МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
«Полоцьк ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
Кафедра: Вищої математики
Контрольна робота
з дисципліни «Економіко-математичні методи і моделі»
Варіант - 12
Студентки Фінансово-економічного факультету
Заочного відділення
Групи У06-ЕПЗ-1
Галай Наталії Михайлівни
Викладач:
Сороговец І.Б.
Новополоцьк, 2008 р .

Зміст
Завдання 1-1
Завдання 2-1
Завдання 3-1
Завдання 4-2
Завдання 5-2

Завдання 1-1
За умовами контракту торгово-посередницька фірма повинна поставити кожному з двох покупців B _j (j = 1, 2) два види товарів T _k (k = 1, 2) у кількості b _jk за ціною р _jk за одиницю товару. Ці товари можна купити у трьох виробників A _i (i = 1, 2, 3) за ціною s _{i k} за одиницю товару. Відомі: кількості a _i _k товару T _k, наявного у виробника A _i, а також вартості c _ijk перевезення одиниці товару T _k від виробника A _i до покупця B _j.
ПОТРІБНО:
1. Побудувати математичну модель поставленого завдання, максимізує прибуток фірми від реалізації всіх угод у вигляді задачі лінійного програмування.
2. Методом потенціалів знайти оптимальний план закупівель, перевезень і поставок по кожному товару від кожного виробника до кожного покупця, а також суму прибутку від реалізації цього плану.
Вихідні дані:

a11	a12	a21	a22	a31	a32
400	410	480	550	420	480

s11	s12	s21	s22	s31	s32
2	3	5	5	2	3

b11	b12	b21	b22
480	130	270	320

c111	c112	c121	c122	c211	c212	c221	c222	c311	c312	c321	c322
2	2	2	2	3	2	1	2	3	2	2	1

p11	p12	p21	p22
16	14	15	15

РІШЕННЯ:
1) Для складання математичної моделі введемо невідомі

- Кількість товару

, Що купується у виробника

для перевезення споживачеві

. Індекси: i = 1, 2, 3 - номер виробника продукції;
j = 1, 2 - номер споживача продукції; k = 1, 2 - номер товару. Знайдемо тарифи

, Тобто прибутку на одну одиницю товару

, Що купується у виробника

для продажу споживачеві

. Ці прибутки складаються з ціни продажу 1 одиниці товару за вирахуванням ціни покупки і вартості перевезення, тобто

.
f ₁₁₁ = p ₁₁ - s ₁₁ - c ₁₁₁ = 16 - 2 - 2 = 12;
f ₁₁₂ = p ₁₂ - s ₁₂ - c ₁₁₂ = 14 - 3 - 2 = 9;
f ₁₂₁ = p ₂₁ - s ₁₁ - c ₁₂₁ = 15 - 2 - 2 = 11;
f ₁₂₂ = p ₂₂ - s ₁₂ - c ₁₂₂ = 15 - 3 - 2 = 10;
f ₂₁₁ = p ₁₁ - s ₂₁ - c ₂₁₁ = 16 - 5 - 3 = 8;
f ₂₁₂ = p ₁₂ - s ₂₂ - c ₂₁₂ = 14 - 5 - 2 = 7;
f ₂₂₁ = p ₂₁ - s ₂₁ - c ₂₂₁ = 15 - 5 - 1 = 9;
f ₂₂₂ = p ₂₂ - s ₂₂ - c ₂₂₂ = 15 - 5 - 2 = 8;
f ₃₁₁ = p ₁₁ - s ₃₁ - c ₃₁₁ = 16 - 2 - 3 = 11;
f ₃₁₂ = p ₁₂ - s ₃₂ - c ₃₁₂ = 14 - 3 - 2 = 9;
f ₃₂₁ = p ₂₁ - s ₃₁ - c ₃₂₁ = 15 - 2 - 2 = 11;
f ₃₂₂ = p ₂₂ - s ₃₂ - c ₃₂₂ = 15 - 3 - 1 = 11.
Значення отриманих коефіцієнтів наведені в таблиці 1.1:

fijk	f111	f112	f121	f122	f211	f212	f221	f222	f311	f312	f321	f322
тариф	12	9	11	10	8	7	9	8	11	9	11	11

