Міністерство освіти Російської Федерації
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Зворотні матриці над кільцем Z _n
Виконала:
Студентка V курсу
Математичного факультету
Сичова О. Г.


Науковий керівник:
д.ф.-м.н., професор
Вечтомов Є. М.


Рецензент:
к.ф.-м.н., доцент
Чермний В. В.


Допущена до захисту в ГАК

Зав.кафедрою Вечтомов Е М.

«»

Декан факультету Варанкіна В. І.

«»

Кіров 2003

Зміст:

Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... .2 Стор
§ 1 Основні поняття ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3 стор
§ 2 Зворотні матриці над полем Z _p
п.1 формула для підрахунку оборотних матриць порядку 2 ... ... ... .10 стор
п.2 формула для підрахунку оборотних матриць порядку 3 ... ... ... .11 стор
п.3 загальна формула підрахунку оборотних матриць над полем Z _p .. 16 стор
§ 3 Оборотні матриці над Z _{n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...} 17 стор
Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27 стор

Введення
Теорія матриць є одним з основних питань лінійної алгебри.
Мета даної роботи: підрахувати кількість оборотних матриць над кільцем відрахувань і по можливості отримати формулу для їх обчислення. Для обчислення кількості оборотних матриць скористалися теорією визначників і повним перебором всіх можливих варіантів отримання елементів в кільцях відрахувань.
Вся робота розбита на два етапи:
У § 2 показаний метод побудови оборотних матриць другого і третього порядків над полем Z _p. У кінці пункту побудована гіпотеза формули підрахунку кількості оборотних матриць n-го порядку над полем Z _p.
У § 3 наведено алгоритм побудови оборотних матриць другого порядку над деякими кільцями відрахувань (наведені конкретні приклади). У кінці пункту побудована гіпотеза формули підрахунку кількості оборотних матриць другого порядку над кільцем класів відрахувань Z _n .

§ 1. Основні визначення.
Матрицею називається прямокутна таблиця, заповнена деякими математичними об'єктами. Найчастіше розглядаються матриці, заповнені елементами з деякого поля P.
Елементи матриці позначаються однією літерою з двома індексами, що вказують "адреса" елемента - перший індекс дає номер рядка, що містить елемент, другий - номер стовпця. Якщо матриця має m рядків і n стовпців, то говорять, що матриця має розмірність (Або - розмірів ). Ми будемо позначати матриці великими латинськими літерами, а її елементи - такими ж буквами, але малими. Таким чином, матриця (розмірів ) Записується у формі:
.
Матриця, що складається з одних нулів, називається нульовою.
Будемо позначати її 0.
Матриця, що має одне і те ж число n рядків і стовпців, називається квадратною. Число n називається порядком квадратної матриці.
Елементи матриці, у яких обидва індекси дорівнюють (i = j) називаються діагональними, а уявна пряма, що сполучає всі діагональні елементи матриці називається головною діагоналлю.
Квадратна матриця, у якої всі елементи, за винятком елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною.
Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею і позначається Є.:

Дві матриці вважаються рівними, якщо вони одного розміру і у них збігаються відповідні елементи.
Дві матриці A = (a _ij) та B = (b _ij) одного і того ж розміру можна складати, їх сумою буде матриця того ж розміру C = (c _{i j),} , Тобто щоб отримати суму двох матриці досить скласти відповідні елементи цих матриць.
Твір елемента c з поля на матрицю A = (a _ij) визначається наступним чином: cA = (ca _ij).
Для будь-якої матриці A існує протилежна - A така, що
A + (- A) = 0.
Всі перераховані властивості безпосередньо випливають з визначень і властивостей операцій в полі.
Розглянемо матрицю A = (a _ij) розміром і матрицю B = (b _ij) розміром (Тому що твір матриць визначено лише в тому випадку, коли число стовпців у першому матриці дорівнює числу рядків у другій). Для таких матриць введемо дію множення матриці на матрицю, в результаті чого виходить матриця C = (c _ij) розміром , Де .
Отже, матриці можна складати, примножувати їх на скаляр, а також множити матрицю на матрицю. Ці дії мають властивості:
За складання:
1. (A + B) + C = A + (B + C) - асоціативність;
2. A + B = B + A - комутативність;
3. Існує нейтральний елемент - матриця 0: A + 0 = 0 + A = A;
4. Для матриці A існує зворотний елемент - A: A + (- A) = 0;
За множенню матриць на скаляр:
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
За множенню матриць:
9. Твір матриць в загальному випадку не комутативне, тобто AB ВА;
10. (AB) C = A (BC) - асоціативність;
11. (CA) B = A (cB) = cAB;
12. Дистрибутивність множення відносно додавання (права і ліва) (A ₁ + A ₂₎ B = A ₁ B + A ₂ B, A (B ₁ + B ₂₎ = AB ₁ + AB _2;
13. Існує єдиний нейтральний елемент E
(Якщо A - квадратна): EA = AE = A. Якщо ж A розміром , То
E _m A = AE _n = A.
14. Твір матриці А на нульову матрицю дає в результаті так само нульову матрицю (існують випадки, коли нульова матриця виходить в результаті перемножування ненульових матриць).
Для квадратних матриць фіксованого порядку n дії додавання і множення визначені завжди, і їх результатами є квадратні матриці того ж порядку. Таким чином, квадратні матриці фіксованого порядку утворюють кільце.
Визначником n-го порядку квадратної матриці А, називається алгебраїчна сума n! Членів, якими є всілякі твори за n елементів, взятих по одному і лише по одному з кожного рядка і кожного стовпця, причому член береться зі знаком плюс, якщо його індекси становлять парну перестановку, і зі знаком мінус - якщо непарну перестановку.
,
де (a _1, a _2, ..., a _n) пробігає всі перестановки чисел 1, 2, ..., n; множник дорівнює +1, якщо (a _1, a _2, ..., a _n) - парна перестановка, і дорівнює -1, якщо непарна.
Мінором елемента a _ij називається визначник (n -1) - порядку, отриманий з даного визначника n-го порядку, шляхом викреслювання i - го рядка і j - го стовпця.
Мінор a _ij елемента позначається М _ij.
Алгебраїчним доповненням елемента a _ij називається мінор цього елемента, взятий зі знаком (-1) ^{i + j.}
Алгебраїчне доповнення елемента позначається А _ij = (-1) ^{i + j} × М _ij.
Матриця B називається зворотної для матриці A, якщо AB = BA = E,
де E - одинична матриця. Рівність AB = BA показує (неважко бачити, використовуючи правило множення матриць), що число рядків і стовпців матриці A має бути однаково.
Таким чином, обернена матриця має сенс тільки для квадратних матриць. Далі ми будемо розглядати тільки квадратні матриці.
Якщо матриця А має зворотну, то вона єдина.
Покажемо це. Нехай АВ = СА = Е і С В, тоді зауважимо: С = РЄ = С (АВ) = (СА) В = ЕВ = В. Що суперечити умові.
Визначник твори будь-яких двох матриць n - го порядку дорівнює добутку їх визначників.
Доведемо. Розглянемо поодинокі стовпці n - го порядку:
, , ...,
Візьмемо твір матриці АВ на стовпець одиничних стовпців (тобто стовпець з n n-мірних стовпців)

Тоді = × 1 = × = =
= = = = .
Що й треба було довести.
Висновок даної теореми також виконується і для випадку, коли елементи матриць взяті з кільця лишків Z _n.
Квадратна матриця називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю і не виродженою в іншому випадку.
Для будь-якої невиродженої матриці існує зворотна матриця.
Покажемо це. Нехай A = (a _{ij)-невироджена} квадратна матриця ( ). Розглянемо матрицю А ^* = , Де А _ij - алгебраїчне доповнення елементів визначника , Причому алгебраїчні доповнення i-й терміни стоять у i-му стовпці.
Знайдемо добуток С = АА ^*, де С = (з _ij)


