Міністерство освіти і науки України
Донецький Національний університет
Курсова робота
на тему: «Математичні моделі поведінки виробників»
Виконала: студентка II курсу група А
Полева Є. Л.
Перевірила: Жиліна Л. С.
Донецьк-2008
Зміст
Визначення математичної моделі
Загальна схема прийняття рішень
Типи завдань на оптимізацію
Модель фірми
Завдання
Список літератури
Визначення математичної моделі
Важливим фактором, що визначає роль математики в різних додатках, є можливість опису найбільш істотних рис і властивостей досліджуваного об'єкта на мові математичних символів і співвідношень. Такий опис прийнято називати математичним моделюванням або формалізацією.
Визначення 1. Математичною моделлю реального об'єкта (явища) називається її спрощена, ідеалізована схема, складена за допомогою математичних символів і операцій (співвідношень).
Для побудови математичної моделі конкретної економічної задачі (проблеми) рекомендується виконання наступній послідовності робіт:
1. Визначення відомих і невідомих величин, а також існуючих умов і передумов (що дано і що потрібно знайти?);
2. Виявлення найважливіших чинників проблеми;
3. Виявлення керованих і некерованих параметрів;
4. Математичний опис за допомогою рівнянь, нерівностей, функцій та інших відносин взаємозв'язків між елементами моделі (параметрами, змінними), виходячи зі змісту даної задачі.
Відомі параметри завдання щодо її математичної моделі вважаються зовнішніми (заданими апріорі, тобто до побудови моделі). В економічній літературі їх називають екзогенними змінними. Значення ж спочатку невідомих змінних обчислюються в результаті дослідження моделі, тому стосовно моделі вони вважаються внутрішніми. В економічній літературі їх називають ендогенними змінними.
З точки зору призначення, можна виділити описові моделі і моделі прийняття рішення. Описові моделі відображають зміст і основні властивості економічних об'єктів як таких. З їх допомогою обчислюються числові значення економічних факторів і показників.
Моделі прийняття рішення допомагають знайти найкращі варіанти планових показників або управлінських рішень. Серед них найменш складним є оптимізаційні моделі, за допомогою яких описуються (моделюються) задачі типу планування, а найбільш складними-ігрові моделі, які описують завдання конфліктного характеру з урахуванням перетину різних інтересів. Ці моделі відрізняються від описових тим, що в них є можливість вибору значень керуючих параметрів (чого немає в описових моделях).
Загальна схема прийняття рішення
У математичній економіці важко переоцінити роль моделей прийняття рішення. Найбільш часте застосування знаходять ті з них, які зводять вихідні задачі оптимального планування виробництва, раціонального розподілу обмежених ресурсів і ефективної діяльності економічних суб'єктів до екстремальних задач, до завдань оптимального управління та до ігрових завдань. Яка ж загальна структура таких моделей?
Будь-яка задача прийняття рішення характеризується наявністю особи або осіб, які переслідують певні цілі і мають для цього певні можливості. Тому для виявлення основних елементів моделі прийняття рішення потрібно відповісти на наступні питання:
Ÿ хто приймає рішення?
Ÿ які цілі прийняття рішення?
Ÿ в чому полягає прийняття рішення?
Ÿ яке безліч можливих варіантів досягнення мети?
Ÿ при яких умовах відбувається прийняття рішення?
Отже перед нами якась загальна задача прийняття рішення. Для побудови її формальної схеми (моделі) введемо загальні позначення.
Буквою N позначимо множину всіх, що приймають рішення сторін. Нехай N = {1,2 ,..., n}, тобто є всього n учасників ідентифікованих тільки номерами. Кожен елемент
називається особою, яка приймає рішення (ОПР). (Наприклад, окрема особистість, фірма, плановий орган великого концерну, уряду та ін.)
Припустимо, що множина всіх допустимих рішень (альтернатив, стратегій) кожного ЛПР попередньо вивчено і описано математично (наприклад, у вигляді системи нерівностей). Позначимо їх через X 1, X 2 ,..., X n. Після цього процес прийняття рішення всіма ОПР зводиться до наступного формального акту: кожне ОПР вибирає конкретний елемент зі свого допустимого безлічі рішень
, 
,..., 
. У результаті виходить набір х = (х1 ,..., хn) вибраних рішень, який ми називаємо ситуацією.