Прибуток фірми представляється виразом

, Де сума береться по всіх можливих значеннях індексів i, j, k. За умовою, вираз F слід максимізувати, тобто F є цільовою функцією поставленого завдання. Оскільки операції над товарами

можна робити окремо і вираз F представляється у вигляді суми двох доданків

, Згрупованих по товарах

, То поставлена задача зводиться до вирішення двох оптимізаційних завдань. Обмеження для невідомих диктуються наявністю відповідних товарів у виробників і потребою в них покупців. У результаті приходимо до двох завдань лінійного програмування, які відносяться до завдань транспортного типу:
Завдання 1 (по товару )
max F ₁ = 12 * X ₁₁₁ + 11 * X ₁₂₁ + 8 * X ₂₁₁ + 9 * X ₂₂₁ + 11 * X ₃₁₁ + 11 * X ₃₂₁
X ₁₁₁ + X ₂₁₁ + X ₃₁₁ ≤ b ₁₁ ≤ 480 X ₁₂₁ + X ₂₂₁ + X ₃₂₁ ≤ b ₂₁ ≤ 270
X ₁₁₁ + X ₁₂₁ ≤ a ₁₁ ≤ 400 X ₂₁₁ + X ₂₂₁ ≤ a ₂₁ ≤ 480 X ₃₁₁ + X ₃₂₁ ≤ a ₃₁ ≤ 420
X _{ij 1} ≥ 0
Задача 2 (по товару )
max F ₂ = 9 * X ₁₁₂ + 10 * X ₁₂₂ + 7 * X ₂₁₂ + 8 * X ₂₂₂ + 9 * X ₃₁₂ + 11 * X ₃₂₂
X ₁₁₂ + X ₂₁₂ + X ₃₁₂ ≤ b ₁₂ ≤ 130 X ₁₂₂ + X ₂₂₂ + X ₃₂₂ ≤ b ₂₂ ≤ 320
X ₁₁₂ + X ₁₂₂ ≤ a ₁₂ ≤ 410 X ₂₁₂ + X ₂₂₂ ≤ a ₂₂ ≤ 550 X ₃₁₂ + X ₃₂₂ ≤ a ₃₂ ≤ 480
X _{ij 2} ≥ 0
Як видно, рішення поставленого завдання зводиться до вирішення двох задач транспортного типу.
2) Для вирішення завдань 1, 2 методом потенціалів, можна порівняти сумарне наявність кожного товару у виробників і сумарні потреби покупців.

= 400 + 480 + 420 = 1300,

= 480 + 270 = 750;
1300 - 750 = 550
Наявність товару Т ₁ перевищує потреби покупців. Вводимо фіктивного покупця У ₃ з потребою b ₃₁ = 550.

= 410 + 550 + 480 = 1440,

= 130 + 320 = 990;
1440 - 450 = 990
Наявність товару Т ₂ перевищує потреби покупців. Вводимо фіктивного покупця У ₃ з потребою b ₃₂ = 990.
Отримуємо закриті моделі двох транспортних завдань. Для їх вирішення складаємо дві таблиці. У верхніх правих кутах клітин

виписані тарифи

. Для фіктивних виробників і покупців тарифи дорівнюють нулю. Останні рядки і стовпці таблиць служать для запису потенціалів.
Таблиця 1.2 (до задачі 1)

Виробники	Покупці
Виробники	B1	B2	B3	ai1	ui
A1	12 400	11 12	0 1	400	1
A2	8 11	9 11	0 480	480	0
A3	11 80	11 270	0 70	420	0
bj1	480	270	550	1300	-
vj	11	11	0	-	-

Таблиця 1.3 (до задачі 2)

Виробники	Покупці
Виробники	B1	B2	B3	ai1	ui
A1	9 130	10 11	0 280	410	0
A2	7 9	8 11	0 550	550	0
A3	9 9	11 320	0 160	480	0
bj1	130	320	990	1440	-
vj	9	11	0	-	-

Початкові плани розподілу товарів визначені за методом максимального прибутку, тобто в першу чергу заповнювалися по максимуму клітини з найбільшими тарифами. Більш конкретно, переглядаючи таблицю 1.2, помічаємо, що максимальний тариф 12 стоїть у клітці (1,1). У цю клітку ставимо число 400. При цьому запаси виробника А ₁ вичерпаний. Далі, в клітку (3,1) ставимо 80, а в клітку (3,2) ставимо 270. З запасів виробника А ₃ залишилося 70, так як 420-80-270 = 70, ставимо їх у клітку (3,3). Потреба покупців В ₁ і В ₂ в товарах вичерпані, отже, що залишилися 480 товарів виробника А ₂ ставимо в клітку (2,3). При цьому товар