і т.д.
Знайшовши всі елементи матриці С за описаним вище алгоритмом,
в результаті, отримаємо наступне: , Тобто . Значить матриця А ^* - обернена до невиродженої матриці А.
Для виродженої матриці оберненої матриці не існує. Інакше якщо вироджена матриця А ( ) Має зворотну А ^*, тоді вірними будуть такі рівняння: А · А ^* = Е, , , .
Що в принципі не вірно.
Потрібно відзначити, що невиродженої матрицею над Z _n називається матриця, визначник якої є оборотним елементом у Z _n.

§ 2. Зворотні матриці над полем Z _p
У цьому параграфі спробуємо вивести формулу для підрахунку кількості оборотних матриць у поле Z _p, де p - просте.
1. Формула для підрахунку оборотних матриць порядку 2.
Будемо розглядати матриці .
Алгебраїчне доповнення до елемента є визначник матриці порядку 1, тобто . Алгебраїчне доповнення до елемента є визначник матриці порядку 1, тобто .
Потрібно знайти кількість всіх невироджених матриць
(Коли ). При цьому
(1.1)
Формулу виведемо в 2 етапи.
1) Нехай (Р-1 штук), (Р-1 штук),
(По р. штук) (1.2).
Тоді кількість матриць, що задовольняють даним умовам, обчислюється за формулою
(Р-1) ² р ² (1.3)
Ми стверджуємо, що з цієї ж формулою обчислюється кількість матриць, визначник яких не звертається в нуль, за умови, що , .
У умови (1.2) не враховуються матриці виду з нерівним нулю визначником, кількість яких потрібно додати.
Але порахували матриці виду з визначником що звертаються в нуль, кількість яких потрібно відняти.
Доведемо, що кількість матриць в обох випадках однаково.
а) (Р-1 штук), і . З (1.1) отримуємо рівність . Значить . При заданому (Де = 1,2 ... р-1) елемент однозначно виражається через і (Кількість невироджених матриць - Р-1). Тому кількість матриць задовольняють цим умовам (р-1) ³ штук.
б) , і . Значить . Звідси . Елемент однозначно виражається через , , , Які приймаю не нульові значення. Тому кількість матриць задовольняють цим умовам (р-1) ³ штук
Значить формула (1.3) за умови (1.2) вірна.
2) Нехай . Тоді , А з (1.1) отримуємо що і (Як у першому етапі, випадку а). Тоді кількість таких матриць обчислюється за формулою
(Р-1) ² × р (1.4)
Цими етапами ми перебрали всі випадки невироджених матриць.
Складаючи формули (1.3) та (1.4) отримані в етапах 1) і 2) отримуємо формулу для знаходження кількості оборотних матриць порядку 2 над полем Z _p
(Р-1) ² × р × (р +1) (1.5)
2. Формула для підрахунку оборотних матриць порядку 3.
Будемо розглядати матриці .
Алгебраїчні доповнення до елементів , і є визначники матриць , і відповідно, порядку 2, при чому , і .
Потрібно знайти кількість всіх невироджених матриць ( ).
При цьому
(2.1)
Формулу виведемо в 3 етапи.
1) Нехай (Р-1 штук), (Їх кількість за формулою (1.5)), (По р. штук) (2.2).