Для оцінки ситуації х з точки зору переслідуваних цілей ОПР будуються функції f 1 ,..., f n (званими цільовими функціями або критеріями якості), що ставлять у відповідність кожній ситуації х числові оцінки f 1 (x ),..., f n (x) (наприклад, доходи фірм в ситуації х, або їхні витрати і т. д.). Тоді мета i-го ОПР формалізується наступним чином: вибрати таке своє рішення
, Щоб у ситуації х = (х 1 ,..., х n) число f i (х) було якомога більшим (або меншим). Проте досягнення цієї мети від нього залежить частково у зв'язку з наявністю інших сторін, які впливають на загальну ситуацію x з метою досягнення своїх власних цілей. Цей факт перетину інтересів (конфліктність) відбивається у тому, що функція f i крім x i залежить і від інших змінних x j (j 
i). Тому в моделях прийняття рішення з багатьма учасниками їхні цілі прічодітся формалізувати інакше, ніж максимізація або мінімізація значень функції f i (х). Нарешті, нехай нам вдалося математично описати всі ті умови, при яких відбувається прийняття рішення. (Опис зв'язків між керованими і некерованими змінними, опис впливу випадкових факторів, облік динамічних характеристик і т. д.). Сукупність усіх цих умов для простоти позначимо одним символом 
.
Таким чином, загальна схема завдання прийняття рішення може виглядати так:
Конкретизуючи елементи моделі (1.6.1.), Уточнюючи їх характеристики і властивості, можна получть той чи інший конкретний клас моделей прийняття рішення. Так, якщо у (1.6.1.) N складається тільки з одного елемента (n = 1), а всі умови і передумови вихідної реальної задачі можна описати у вигляді безлічі допустимих рішень цього єдиного ОПР, то з (1.6.1.) Отримуємо структуру оптимізаційної (екстремальної) завдання: <Х, f>. У цій схемі ОПР може розглядатися як планують орган. За допомогою даної схеми можна написати екстремальні задачі двох видів:
(2)
Якщо в екстремальну задачу явно враховується фактор часу, то вона називається задачею оптимального управління. Якщо n
2, то (1.6.1.) Є загальною схемою завдання прийняття рішення в умовах конфлікту, тобто в тих ситуаціях, коли має місце перетин інтересів двох або більше сторін.
Часто у ОПР є не одна, а кілька цілей. У цьому випадку з (1) отримуємо схему
, Де всі функції f 1 (x ),..., f n (x) визначені на одному і тому ж безлічі Х. Такі завдання називаються завданнями багатокритеріальної оптимізації.
Є класи задач прийняття рішення, що отримали свої назви виходячи з їх призначення: системи масового обслуговування, завдання управління запасами, задачі мережного і календарного планування, теорія надійності та ін
Якщо елементи моделі (1) не залежать явно від часу, тобто процес прийняття рішення зводиться до миттєвого акту вибору точки із заданої множини, то завдання називається статичною. В іншому випадку, тобто коли прийняття рішення являє собою багатоетапний дискретний або безперервний у часі процес, завдання називається динамічною. Якщо елементи моделі (1) не містять випадкових величин та імовірнісних явищ, то завдання називається детермінованою, в іншому випадку - стохастичною.
Типи завдань на оптимізацію
Задача оптимального розкрою матеріалу. Фірма ізготавляются виріб складається з p деталей. Причому в один виріб ці деталі входять у кількостях k 1 ,..., k r. З цією метою проводиться розкрій m партій матеріалу. У i-ой партії є b i одиниць матеріалу. Кожну одиницю матеріалу можна розкроїти на деталі n способами. При розкрої одиниці i-ой партії j-м способом виходить а ijr деталей r-го виду. Потрібно скласти такий план розкрою матеріалу, щоб з них отримати максимальне число виробів.
Транспортна задача. Є n постачальників і m споживачів одного і того ж продукту. Відомі випуск продукції у кожного постачальника і потреби в ній кожного споживача, витрати на перевезення продукції від виробника до споживача. Потрібно побудувати план транспортних перевезень з мінімальними транспортними витратами з урахуванням пропозиції постачальників і попиту споживачів.
Задача про призначення на роботу. Є n робіт і n виконавців. Вартість виконання роботи i виконавцем j дорівнює c ij. Потрібно розподілити виконавців на роботи так, щоб мінімізувати витрати на оплату праці.
3адача про сумішах (про раціоні). З m видів вихідних матеріалів кожен з яких складається з n компонент, скласти суміш, у якій вміст компонент має бути не менше b 1 ,..., b n. Відомі ціни одиниць матеріалів з 1,. .., з m і питома вага j-го компонента в одиниці i-го матеріалу. Потрібно скласти суміш, у якій витрати будуть мінімальними.