виробників

повністю розподілений.
Отриманий початковий план перевіримо на оптимальність. План невироджених, так як число зайнятих клітин (3 +3-1 = 5) дорівнює m + n - 1 (m і n - число рядків і стовпців розподільчої матриці). Позначимо через

потенціали рядків і стовпців. Для їх знаходження відзначимо, що в зайнятих клітинах сума потенціалів рядка та стовпця повинна дорівнювати тарифом клітини. Отримуємо в даному випадку 5 рівнянь з 6-ма невідомими:
v ₁ + u ₁ = 12; v ₂ + u ₃ = 11; v ₃ + u ₃ = 0.
v ₁ + u ₃ = 11; v ₃ + u ₂ = 0;
Вважаючи, що v ₃ = 0, послідовно отримуємо: u ₂ = 0, u ₃ = 0, v ₂ = 11, v ₁ = 11, u ₁ = _1.
Так як завдання вирішується на максимум, то для оптимальності плану розподілу, сума потенціалів у незайнятих клітинах повинна бути не менше тарифів цих клітин. У нижніх лівих кутах незайнятих клітин виписані суми потенціалів. Всі вони перевершують відповідні тарифи, тобто початковий план закріплення покупців за виробниками по товару оптимальний.
Аналогічно, таблиця 1.3 заповнена в наступній послідовності:
(3,2) - 320, (1,1) - 130, (1,3) - 280, (3,3) - 160, (2,3) - 550. Отриманий план невироджених, тому що містить 3 + 3 - 1 = 5 зайнятих клітин. Перевіримо його на оптимальність. Випишемо систему рівнянь для знаходження потенціалів:
v ₁ + u ₁ = 9; v ₃ + u ₁ = 0; v ₃ + u ₃ = 0.
V ₂ + u ₃ = 11; v ₃ + u ₂ = 0;
Вважаючи, що u ₃ = 0, послідовно отримуємо: v ₃ = 0, u ₂ = 0, u ₁ = 0, v ₂ = 11, v ₁ = 9.
План розподілу товару T _2, заданий таблицею 2, оптимальний.
Сума прибутку

= (12 * 400 + 11 * 80 + 11 * 270) + (9 * 130 + 11 * 320) = = 8650 + 4690 = 13340.
ВІДПОВІДЬ:
X ₁₁₁ = 400, X ₃₁₁ = 80, X ₃₂₁ = 270, X ₁₁₂ = 130, X ₃₂₂ = 320. Решта

= 0. Максимальний прибуток дорівнює 13340.

Завдання 2-1
За допомогою алгоритму угорського методу знайти план закріплення робіт за виконавцями, максимізує прибуток, пов'язану з випуском всіх п'яти видів продукції. Матриця ефективності AN =

, Де

- Прибуток, одержуваний при виконанні j-ї роботи i-м виконавцем, N - номер варіанта, має вигляд:

	40	28	44	38	46
	36	52	51	43	30
A12 =	40	29	48	45	34	,
	56	54	53	46	49
	51	41	50	55	41

РІШЕННЯ:
I етап: приведення матриці А12.
Алгоритм угорського методу призначений для вирішення задачі про призначення за критерієм мінімізації сумарних витрат (задача на мінімум). При вирішенні завдання на максимум (так як

- Прибуток), її слід звести до задачі на мінімум. Для цього в кожному стовпці матриці визначаємо максимальний елемент і з нього віднімаємо всі елементи стовпця.

	40	28	44	38	46		16	26	9	17	3
	36	52	51	43	30		20	2	2	12	19
A12 =	40	29	48	45	34	→ A121 =	16	25	5	10	15	→
	56	54	53	46	49		0	0	0	9	0
	51	41	50	55	41		5	13	3	0	8
	56	54	53	55	49

Так як у рядках 1, 2, 3 нулів не виявилося, то віднімаємо з елементів цих рядків мінімального з них, тобто віднімаємо з рядка 1 число 3, з рядка 2 число 2, з рядка 3 число 5. Отримуємо нулі в цих рядках.

