Практична робота
з курсу «Математичні моделі навколишнього середовища»
Визнач тимчасова зміна рівня води в деяких пунктах за період приблизно в 170 років.
Застосувати методи математичної статистики для оцінки характеристик та якості наявних даних спостережень. Виконати прогноз підйому рівня води на майбутнє і перевірити якість прогнозу на вже наявних даних.
1. Розрахувати моменти ряду (середнє і середньоквадратичне значення), побудувати функцію розподілу і щільність функції розподілу. Виконати її апроксимацію теоретичними залежностями.
Рис. 1.1. Зміна рівня води за період у 102 роки
Мінімальний рівень води = 0.06328, максимальне значення рівня = 0.6792
Замінимо простий статистичний ряд на статистичний ряд з меншим числом доданків, рівним 100. І для такого ряду розрахуємо частоту події (як подія беремо середній рівень води).
Таким чином, маємо 100 інтервалів, для кожного обчислюється частота події (число подій у статистичному ряді, коли X = x, до загального числа подій)
У нашому випадку маємо N = 1024 події, а m - число рівнів, які потрапили i-ий інтервал Очевидні властивості цієї частоти
Частоту різних рівнів води можна зобразити графічно
Рис. 1.2. Графік залежності частоти від середнього рівня води
Статистична функція розподілу є «частота» події Х <x в даному статистичному інтервалі
Рис. 1.3. Функція розподілу
Ця функція F * (x) є неубутною з наступними межами:
F * (x ® - ¥) = 0, F * (x ® + ¥) = 1.
З функцією розподілу F (x) пов'язана щільність функції розподілу f (x)
яка задовольняє таким співвідношенням:
f (x) ³ 0, ò f (x) dx = 1,
Рис. 1.4. Щільність функції розподілу
Була виконана апроксимація щільності функції розподілу теоретичними залежностями: поліномами 6-ий, дев'ятий, 15-го ступеня, тригонометричними многочленами. Оптимальним наближенням виявився поліном дев'ятого ступеня.
У якості критерію оптимальної апроксимації використовували критерій Пірсона
Рис. 1.5. Апроксимація щільність функції розподілу поліномом дев'ятого ступеня
Для нового ряду за наявними даними можна розрахувати математичне сподівання, що характеризує середнє значення рівня води
і середньоквадратичне відхилення, що характеризує середній розкид цих значень:
s * =
де
x i - середнє значення випадкової величини всередині розряду.
У нашому випадку, середній рівень води дорівнює 0.41, а середньоквадратичне відхилення - 0.119
2. В якій мірі цей ряд є стаціонарним? На які часи даний ряд можна вважати стаціонарним? Дати оцінки моментів для «шматків» ряду і побудувати гістограми оцінок
Для того щоб ряд був стаціонарним, повинні бути виконані умови
- Кореляційна функція не залежить від часу
математичне сподівання
- Дисперсія
-
Для перевірки стаціонарності ділимо вихідний ряд на
- Кореляційна функція.
Фіксуємо
Вважаємо автокорреляционную функцію для першого відрізку, а потім - кореляційну функцію для кожних двох сусідніх шматків. Отримуємо значення кореляційної функції при фіксованому
Якщо процес стаціонарний, то всі значення повинні співпадати зі значенням автокореляційної функції.
Рис. 2.1. Графіки залежності кореляційної функції від номера відрізка при різних
В якості оцінки кореляційної функції вирахували середньоквадратичне відхилення від значення автокореляційної функції.
Рис. 2.2. Залежність середньоквадратичного відхилення від
- Математичне сподівання
Для кожного «шматка» ряду обчислюється математичне сподівання
- Дисперсія
Для кожного «шматка» ряду обчислюється дисперсія
Рис. 2.3. Залежності середньоквадратичного відхилення D (M) і D (D) від
У нашому випадку, критерієм стаціонарності є мінімум середньоквадратичного відхилення від значення автокореляційної функції, мінімум
Цій умові задовольняє «шматок» ряду, довжиною
Таким чином, вихідний ряд стационарен на періоді T = 21 рік.
1. Оцінка математичного очікування
Перевіряємо
Ø спроможність оцінки для кожного стаціонарного «шматка» ряду.
де
Ø незміщеності оцінки
M [a *] = a,
2. Оцінка дисперсії
Перевіряємо
Ø спроможність оцінки для кожного стаціонарного «шматка» ряду.
