© Автор Бутарева Людмила
29 грудня 2006
ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЕЛ
Періодична система ЧИСЕЛ.
Властивості чисел натурального ряду, а також похідних від них знаходяться в різній періодичній залежності від порядкових номерів чисел.
Наприклад, розглянемо шестерично періодизацію чисел.
1. Запишемо натуральний ряд чисел по 6
-------------------------------------------------- -------------------------------------------
Групи! ABCDEF
-------------------!------------------------------ --------------------------------------------
Періоди!
0! 1
1! 2 3 4 5 6 7
2! 8 9 10 11 12 13
3! 14 15 16 17 18 19
n! 6n - 4 6n - 3 6n - 2 6n - 1 6n 6n + 1
-----------------!-------------------------------- -----------------------------------------
Умовні позначення: AB CDEF - групи чисел
0, 1, 2 ... n - # # періодів
2. Продовжимо таблицю в область негативних чисел: ------------------------------------------- -------------------------------------------------
Групи! ABCDEF
------------------- !------------------------------ ------------------------------------------
Періоди!
-4! -28 -27 -26 -25 -24 -23
-3! -22 -21 -20 -19 -18 -17
-2! -16 -15 -14 -13 - 12 -11
-1! -10 -9 -8 -7 -6 -5
0! -4 -3 -2 -1 0 1
1! 2 3 4 5 6 7
2! 8 9 10 11 12 13
3! 14 15 16 17 18 19
4! 20 21 22 23 24 25
n! 6n - 4 6n - 3 6n - 2 6n - 1 6n 6n + 1
-----------------!-------------------------------- -----------------------------------------
Групи В і Е - самостійні групи. Негативні числа кожної з цих груп за абсолютною величиною дорівнюють власним позитивним.
Група А в негативній частині переходить у групу С (і навпаки).
Група D в негативній частині переходить у групу F (і навпаки).
За абсолютною величиною ряди чисел A = C, D = F на всьому протязі від оо до - оо.
Групи A і C, D і F називаються близнюками.
У Таблиці № 1 наведені деякі загальні властивості чисел по групах при шестерично періодизації.
Таблиця № 1
___________________________________________________________________
Група! Загальні властивості чисел
---------------- !--------------------------------- ------------------------------------------------- А (6n - 4)! Парні (з них 1 просте)! має близнюка З
B (6n - 3)! Кратні 3-м (з них 1 просте)!
С (6n - 2)! Парні! має близнюка А D (6n - 1)! Прості + твори D x F! має близнюка F
E (6n)! Парні, кратні 3-м!
F (6n + 1)! Прості + твори D x D, F x F! має близнюка D
------------------------------------------------ - -----------------------------------------------
.
I. ПРОСТІ ЧИСЛА
Таблиця № 2 Розташування простих чисел згідно з шестерично періодизацією.
-------------------------------------------------- ------------
Групи! A B C D E F
----------------------!--------------------------- ------------
№ № періодів!
0! х х х х х х
1! 2 Березня х 5 х 7
2! х х х 11 х 13
3! х х х 17 х 19
4! х х х 23 х х
n! х х х 6n - 1 х 6n + 1
----------------------!--------------------------- --------------
1. Числа 2 і 3 - первинні прості числа. Це єдині прості числа, що стоять поруч, без інтервалів
Всі інші, типові прості числа знаходяться в D і F групах
Позначимо № № періодів чисел групи D буквою d, а чисел групи F буквою f.
D = 6d -1 F = 6f +1.
2. Типові прості числа, що належать різним групам, але одного й того ж періоду, називаються близнюками
Наприклад
Числа 5 і7 - близнюки. Вони мають один і той же період d = f = 1
(6d - 1) = 6 х 1 - 1 = 5
(6f + 1) = 6 х 1 + 1 = 7.
Числа 29 і 31 - близнюки. Вони мають період d = f = 5
(6d - 1) = 6 х 5 - 1 = 29
(6f + 1) = 6 х 5 + 1 = 31
3. Склад ряду чисел групи D (Таблиця № 1)
а) прості числа
b) твори D х F:
(6a - 1) х (6b + 1) = 36ab + 6a - 6b - 1 = 6 (6ab + a - b) - 1 = 6d - 1
Звідси випливає, що всі D = / 6 (6ab + a - b) - 1
(Де a і b будь-яке натуральне число) - це прості числа.
Всі d = / 6ab + a - b (де a і b будь-яке натуральне число) - це періоди простих чисел.