	13	23	6	14	0
	18	0	0	10	17
→ A122 =	11	20	0	5	10	→
	0	0	0	9	0
	5	13	3	0	8

II етап: пошук призначення.
Вибираємо один з нулів, позначаємо його, наприклад, крапкою або зірочкою або обводимо його іншим кольором (надалі, зірочкою), а інші нулі рядка і стовпця, в яких стоїть вибраний позначений нуль, перекреслюємо. Далі переходимо до наступного нулю. І так до тих пір, поки кожен нуль буде або позначений, або перекреслений.

	13	23	6	14	0 *
	18	0 *	Ø	10	17
→ A122 =	11	20	0 *	5	10
	0 *	Ø	Ø	9	Ø
	5	13	3	0 *	8

Помічені нулі складений повний призначення (кількість помічених нулів одно 5).
Отже, 1 виконавець призначається на 5-у роботу, 2 → 2, 3 → 3, 4 → 1, 5 → 4.

Завдання 3-1

Підприємство включає в себе три цехи з виробництва різної продукції і використовує при цьому чотири види первинних ресурсів. Продукція, що випускається кожним цехом, частково відвантажується за межі підприємства (для задоволення кінцевого попиту), а частково розподіляється усередині підприємства між цехами як вторинних ресурсів. Баланс підприємства в натуральному виразі за минулий рік наведено в наступних двох таблицях 3.1.1 та 3.1.2:
Таблиця 3.1.1

Виробництво товарів	Внутрішнє споживання			Кінцевий попит
Виробництво товарів	цех 1	цех 2	цех 3	Кінцевий попит
цех 1	240	72	140	348
цех 2	80	264	180	76
цех 3	0	120	400	480

Таблиця 3.1.2

Первинні ресурси	Витрати ресурсу за рік
Первинні ресурси	цех 1	цех 2	цех 3
А	180	30	50
Б	1200	1500	0
У	400	1200	300
Г	160	600	1000

ПОТРІБНО:
1) знайти матриці коефіцієнтів прямих товаро-витрат і ресурсо-витрат на підставі даних за попередній рік;
2) знайти план повних випусків продукції кожного цеху на наступний рік, забезпечують виконання держзамовлення з відвантаження продукції в обсягах c ₁ = 360, c ₂ = 90, c ₃ = 450 відповідно;
3) визначити необхідний запас первинних ресурсів кожного виду.
РІШЕННЯ:
Якщо позначити через

повні випуски продукції кожним цехом, то можна скласти такі співвідношення

де

- Безпосередній натуральний витрати продукції i-го цеху для забезпечення випуску всієї продукції j-го цеху. Числа

називаються коефіцієнтами прямих товаро-витрат. Їх можна визначити за статистичними даними за попередній рік, тобто

Сенс коефіцієнта

- Кількість продукції i-го цеху, що використовується для виробництва 1 одиниці продукції j-го цеху.
Аналогічно, витрата

k-го ресурсу j-м цехом представимо у вигляді

Тоді коефіцієнти

називаються коефіцієнтом-тами прямих ресурсо-витрат. Вони визначають кількість k-го ресурсу, необхідне для виробництва одиниці продукції j-го цеху і знаходяться за результатами статистичних даних за попередній рік.
1. Для визначення коефіцієнтів

знайдемо повні випуски продукції кожним цехом за попередній рік х _j:
x ₁ = 240 + 72 + 140 + 348 = 800;
x ₂ = 80 + 264 + 180 + 76 = 600;

x ₃ = 0 + 120 + 400 + 480 = 1000;
Тоді матриці A і B коефіцієнтів

приймають вигляд:

	240	72	140		0.30	0.12	0.14
	800	600	1000
					0.10	0.44	0.18	,
A =	80	264	180	=
	800	600	1000		0.00	0.20	0.40

	0	120	400
	800	600	1000

	180	30	50		0.23	0.05	0.05
	800	600	1000
					1.50	2.50	0.00	,
B =	1200	1500	0	=
	800	600	1000		0.50	2.00	0.30

	400	1200	300		0.20	1.00	1.00
	800	600	1000

	160	600	1000
	800	600	1000

2. Замінюючи вираження

знайденими коефіцієнтами

отримуємо систему рівнянь для визначення шуканих повних випусків продукції:

SHAPE \ * MERGEFORMAT

x ₁ = 0.30 * x ₁ + 0.12 * x ₂ + 0.14 * x ₃ + 360,
x ₂ = 0.10 * x ₁ + 0.44 * x ₂ + 0.18 * x ₃ + 90,
x ₃ = 0.00 * x ₁ + 0.20 * x ₂ + 0.40 * x ₃ + 450.

