яка кожне своє значення приймає по одному разу. Якщо дана функція немонотонна, то зазначений метод застосовувати не можна, оскільки можлива втрата коренів.
Суть методу розкладання на множники полягає в наступному: рівняння можна замінити:
Вирішивши рівняння цієї сукупності, потрібно взяти ті їх коріння, які належать області визначення вихідного рівняння, а інші відкинути як сторонні. Ідея графічного методу розв'язання рівняння така: треба побудувати графіки функцій
,
і знайти точки їх перетину. Корінням рівняння служать абсциси цих точок. Цей метод дозволяє визначити число коренів рівняння, вгадати значення кореня, знайти наближені, а іноді і точні значення коренів. У деяких випадках побудова графіків функцій можна замінити посиланням на будь-які властивості функцій (тому-то ми говоримо не про графічному, а про функціонально-графічному методі рішення рівнянь). Якщо, наприклад, одна з функцій
зростає, а інша - убуває, то рівняння
або не має коренів, або має один корінь. Згадаємо ще одну досить гарну різновид функціонально-графічного методу: якщо на проміжку
найбільше значення однією з функцій
,
одно
і найменше значення іншої функції теж одно
, То рівняння
рівносильно на проміжку
системі рівнянь.
Розкриємо суть методу заміни змінної: якщо рівняння вдалося перетворити до виду
то потрібно ввести нову змінну
, Вирішити рівняння
, А потім вирішити сукупність рівнянь
де корені рівняння
.
Уміння вдало ввести нову змінну приходить з досвідом. Вдалий вибір нової змінної робить структуру рівняння більш прозорою. Нова мінлива іноді очевидна, іноді кілька завуальована, але «відчувається», а іноді «проявляється» лише в процесі перетворень. Очевидність і «завуальованість» нової змінної ми розглянемо на конкретних прикладах у другому розділі даної роботи.
2. Можливості застосування методу заміни невідомого при вирішенні алгебраїчних рівнянь
У цьому розділі виявимо можливості застосування методу заміни невідомого при вирішенні алгебраїчних рівнянь в стандартних та нестандартних ситуаціях. Спочатку зупинимося на випадках, де заміна очевидна.
Приклад 1. Вирішити ірраціональне рівняння
Заміна:
Зворотній заміна: /
Відповідь:
Приклад 2. Розглянемо рівняння, що містить знак модуля:
Заміна:
Зворотній заміна: коренів немає,
Відповідь:
Приклад 3. Розв'язати рівняння: 7
Заміна:
Зворотній заміна:
,
,
коренів немає.
Відповідь:
Приклад 4. Вирішимо біквадратное рівняння: за допомогою заміни:
або
сторонній корінь.
Зворотній заміна:
Відповідь:
Звертаємо увагу на те, що біквадратное рівняння має чотири кореня, якщо відповідне йому квадратне має два позитивних кореня.
Приклад 5. Розглянемо інше найпростіше рівняння, яке зводиться до квадратного:
Спроба перемножити дужки в лівій частині вихідного рівняння приведе нас до рівняння четвертого ступеня, рішення якого призведе до трудомістких обчислень.
Позначимо через вираз
. У змінних
вихідне рівняння має вигляд:
Розкривши дужки, отримаємо:
Зворотній заміна: =
або
= -
=
коренів немає
Відповідь: .
Ми продемонстрували приклади, де заміна очевидна. Однак у багатьох випадках зручна заміна далеко не очевидна, і тому необхідно виконати деякі перетворення. Тим самим ми виявимо можливість застосування методу заміни невідомого в нестандартних ситуаціях.
Приклад 1. Розв'язати рівняння
Рішення. Очевидно, що х = 0 - не корінь рівняння. Розділивши чисельник і знаменник кожного дробу на х 0, запишемо
і, зробивши заміну одержимо
Повернемося до «старої» змінної:
Відповідь:
Приклад 2. Вирішити рівняння
Рішення. Виділимо повний квадрат суми:
Згрупуємо перший, другий і четвертий члени:
, Або
Введемо заміну одержимо
Повернемося до «старої» змінної:
Відповідь:
Приклад 3. Вирішити рівняння
Рішення. Покладемо,
(1)
Тоді вихідне рівняння запишеться так: Оскільки ми ввели дві нові функції, треба знайти ще одне рівняння, що пов'язує змінні
і
. Для цього зведемо обидва рівності (1) в куб і зауважимо, що
Отже, треба вирішити систему:
Відповідь:
Приклад 4. Вирішити рівняння
Рішення. Введемо заміни:
(2)
Тоді вихідне рівняння прийме вигляд
Спробуємо скласти ще одне рівняння, що залежить від змінних і
. Для цього знайдемо суму:
Отже, треба вирішити систему
Відповідь:
Приклад 5. Вирішити рівняння
Рішення. Зауважимо, що суми чисел, що стоять у другій і четвертій, в першій і третій дужках, рівні, тобто -7 +2 =- 1-4. Перемноживши ці пари дужок, приходимо до рівняння
Введемо заміну: одержимо
Вирішивши квадратне рівняння
, Знаходимо, що
або
.