Задача про рюкзаку. Є n предметів. Вага предмета i дорівнює р i, цінність - сi (i = 1 ,..., n). Вимагається при заданій цінності вантажу вибрати сукупність предметів мінімальної ваги.
Задача про комівояжера. Є n міст і задані відстані c ij між ними (j, i = 1 ,..., n). Виїжджаючи з одного (початкового) міста, комівояжер повинен побувати у всіх інших містах по одному разу і повернутися у вихідний місто. Потрібно визначити в якому порядку слід обьезжать міста, щоб сумарна пройдене відстань було найменшим.
Завдання про верстати. На універсальному верстаті обробляються однакові партії з n деталей. Перехід від обробки деталі i до обробки деталі j вимагає переналагодження верстата, яка займає c ij часу. Потрібно визначити послідовність обробки деталей, при якій загальний час переналагоджень верстата при обробку партії деталей мінімально.
Задача про розподіл капіталовкладень. Є n проектів, причому для кожного проекту j відомі очікуваний ефект
від його реалізації і необхідна величина капіталовкладень g j. Загальний обсяг капіталовкладень не може перевищувати заданої величини b. Потрібно визначити, які проекти необхідно реалізувати, щоб сумарний ефект був найбільшим.
Задача про розміщення виробництва. Планується випуск m видів продукції, які могли б вироблятися на n підприємствах (n> m). Витрати виробництва і збуту одиниці продукції, плановий обсяг річного виробництва продукції і планова вартість одиниці продукції кожного виду відомі. Потрібно з n підприємств вибрати такі m, кожне з яких буде виробляти один вид продукції.
Модель фірми
Нехай виробнича фірма випускає один вид продукції або багато видів, але в постійній структурі. Тоді річний випуск фірми в натурально-речовій формі X - це кількість одиниць продукції одного виду або число багато номенклатурних агрегатів. Для виробництва продукції фірма використовує справжня праця L (середнє число зайнятих на рік або відпрацьовані за рік людино-години) минулий працю у вигляді засобів праці К (основні виробничі фонди) і предметів праці М (витрачені за рік паливо, енергія, сировина, матеріали, комплектуючі і т.п.).
Кожен з цих трьох агрегованих видів ресурсів (праця, фонди та матеріали) має певну кількість різновидів (праця різної кваліфікації, обладнання різного виду і т.п.). Позначимо вектор-стовпчик можливих обсягів витрат різних видів ресурсів через х = (х 1 ..., х n) '. Тоді технологія фірми визначається її виробничою функцією, що виражає зв'язок між витратами ресурсів і випуском:
X = F (x). (3)
Передбачається, що F (x) є двічі неперервно-диференційованою і неокласичної, крім того, її матриця других похідних негативно визначена.
Якщо ціна одиниці продукції дорівнює р., а ціна одиниці ресурсу j-го виду - wj, j = 1, ..., n, то кожному вектору витрат х відповідає прибуток П (х) = pF (x)-wx, (4) де w = (w1, w2 ..., wn) - вектор-рядок цін ресурсів. Ціни ресурсів мають природний і зрозумілий сенс: якщо хj - середньорічне число зайнятих певної професії, то wj - річна заробітна плата одного працівника даної професії; якщо хj - по-Купний матеріали (паливо, енергія тощо), то wj - покупна ціна одиниці даного матеріалу; якщо хj - виробничі фонди певного виду, то wj - річна орендна плата за одиницю фондів або вартість підтримання одиниці фондів у справності, якщо фірма володіє цими засобами.
У (4) R = pX = pF (x) - вартість річного випуску фірми або її річний дохід, С = wx - витрати виробництва або вартість витрат ресурсів за рік.
Якщо немає інших обмежень на розміри втягуються в виробниц-ство ресурсів, крім природного вимоги їх позитивності, то завдання на максимум прибутку набуває вигляду
max [pF (x) - wx] (5)
Це завдання нелінійного програмування з п умовами неотрицательности х> 0, необхідними умовами її рішення є умови Куна-Таккера (див. В. А. Колеман «Математична економіка», с.236, Додаток 4)
Якщо в оптимальному рішенні використані всі види ресурсів, тобто х *> 0, то умови (6) приймають вигляд
або (7)
тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного pесурсов повинна дорівнювати його ціні.
