Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет

Математичний факультет

Кафедра математичного аналізу і методики
викладання математики
Випускна кваліфікаційна робота

на тему: Кільце цілих чисел Гаусса.

Виконав:
студент V курсу
математичного факультету
Гнусов В.В.
___________________________
Науковий керівник:
старший викладач кафедри
алгебри і геометрії
Семенов А.Н..
___________________________
Рецензент:
кандидат фіз.-мат. наук, доцент
кафедри алгебри і геометрії
Ковязіна Є.М.
___________________________
Допущена до захисту в ГАК
Зав. кафедрой________________ Вечтомов Є.М.
«»________________
Декан факультета___________________ Варанкіна В.І.
«»________________
Кіров 2005
Зміст.
Введення. 2
РОЗДІЛ 1. ПОДІЛЬНІСТЬ В Кільце ЧИСЕЛ Гаусса. 3
1.1 ОБОРОТНОЇ і Союзним ЕЛЕМЕНТИ. 4
1.2 Ділення з остачею. 5
1.3 НОД. Алгоритм Евкліда. 6
1.4 Основна теорема арифметики. 9
РОЗДІЛ 2. ПРОСТІ ЧИСЛА Гаусса. 12
РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ЧИСЕЛ Гаусса. 17
Висновок. 23

Введення.

Кільце цілих комплексних чисел було відкрито Карлом Гауссом і названо на його честь гауссових.
К. Гаусс прийшов до думки про можливість і необхідність розширення поняття цілого числа в зв'язку з пошуком алгоритмів рішення порівнянь другого ступеня. Він переніс поняття цілого числа на числа виду , Де - Довільні цілі числа, а - Є коренем рівняння На даному безлічі К. Гаус вперше побудував теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел. Він обгрунтував справедливість основних властивостей подільності; показав, що в кільці комплексних чисел існує лише чотири оборотних елементи: ; Довів справедливість теореми про розподіл із залишком, теореми про єдиність розкладання на прості множники; показав якісь прості натуральні числа залишаться простими і в кільці ; З'ясував природу простих цілих комплексних чисел.
Розвинена К. Гауссом теорія, описана в його праці «Арифметичні дослідження», з'явилася фундаментальним відкриттям для теорії чисел і алгебри.
У випускній роботі були поставлені наступні цілі:
1. Розвинути теорію подільності в кільці чисел Гаусса.
2. З'ясувати природу простих гауссових чисел.
3. Показати застосування гауссових чисел при вирішенні звичайних діофантових завдань.

РОЗДІЛ 1. ПОДІЛЬНІСТЬ В Кільце ЧИСЕЛ Гаусса.

Розглянемо безліч комплексних чисел. За аналогією з безліччю дійсних чисел у ньому можна виділити деяку підмножину цілих чисел. Безліч чисел виду , Де назвемо цілими комплексними числами або гауссових числами. Неважко перевірити, що для цієї множини виконуються аксіоми кільця. Таким чином, це безліч комплексних чисел є кільцем і називається кільцем цілих чисел Гаусса. Позначимо його як , Так як воно є розширенням кільця елементом: .
Оскільки кільце гауссових чисел є підмножиною комплексних чисел, то для нього справедливі деякі визначення та властивості комплексних чисел. Так, наприклад, кожному гауссовой числа відповідає вектор з початком у точці і з кінцем у . Отже, модуль гауссова числа є . Зауважимо, що в розглянутому безлічі, подмодульное вираз завжди є число невід'ємне ціле. Тому в деяких випадках зручніше користуватися нормою, тобто квадратом модуля. Таким чином . Можна виділити наступні властивості норми. Для будь-яких гауссових чисел справедливо:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Тут і далі - Безліч натуральних чисел, тобто цілих позитивних чисел.
Справедливість даних властивостей тривіальним чином перевіряється за допомогою модуля. Принагідно зауважимо, що (2), (3), (5) справедливі і для будь-яких комплексних чисел.
Кільце гауссових чисел - це комутативне кільце без дільників 0, так як воно є підкільце поля комплексних чисел. Звідси випливає мультиплікативна скоротність кільця , Тобто
(6)

1.1 ОБОРОТНОЇ і Союзним ЕЛЕМЕНТИ.

