IX математичний симпозіум.
Закономірність розподілу простих чисел в ряду натуральних чисел.
м. Волзький.
05-11 жовтня 2008 року.
Белотелов В.А.
Нижегородська обл.
м. Заволжя
vbelotelov @ mail. ru
Прості числа? - Це просто!?
Дізнавшись про важливу роль простих чисел (ПЧ) в криптографії, генерації випадкових чисел, навігації, імітаційному моделюванні і про те, що потрібна закономірність розподілу ПЧ в ряду натуральних чисел, не будучи математиком, все ж ризикнув зайнятися вирішенням цього завдання. Результат нижче.
Для початку виписав низку ПЧ. Звичайно ж, це було зроблено з метою помітити, хоч яку б, закономірність. З цією ж метою були обчислені різниці між сусідніми числами ряду ПЧ. Було відмічено, що іноді з'являлася послідовність різниць 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, де ця послідовність порушувалася, були введені складені числа (СЧ). Результат представлений в таблиці 1, СЧ в якій підкреслено. Числа 2, 3, 5, будучи ПЧ, з розгляду все ж таки були прибрані. Це перше виключення з правил. Друга вільність полягала введенням у розгляд числа 1, знаючи, що одиниця не є простим числом.
Метою ж було знайти закономірність серед ПЧ + СЧ, а потім вже знайти закономірність серед ПЧ. Стратегія пошуку закономірності ПЧ полягала в такій логічній формулі:
(Закономірність ПЧ + СЧ) - (закономірність СЧ) = закономірність ПЧ.
З ПЧ + СЧ, представлених у таблиці 1, була складена система з восьми арифметичних прогресій. Результат представлений у таблиці 2.
Різниці всіх восьми прогресій рівні 30 і їхні перші члени дорівнюють відповідно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а самі ряди позначені через R 1, R 7, R 11, R 13, R 17, R 19 , R 23, R 29. СЧ, як і в таблиці 1, підкреслені і зверху розписані у вигляді творів двох чисел. Можна сформулювати правило, за яким у будь-який з восьми арифметичних прогресій розподілені СЧ.
Якщо в арифметичній прогресії, який - або член an можна представити у вигляді двох співмножників fxp, то наступні члени цієї прогресії an + mf є твором fx (p + md), а члени an + kp твором px (f + kd), де m і k будь-які натуральні
числа, а d - різниця цієї прогресії.
Дане правило не потребує доведення, тому що фактично випливає з визначення арифметичній прогресії. Але для забезпечення закономірності ПЧ має велике значення. По - перше, воно забороняє пошук рядів ПЧ, підпорядковуються одній арифметичній прогресії, тому що будь-яке просте число an можна представити у вигляді an х1, і тоді в будь-якому ряді через число членів an, з'являється складене число an х (1 + d) .
По - друге, в будь-якої арифметичної прогресії поява додаткових складових чисел можливо тільки в поєднанні з різницею саме цієї прогресії.
Це правило можна сформулювати для будь-якого числа сомножителей, але в даному випадку інтерес представляє число співмножників дорівнює двом.
Як приклад розглянемо в ряді R 1 четвертий член рівний 91 = 7х13. Найближчим членом в ряді R 1 кратним семи є число 301, віддалені від числа 91 на сім номерів, відповідно, числі 301 належить ряду СЧ. Числі 301 є твором 7х43 (301 = 7х43), і з номера цього числа рівного 11, кожні сорок третє число, теж ділиться на 43 і, відповідно, належить до ряду СЧ. Далі це можна не описувати, тому що це добре видно в таблиці 2.
Розписавши таблицю 2 у вигляді математичних символів, вдалося отримати систему з восьми формул, розписаних у вигляді різниці сум, див. таблицю 3. У всіх восьми формулах системи, члени з рядами подвійних сум служать фільтрами, що видаляють СЧ з ряду ПЧ + СЧ, і задають роботу фільтрів у вигляді матриць.
У таблиці 4 зображено розподіл номерів СЧ в ряді R 1, визначених другим членом формули. Це матриця, в якій і по стовпцях і по рядках арифметичні прогресії.
У формулах індекси і позначають стовпці і рядки подібних матриць, самі ж і додатковими індексами не обтяжують. Без і описати роботу матриць не зміг, а формальна фраза, що у виразі під сумою творів маються на увазі всілякі їх комбінації в залежності від значень a 1 і с1, буде невірна. Бо всі члени з номерами при > 1 і > 1 з формули випадають.
Система формул арифметичних прогресій, що дозволяє обчислювати ПЧ, вийшла досить громіздкою, але закономірність позначені.
Дана стаття була підготовлена для публікації в науковому журналі з математичним ухилом. Поки йшов пошук даного журналу, шляхом нескладних умовиводів, була складена система рядів арифметичних прогресій з різницею 10. Результат в таблиці 5 і 6. Все було розписано за зразком і подобою попереднього матеріалу. У таблиці 7 зображена матриця для номерів другого члена формули 1 таблиці 6.
Не почавши переписувати статтю заново, у зв'язку з відкриттям нової системи рівнянь, знову ж таки шляхом роздумів, були розписані арифметичні прогресії з різницею 2 і 1, тобто при різниці одиниця ПЧ були безпосередньо пов'язані з натуральним поруч. Результат в таблиці 8 і 9.
Все розписано, як і у випадках з системами рівнянь арифметичних прогресій різниць 30 і 10. І після цього настав момент істини.
Виявилося, що подібних рівнянь можна скласти безліч. Навскидку - це арифметичні прогресії з різницею 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, і т.д. Навіть у перерахованому до різниці 60 вказані не всі.
Узагальнюючий висновок:
ПЧ можна представити комбінацією арифметичних прогресій. Таких комбінацій безліч. Але кожна з комбінацій систем арифметичних прогресій дозволяє тільки єдине подання ПЧ при заданій різниці прогресій задає ряди ПЧ + СЧ.
1 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 49 | 53 | 59 | ||||||||||||||||
6 | 4 | 2 | 4 | 2 | 4 | 6 | 2 | 6 | 4 | 2 | 4 | 2 | 4 | 6 | 2 | ||||||||||||||||
61 | 67 | 71 | 73 | 77 | 79 | 83 | 89 | 91 |