Точно таке ж за формою рішення має задача на максимум випуску при заданому обсязі витрат
max F (x), (8) wx
Це завдання нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням і умовою невід'ємності змінних. Відповідно до теорії (див. Додаток 4) спочатку будуємо функцію Лагранжа
L (x,
потім максимізуємо її за умови невід'ємності змінних. Для цього необхідно виконання умов Куна-Таккера
Як бачимо, умови (9) повністю збігаються з (6), якщо
Приклад. Випуск однопродуктовой фірми задається наступною проіводственной функцією Кобба-Дугласа:
Х = F (K, L) = 3K 2 / 3 L 1 / 3
Визначити максимальний випуск, якщо на оренду фондів і оплату праці виділено 150 ВО, вартість оренди одиниці фондів w до = 5 Д.Є. / е.ф., Ставка заробітної плати w L = 10 ВО / чол.
Яка гранична норма заміни одного зайнятого фондами в оптимальній точці?
Рішення. Оскільки F (0, L) = F (K, 0) = 0, то в оптимальному рішенні К *> 0, L *> 0, тому умови (9) приймають вигляд
або в нашому випадку
Поділивши перше рівняння на друге, отримуємо
Підставивши це співвідношення в умову w K K * + w L L * = 150, знаходимо
Рішення можна проілюструвати геометрично. На рис. 1 зображені ізокости (лінії постійних витрат для С = 50, 100, 150) і ізокванти (лінії постійних випусків для Х = 25,2; 37,8).
Малюнок 1
Ізокости мають наступні рівняння:
5K +10 L = C = const.
Ізокванти мають наступні рівняння:
Норма заміни праці фондами в оптимальній точці
тобто один працюючий може бути замінений двома одиницями фондів.
Вирішуючи завдання фірми (5) на максимум прибутку, знаходимо єдиний оптимальний набір ресурсів х *> 0 (розглядаємо випадок, коли всі ресурси увійдуть у набір). Цьому набору відповідає єдине значення витрат З * = wx *. Вирішимо тепер завдання (8) на максимум випуску при заданих витратах З *. Якщо F (x) - неокласична виробнича функція, то в оптимальному рішенні х *> 0, причому це рішення єдино.
Донецький Національний університет
Курсова робота
на тему: «Математичні моделі поведінки виробників»
Виконала: студентка II курсу група А
Полева Є. Л.
Перевірила: Жиліна Л. С.
Донецьк-2008
Зміст
Визначення математичної моделі
Загальна схема прийняття рішень
Типи завдань на оптимізацію
Модель фірми
Завдання
Список літератури
Визначення математичної моделі
Важливим фактором, що визначає роль математики в різних додатках, є можливість опису найбільш істотних рис і властивостей досліджуваного об'єкта на мові математичних символів і співвідношень. Такий опис прийнято називати математичним моделюванням або формалізацією.
Визначення 1. Математичною моделлю реального об'єкта (явища) називається її спрощена, ідеалізована схема, складена за допомогою математичних символів і операцій (співвідношень).
Для побудови математичної моделі конкретної економічної задачі (проблеми) рекомендується виконання наступній послідовності робіт:
1. Визначення відомих і невідомих величин, а також існуючих умов і передумов (що дано і що потрібно знайти?);
2. Виявлення найважливіших чинників проблеми;
3. Виявлення керованих і некерованих параметрів;
4. Математичний опис за допомогою рівнянь, нерівностей, функцій та інших відносин взаємозв'язків між елементами моделі (параметрами, змінними), виходячи зі змісту даної задачі.
Відомі параметри завдання щодо її математичної моделі вважаються зовнішніми (заданими апріорі, тобто до побудови моделі). В економічній літературі їх називають екзогенними змінними. Значення ж спочатку невідомих змінних обчислюються в результаті дослідження моделі, тому стосовно моделі вони вважаються внутрішніми. В економічній літературі їх називають ендогенними змінними.
З точки зору призначення, можна виділити описові моделі і моделі прийняття рішення. Описові моделі відображають зміст і основні властивості економічних об'єктів як таких. З їх допомогою обчислюються числові значення економічних факторів і показників.
Моделі прийняття рішення допомагають знайти найкращі варіанти планових показників або управлінських рішень. Серед них найменш складним є оптимізаційні моделі, за допомогою яких описуються (моделюються) задачі типу планування, а найбільш складними-ігрові моделі, які описують завдання конфліктного характеру з урахуванням перетину різних інтересів. Ці моделі відрізняються від описових тим, що в них є можливість вибору значень керуючих параметрів (чого немає в описових моделях).