Подивимося, які гаусові числа будуть зворотними. Нейтральним по множенню є . Якщо гауссовой число оборотно, то, за визначенням, існує таке, що . Переходячи до норм, відповідно до властивості 3, отримаємо . Але ці норми натуральні, отже . Значить, по властивості 4, . Зворотно, всі елементи даної множини оборотні, оскільки . Отже, оборотними будуть числа з нормою дорівнює одиниці, тобто , .
Як видно не всі гаусові числа будуть оборотні. Тому цікаво розглянути питання подільності. Як завжди, ми говоримо, що ділиться на , Якщо існує таке, що . Для будь-яких гауссових чисел , А також оборотних справедливі властивості.
(7)
(8)
(9)
(10)
, Де (11)
(12)
Легко перевіряються (8), (9), (11), (12). Справедливість (7) випливає з (2), а (10) випливає з (6). У силу властивості (9), елементи множини ведуть себе по відношенню до подільності точно так само як і , І називаються союзними з . Тому природно розглядати подільність гауссових чисел з точністю до союзності. Геометрично на комплексній площині союзні числа будуть відрізнятися один від одного поворотом на кут кратний .

1.2 Ділення з остачею.

Нехай треба поділити на , Але неможливо зробити поділ без остачі. Ми повинні отримати , І при цьому повинно бути «мало». Тоді покажемо, шаную брати як неповного приватного при розподілі із залишком в безлічі гауссових чисел.
Лемма 1. Про розподіл із залишком.
У кільці можливо розподіл із залишком, при якому залишок менше дільника за нормою. Точніше, для будь-яких і знайдеться таке, що . В якості можна взяти найближчим до комплексного числа гауссовой число.
Доказ.
Розділимо на в безлічі комплексних чисел. Це можливо, оскільки безліч комплексних чисел є полем. Нехай . Округлимо дійсні числа і до цілих, отримаємо відповідно і . Покладемо . Тоді
.
Множачи зараз обидві частини нерівності на отримаємо, в силу мультипликативности норми комплексних чисел, що . Таким чином, в якості неповного приватного можна взяти гауссовой число , Яке як неважко бачити, є найближчим до .
Ч.Т.Д.

1.3 НОД. Алгоритм Евкліда.

Ми користуємося звичайним для кілець визначенням найбільшого загального дільника. НОД'ом двох гауссових чисел називається такий їх спільний дільник, який ділиться на будь-який інший їх загальний дільник.
Як і в безлічі цілих чисел, в безлічі гауссових чисел для знаходження НОД користуються алгоритмом Евкліда.
Нехай і дані гаусові числа, причому . Розділимо з залишком на . Якщо залишок буде відмінний від 0, то розділимо на цей залишок, і будемо продовжувати послідовне розподіл залишків до тих пір, поки воно буде можливо. Отримаємо ланцюжок рівностей:
, Де
, Де
, Де
... ... ... ... ... ... ... ... ....
, Де

Цей ланцюжок не може тривати нескінченно, тому що маємо убуваючу послідовність норм, а норми - невід'ємні цілі числа.
Теорема 2. Про існування НОД.
В алгоритмі Евкліда, застосованому до чисел Гауса і останній ненульовий залишок є НСД ( ).
Доказ.
Доведемо, що в алгоритмі Евкліда дійсно отримуємо НОД.
1.Рассмотрім рівності знизу вгору.
З останнього рівності видно, що . Отже, як сума чисел діляться на . Так як і , То наступний рядок дасть . І так далі. Таким чином, видно, що і . Тобто це загальний дільник чисел і .
Покажемо, що це найбільший спільний дільник, тобто ділиться на будь-який інший їх загальний дільник.
2. Розглянемо рівності зверху вниз.
Нехай - Довільний загальний дільник чисел і . Тоді , Як різницю чисел діляться на , Дійсно з першого рівності . З другого рівності отримаємо, що . Таким чином, представляючи в кожному рівність залишок як різницю чисел діляться на , Ми з передостаннього рівності отримаємо, що ділиться на .
Ч.Т.Д.