Цю систему можна записати в матричній формі

де E - одинична матриця, X - матриця-стовпець із невідомих, C - матриця-стовпець з чисел c ₁ = 360, c ₂ = 90, c ₃ = 450. Вирішуючи отримане матричне рівняння, знайдемо повні випуски продукції. Його рішення має вигляд:

Будуємо зворотну матрицю

Для цього знайдемо алгебраїчні доповнення

і визначник

для матриці

Маємо:

	0,70	-0,12	-0,14

Е-A =	-0,10	0,56	-0,18	,

	0,00	-0,20	0,60

	0,56	-0,18
A11 =			=	0,56 * 0,60 - (-0,18) * (-0,20)	=	0,30	,
	-0,20	0,60

Аналогічно:

	-0,10	-0,18					-0,10	0,56
A12 = -			=	0,06	,	A13 =			=	0,02	,
	0,00	0,60					0,00	-0,20

	-0,12	-0,14					0,70	-0,14
A21 = -			=	0,10	,	A22 =			=	0,42	,
	-0,20	0,60					0,00	0,60

	0,70	-0,14					-0,12	-0,14
A23 = -			=	0,14	,	A31 =			=	0,10	,
	-0,10	-0,18					0,56	-0,18

	0,70	-0,14					0,70	-0,12
A32 = -			=	0,14	,	A33 =			=	0,38	,
	-0,10	-0,18					-0,10	0,56

При цьому Δ = 0,70 * 0,30 - 0,12 * 0,06 - 0,14 * 0,02 = 0,20,

	1,5	0,5	0,5

=	0,3	2,1	0,7	,

	0,1	0,7	1,9

Множачи матрицю

на C, знайдемо шукані повні випуски продукції:

х1		1,5	0,5	0,5		360		1,5 * 360	+	0,5 * 90	+	0,5 * 450		810

х2	=	0,3	2,1	0,7	*	90	=	0,3 * 360	+	2,1 * 90	+	0,7 * 450	=	612	,

х3		0,1	0,7	1,9		450		0,1 * 360	+	0,7 * 90	+	1,9 * 450		954

Тобто, х ₁ = 810, х ₂ = 612, х ₃ = 954.
3. При визначенні запасу

k-го виду ресурсів, необхідного для виробництва знайдених повних випусків продукції, досить помножити матрицю ресурсо-витрат B на матрицю-стовпець з повних випусків продукції:

b1		0,23	0,05	0,05				0,23 * 810	+	0,05 * 612	+	0,05 * 954		264,6
						810
b2		1,50	2,50	0,00				1,50 * 810	+	2,50 * 612	+	0,00 * 954		2745,0
	=				*	612	=						=		,
b3		0,50	2,00	0,30				0,50 * 810	+	2,00 * 612	+	0,30 * 954		1915,2
						954
b4		0,20	1,00	1,00				0,20 * 810	+	1,00 * 612	+	1,00 * 954		1728,0

Тобто запас ресурсу

слід мати на кількості

264,6 од., Ресурсу

- У кількості

2745 од., Ресурсу

- У кількості

1915,2 од., Ресурсу

- У кількості

1728 од.
Завдання 4-2
Урожайність пшениці залежить від кількості внесених добрив і погодних умов. Фермер може вносити на 1 гектар

або

центнерів добрив. Погодні умови характеризуються трьома станами:

. Урожайність пшениці з одного гектара становить

центнерів при внесенні

центнерів добрив і стан погоди

. Ринкова ціна на зерно становить

ден. од., якщо було внесено

ц / га добрив. Вартість одного центнера добрив складає S ден. од.
Треба визначити, яку кількість добрив слід вносити в грунт, щоб отримати якомога більший прибуток, якщо: а) відомі ймовірності