Загальна схема прийняття рішення
У математичній економіці важко переоцінити роль моделей прийняття рішення. Найбільш часте застосування знаходять ті з них, які зводять вихідні задачі оптимального планування виробництва, раціонального розподілу обмежених ресурсів і ефективної діяльності економічних суб'єктів до екстремальних задач, до завдань оптимального управління та до ігрових завдань. Яка ж загальна структура таких моделей?
Будь-яка задача прийняття рішення характеризується наявністю особи або осіб, які переслідують певні цілі і мають для цього певні можливості. Тому для виявлення основних елементів моделі прийняття рішення потрібно відповісти на наступні питання:
Ÿ хто приймає рішення?
Ÿ які цілі прийняття рішення?
Ÿ в чому полягає прийняття рішення?
Ÿ яке безліч можливих варіантів досягнення мети?
Ÿ при яких умовах відбувається прийняття рішення?
Отже перед нами якась загальна задача прийняття рішення. Для побудови її формальної схеми (моделі) введемо загальні позначення.
Буквою N позначимо множину всіх, що приймають рішення сторін. Нехай N = {1,2 ,..., n}, тобто є всього n учасників ідентифікованих тільки номерами. Кожен елемент
Припустимо, що множина всіх допустимих рішень (альтернатив, стратегій) кожного ЛПР попередньо вивчено і описано математично (наприклад, у вигляді системи нерівностей). Позначимо їх через X 1, X 2 ,..., X n. Після цього процес прийняття рішення всіма ОПР зводиться до наступного формального акту: кожне ОПР вибирає конкретний елемент зі свого допустимого безлічі рішень
Для оцінки ситуації х з точки зору переслідуваних цілей ОПР будуються функції f 1 ,..., f n (званими цільовими функціями або критеріями якості), що ставлять у відповідність кожній ситуації х числові оцінки f 1 (x ),..., f n (x) (наприклад, доходи фірм в ситуації х, або їхні витрати і т. д.). Тоді мета i-го ОПР формалізується наступним чином: вибрати таке своє рішення
Таким чином, загальна схема завдання прийняття рішення може виглядати так:
Конкретизуючи елементи моделі (1.6.1.), Уточнюючи їх характеристики і властивості, можна получть той чи інший конкретний клас моделей прийняття рішення. Так, якщо у (1.6.1.) N складається тільки з одного елемента (n = 1), а всі умови і передумови вихідної реальної задачі можна описати у вигляді безлічі допустимих рішень цього єдиного ОПР, то з (1.6.1.) Отримуємо структуру оптимізаційної (екстремальної) завдання: <Х, f>. У цій схемі ОПР може розглядатися як планують орган. За допомогою даної схеми можна написати екстремальні задачі двох видів:
Якщо в екстремальну задачу явно враховується фактор часу, то вона називається задачею оптимального управління. Якщо n
Часто у ОПР є не одна, а кілька цілей. У цьому випадку з (1) отримуємо схему
Є класи задач прийняття рішення, що отримали свої назви виходячи з їх призначення: системи масового обслуговування, завдання управління запасами, задачі мережного і календарного планування, теорія надійності та ін
Якщо елементи моделі (1) не залежать явно від часу, тобто процес прийняття рішення зводиться до миттєвого акту вибору точки із заданої множини, то завдання називається статичною. В іншому випадку, тобто коли прийняття рішення являє собою багатоетапний дискретний або безперервний у часі процес, завдання називається динамічною. Якщо елементи моделі (1) не містять випадкових величин та імовірнісних явищ, то завдання називається детермінованою, в іншому випадку - стохастичною.
Типи завдань на оптимізацію
Задача оптимального розкрою матеріалу. Фірма ізготавляются виріб складається з p деталей. Причому в один виріб ці деталі входять у кількостях k 1 ,..., k r. З цією метою проводиться розкрій m партій матеріалу. У i-ой партії є b i одиниць матеріалу. Кожну одиницю матеріалу можна розкроїти на деталі n способами. При розкрої одиниці i-ой партії j-м способом виходить а ijr деталей r-го виду. Потрібно скласти такий план розкрою матеріалу, щоб з них отримати максимальне число виробів.
Транспортна задача. Є n постачальників і m споживачів одного і того ж продукту. Відомі випуск продукції у кожного постачальника і потреби в ній кожного споживача, витрати на перевезення продукції від виробника до споживача. Потрібно побудувати план транспортних перевезень з мінімальними транспортними витратами з урахуванням пропозиції постачальників і попиту споживачів.
Задача про призначення на роботу. Є n робіт і n виконавців. Вартість виконання роботи i виконавцем j дорівнює c ij. Потрібно розподілити виконавців на роботи так, щоб мінімізувати витрати на оплату праці.