Повертаємося до початкової змінної і вирішуємо сукупність рівнянь:
Відповідь: .
Приклад 6. Вирішити рівняння
Рішення. Зауважимо, що твір чисел, що стоять в першій і третій, в другій і четвертій дужках, рівні, тобто Перемножимо зазначені пари дужок і запишемо рівняння
Оскільки - Не корінь, розділимо обидві частини рівняння на
Отримаємо:
Ввівши заміну: запишемо вихідне рівняння в наступному вигляді:
тобто
Звідси . Повернемося до початкової змінної:
Перше рівняння сукупності має коріння . Друге рівняння не має коренів.
Відповідь:
Приклад 7. Розв'язати рівняння
Рішення. Вид рівняння зовсім не підказує, що його можна звести до однорідного. Перетворимо перший множник, виділивши з нього вираз, рівне другого множника, тобто
Підставляючи останній вираз в початкове рівняння, запишемо, що
і далі:
Ввівши заміну: і
наведемо останнє рівняння до виду
. Це однорідне рівняння другого ступеня щодо
і
. У ньому
. Справді, якщо
, То рівняння приводиться до виду
, Або
Але система
рішень не має.
Розділивши обидві частини рівняння на
, Запишемо. Що
Звідси
Відповідь:
Приклад 8. Вирішити рівняння
Рішення. Оскільки функція існує при будь-яких значеннях
, Знайдемо область визначення функції
значить, . Ясно, що можна ввести заміну
або
Нехай
. Нас цікавлять всі значення цієї функції. Виберемо для зручності будь-який відрізок, на якому функція синус приймає всі свої значення, наприклад відрізок
Підставивши заміну в рівняння, отримаємо:
Повернемося до «старої» змінної:
Відповідь:
Приклад 9. Вирішити рівняння
Рішення. Виділимо найбільш часто повторюване вираз і спростимо ліві частина вихідного рівняння:
(1)
Введемо заміну тоді рівняння (3) прийме вигляд:
, Або
,
При подальших спрощення отримаємо
Застосуємо основну властивість дробу до лівої частини рівняння, розділивши на :
Введемо другу заміну і вирішимо рівняння:
Повертаючись до початкової змінної, прийдемо до сукупності:
Друге рівняння сукупності не має рішень, а перше дає два рішення, які і виносяться у відповідь.
Відповідь:
3. Типізація прийомів введення нових невідомих під час вирішення алгебраїчних рівнянь
У третій частині курсової роботи здійснимо типізацію прийомів введення нових невідомих під час вирішення алгебраїчних рівнянь.
Введення нових змінних може бути як явним, так і неявним. Класифікуємо наші рівняння за способами неявній реалізації методу заміни змінної:
Використання основного властивості дробу.
Використання основного властивості дробу застосовується в рівняннях такого вигляду:
де постійні,
.
У таких рівняннях спочатку перевіряють, чи є коренем рівняння, і проводять заміну
.
Виділення квадрата.
Виділення квадрата двочлена найчастіше зустрічається при рішенні рівнянь, які можна привести до такого вигляду, щоб одна частина рівняння представляла собою суму квадратів двочлена.
Перехід до системи рівнянь.
Цей прийом доцільний при вирішенні рівнянь виду
де коефіцієнти і
рівні, протилежні за знаком або відрізняються на постійний множник.
Розкриття дужок парами.
Такий метод дає хороший ефект в рівняннях виду
Де або
або
Розкриття дужок парами і ділення обох частин рівняння.
Розкриття дужок парами і ділення обох частин рівняння доцільно застосовувати у випадках, коли перед нами рівняння виду
де , Або
або
.
Зведення до однорідного рівняння.
Перетворивши один з множників і виділивши з нього вираз, рівне другий множник і підставляючи отриманий вираз в початкове рівняння, вдається прийти до однорідного рівняння другого ступеня, тобто до рівняння виду
де - Постійні, відмінні від нуля, а
,
- Многочлени.
Тригонометрична підстановка.