Лемма 3. Про подання НОД.
Якщо НОД ( , ) = , То існують такі цілі гаусові числа і , Що .
Доказ.
Розглянемо знизу вгору ланцюжок рівностей, отриману в алгоритмі Евкліда. Послідовно підставляючи замість залишків їх вираження через попередні залишки, ми висловимо через і .
Ч.Т.Д.
Гауссова число називається простим, якщо його не можна представити у вигляді добутку двох необоротних співмножників. Наступне твердження очевидно.
Затвердження 4.
При множенні простого гауссова числа на оборотне знову виходить просте гауссовой число.
Затвердження 5.
Якщо у гауссова числа взяти незворотний дільник з найменшою нормою, то він буде простим гауссових.
Доказ.
Нехай такий дільник є складеним числом. Тоді , Де і незворотні гаусові числа. Перейдемо до норм, і згідно (3) отримаємо, що . Так як ці норми натуральні, то маємо, що , А в силу (12), є незворотнім дільником даного числа Гауса, що суперечить вибору .
Ч.Т.Д.
Затвердження 6.
Якщо не ділиться на просте число гауссовой , То НОД ( , ) = 1.
Доказ.
Дійсно, просте число ділиться тільки на числа союзні з 1 або за . А так як не ділиться на , То на союзні з теж не ділиться. Значить, їх спільними дільниками будуть тільки оборотні числа.
Ч.Т.Д.
Лемма 7. Лема Евкліда.
Якщо твір гауссових чисел ділиться на просте число гауссовой , То хоча б один із множників ділиться на .
Доказ.
Для доказу досить розглянути випадок, коли твір містить тільки два множника. Тобто покажемо, що якщо ділиться на , То або ділиться на , Або ділиться на .
Нехай не ділиться на , Тоді НОД ( , ) = 1. Отже, існують такі гаусові числа і , Що . Помножимо обидві частини рівності на , Отримаємо, що , Звідси випливає, що , Як сума чисел діляться на .
Ч.Т.Д.

1.4 Основна теорема арифметики.

Будь-яке ненульове гауссовой число можна представити у вигляді добутку простих гауссових чисел, причому це подання єдино з точністю до союзності і порядку співмножників.
Зауваження 1.
Неруйнівна число має у своєму розкладанні нуль простих множників, тобто представляється самим собою.
Зауваження 2.
Більш точно єдиність формулюється наступним чином. Якщо є два розкладання на прості множники гаусові, тобто , То і можна так перенумерувати числа , Що буде союзно з , При всіх від 1 до включно.
Доказ.
Доказ проведемо індукцією за нормою.
База. Для числа з одиничною нормою твердження очевидне.
Нехай зараз - Ненульовий необоротне гауссовой число, і для всіх чисел Гаусса з нормою меншою твердження доведено.
Покажемо можливість розкладання на прості множники. Для цього позначимо через необоротний дільник , Що має найменшу норму. Цей дільник повинен бути простим числом за твердженням 5. Тоді . Таким чином, ми маємо і по індуктивному припущенню представимо у вигляді добутку простих чисел. Значить, розкладається в добуток цих простих і .
Покажемо єдиність розкладання на прості множники. Для цього візьмемо два довільних таких розкладання:
.
За лемі Евкліда у творі один з множників повинен ділитися на . Можна вважати, що ділиться на , Інакше перенумеруем. Так як вони прості, то , Де оборотно. Скорочуючи обидві частини нашого рівності на , Отримаємо розкладання на прості множники числа , За нормою меншого, ніж .
.
За індуктивному припущенню і можна перенумерувати числа так, що буде союзно з , з , ..., з . Тоді і при цій нумерації союзно з при всіх від 1 до включно. Значить, розкладання на прості множники єдино.
Ч.Т.Д.
Приклад однопорожденного кільця над без ОТА.
Розглянемо . Елементами цього кільця є числа виду , Де і довільні цілі числа. Покажемо, що в ньому не виконується основна теорема арифметики. Визначимо в цьому кільці норму числа наступним чином: . Це дійсно є нормою, так як неважко перевірити, що . Нехай і . Тоді