3адача про сумішах (про раціоні). З m видів вихідних матеріалів кожен з яких складається з n компонент, скласти суміш, у якій вміст компонент має бути не менше b 1 ,..., b n. Відомі ціни одиниць матеріалів з 1,. .., з m і питома вага j-го компонента в одиниці i-го матеріалу. Потрібно скласти суміш, у якій витрати будуть мінімальними.
Задача про рюкзаку. Є n предметів. Вага предмета i дорівнює р i, цінність - сi (i = 1 ,..., n). Вимагається при заданій цінності вантажу вибрати сукупність предметів мінімальної ваги.
Задача про комівояжера. Є n міст і задані відстані c ij між ними (j, i = 1 ,..., n). Виїжджаючи з одного (початкового) міста, комівояжер повинен побувати у всіх інших містах по одному разу і повернутися у вихідний місто. Потрібно визначити в якому порядку слід обьезжать міста, щоб сумарна пройдене відстань було найменшим.
Завдання про верстати. На універсальному верстаті обробляються однакові партії з n деталей. Перехід від обробки деталі i до обробки деталі j вимагає переналагодження верстата, яка займає c ij часу. Потрібно визначити послідовність обробки деталей, при якій загальний час переналагоджень верстата при обробку партії деталей мінімально.
Задача про розподіл капіталовкладень. Є n проектів, причому для кожного проекту j відомі очікуваний ефект
Задача про розміщення виробництва. Планується випуск m видів продукції, які могли б вироблятися на n підприємствах (n> m). Витрати виробництва і збуту одиниці продукції, плановий обсяг річного виробництва продукції і планова вартість одиниці продукції кожного виду відомі. Потрібно з n підприємств вибрати такі m, кожне з яких буде виробляти один вид продукції.
Модель фірми
Нехай виробнича фірма випускає один вид продукції або багато видів, але в постійній структурі. Тоді річний випуск фірми в натурально-речовій формі X - це кількість одиниць продукції одного виду або число багато номенклатурних агрегатів. Для виробництва продукції фірма використовує справжня праця L (середнє число зайнятих на рік або відпрацьовані за рік людино-години) минулий працю у вигляді засобів праці К (основні виробничі фонди) і предметів праці М (витрачені за рік паливо, енергія, сировина, матеріали, комплектуючі і т.п.).
Кожен з цих трьох агрегованих видів ресурсів (праця, фонди та матеріали) має певну кількість різновидів (праця різної кваліфікації, обладнання різного виду і т.п.). Позначимо вектор-стовпчик можливих обсягів витрат різних видів ресурсів через х = (х 1 ..., х n) '. Тоді технологія фірми визначається її виробничою функцією, що виражає зв'язок між витратами ресурсів і випуском:
X = F (x). (3)
Передбачається, що F (x) є двічі неперервно-диференційованою і неокласичної, крім того, її матриця других похідних негативно визначена.
Якщо ціна одиниці продукції дорівнює р., а ціна одиниці ресурсу j-го виду - wj, j = 1, ..., n, то кожному вектору витрат х відповідає прибуток П (х) = pF (x)-wx, (4) де w = (w1, w2 ..., wn) - вектор-рядок цін ресурсів. Ціни ресурсів мають природний і зрозумілий сенс: якщо хj - середньорічне число зайнятих певної професії, то wj - річна заробітна плата одного працівника даної професії; якщо хj - по-Купний матеріали (паливо, енергія тощо), то wj - покупна ціна одиниці даного матеріалу; якщо хj - виробничі фонди певного виду, то wj - річна орендна плата за одиницю фондів або вартість підтримання одиниці фондів у справності, якщо фірма володіє цими засобами.
У (4) R = pX = pF (x) - вартість річного випуску фірми або її річний дохід, С = wx - витрати виробництва або вартість витрат ресурсів за рік.
Якщо немає інших обмежень на розміри втягуються в виробниц-ство ресурсів, крім природного вимоги їх позитивності, то завдання на максимум прибутку набуває вигляду
max [pF (x) - wx] (5)
Це завдання нелінійного програмування з п умовами неотрицательности х> 0, необхідними умовами її рішення є умови Куна-Таккера (див. В. А. Колеман «Математична економіка», с.236, Додаток 4)
Якщо в оптимальному рішенні використані всі види ресурсів, тобто х *> 0, то умови (6) приймають вигляд
або (7)
тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного pесурсов повинна дорівнювати його ціні.