Тригонометрична підстановка використовується в тих випадках, коли область визначення вихідного рівняння збігається з областю значення тригонометричної функції або включається в цю область.
4. Комплект типових задач, що зводяться до застосування методу заміни при вирішенні рівнянь
Виходячи з четвертої завдання курсової роботи, складемо комплект типових задач, що зводяться до застосування методу заміни при вирішенні рівнянь.
Приклад 1.
Рішення. ОДЗ рівняння є всі дійсні . Зробимо заміну невідомою
, Де
. Тоді вихідне рівняння запишеться у вигляді
(1)
, То рівняння (1)
З рішення цих рівнянь проміжку належать тільки
. Тому
Відповідь:
Приклад 2.
Рішення. Якщо зробити заміну рівняння спрощується, але залишається ірраціональним. Суттєвого просування можна досягти, якщо ввести нову змінну:
або
сторонній корінь
Відповідь:
Приклад 3.
Рішення. Бачимо, що до даного рівняння можна застосувати раніше вказаний нами прийом - «розкриття дужок парами». Суми чисел, що стоять в першій і четвертій, у другій і третій дужках, рівні, тобто 1 +5 = 2 +4. Перемноживши ці пари дужок, приходимо до рівняння:
Введемо заміну: , Одержимо
Вирішивши квадратне рівняння
знаходимо, що
або
Повертаємося до початкової змінної і вирішуємо сукупність рівнянь:
У першому рівнянні сукупності коренів немає.
Перепишемо друге рівняння:
Відповідь:
Приклад 4.
Рішення. Зауважимо, що твір чисел, що стоять в першій і четвертій, у другій і третій дужках, рівні, тобто Перемножимо зазначені пари дужок, запишемо рівняння
Так як не є рішення даного рівняння, то, розділивши обидві частини на
, Отримаємо рівносильне вихідного рівняння
Роблячи заміну змінних отримуємо квадратне рівняння
Зворотній заміна:
Рішення першого рівняння цієї сукупності є
,
.
Друге рівняння цієї сукупності рішень не має.
Відповідь:
Приклад 5.
Рішення. Позначимо через
. Дане рівняння перепишемо у вигляді
. Оскільки
не є рішення цього рівняння, то це рівняння рівносильне рівнянню
Зробимо зворотний заміну:
Відповідь:
Приклад 6.
Перш, ніж вирішити задане рівняння, продемонструю алгоритм рішення поворотного рівняння:
- Розділити ліву і праву частини рівняння на . При цьому не відбувається втрати рішення, т. к.
не є коренем вихідного рівняння при
- Угрупованням привести отримане рівняння до виду
- Ввести нову змінну , Тоді виконано
тобто
в нових змінних аналізованих рівняння є квадратним
- Вирішити його відносно , Повернутися до вихідної змінної.
Рішення. Виходячи з алгоритму розв'язання таких рівнянь, розділимо ліву і праву частини рівняння на
, Отримаємо рівносильне йому рівняння
.
Згрупувавши доданки, перепишемо рівняння у вигляді
або у вигляді
Поклавши отримаємо рівняння
Отже, вихідне рівняння рівносильне сукупності рівнянь
Відповідь:
Приклад 7.
Рішення. Позначимо
Таким чином, для і
маємо симетричну систему:
Позначимо тоді
Таким чином,
Відповідь:
Приклад 8.
Рішення. Ви в цьому рівнянні звільнитися від знаменника, виконати всі необхідні перетворення і переконатися, що вийшло рівняння четвертого ступеня є зворотним. Але краще це зробити швидше. Поділимо чисельник і знаменник дробу, розташованої в лівій частині, на . Отримаємо
Покладемо , Тоді
Зворотній заміна:
або
коренів немає.
Відповідь:
Приклад 9.
Рішення. Оскільки не є коренем даного рівняння, то, розділивши обидві його частини на
, Одержимо рівняння
Зробивши заміну невідомою останнє рівняння перепишемо у вигляді
Повернемося до початкової змінної:
Відповідь:
Приклад 10.
Рішення. Оскільки в лівій частині стоїть сума двох квадратів, природно спробувати доповнити її до квадрата суми чи різниці. У другому випадку отримаємо
Введемо заміну: одержимо
Повернемося до «старої» змінної:
Відповідь:
Приклад 11.
Рішення. Позначимо тоді отримаємо
Зворотній заміна:
Відповідь:
Приклад 12.
Рішення. Оскільки не є рішенням рівняння, то, розділивши чисельник і знаменник кожного дробу в лівій частині на
, Перепишемо його у вигляді
Зробивши заміну змінних перепишемо рівняння у вигляді
Рішення цього рівняння є
Зворотній заміна:
Відповідь: .