.
Зауважимо, що .
Покажемо, що в розглянутому кільці числа є простими. Дійсно, нехай - Одне з них і . Тоді маємо: Так як в цьому кільці немає чисел з нормою 2, то або . Оборотними елементами будуть числа з одиничною нормою і тільки вони. Значить, у довільному розкладанні на множники знайдеться оборотний множник, отже, просто.

РОЗДІЛ 2. ПРОСТІ ЧИСЛА Гаусса.

Щоб зрозуміти які гаусові числа є простими, розглянемо ряд тверджень.
Теорема 8.
Кожне просте гауссовой є дільником рівно одного простого натурального.
Доказ.
Нехай - Просте гауссовой, тоді . За основною теоремою арифметики натуральних чисел розкладається в добуток простих натуральних. А по лемі Евкліда хоча б один з них ділиться на .
Покажемо зараз, що просте Гауссова не може ділити два різних простих натуральних. Дійсно, нехай і різні прості натуральні, що діляться на . Оскільки НОД ( ) = 1, то згідно теореми про подання НОД в цілих числах існують і - Цілі числа, такі, що . Звідси , Що суперечить простоті .
Ч.Т.Д.
Таким чином, розкладаючи кожне просте натуральне на прості гаусові, ми переберемо всі прості гаусові, причому без повторень.

Наступна теорема показує, що кожного простого натурального «виходить» не більше двох простих гауссових.
Теорема 9.
Якщо просте натуральне розкладено в добуток трьох простих гауссових, то хоча б один із множників звернемо.
Доказ.
Нехай - Просте натуральне таке, що . Перейшовши до норм, отримаємо:
.
З цієї рівності в натуральних числах випливає, що хоча б одна з норм дорівнює 1. Отже, хоча б одне з чисел - Оборотно.
Ч.Т.Д.
Лемма 10.
Якщо гауссовой число ділиться на просте натуральне , То і .
Доказ.
Нехай , Тобто . Тоді , , Тобто , .
Ч.Т.Д.
Лемма 11.
Для простого натурального числа виду , існує натуральне таке, що .
Доказ.
Теорема Вільсона свідчить, що ціле число є простим тоді і тільки тоді, коли . Але , Звідси . Розкриємо і перетворимо факторіал:

.
Звідси отримуємо, що , Тобто .
Таким чином, ми отримали, що , Де = .
Ч.Т.Д.
Зараз ми готові описати всі прості гаусові числа.
Теорема 12.
Всі прості гаусові можна розбити на три групи:
1). Прості натуральні виду , є простими гауссових;
2). Двійка союзній з квадратом простого гауссова числа ;
3). Прості натуральні виду , розкладаються в твір двох простих сполучених гауссових.
Доказ.
1). Припустимо, що просте натуральне виду не є простим гауссових. Тоді , Причому і . Перейдемо до норм: . Враховуючи зазначені нерівності, отримаємо , Тобто - Сума квадратів двох цілих чисел. Але сума квадратів цілих чисел не може давати залишок 3 при діленні на 4.
2). Зауважимо, що
.
Число - Просте гауссовой, бо інакше двійка розклалася б на три необоротних множника, що суперечить теоремі 9.
3). Нехай просте натуральне виду , Тоді по лемі 11 існує ціле число таке, що . Нехай - Просте гауссовой. Так як , То за лемі Евкліда на ділиться хоча б один із множників. Нехай , Тоді існує гауссовой число таке, що . Прирівнюючи коефіцієнти уявних частин отримаємо, що . Отже, , Що суперечить нашим припущенням про простоту . Значить - Складене гауссовой, яке можна зобразити у вигляді добутку двох простих сполучених гауссових.
Ч.Т.Д.
Твердження.
Гауссова число, поєднане до простого, саме є простим.
Доказ.
Нехай просте число гауса. Якщо припустити, що складене, тобто . Тоді розглянемо поєднане: , Тобто представили у вигляді добутку двох необоротних співмножників, чого не може бути.
Ч.Т.Д.
Твердження.
Гауссова число, норма якого є просте натуральне число, є простим гауссових числом.
Доказ.
Нехай складене число, тоді . Розглянемо норми.