станів природи

; Б) про можливості станів природи нічого певного сказати не можна.
Зазначення. Скласти платіжну матрицю, розрахувавши значенні прибутку за формулою:

.
Вихідні дані:

а1	а2	а3	с1	с2	с3	b11	b12	b13	b21	b22	b23	b31	b32	b33	S	p1	p2	p3	λ
2	4	6	9	5	3	5	9	6	10	12	9	13	15	11	4	0,3	0,4	0,3	0,8

РІШЕННЯ:
Одним з учасників даної ситуації є фермер, який має вносити добрива у грунт для отримання хорошого врожаю пшениці. Якщо описаної ситуації надати ігрову схему, то фермер виступить в ній як свідомого гравця А, зацікавленого в максимізації прибутку з 1 гектара землі. Другим учасником є в буквальному сенсі природа (гравець П), тобто зовнішні природні умови.
Так як фермер на 1 гектар землі може вносити різну кількість центнерів добрив, то чистими стратегіями гравця А будуть наступні стратегії:
- А _1: вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі;
- А _2: вносити 4 ц. добрив на 1 гектар землі;
- А _3: вносити 6 ц. добрив на 1 гектар землі.
Природа може реалізувати одне з трьох станів: П _1, П _2, П _3.
Таким чином, платіжна матриця гри буде мати розмір 3х3.
Обчислюємо значенні прибутку за формулою:

.
h ₁₁ = 9 * 5 - 4 * 2 = 37; h ₂₃ = 5 * 9 - 4 * 4 = 29;
h ₁₂ = 9 * 9 - 4 * 2 = 73; h ₃₁ = 3 * 13 - 4 * 6 = 15;
h ₁₃ = 9 * 6 - 4 * 2 = 46; h ₃₂ = 3 * 15 - 4 * 6 = 21;
h ₂₁ = 5 * 10 - 4 * 4 = 34; h ₃₃ = 3 * 11 - 4 * 6 = 9;
h ₂₂ = 5 * 12 - 4 * 4 = 44;
Отже, платіжна матриця приймає вигляд (таблиця 4.1)


37	73	46
34	44	29
15	21	9

У платіжної матриці немає Домінуюча стратегій гравця А, тому матриця не вимагає спрощень.
а) для визначення оптимальної стратегії гравця А за критерієм Байєса обчислимо середнє значення (математичне очікування) виграшу при використанні кожної з можливих стратегій за формулою:

. Одержуємо:

= 37 * 0,3 + 73 * 0,4 + 46 * 0,3 = 54,1;

= 34 * 0,3 + 44 * 0,4 + 29 * 0,3 = 36,5;

= 15 * 0,3 + 21 * 0,4 + 9 * 0,3 = 15,6.
Оптимальною за критерієм Байєса є стратегія

, Так як саме їй відповідає найбільше з чисел

max

{

54.1

;

}

73;

Таким чином, маючи в своєму розпорядженні інформацію про можливі станах природи, найбільш вигідним для фермера буде використання стратегії А ₁ - вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі. Середнє значення очікуваного прибутку в цьому випадку складе 54,1 ден. од.
б) для визначення оптимальної стратегії гравця А з використанням максімаксного критерію, застосуємо формулу:

.
Одержуємо:
m ₁ = {37; 73; 46} = 73;
m ₂ = {34; 44; 29} = 44;
m ₃ = {15; 21; 9} = 21;
Оптимальної за максімаксному критерієм є стратегія

, Так як саме їй відповідає найбільше з чисел

max

{

;

}

73;

Таким чином, у розрахунку на саме сприятливий збіг обставин, найбільш вигідним для домовласника буде використання стратегії

- Вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі. Прибуток, витрачена при цьому від продажу зерна, становитиме 73 ден. од.
Визначимо оптимальну стратегію гравця А за критерієм Вальда:
w ₁ = min {37; 73; 46} = 37;
w ₂ = min {34; 44; 29} = 29;
w ₃ = min {15; 21; 9} = 9.

max

{

;

}

37;

Отже, оптимальної за критерієм Вальда є стратегія

- Вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі. При цьому мінімальний прибуток складе 37 ден. од.
Для визначення оптимальної стратегії гравця А з використанням критерію Севіджа складемо матрицю ризиків. У кожному стовпці платіжної матриці визначимо максимальний елемент і віднімемо з нього всі елементи даного стовпця. У першому стовпці максимальним є елемент h ₁₁ = 37, у другому - h ₁₂ = 73, у третьому - h ₁₃ = 46.
Матриця ризиків представлена в таблиці 4.2.
Таблиця 4.2


