Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

1. Загальна постановка задачі. Знайти дійсні корені рівняння , Де - Алгебраїчна або трансцендентна функція.

Точні методи рішення рівнянь підходять тільки до вузького класу рівнянь (квадратні, біквадратние, деякі тригонометричні, показникові, логарифмічні).

У загальному випадку рішення даного рівняння знаходиться приблизно в такій послідовності:

1) відділення (локалізація) кореня;

2) наближене обчислення кореня до заданої точності.

2. Відділення кореня. Відділення дійсного кореня рівняння - Це знаходження відрізка , В якому лежить тільки один корінь даного рівняння. Такий відрізок називається відрізком ізоляції (локалізації) кореня.

Найбільш зручним і наочним є графічний метод відділення коренів:

1) будується графік функції , І визначаються абсциси точок перетину цього графіка з віссю , Які і є корінням рівняння ;

2) якщо - Складна функція, то її треба представити у вигляді так, щоб легко будувалися графіки функцій і . Так як , То . Тоді абсциси точок перетину цих графіків і будуть корінням рівняння .

Приклад. Графічно відокремити корінь рівняння .

Рішення. Уявімо ліву частину рівняння у вигляді . Отримаємо: Побудуємо графіки функцій і .

Абсциса точки перетину графіків знаходиться на відрізку , Значить корінь рівняння .

3. Уточнення кореня.

Якщо шуканий корінь рівняння відокремлений, тобто визначено відрізок , На якому існує тільки один дійсний корінь рівняння, то далі необхідно знайти наближене значення кореня з заданою точністю.

Така задача називається задачею уточнення кореня.

Уточнення кореня можна робити різними методами:

1) метод половинного ділення (бисекции);

2) метод ітерацій;

3) метод хорд (січних);

4) метод дотичних (Ньютона);

5) комбіновані методи.

4. Метод половинного ділення (бисекции).

Відрізок ізоляції кореня можна зменшити шляхом ділення його навпіл.

Такий метод можна застосовувати, якщо функція неперервна на відрізку і на його кінцях приймає значення різних знаків, тобто виконується умова (1).

Розділимо відрізок навпіл точкою , Яка буде наближеним значенням кореня .

Для зменшення похибки наближення кореня уточнюють відрізок ізоляції кореня. У цьому випадку продовжують ділити відрізки, що містять корінь, навпіл.

З відрізків і вибирають той, для якого виконується нерівність (1).

У нашому випадку це відрізок , Де .

Далі повторюємо операцію ділення відрізка навпіл, тобто знаходимо і так далі до тих пір, поки не буде досягнута задана точність . Тобто до тих пір, поки не перестануть змінюватися зберігаються у відповіді десяткові знаки або до виконання нерівності .

Гідність методу: простота (достатньо виконання нерівності (1)).

Недолік методу: повільна збіжність результату до заданої точності.

Приклад. Розв'язати рівняння методом половинного ділення з точністю до 0,001.

Рішення. Відомий відрізок ізоляції кореня і задана точність . За рівняння складемо функцію .

Знайдемо значення функції на кінцях відрізка:

, .

Перевіримо виконання нерівності (1): - Умова виконується, значить можна застосувати метод половинного ділення.

Знайдемо середину відрізка і обчислимо значення функції в отриманій точці:

, .

Серед значень і виберемо два значення різних знаків, але близьких один до одного. Це і . Отже, з відрізків і вибираємо той, на кінцях якого значення функції різних знаків. У нашому випадку це відрізок і знову знаходимо середину відрізка і обчислюємо значення функції в цій точці:

, , , - Задана точність результату не досягнуто, продовжимо обчислення.

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, - Задана точність результату досягнуто, значить, знайшли наближене значення кореня .

Відповідь: корінь рівняння з точністю до 0,001.

5. Метод хорд (січних).

Цей метод застосовується при вирішенні рівнянь виду , Якщо корінь рівняння відокремлений, тобто і виконуються умови:

1) (Функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка );

2) похідна зберігає знак на відрізку (Функція або зростає, або зменшується на відрізку ).

Перше наближення кореня знаходиться за формулою: .

Для наступного наближення з відрізків і вибирається той, на кінцях якого функція має значення різних знаків.

Тоді друге наближення обчислюється за формулою:

, Якщо або , Якщо .