Тобто отримали, що норма складене число, а за умовою є просте число. Отже, наше припущення не вірно, і є просте число.
Ч.Т.Д.
Твердження.
Якщо просте натуральне число не є простим гауссових, то воно представимо у вигляді суми двох квадратів.
Доказ.
Нехай просте натуральне число і не є простим гауссових. Тоді . Так як рівні числа, то рівні та їх норми. Тобто , Звідси отримуємо .
Можливо два випадки:
1). , Тобто представили у вигляді суми двох квадратів.
2). , Тобто , Значить оборотне число, чого не може бути, значить цей випадок нас не задовольняє.
Ч.Т.Д.

РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ЧИСЕЛ Гаусса.

Твердження.
Твір чисел які представлені у вигляді суми двох квадратів також представимо у вигляді суми двох квадратів.
Доказ.
Доведемо цей факт двома способами, за допомогою чисел Гауса, і не використовуючи гаусові числа.
1. Нехай , - Натуральні числа представимо у вигляді суми двох квадратів. Тоді , І . Розглянемо твір , Тобто представили у вигляді добутку двох сполучених гауссових чисел, яке представляється у вигляді суми двох квадратів натуральних чисел.
2. Нехай , . Тоді


.
Ч.Т.Д.
Твердження.
Якщо , Де - Просте натуральне виду , То і .
Доказ.
З умови випливає, що і при цьому - Просте гауссовой. Тоді по лемі Евкліда на ділиться один із множників. Нехай , Тоді по лемі 10 маємо, що і .
Ч.Т.Д.
Опишемо загальний вигляд натуральних чисел які представлені у вигляді суми двох квадратів.
Різдвяна теорема Ферма чи теорема Ферма - Ейлера.
Ненульове натуральне число представимо у вигляді суми двох квадратів тоді, і тільки тоді, коли в канонічному розкладанні всі прості множники виду входять у парних ступенях.
Доказ.
Зауважимо, що 2 і всі прості числа виду представимо у вигляді суми двох квадратів. Нехай у канонічному розкладанні числа є прості множники виду , Що входять до непарної ступеня. Занесемо в дужки всі множники представимо у вигляді суми двох квадратів, тоді залишаться множники виду , Причому всі в першого ступеня. Покажемо, що твір таких множник не представимо у вигляді суми двох квадратів. Дійсно, якщо припустити, що , То маємо, що повинен ділити один із множників або , Але якщо ділить одне з цих гауссових чисел, то воно зобов'язане і ділити інше, як поєднане до нього. Тобто і , Але тоді повинно бути в другому ступені, а воно у першій. Отже, твір будь-якого числа простих множників виду першого ступеня не представимо у вигляді суми двох квадратів. Значить наше припущення не вірно і всі прості множники виду в канонічному розкладанні числа входять у парних ступенях.
Ч.Т.Д.
Завдання 1.
Подивимося застосування даної теорії на прикладі рішення діафантова рівняння.
Вирішити в цілих числах .
Зауважимо, що права частина подана в вигляді твору сполучених гауссових чисел.
Тобто . Нехай ділиться на деяке просте гауссовой число , І на нього ділиться і поєднане, тобто . Якщо розглянути різницю цих гауссових чисел, яка повинна ділитися на , То отримаємо, що повинно ділити 4. Але , Тобто союзно з .
Всі прості множники в розкладанні числа входять в ступені кратною трьом, а множники виду , В ступені кратною шести, так як просте гауссовой число виходить з розкладання на прості гаусові 2, але , Тому . Скільки разів зустрічається в розкладанні на прості множники числа , Стільки ж раз і зустрічається в розкладанні на прості множники числа . У силу того, що ділиться на тоді і тільки тоді, коли ділиться на . Але союзно з . Тобто вони розподіляться порівну, значить, будуть входити в розкладання цих чисел у ступенях кратною трьом. Всі інші прості множники, що входять до розкладання числа , Будуть входити тільки або в розкладання числа , Або числа . Значить, в розкладанні на прості множники гаусові числа всі множники будуть входити в ступені кратною трьом. Отже число є куб. Таким чином маємо, що . Звідси отримуємо, що , Тобто повинно бути дільником 2. Значить , Або . Звідки отримуємо чотири задовольняють нам варіанти.
1. , . Звідки знаходимо, що , .
2. , . Звідси , .
3. , . Звідси , .
4. , . Звідси , .
Відповідь: , , , .
Завдання 2.
Вирішити в цілих числах .
Уявімо ліву частину як добутку двох гауссових чисел, тобто . Розкладемо кожне з чисел на прості множники гаусові. Серед простих будуть такі, які є в розкладанні і . Згрупуємо всі такі множники і позначимо отриманий добуток . Тоді в розкладанні залишаться тільки ті множники, яких немає в розкладанні . Всі прості гаусові множники, що входять до розкладання , Входять в парному ступеня. Ті які не увійшли до будуть присутні або тільки в , Або в . Таким чином, число є квадратом. Тобто . Прирівнюючи дійсні та уявні частини, отримаємо, що , , .
Відповідь: , , .
Завдання 3.
Кількість подань натурального числа у вигляді суми двох квадратів.
Завдання рівносильна задачі про подання даного натурального числа у вигляді норми деякого числа Гаусса. Нехай - Число Гауса, норма якого дорівнює . Розкладемо на прості натуральні множники.
, Де - Прості числа виду , А - Прості числа виду . Тоді, щоб було представимо у вигляді суми двох квадратів, необхідно, щоб усі були парними. Розкладемо на прості множники гаусові число , Тоді
,
де - Прості гаусові числа, на які розкладаються .
Порівняння норми з числом призводить до наступних співвідношеннях, необхідним і достатнім для того, щоб :
.
Число вистав підраховується з загального числа можливостей для вибору показників . Для показників є можливість, так як число можна розбити на два невід'ємні доданків способом:

Для пари показників є можливість і так далі. Комбінуючи всілякими способами допустимі значення для показників ми отримаємо все різних значень для твору простих гауссових чисел, з нормою виду або 2. Показники вибираються однозначно. Нарешті, обратимому можна надавати чотири значення: . Таким чином, для числа є всього можливостей, і отже, число у вигляді норми гауссова числа , Тобто у вигляді може бути представлено способами.
При цьому підрахунку різними вважаються всі рішення рівняння . Однак деякі рішення можна розглядати, як визначальні одне і те ж подання у вигляді суми двох квадратів. Так, якщо - Рішення рівняння , То можна вказати ще сім рішень, що визначають те ж саме уявлення числа у вигляді суми двох квадратів: .
Очевидно, що з восьми рішень, які відповідають одному поданням, може залишитися лише чотири різних в тому і тільки в тому випадку, якщо або , Або . Такі уявлення можливі, якщо повний квадрат або подвоєний повний квадрат, і при тому таке подання може бути тільки одне: .
Таким чином, маємо такі формули:
, Якщо не всі парні і
, Якщо всі парні.

Висновок.

У даній роботі була вивчена теорія подільності в кільці цілих чисел Гаусса, а також природа простих гауссових чисел. Ці питання викладені в перших двох розділах.
У третин главі розглянуті застосування чисел Гаусса до розв'язання відомих класичних завдань, таких як:
· Питання про можливість подання натурального числа у вигляді суми двох квадратів;
· Завдання знаходження кількості подань натурального числа у вигляді суми двох квадратів;
· Знаходження загальних рішень невизначеного рівняння Піфагора;
а також до вирішення діафантова рівняння.
Також зазначу, що робота була виконана без використання додаткової літератури.