Точно таке ж за формою рішення має задача на максимум випуску при заданому обсязі витрат
max F (x), (8) wx
Це завдання нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням і умовою невід'ємності змінних. Відповідно до теорії (див. Додаток 4) спочатку будуємо функцію Лагранжа
L (x,
потім максимізуємо її за умови невід'ємності змінних. Для цього необхідно виконання умов Куна-Таккера
Як бачимо, умови (9) повністю збігаються з (6), якщо
Приклад. Випуск однопродуктовой фірми задається наступною проіводственной функцією Кобба-Дугласа:
Х = F (K, L) = 3K 2 / 3 L 1 / 3
Визначити максимальний випуск, якщо на оренду фондів і оплату праці виділено 150 ВО, вартість оренди одиниці фондів w до = 5 Д.Є. / е.ф., Ставка заробітної плати w L = 10 ВО / чол.
Яка гранична норма заміни одного зайнятого фондами в оптимальній точці?
Рішення. Оскільки F (0, L) = F (K, 0) = 0, то в оптимальному рішенні К *> 0, L *> 0, тому умови (9) приймають вигляд
або в нашому випадку
Поділивши перше рівняння на друге, отримуємо
Підставивши це співвідношення в умову w K K * + w L L * = 150, знаходимо
Рішення можна проілюструвати геометрично. На рис. 1 зображені ізокости (лінії постійних витрат для С = 50, 100, 150) і ізокванти (лінії постійних випусків для Х = 25,2; 37,8).
Малюнок 1
Ізокости мають наступні рівняння:
5K +10 L = C = const.
Ізокванти мають наступні рівняння:
Норма заміни праці фондами в оптимальній точці
тобто один працюючий може бути замінений двома одиницями фондів.
Вирішуючи завдання фірми (5) на максимум прибутку, знаходимо єдиний оптимальний набір ресурсів х *> 0 (розглядаємо випадок, коли всі ресурси увійдуть у набір). Цьому набору відповідає єдине значення витрат З * = wx *. Вирішимо тепер завдання (8) на максимум випуску при заданих витратах З *. Якщо F (x) - неокласична виробнича функція, то в оптимальному рішенні х *> 0, причому це рішення єдино.
Таким чином, з одного боку,
а з іншого боку -
Так як рішення задачі на максісмум прибутку (5) єдино, то
Геометричне місце точок дотику ізокости і изоквант при різних значеннях витрат З визначає довгостроковий шлях розвитку фірми Х (С), тобто показує, як буде збільшуватися (зменшуватися) випуск, якщо витрати зростуть (зменшаться). Оскільки ця залежність монотонна, то існує зворотна монотонна функція витрат
С = С (Х).
Оскільки Х (С) - максимальний випуск за заданих витрат то витрати С (Х), що відповідають цьому максимальному випуску X, - мінімальні витрати.
Якщо відома функція мінімальних витрат С (Х), оптимальний розмір випуску знову визначається з умови максимуму прибутку
max П (х), П (х) = РХ-С (X) (11).
Прирівнюємо до нуля похідну:
тобто в оптимальній точці граничні витрати дорівнюють ціні випуску:
(Крім того, максимум прибутку досягається при
Ці співвідношення можуть бути дозволені відносно х в околі оптимальної точки, якщо якобіан | J |
Це означає, що повинен бути відмінний від нуля гессіан | Н | виробничої функції (але Н негативно визначена, тому дійсно | Н | = 0). Тоді
х * = х * (р, w) (12)
або
х j * = х j * (р, w), j = 1, ..., n
Ці п рівнянь задають функції попиту (на ресурси), знайдені за допомогою моделі поведінки фірми. Функції попиту на ресурси можуть бути також знайдені експериментально за допомогою методів математичної статистики за вибірковими даними. Функція пропозиції
Х * (р, w) = F [x * (p, w)].
Подібно рівнянням Слуцького, що показує реакцію споживача на зміни цін товарів, аналогічні рівняння описують реакцію виробника на зміни цін випуску і ресурсів.
При заданих цінах р, w поведінка виробника визначається наступними співвідношеннями (всього (п + 1) співвідношення):
Х * (р, w) = F [x * (p, w)],
Завдання
1. Виробнича функція Х =
Визначити максимальний випуск, якщо
х 1 + х 2 + х 3 = 9.
Які граничні продукти в оптимальній точці?
Рішення.