Обчислення тривають до тих пір, поки не перестануть змінюватись ті десяткові знаки, які потрібно залишити у відповіді.

6. Метод дотичних (Ньютона).

Цей метод застосовується, якщо рівняння має корінь , І виконуються умови:

1) (Функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка );

2) похідні і зберігають знак на відрізку (Тобто функція або зростає, або зменшується на відрізку , Зберігаючи при цьому напрямок опуклості).

На відрізку вибирається таке число , При якому має той же знак, що і , Тобто виконується умова . Таким чином, вибирається точка з абсцисою , В якій дотична до кривої на відрізку перетинає вісь . За точку спочатку зручно вибирати один з кінців відрізка.

Перше наближення кореня визначається за формулою: .

Друге наближення кореня визначається за формулою: .

Обчислення ведуться до збігу десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або при заданій точності - До виконання нерівності .

Переваги методу: простота, швидкість збіжності.

Недоліки методу: обчислення похідної та труднощі вибору початкового положення.

7. Комбінований метод хорд та дотичних.

Якщо виконуються умови:

1) ,

2) і зберігають знак на відрізку ,

то наближення кореня рівняння за методом хорд і за методом дотичних підходять до значення цього кореня з протилежних сторін. Тому для швидкості знаходження кореня зручно застосовувати обидва методи одночасно. Т.к. один метод дає значення кореня з недоліком, а інший - з надлишком, то досить легко отримати задану ступінь точності кореня.

Схема рішення рівняння методом хорд і дотичних

1. Обчислити значення функції і .

2. Перевірити виконання умови . Якщо умова не виконується, то неправильно вибраний відрізок .

3. Знайти похідні і .

4. Перевірити сталість знака похідних на відрізку . Якщо немає сталості знака, то невірно обраний відрізок .

5. Для методу дотичних вибирається за той з кінців відрізка , В якому виконується умова , Тобто і одного знака.

6. Наближення коренів знаходяться:

а) за методом дотичних: ,

б) за методом хорд: .

7. Обчислюється перше наближення кореня: .

8. Перевіряється виконання умови: , Де - Задана точність.

Якщо умова не виконується, то потрібно продовжити застосування методу за схемою 1-8.

У цьому випадку відрізок ізоляції кореня звужується і має вигляд . Наближені значення кореня знаходяться за формулами:

і .

Обчислення тривають до тих пір, поки не буде знайдено таке значення , При якому і співпадуть з точністю .

Приклад. Розв'язати рівняння методом хорд і дотичних з точністю 0,001, якщо відомо, що корінь рівняння .

Рішення.

1. Обчислимо значення функції на кінцях відрізка: , .

2. Перевіримо виконання умови: - Умова виконується.

3. Знайдемо похідні: і .

4. На відрізку похідні і , Тобто зберігають знак, отже, умова виконується.

5. Виберемо значення для методу дотичних. Т.к. і , То .

6. Знайдемо наближення кореня:

а) за методом дотичних:

б) за методом хорд: .

7. Знайдемо перше наближення кореня: .

8. Перевіримо виконання умови: - Умова не виконується, значить потрібно продовжити обчислення.

9. Відрізок ізоляції кореня має вигляд: .

10. Продовжимо уточнення кореня за схемою. Для цього знайдемо значення функції на кінцях відрізка звуженого:

, .

11. Перевіримо умову: - Виконується, значить можна продовжити застосування методу.

12. Так як і на відрізку , То для методу дотичних: .

13. Обчислимо значення похідної: .

14. Знайдемо нові значення кінців відрізка ізоляції:

, .

15. Знайдемо друге наближення кореня: .

16. Перевіримо виконання умови: - Нерівність невірний, значить необхідно продовжити обчислення.

17. Відрізок ізоляції кореня має вигляд: .

18. Обчислимо значення функції:

, .

19. Умова - Виконується.

20. Так як і на , То для методу дотичних .

21. Обчислимо похідну: .

22. Обчислимо: ,

.

23. Знайдемо третє наближення кореня: .

24. Перевіримо виконання нерівності: - Умова виконується, значить, мета досягнута.

25. Отже, або - Наближене значення кореня з точністю до 0,001.

Відповідь: .

9. Завдання для розрахункових робіт.

Вирішити рівняння методами:

а) бисекции,

б) хорд і дотичних.