де
Ø незміщеності оцінки
M [a *] = a,
3. Обчислити куммулятівная частоту перевищення рівня і зробити оцінки її стаціонарності
Рис. 3.1. Залежність куммулятівная частоти від рівня перевищення.
Розбиваємо вихідний ряд на на
n-залежностей критеріям, отриманими в п. 2.
Аналізуючи оцінки кореляційної функції, математичного сподівання і дисперсії, знаходимо період стаціонарності куммулятівная частоти перевищення рівня T = 17.85 років.
Рис. 3.2. Оцінка кореляційної функції
Рис. 3.3. Оцінки математичного очікування і дисперсії.
4. За допомогою пуассонівської статистики дати довгостроковий прогноз перевищення рівня. На який термін Ви гарантуєте такий прогноз?
- Шукана формула ймовірності того, що за період часу T відбудеться рівно m перевищень рівня a. Імовірність виникнення таких ситуацій визначається середньою частотою перевищення рівня a і часом прогнозу. З аналізу даних за 176 років на стаціонарному періоді знаходимо функцію залежності середньої частоти від рівня a
Рис. 4.1. Середня частота перевищення рівня
Нас цікавлять рідкісні події, наприклад, перевищення рівня
Знаючи середню частоту, тепер можна обчислити вірогідність того, що за період, наприклад, рівний 220 років, відбудеться рівно 1,2,3,4.
Рис. 4.2. Імовірність виникнення рівно m - аварій
Залежності ймовірності від прогнозованого часу для різного числа перевищення рівня (m = 1,2,3,4) є немонотонний, і їх максимум припадає на моменти часу
Як видно з графіка, спочатку більш вірогідним є тільки одне перевищення рівня a = 0.6, потім два, три ...
Наприклад, імовірність того, що за 62 роки відбудеться три перевищення рівня a = 0.6, найвища і дорівнює p = 0,19775.
5. Розрахуйте середню частоту появи викидів і середній час викиду
Будемо розглядати викиди (перевищення рівня, наприклад, a = 0.6) за період, на якому вихідний ряд стационарен.
Викид характеризується наступною умовою
Тоді можемо знайти середню частоту викиду за рівень а = 0.6
Середня тривалість викиду для стаціонарних випадкових процесів
Звідси, знаючи функцію розподілу випадкової величини, поріг, починаючи з якого, процес веде до катастрофи, і період прогнозу, можна розрахувати середній час катастрофічної ситуації, в нашому випадку - перевищення заданого рівня.
Середнє число викидів за період T для стаціонарного процесу визначається:
де P - середню частоту викиду
Таким чином, середнє число катастроф пропорційно тривалості часу прогнозу і падає із збільшенням порогового значення, що визначає виникнення катастрофічної ситуації.
Середня тривалість викиду може бути обчислена за формулою
і вона не залежить від прогнозованого часу (для стаціонарних процесів
Середня тривалість викиду за рівень а = 0.6 дорівнює
6. Спробуйте зробити короткостроковий прогноз рівня води, використовуючи лінійний і кореляційний аналіз. Перевірте його на вже наявних даних
1. Лінійний прогноз.
Розглядаємо наш ряд на стаціонарному періоді T. Вибираємо n = 127 точок. Тоді
Нам відомі значення
Тоді можемо спрогнозувати будь-яку точку ряду, наприклад,
Як перевірки знайдених коефіцієнтів зробили прогноз з двадцять другого по 33-ій рік (рис. 6.1) і c тридцять третього по 44-ий рік (рис. 6.2).
Рис. 6.1. Лінійний прогноз з 22-ого по тридцять третій рік
Рис. 6.2. Лінійний прогноз з 33-ого по сорок четвертий рік
2. Кореляційний прогноз
Розглядаємо наш ряд на стаціонарному періоді T. Тоді можемо представити у вигляді
де
Знаючи коефіцієнти
Як перевірки знайдених коефіцієнтів зробили прогноз на перші 22 роки (рис. 6.3) і з 22-ого по тридцять третій рік (рис. 6.4). Як видно з графіків. Результати збігаються в межах похибки.
Рис. 6.3. Кореляційний прогноз на перші 1922
Рис. 6.4. Кореляційний прогноз з 22-ого по тридцять третій рік
Аналізуючи отримані результати і використовуючи вже відомі дані, можна сказати, що кореляційний прогноз більш точний.
з курсу «Математичні моделі навколишнього середовища»
Визнач тимчасова зміна рівня води в деяких пунктах за період приблизно в 170 років.