Тоді кількість таких матриць обчислюється за формулою

(Р-1) ³ р. ⁵ (р +1) (2.3)
Ми стверджуємо, що з цієї ж формулою обчислюється кількість матриць, визначник яких не звертається в нуль, за умови, що , .
За умови (2.2) не враховуються матриці виду з нерівним нулю визначником, кількість яких потрібно додати. Але порахували матриці виду з визначником що звертаються в нуль, кількість яких потрібно відняти.
Доведемо, що кількість матриць в обох випадках однаково:
а) (Р-1 штук), і . З (2.1) отримуємо рівність .
а1) Нехай = 0. Тоді і . Значить елементів всього р-1 штук, кількість невироджених матриць - (Р-1) ² р (р +1). Т.к то з виразу отримуємо рівність , Тобто хоча б один із цих елементів не рівний нулю. Нехай . З того, що отримуємо . Елементом , Які приймають будь-яке значення, можемо однозначно задати елемент . Тому кількість матриць задовольняють цим умовам (р-1) ⁴ × р ² × (р +1) штук.
а2) Якщо ¹ 0, . Тоді і . Значить елементів всього р-1 штук, кількість невироджених матриць - (Р-1) ² р (р +1). Т.к , То, з виразу отримуємо . Нехай . Домножимо рівність ( ) На . Замінимо на (З того, що ). Одержимо рівність . Винесемо за дужки і тому робимо висновок, що . Значить і ( ). Тому кількість матриць задовольняють цим умовам (р-1) ⁵ × р × (р +1) штук.
а3) Якщо ¹ 0, і отримуємо (р-1) ⁴ × р ² × (р +1) штук матриць задовольняють цим умовам (міркування як в пункті а1)
а4) Якщо ¹ 0, , і отримуємо
(Р-1) ⁵ × р × (р +1) штук матриць задовольняють цим умовам (міркування як в пункті а2)
а5) Якщо ¹ 0, , і . З того, що отримуємо . Нехай . Рівність ( ) Помножимо на і замінимо на ( ). Одержимо рівність . Виносячи за дужки ( ), Помічаємо, що елемент однозначно виражається через ( - Р-1 штук). Але тоді теж виражається через ці елементи. Тому кількість матриць задовольняють цим умовам (р-1) ⁶ × р × (р +1) штук.
Таким чином, загальна кількість матриць задовольняють умові пункту а) підраховується за формулою
(Р-1) ⁴ × р × (р +1) × (р ² +2 р-1) (виходить підсумовуванням формул отриманих у пунктах а1-а5).
б) (Р-1 штук), ((Р-1) ² × р × (р +1)) штук). Оскільки , Значить (2.4)
б1) Нехай = 0. Тоді з (2.4) виводиться рівність
(2.5)
а з (2.5) отримаємо . Розпишемо (2.5): . Тобто однозначно виражається через елемент , Яких може бути р штук, і через елементи , , , , . Тому кількість матриць задовольняють цим умовам (р-1) ⁴ × р ² × (р +1).
б2) Якщо ¹ 0, . Тоді одержимо знову рівність (2.5) і з нього . Елементів всього р-1 штук. Т.к , То отримуємо що . Нехай . Помноживши рівність (2.5) на , Висловлюючи і провівши заміну на одержимо рівність . А тому і робимо висновок, що і виражаються через всі інші елементи матриці. Тому кількість матриць задовольняють цим умовам
(Р-1) ⁵ × р × (р +1) штук.
б3) Якщо ¹ 0, і отримуємо (р-1) ⁴ × р ² × (р +1) матриць задовольняють цим умовам (міркування як в
пункті б1)
б4) Якщо ¹ 0, , і отримуємо
(Р-1) ⁵ × р × (р +1) матриць задовольняють цим умовам (міркування як в пункті б2)
б5) Нехай ¹ 0, , і . З того, що , Отримуємо . Нехай . Тоді перетворюючи (2.4) отримуємо, що однозначно виражається через та всі інші елементи.
Тому кількість матриць задовольняють цим умовам (р-1) ⁶ × р × (р +1) штук.
Таким чином, загальна кількість матриць задовольняють умові пункту б) підраховується за формулою
(Р-1) ⁴ × р × (р +1) × (р ² +2 р-1) (виходить підсумовуванням формул отриманих у пунктах б1-б5).