0	0	0
3	29	17
22	52	37

Визначимо максимальний ризик при використанні кожної стратегії.
Одержуємо:
r ₁ = max {0, 0, 0} = 0,
r ₂ = max {3, 29, 17} = 29,
r ₃ = max {22; 52; 37} = 52.

min

{

;

}

Таким чином, оптимальної за Севіджа є стратегія

- Вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі.
Для визначення оптимальної стратегії за критерієм Гурвіца знайдемо показник критерію за формулою

.
Одержуємо:

γ ₁ = 0,8 * 37 + (1 - 0,8) * 73 = 44,2;
γ ₂ = 0,8 * 29 + (1 - 0,8) * 44 = 32,0;
γ ₃ = 0,8 * 9 + (1 - 0,8) * 21 = 11,4.

max

{

44,2

;

32,0

;

11,4

}

44,2;

Отже, оптимальною є стратегія

- Вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі.

Для визначення оптимальної стратегії гравця А з використанням критерію Лапласа визначимо середні арифметичні значення «виграшу» домовласника за формулою

.
Одержуємо:

= (37 + 73 + 46) / 3 = 156 / 3 = 52;

= (34 + 44 + 29) / 3 = 107 / 3 =

;

= (15 + 21 + 9) / 3 = 45 / 3 = 15.
Оптимальною за критерієм Лапласа є стратегія

- Вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі, так як їй відповідає найбільше з чисел

max

{

;

}

52;

Таким чином, якщо всі стани природи представляються рівноможливими, то для забезпечення середньої прибутку у розмірі 52 ден. од. фермеру слід дотримуватися стратегії

- Вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі.
Для наочності всі результати обчислень наведемо у зведеній таблиці 4.3.
Таблиця 4.3


37	73	46	54,1	73	37	0	44,2	52
34	44	29	36,5	44	29	29	32,0
15	21	9	15,6	21	9	52	11,4	15

Висновок: Проведене за сукупністю статистичних критеріїв дослідження можливих варіантів внесення добрив на 1 гектар землі дозволяє зробити наступний висновок:
а) за наявності достовірної інформації про стан природи фермеру слід вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі (стратегія

). При цьому очікуваний прибуток складе 54,1 ден. од.
б) за відсутності інформації про стан природи фермеру також слід вносити 2 ц. добрив на 1 гектар землі (стратегія

). Таке рішення продиктоване на підставі всіх критеріїв, що не використовують імовірнісний підхід. Зауважимо, що максимальний прибуток при виборі даної стратегії складе 37 ден. од. при самих несприятливих погодних умовах.

Завдання 5-2

Для реконструкції та модернізації виробництва виділено кошти в обсязі 100 тис. грош. од., які слід розподілити між чотирма цехами. По кожному з цехів відомий можливий приріст

випуску продукції в залежності від виділеної йому суми x ≤ 100.000 (можливі значення x і

наведено в таблиці). Необхідно так розподілити кошти, щоб максимально збільшити випуск продукції виробництва в цілому.

ЦЕХ № 1						ЦЕХ № 2
x	20	40	60	80	100	x	20	40	60	80	100
	9	17	29	38	47		11	34	46	53	75

ЦЕХ № 3						ЦЕХ № 4
x	20	40	60	80	100	x	20	40	60	80	100
	13	28	37	49	61		12	35	40	54	73

ПОТРІБНО:
1. Грунтуючись на принципах динамічного програмування, побудувати математичну модель поставленої задачі у вигляді функціональних рівнянь Беллмана (числові дані взяти з таблиць).
2. Знайти оптимальний розподіл коштів, що забезпечує максимальний приріст випуску продукції.
PЕШЕHІЕ.
1. Системою S в даному випадку є підприємство з 4-х цехів, в яке вкладена сума 100.000 од. Стану та управління системи S однозначно взаємозалежні - це способи розподілу суми між цехами. Для здійснення інваріантного занурення завдання будемо вважати, що замість суми 100.000 од. вкладається сума y: 0 ≤ у ≤ 100.000. Стани системи штучно розіб'ємо на етапи: початковий (нульовий), перший, другий і третій етапи відповідно означають, що сума y розподіляється між чотирма цехами, трьома цехами, двома цехами і вся сума y виділяється одному цеху. Нумерацію етапів зручніше проводити у зворотному порядку: третій етап - m = 1, другий етап - m = 2, перший етап - m = 3, нульовий етап - m = 4. Тоді функція Белмана, що має сенс максимального прибутку при розподілі суми y між m цехами, запишеться у вигляді:

Якщо при m = 1 ... k -1 функція B (y, m) вже побудована, то функціональне рівняння Беллмана для даної задачі набуває вигляду:

Пpи m = 1 додатково маємо:

2. При m = 1 функція Беллмана вже побудована, тобто

y	20	40	60	80	100
B (y, 1)	9	17	29	38	47

При m = 2 рівняння з функціонального рівняння Белмана має вигляд:

Оскільки функції

задані таблично, то для визначення максимуму функції

при кожному y складаємо таблицю значень цієї функції:

x y	0	20	40	60	80	100	B (y, 2)
20	0 + 9	11 + 0					11	20
40	0 + 17	11 + 9	34 + 0				34	40
60	0 + 29	11 + 17	34 + 9	46 + 0			46	60
80	0 + 38	11 + 29	34 + 17	46 + 9	53 + 0		55	60
100	0 + 47	11 + 38	34 + 29	46 + 17	53 + 9	75 + 0	75	100

Підкреслені значення є максимальними в рядку, тобто є значеннями функції Беллмана B (y, 2). Вони виписані в передостанньому стовпці. У останній рядок виписані значення x, при яких досягається максимум функції

Ці значення позначені

і їх можна вважати управліннями. Сенс

- Кошти, що виділяються другому цеху, при оптимальному розподілі суми y між двома цехами.
Аналогічно, при m = 3

Складаємо таблицю значень функції

x y	0	20	40	60	80	100	B (y, 3)
20	0 + 11	13 + 0					13	20
40	0 + 34	13 + 11	28 + 0				34	0
60	0 + 46	13 + 34	28 + 11	37 + 0			47	20
80	0 + 55	13 + 46	28 + 34	37 + 11	49 + 0		62	40
100	0 + 75	13 + 55	28 + 46	37 + 34	49 + 11	61 + 0	75	0

Як і вище

- Сума коштів, що виділяються третьому цеху, при оптимальному розподілі суми y між трьома цехами.
При m = 4

Складаємо таблицю значень функції

x y	0	20	40	60	80	100	B (y, 4)
20	0 + 13	12 + 0					13	0
40	0 + 34	12 + 13	35 + 0				35	40
60	0 + 47	12 + 34	35 + 13	40 + 0			48	40
80	0 + 62	12 + 47	35 + 34	40 + 13	54 + 0		69	40
100	0 + 75	12 + 62	35 + 47	40 + 34	54 + 13	73 + 0	82	40

У двох останніх стовпчиках цієї таблиці отримані значення функції Беллмана B (y, 4) і відповідні їм управління

- Тобто кількості коштів, що виділяються четвертому цеху при розподілі суми y між чотирма цехами. Після цього складаємо зведену таблицю значень функції Беллмана і відповідних їй управлінь:

y
0	0	0	0	0	0	0	0	0
20	20	9	20	11	20	13	0	13
40	40	17		34	0	34	40	35
60	60	29	60	46		47	40	48
80	80	38	60	55	40	62	40	69
100	100	47	100	75	0	75		82

За допомогою таблиці функції Беллмана для даної задачі можна зробити розподіл будь-якої суми у від 0 до 100 між k цехами 1 ≤ k ≤ 4. У клітці

варто максимальний прибуток від цього розподілу, а в клітині

стоїть сума, що виділяється k-му цеху. Розподілимо суму 100 між 4-ма цехами. За клітці

максимально можливий прибуток дорівнює 82. 4-му цеху слід виділити 40 тис. $. На перші три цехи залишається 60 тис. $. За клітці

3-го цеху виділяється 20 тис. $. На перші два цехи залишається 40 тис. $. За клітці

2-му цеху виділяється 40 тис. $. Тоді 1-му цеху кошти не виділяються.

Економіко математичні методи і моделі 3

Завдання 3-1

Завдання 5-2