Згідно з умовами (8) для задачі на максимум випуску, повинні виконуватися:
max F (x), wx
Складемо функцію Лагранжа:
L (x,
L (x, 
Диференціюючи задану функцію по перменним х 1, х 2, х 3, маємо систему нерівностей:
Вирішуючи систему, отримаємо значення: при
Позначимо знайдені точки через М. Знайдемо значення функції Х ст отриманої точці:
Знайдемо граничні продукти за ресурсами в точці М:
2. Виробнича функція фірми має наступний вигляд:
Х = 3
Визначити граничні продукти по ресурсах і побудувати ізокванту Х = 3. Написати уравнеіе ізокліналі (лінії найбільшого зростання випуску), що проходить через точку х 1 = 1, х 2 = 1, знайти норму заміни першого ресурсу другим у цій точці.
Рішення.
Граничним продуктом по першому ресурсу є
за другим -
Рівняння ізокванти має вигляд при Х = 3:
х 1
х 2
Загальне рівняння ізокліналі має вигляд:
Норма заміни першого ресурсу другим у цій точці дорівнює:
Список використаної літератури
1. В. А. Колеман «Математична економіка».
2. В. Д. Камаєв «Економічна теорія для вузів».
3. В. С. Немчинов «Економіко-математичні методи і моделі».
4. Ресурс Internet.
а з іншого боку -
Так як рішення задачі на максісмум прибутку (5) єдино, то
Геометричне місце точок дотику ізокости і изоквант при різних значеннях витрат З визначає довгостроковий шлях розвитку фірми Х (С), тобто показує, як буде збільшуватися (зменшуватися) випуск, якщо витрати зростуть (зменшаться). Оскільки ця залежність монотонна, то існує зворотна монотонна функція витрат
С = С (Х).
Оскільки Х (С) - максимальний випуск за заданих витрат то витрати С (Х), що відповідають цьому максимальному випуску X, - мінімальні витрати.
Якщо відома функція мінімальних витрат С (Х), оптимальний розмір випуску знову визначається з умови максимуму прибутку
max П (х), П (х) = РХ-С (X) (11).
Прирівнюємо до нуля похідну:
тобто в оптимальній точці граничні витрати дорівнюють ціні випуску:
(Крім того, максимум прибутку досягається при
Ці співвідношення можуть бути дозволені відносно х в околі оптимальної точки, якщо якобіан | J |
Це означає, що повинен бути відмінний від нуля гессіан | Н | виробничої функції (але Н негативно визначена, тому дійсно | Н | = 0). Тоді
х * = х * (р, w) (12)
або
х j * = х j * (р, w), j = 1, ..., n
Ці п рівнянь задають функції попиту (на ресурси), знайдені за допомогою моделі поведінки фірми. Функції попиту на ресурси можуть бути також знайдені експериментально за допомогою методів математичної статистики за вибірковими даними. Функція пропозиції
Х * (р, w) = F [x * (p, w)].
Подібно рівнянням Слуцького, що показує реакцію споживача на зміни цін товарів, аналогічні рівняння описують реакцію виробника на зміни цін випуску і ресурсів.
При заданих цінах р, w поведінка виробника визначається наступними співвідношеннями (всього (п + 1) співвідношення):
Завдання
1. Виробнича функція Х =
Визначити максимальний випуск, якщо
х 1 + х 2 + х 3 = 9.
Які граничні продукти в оптимальній точці?
Рішення.
Згідно з умовами (8) для задачі на максимум випуску, повинні виконуватися:
max F (x), wx
Складемо функцію Лагранжа:
L (x,
L (x,
Диференціюючи задану функцію по перменним х 1, х 2, х 3, маємо систему нерівностей:
Вирішуючи систему, отримаємо значення: при
Позначимо знайдені точки через М. Знайдемо значення функції Х ст отриманої точці:
Знайдемо граничні продукти за ресурсами в точці М:
2. Виробнича функція фірми має наступний вигляд:
Х = 3
Визначити граничні продукти по ресурсах і побудувати ізокванту Х = 3. Написати уравнеіе ізокліналі (лінії найбільшого зростання випуску), що проходить через точку х 1 = 1, х 2 = 1, знайти норму заміни першого ресурсу другим у цій точці.
Рішення.
Граничним продуктом по першому ресурсу є
за другим -
Рівняння ізокванти має вигляд при Х = 3:
х 2
Загальне рівняння ізокліналі має вигляд:
Норма заміни першого ресурсу другим у цій точці дорівнює:
Список використаної літератури
1. В. А. Колеман «Математична економіка».
2. В. Д. Камаєв «Економічна теорія для вузів».
3. В. С. Немчинов «Економіко-математичні методи і моделі».
4. Ресурс Internet.