Значить формула (р-1) ³ р. ⁵ (р +1) для випадку 1) за умови (2.2) вірна.
2) Нехай , (Кількість їх р-1), (Кількість вираховується за формулою (1.5)) та (По р. штук). Тоді з (2.1) отримуємо
.
Тоді кількість таких матриць обчислюється за формулою
(Р-1) ³ р. ⁴ (р +1) (2.6)
Ми стверджуємо, що з цієї ж формулою обчислюється кількість матриць, визначник яких не звертається в нуль, за умови, що , і .
Але при цих умовах не враховуються матриці виду з нерівним нулю визначником, кількість яких потрібно додати. Але порахували матриці виду з визначником що звертаються в нуль, кількість яких потрібно відняти.
Доведемо, що кількість матриць в обох випадках однаково:
а) , і . З (2.1) отримуємо рівність , , А з того що отримуємо що, наприклад, елемент однозначно виражається через елемент (Р штук) і всі інші елементи. А значить кількість матриць з даними умовами (р-1) ⁴ р ² (р +1).
б) , і . З (2.1) отримуємо рівність , . А з можемо однозначно висловити, наприклад, елемент через елемент (Р штук) і всі інші елементи. А значить кількість матриць з даними умовами (р-1) ⁴ р ² (р +1).
3) Нехай , , (Кількість їх p-1), (Кількість вираховується за формулою (1.5)) та (По р. штук).
Тоді кількість таких матриць обчислюється за формулою
(Р-1) [(р-1) ² р (р +1)] × р × р × р (2.7)
Цими етапами ми перебрали всі випадки невироджених матриць порядку 3. складаючи формули (2.3), (2.6) і (2.7), отримані в етапах 1), 2) і 3) отримуємо формулу для знаходження кількості оборотних матриць порядку 3 матриць над полем Z _p
(Р-1) ³ р. ³ (р +1) (р ² + р +1) (2.8)
3. Загальна формула для підрахунку оборотних матриць над полем Z _p.
Використовуючи алгоритм, описаний в попередніх пунктах, для виведення формули підрахунку кількості оборотних матриць, можемо отримати приватні формули для матриць довільних порядків.
Наприклад:
Для матриць порядку 4:
(Р-1) ⁴ р ⁶ (р +1) (р ² + р +1) (р ³ + р ² + р +1).
Для матриць порядку 5:
(Р-1) ⁵ р. ¹⁰ (р +1) (р ² + р +1) (р ³ + р ² + р +1) (р ⁴ + р ^​​3 + р ² + р +1), і т. д.
Аналізуючи отримані результати, можемо зробити висновки, що загальна формула для отримання кількості оборотних матриць порядку n над полем Z _p виглядає так:

Цю формулу тотожними перетвореннями можна привести до вигляду:

§ 3. Зворотні матриці над кільцем Z _n  

З теореми доведеною в § 1 випливає, що для визначників матриць A і B виконується рівність | A · ​​B | = | A | · | B |.

Для оборотних матриць A і B слід A · B = E. Отже | A · B | = | A | · | B | = | E | = 1.
Таким чином, отримуємо: визначник оборотної матриці є оборотним елементом.
Спробуємо порахувати кількість оборотних матриць над деякими кільцями відрахувань за складеним модулем.
Зворотні матриці над Z _4.

*	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

Усього різних матриць другого порядку над Z _{4: 4} ⁴ = 256.