Приклад 13.
Рішення. Позначимо через
, Тобто зробимо заміну змінних
або
Тоді початкове рівняння можна переписати у вигляді
або, застосовуючи формулу
у вигляді
Оскільки корені квадратного рівняння є
, То рішення біквадратного рівняння є
Отже, рішення вихідного рівняння такі
Відповідь:
Приклад 14.
Рішення. Представляючи це рівняння у вигляді вводимо нове невідоме
Рівняння набуде вигляду
Зворотній заміна:
Відповідь:
Приклад 15.
Рішення. Помноживши обидві частини рівняння на 12 і позначивши через
, Одержимо рівняння
. Перепишемо це рівняння у вигляді
(1)
Заміна: . Перепишемо рівняння у вигляді
. Рівняння (1)
.
Зворотній заміна:
Відповідь:
Приклад 16.
Рішення. Якщо розкрити дужки і привести подібні, то отримаємо рівняння п'ятого ступеня стандартного виду. Але якщо ввести нові змінні і
, То отримаємо рівняння
, Що є однорідним рівнянням ступеня 3 щодо
і
.
Однорідні рівняння щодо і
володіють тим властивістю, що якщо розділити всі члени рівняння на найвищу ступінь одній із змінних, наприклад
, Якщо
не є коренем рівняння, то воно перетворюється в рівняння з однією змінною
.
Вирішимо рівняння . Розділимо многочлен
на
, Перейдемо до рівносильне рівнянню
Відповідь: .
Висновок
Останнім часом алгебраїчні рівняння вище другого ступеня є частиною випускних іспитів за курс середньої школи, вони зустрічаються на вступних іспитах до ВНЗ, а також є невід'ємною частиною ЄДІ. Основні методи вирішення таких рівнянь були відзначені в нашій роботі. Також було розкрито зміст основних понять і тверджень, які стосуються теорії розв'язання рівнянь. Визначивши найпоширеніший метод рішення рівнянь, виявили його застосування в стандартних та не стандартних ситуаціях.
Виходячи з третього завдання курсової роботи, ми здійснили типізацію прийомів введення нових невідомих під час вирішення алгебраїчних рівнянь. Виділили, що нова змінна може вводитися як явно, так і неявно.
У даній роботі був складений і вирішено комплект типових задач, що зводяться до застосування методу заміни при вирішенні рівнянь.
Отже, нам вдалося вивчити можливості методу заміни невідомого при вирішенні алгебраїчних рівнянь і продемонструвати їх застосування в стандартних і нестандартних ситуаціях, тобто мета курсової роботи досягнута.
Список літератури
Черкасов, О.Ю. Математика для вступників до вузів / О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. - Оформлення «Московський ліцей», 1996. - 348 с.
Фірстова, Н.І. Метод заміни змінної при вирішенні алгебраїчних рівнянь / Н.І. Фірстова / / Математика в школі - 2002. - № 5. - С. 68 - 71.
Олехнік, С.М. Нестандартні прийоми розв'язання рівнянь і нерівностей: Довідник / С.Н. Олехнік, М.К. Потапов, П.І. Пасіченко. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - 144 с.
Шаригін, І.Ф. Рішення задач: Навчальний посібник для 10 кл. загальноосвіт. установ / І.Ф. Шаригін. - М.: Просвещение, 1994. - 252 с.
Егерев, В.К. Збірник завдань з математики для вступників до втузи: Учеб.пособие / В.К. Егерев, Б.А. Кордемский, В.В. Зайцев та ін; під ред. М.І. Сканаві. - М.: Вища школа, 1993. - 528 с.
Мордкович, А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл.: Навч. для загальноосвіт. установ / О.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2005.
Гусєв, В.А. Довідник з математики / В.А. Гусєв, А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1995. - 448 с.
Литвиненко, В.Н. Практикум з розв'язання математичних задач: Алгебра. Тригонометрія. Учеб. посібник для студентів пед. інстр-в по матем-ої спеціальності / В.М. Литвиненко, А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1984. - 288 с.
Віленкін, Н.Я. Алгебра: Учеб.пособие для уч-ся 9 кл. з поглиблений. вивченням матем-ки / Н.Я. Віленкін, Г.С. Сурвілло, А.С. Симонов, А.І. Кудрявцев; під ред. Н.Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 2001. - 384 с.
Вигодський, М.Я. Довідник з елементарної математики / М.Я. Вигодський. - М.: Наука, 1986. - 320 с.