Застосувати методи математичної статистики для оцінки характеристик та якості наявних даних спостережень. Виконати прогноз підйому рівня води на майбутнє і перевірити якість прогнозу на вже наявних даних.
1. Розрахувати моменти ряду (середнє і середньоквадратичне значення), побудувати функцію розподілу і щільність функції розподілу. Виконати її апроксимацію теоретичними залежностями.
Рис. 1.1. Зміна рівня води за період у 102 роки
Мінімальний рівень води = 0.06328, максимальне значення рівня = 0.6792
Замінимо простий статистичний ряд на статистичний ряд з меншим числом доданків, рівним 100. І для такого ряду розрахуємо частоту події (як подія беремо середній рівень води).
Таким чином, маємо 100 інтервалів, для кожного обчислюється частота події (число подій у статистичному ряді, коли X = x, до загального числа подій)
У нашому випадку маємо N = 1024 події, а m - число рівнів, які потрапили i-ий інтервал Очевидні властивості цієї частоти
Частоту різних рівнів води можна зобразити графічно
Рис. 1.2. Графік залежності частоти від середнього рівня води
Статистична функція розподілу є «частота» події Х <x в даному статистичному інтервалі
З функцією розподілу F (x) пов'язана щільність функції розподілу f (x)
яка задовольняє таким співвідношенням:
f (x) ³ 0, ò f (x) dx = 1,
Рис. 1.4. Щільність функції розподілу
Була виконана апроксимація щільності функції розподілу теоретичними залежностями: поліномами 6-ий, дев'ятий, 15-го ступеня, тригонометричними многочленами. Оптимальним наближенням виявився поліном дев'ятого ступеня.
У якості критерію оптимальної апроксимації використовували критерій Пірсона
Рис. 1.5. Апроксимація щільність функції розподілу поліномом дев'ятого ступеня
Для нового ряду за наявними даними можна розрахувати математичне сподівання, що характеризує середнє значення рівня води
і середньоквадратичне відхилення, що характеризує середній розкид цих значень:
s * =
де
x i - середнє значення випадкової величини всередині розряду.
У нашому випадку, середній рівень води дорівнює 0.41, а середньоквадратичне відхилення - 0.119
2. В якій мірі цей ряд є стаціонарним? На які часи даний ряд можна вважати стаціонарним? Дати оцінки моментів для «шматків» ряду і побудувати гістограми оцінок
Для того щоб ряд був стаціонарним, повинні бути виконані умови
- Кореляційна функція не залежить від часу
математичне сподівання
- Дисперсія
-
Для перевірки стаціонарності ділимо вихідний ряд на
- Кореляційна функція.
Фіксуємо
Вважаємо автокорреляционную функцію для першого відрізку, а потім - кореляційну функцію для кожних двох сусідніх шматків. Отримуємо значення кореляційної функції при фіксованому
Якщо процес стаціонарний, то всі значення повинні співпадати зі значенням автокореляційної функції.
Рис. 2.1. Графіки залежності кореляційної функції від номера відрізка при різних
В якості оцінки кореляційної функції вирахували середньоквадратичне відхилення від значення автокореляційної функції.
Рис. 2.2. Залежність середньоквадратичного відхилення від
- Математичне сподівання
Для кожного «шматка» ряду обчислюється математичне сподівання
- Дисперсія
Для кожного «шматка» ряду обчислюється дисперсія
Рис. 2.3. Залежності середньоквадратичного відхилення D (M) і D (D) від
У нашому випадку, критерієм стаціонарності є мінімум середньоквадратичного відхилення від значення автокореляційної функції, мінімум
Цій умові задовольняє «шматок» ряду, довжиною
Таким чином, вихідний ряд стационарен на періоді T = 21 рік.
1. Оцінка математичного очікування
Перевіряємо
Ø спроможність оцінки для кожного стаціонарного «шматка» ряду.
де
Ø незміщеності оцінки
M [a *] = a,
| Номер інтервалу | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| M [a *] | 0,40938 | 0,41218 | 0,41058 | 0,41152 | 0,40758 | 0,41118 | 0,41259 | 0,40985 |
| a | 0,40714 | 0,40661 | 0,40437 | 0,4080 | 0,40492 | 0,40906 | 0,41206 | 0,41018 |
Перевіряємо
Ø спроможність оцінки для кожного стаціонарного «шматка» ряду.