У Z ₄ оборотними елементами є 1і3. Розглянемо скільки оборотних матриць з визначником рівним 1: | A | = ad-bc = 1.
Розіб'ємо на наступні варіанти:
1. ad = 3. Можливі випадки:
1) a = 1 Ù d = 3,
2) a = 3 Ù d = 1,
bc = 2. Можливі випадки:
1) b = 1 Ù c = 2,
2) b = 2 Ù c = 1,
3) b = 2 Ù c = 3,
4) b = 3 Ù c = 2.
Отримали з даними умовою 8 оборотних матриць.
2. ad = 2. Можливо 4 випадки (див. попередній пункт).
bc = 1. Можливі випадки:
1) b = c = 1,
2) b = c = 3.
Отримали з даними умовою 8 оборотних матриць.
3. ad = 1. Можливо 2 випадки (див. попередній пункт).
bc = 0. Можливі випадки:
1) b = 0 Ù c = 1,
2) b = 0 Ù c = 2,
3) b = 0 Ù c = 3,
4) b = 1 Ù c = 0,
5) b = 2 Ù c = 0,
6) b = 3 Ù c = 0,
7) b = c = 0,
8) b = c = 2.
Отримали зданим умовою 16 оборотних матриць.
4. ad = 0. Можливо 8 випадків (див. попередній пункт).
bc = 3. Можливо 2 випадки (див. перший пункт).
Отримали з даними умовою 16 оборотних матриць.
Таким чином, по даній класифікації отримуємо 8 +8 +16 +16 +16 = 48 оборотних матриць, визначник яких дорівнює 1. Аналогічну класифікацію можна скласти для оборотних матриць з визначником рівним 3, і число таких матриць буде також одно 48.
Отже, з 256 квадратних матриць другого порядку над Z ₄ оборотними є 96.
Зворотні матриці над Z _6.

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Усього різних матриць другого порядку над Z _6: 6 ⁴ = 1296.

У Z ₆ оборотними елементами є 1 і 5. Аналогічно розглянемо, скільки оборотних матриць з визначником рівним 1:
| A | = ad-bc = 1.
Розіб'ємо на наступні варіанти:
1. ad = 5. Можливі випадки:
1) a = 1 Ù d = 5,
2) a = 5 Ù d = 1,
bc = 4. Можливі випадки:
1) b = 1 Ù c = 4,
2) b = 4 Ù c = 1,
3) b = 2 Ù c = 5,
4) b = 5 Ù c = 2,
5) b = c = 2,
6) b = c = 4.
Отримали з даними умовою 12 оборотних матриць.
2. ad = 4. Можливо 6 випадків (див. попередній пункт).
bc = 3. Можливі випадки:
1) b = 3 Ù c = 1,
2) b = 1 Ù c = 3,
3) b = 3 Ù c = 5,
4) b = 5 Ù c = 3,
5) b = c = 3.
Отримали з даними умовою 30 оборотних матриць.
3. ad = 3. Можливо 5 випадків (див. попередній пункт).
bc = 2. Можливі випадки:
1) b = 2 Ù c = 1,
2) b = 1 Ù c = 2,
3) b = 2 Ù c = 4,
4) b = 4 Ù c = 2,
5) b = 4 Ù c = 5,
6) b = 5 Ù c = 4.
Отримали з даними умовою 30 оборотних матриць.
4. ad = 2. Можливо 6 випадків (див. попередній пункт).
bc = 1. Можливі випадки:
1) b = c = 1,
2) b = c = 5.
Отримали з даними умовою 12 оборотних матриць.
5. ad = 1. Можливо 2 випадки (див. попередній пункт).
bc = 0. Можливі випадки:
1) b = 0 Ù c = 1,
2) b = 0 Ù c = 2,
3) b = 0 Ù c = 3,
4) b = 0 Ù c = 4,
5) b = 0 Ù c = 5,
6) b = 1 Ù c = 0,
7) b = 2 Ù c = 0,
8) b = 3 Ù c = 0,
9) b = 4 Ù c = 0,
10) b = 5 Ù c = 0,
11) b = 2 Ù c = 3,
12) b = 3 Ù c = 2,
13) b = 3 Ù c = 4,
14) b = 4 Ù c = 3,
15) b = c = 0.
Отримали з даними умовою 30 оборотних матриць.
6. ad = 0. Можливо 15 випадків (див. попередній пункт).
bc = 5. Можливо 2 випадки (див. перший пункт).
Отримали з даними умовою 30 оборотних матриць.
Таким чином по даній класифікації забезпечує 12 +30 +30 +12 +30 +30 = 144 оборотних матриць, визначник яких
дорівнює 1. Аналогічну класифікацію можна скласти для оборотних матриць з визначником рівним 5, і число таких матриць буде також одно 144.
Отже, з 1296 квадратних матриць другого порядку над Z ₆ оборотними є 288.
Зворотні матриці над Z ₈

*	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	0	2	4	6
3	0	3	6	3	4	7	2	5
4	0	4	0	4	0	4	0	4
5	0	5	2	7	4	1	6	3
6	0	6	4	2	0	6	4	2
7	0	7	6	5	4	3	2	1

Усього різних матриць другого порядку над Z _8: 8 ⁴ = 4096.

У Z ₈ оборотними елементами є 1, 3, 5 і 7. Аналогічно розглянемо, скільки оборотних матриць з визначником рівним 1
| A | = ad-bc = 1.
Аналогічно попереднім пунктам будемо дотримуватися тієї ж класифікації:
1. ad = 7. Можливо 4 випадки.
bc = 6. Можливо 8 випадків.
Отримали з даними умовою 32 оборотних матриці.
2. ad = 6. Можливо 8 випадків.
bc = 5. Можливо 4 випадки.
Отримали з даними умовою 32 оборотних матриці.
3. ad = 5. Можливо 4 випадки.
bc = 4. Можливо 12 випадків.
Отримали з даними умовою 48 оборотних матриць.
4. ad = 4. Можливо 12 випадків.
bc = 3. Можливо 4 випадки.
Отримали з даними умовою 48 оборотних матриць.
5. ad = 3. Можливо 4 випадки.
bc = 2. Можливо 8 випадків.
Отримали з даними умовою 32 оборотних матриці.
6. ad = 2. Можливо 8 випадків.
bc = 1. Можливо 4 випадки.
Отримали з даними умовою 32 оборотних матриці.
7. ad = 1. Можливі 4 випадки.
bc = 0. Можливо 20 випадків.
Отримали з даними умовою 80 оборотних матриць.
8. ad = 0. Можливо 20 випадків.
bc = 7. Можливо 4 випадки.
Отримали з даними умовою 80 оборотних матриць.
Таким чином, оборотних матриць, визначник яких
дорівнює 1 -384.
Отже, з 4096 квадратних матриць другого порядку над Z ₈ оборотними є 1536.
Зворотні матриці над Z ₉

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	0	2	4	6	8	1	3	5	7
3	0	3	6	0	3	6	0	3	6
4	0	4	8	3	7	2	6	1	5
5	0	5	1	6	2	7	3	8	4
6	0	6	3	0	6	3	0	6	3
7	0	7	5	3	1	8	6	4	2
8	0	8	7	6	5	4	3	2	1

Усього різних матриць другого порядку над Z _9: 9 ⁴ = 6561.

У Z ₉ оборотними елементами є 1, 2, 4, 5, 7 і 8.
1. ad = 8. Можливо 6 випадків.
bc = 7. Можливо 6 випадків.
Отримали з даними умовою 36 оборотних матриць.
2. ad = 7. Можливо 6 випадків.
bc = 6. Можливо 12 випадків.
Отримали з даними умовою 72 оборотних матриць.
3. ad = 6. Можливо 12 випадків.
bc = 5. Можливо 6 випадків.
Отримали з даними умовою 72 оборотних матриць.
4. ad = 5. Можливо 6 випадків.
bc = 4. Можливо 6 випадків.
Отримали з даними умовою 36 оборотних матриць.
5. ad = 4. Можливо 6 випадків.
bc = 3. Можливо 12 випадків.
Отримали з даними умовою 72 оборотних матриць.
6. ad = 3. Можливо 12 випадків.
bc = 2. Можливо 6 випадків.
Отримали з даними умовою 72 оборотних матриць.
7. ad = 2. Можливо 6 випадків.
bc = 1. Можливо 6 випадків.
Отримали з даними умовою 36 оборотних матриць.
8. ad = 1. Можливо 6 випадків.
bc = 0. Можливо 21 випадок.
Отримали з даними умовою 126 оборотних матриць.
9. ad = 0. Можливо 21 випадок.
bc = 8. Можливо 6 випадків.
Отримали з даними умовою 126 оборотних матриць.
Таким чином, оборотних матриць, визначник яких дорівнює 1 -648.
Отже, з 6561 квадратних матриць другого порядку над Z ₉ оборотними є 3888.
Зворотні матриці над Z ₁₀

Усього різних матриць другого порядку над Z _{10: 10} ⁴ = 1000.