де
Ø незміщеності оцінки
M [a *] = a,
| Номер інтервалу | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| M [a *] | 0,11862 | 0,11507 | 0,11944 | 0,1235 | 0,12227 | 0,11891 | 0,11709 | 0,1185 |
| a | 0,11477 | 0,11391 | 0,12122 | 0,11959 | 0,11959 | 0,11674 | 0,12163 | 0,11842 |
Рис. 3.1. Залежність куммулятівная частоти від рівня перевищення.
Розбиваємо вихідний ряд на на
n-залежностей критеріям, отриманими в п. 2.
Аналізуючи оцінки кореляційної функції, математичного сподівання і дисперсії, знаходимо період стаціонарності куммулятівная частоти перевищення рівня T = 17.85 років.
Рис. 3.2. Оцінка кореляційної функції
Рис. 3.3. Оцінки математичного очікування і дисперсії.
4. За допомогою пуассонівської статистики дати довгостроковий прогноз перевищення рівня. На який термін Ви гарантуєте такий прогноз?
- Шукана формула ймовірності того, що за період часу T відбудеться рівно m перевищень рівня a. Імовірність виникнення таких ситуацій визначається середньою частотою перевищення рівня a і часом прогнозу. З аналізу даних за 176 років на стаціонарному періоді знаходимо функцію залежності середньої частоти від рівня a
Рис. 4.1. Середня частота перевищення рівня
Нас цікавлять рідкісні події, наприклад, перевищення рівня
Знаючи середню частоту, тепер можна обчислити вірогідність того, що за період, наприклад, рівний 220 років, відбудеться рівно 1,2,3,4.
Рис. 4.2. Імовірність виникнення рівно m - аварій
Залежності ймовірності від прогнозованого часу для різного числа перевищення рівня (m = 1,2,3,4) є немонотонний, і їх максимум припадає на моменти часу
Як видно з графіка, спочатку більш вірогідним є тільки одне перевищення рівня a = 0.6, потім два, три ...
Наприклад, імовірність того, що за 62 роки відбудеться три перевищення рівня a = 0.6, найвища і дорівнює p = 0,19775.
5. Розрахуйте середню частоту появи викидів і середній час викиду
Будемо розглядати викиди (перевищення рівня, наприклад, a = 0.6) за період, на якому вихідний ряд стационарен.
Викид характеризується наступною умовою
Тоді можемо знайти середню частоту викиду за рівень а = 0.6
Середня тривалість викиду для стаціонарних випадкових процесів
Звідси, знаючи функцію розподілу випадкової величини, поріг, починаючи з якого, процес веде до катастрофи, і період прогнозу, можна розрахувати середній час катастрофічної ситуації, в нашому випадку - перевищення заданого рівня.
Середнє число викидів за період T для стаціонарного процесу визначається:
де P - середню частоту викиду
Таким чином, середнє число катастроф пропорційно тривалості часу прогнозу і падає із збільшенням порогового значення, що визначає виникнення катастрофічної ситуації.
Середня тривалість викиду може бути обчислена за формулою
і вона не залежить від прогнозованого часу (для стаціонарних процесів
Середня тривалість викиду за рівень а = 0.6 дорівнює
6. Спробуйте зробити короткостроковий прогноз рівня води, використовуючи лінійний і кореляційний аналіз. Перевірте його на вже наявних даних
1. Лінійний прогноз.
Розглядаємо наш ряд на стаціонарному періоді T. Вибираємо n = 127 точок. Тоді
Нам відомі значення
Тоді можемо спрогнозувати будь-яку точку ряду, наприклад,
Як перевірки знайдених коефіцієнтів зробили прогноз з двадцять другого по 33-ій рік (рис. 6.1) і c тридцять третього по 44-ий рік (рис. 6.2).
Рис. 6.1. Лінійний прогноз з 22-ого по тридцять третій рік
Рис. 6.2. Лінійний прогноз з 33-ого по сорок четвертий рік
2. Кореляційний прогноз
Розглядаємо наш ряд на стаціонарному періоді T. Тоді можемо представити у вигляді
де
Знаючи коефіцієнти
Як перевірки знайдених коефіцієнтів зробили прогноз на перші 22 роки (рис. 6.3) і з 22-ого по тридцять третій рік (рис. 6.4). Як видно з графіків. Результати збігаються в межах похибки.
Рис. 6.3. Кореляційний прогноз на перші 1922
Рис. 6.4. Кореляційний прогноз з 22-ого по тридцять третій рік
Аналізуючи отримані результати і використовуючи вже відомі дані, можна сказати, що кореляційний прогноз більш точний.