У Z ₁₀ оборотними елементами є 1, 3, 7 і 9.
1. ad = 9. Можливо 4 випадки.
bc = 8. Можливо 12 випадків.
Отримали з даними умовою 48 оборотних матриць.
2. ad = 8. Можливо 12 випадків.
bc = 7. Можливо 4 випадки.
Отримали з даними умовою 48 оборотних матриць.
3. ad = 7. Можливо 4 випадки.
bc = 6. Можливо 12 випадків.
Отримали з даними умовою 48 оборотних матриць.
4. ad = 6. Можливо 12 випадків.
bc = 5. Можливо 9 випадків.
Отримали з даними умовою 108 оборотних матриць.
5. ad = 5. Можливо 9 випадків.
bc = 4. Можливо 12 випадків.
Отримали з даними умовою 108 оборотних матриць.
6. ad = 4. Можливо 12 випадків.
bc = 3. Можливо 4 випадки.
Отримали з даними умовою 48 оборотних матриць.
7. ad = 3. Можливо 4 випадки.
bc = 2. Можливо 12 випадків.
Отримали з даними умовою 48 оборотних матриць.
8. ad = 2. Можливо 12 випадків.
bc = 1. Можливо 4 випадки.
Отримали з даними умовою 48 оборотних матриць.
9. ad = 1. Можливо 4 випадки.
bc = 0. Можливо 27 випадків.
Отримали з даними умовою 108 оборотних матриць.
10. ad = 0. Можливо 27 випадків.
bc = 9. Можливо 4 випадки.
Отримали з даними умовою 108 оборотних матриць.
Таким чином, оборотних матриць, визначник яких
дорівнює 1 -720.
Отже, з 10000 квадратних матриць другого порядку над Z ₁₀ оборотними є 2880.
Використовуючи вище викладений метод, було також обчислено кількість оборотних матриць для кілець відрахувань за модулями: 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. У результаті всіх обчислень були отримані такі дані (нижче також використані формули отримані в § 2):

Z n	формула	кількість
2	(P-1) 2 p (p +1)	6
3	(P-1) 2 p (p +1)	48
4	-	96
5	(P-1) 2 p (p +1)	480
6	-	288
7	(P-1) 2 p (p +1)	2016
8	-	1536
9	-	3888
10	-	2880
11	(P-1) 2 p (p +1)	13200
12	-	4608
13	(P-1) 2 p (p +1)	26208
14	-	12096
15	-	23040
16	-	24576
17	(P-1) 2 p (p +1)	78336
18	-	23328
19	(P-1) 2 p (p +1)	123120
20	-	43520
21	-	96768

У результаті аналізу отриманих результатів емпіричним шляхом була отримана наступна формула для обчислення кількості оборотних матриць другого порядку над кільцем відрахувань за довільним модулю.
Нехай Z _n - кільце лишків за модулем n, причому n = p ₁ ^{k 1} p ₂ ^{k 2} ... p _m ^km,
Тоді кількість оборотних матриць другого порядку одно:
(P ₁ -1) ² (p ₂ -1) ² ... (p _m -1) ² p ₁ p ₂ ... p _m (p ₁ +1) (p ₂ +1) ... (p _m +1) (p ₁ ^{4) k 1-1} (p ₂ ^{4) k 2-1} ... (p _m ^{4) km -1}
Література
1. Бухштаб А.А. Теорія чисел. М.: Просвещение, 1966.
2. Куликов Л.Я. Алгебра і теорія чисел. М.: Вища школа, 1979.
3. Курош А. Г. Курс вищої алгебри. М.: Наука, 1975.