4. Склад ряду чисел групи F (Таблиця № 1)
а) прості числа
b) твори D х D
(6a - 1) х (6b - 1) = 36ab - 6a - 6b + 1 = 6 (6ab - a - b) + 1
з) твори F х F:
(6a + 1) х (6b + 1) = 36ab + 6a + 6b + 1 = 6 (6ab + a + b) + 1
Значить, прості числа це:
F = / 6 (6ab - a - b) + 1
F = / 6 (6ab + a + b) + 1 (де a і b будь-яке натуральне число)
Періоди простих чисел
f = / 6ab - a - b
f = / 6ab + a + b (де a і b будь-яке натуральне число)
.
II ТЕСТИ ПРОСТОТИ
1. РЕШЕТИЛО
Запишемо будь-який з числових рядів груп D або F до потрібного нам числа. Знак (-) опустимо без шкоди для нашої задачі.
53 47 41 35 29 23 17 11 5 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55
Центр цього ряду - число 1. Воно не є простим. Позначимо його [х]. Перше після 1
число 5 - просте. Від 5 вліво і вправо відлічуємо Кожен 5-е число і викреслюємо.
53 47 41 х 29 23 17 11 Травня х 13 липня 1919 х 31 37 43 49 х
Наступний за величиною невичеркнутое число 7 - просте. Від 7 вліво і вправо відлічуємо кожне 7-е число і викреслюємо.
53 47 41 х 29 23 17 11 Травня х 13 липня 1919 х 31 37 43 х х
Ми отримали ряд типових простих чисел в інтервалі від 5 до 55. Достатньою є викреслюємо число [корінь квадратний з найбільшого квадрата в ряду].
2. Пісочний годинник
Таблиця № 1 Визначення простоти чисел «Пісочний годинник»
____________________________________________________________________
! ! ! ! ! ! ! _________! X!
! ! ! ! ! ! _________!_!_!_!_!_! X! _!
! ! ! ! !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! _!
! ! ! ! _________!_!_!_!_!_!_! X! _! x! _!_!_!_!_!_! x! _!_!_!
! ! !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_ ! _!
! !_________! _! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_ ! _! x! _!_!_!_!_!
! ____!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! _!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_! x! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! _! x! x! _!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ !_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! _! x! _!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! x! _!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! x! _! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ !_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_! x ! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! x! _!_!_!_!_!_!_! x! x !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_! x! _! _ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! 0 !_!_!_!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! x! _!_!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! _! x! _! _! x! _! _ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _! x! _!_!_! x !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_! x! _!_!_! x! _!_!_ ! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_ !_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_! x! _! _ !_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ !_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_! x! _! _! x! _! x! _! _! x! _ !_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ !_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_! x !_!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_! x! _!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_! ! !
!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_ ! x! _! ! ! !
!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! ! ! ! !
!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_! x! _! _! ! ! ! ! !
! _! X! _!_!_!_!_!_!_! ! ! ! ! ! !
! X! _!_!_________ !_________ !_________ !_________ !_________ !_________! _!
1
Разрєжєм Таблицю № 1 на вертикальні колонки шириною 6 клітин.
2. Відріжемо від кожної колонки білу неразлінованную частину.
3 Сумісний колонки, наклавши одна на одну. Якщо перша колонка має ширину менше, ніж 6 клітин, то вона зсувається вправо, а остання - вліво до бокової лінії.
4 Припустимо, що лист прозорий. Тоді порожні клітини в суміщеної колонці
відповідають простим числах (Таблиці № 2А і2В). Формули вгорі Таблиці № 2В для чисел f періодів від 0 і вище, формули внизу - для чисел d періодів від 0 і нижче. (Періоди f і d - № № рядків).
Таблиця № 2А Таблиця № 2В Періоди
_____________________________________________
! _36f +25! _36f +19! _36f +13! _36f +7 _! _36f +1 _! _36f-5_! F
___________ ______________________________________________
! Х! Х! Х !_!_! х! !_______!_______!_______!__ 547__! __541__ !_______! 15
! Х! _! Х! Х! Х! _! !_______!__ 523_ !_______!_______!_______!__ 499__! 14
! Х! _! Х! Х! Х! _! !_______!__ 487__ !_______!_______!_______!__ 463__! 13
! _! Х! Х !_!_! х! ! __457__ !_______!_______!__ 439__! __433__ !_______! 12
! _! Х! _! Х! _! Х! ! __421__ !_______!__ 409__ !_______!__ 397__ !_______! 11
! Х !_!_!_! х! Х! !_______!__ 379__! __373__! __367__ !_______!_______! 10
! _! Х !_!_! х! Х! ! __349__ !_______!__ 337__! __331__ !_______!_______! 9
!_!_! Х! Х! Х! _! ! __313__! __307__ !_______!_______!_______!__ 283__! 8
!_!_! Х! Х! Х! Х! ! __277__! __271__ !_______!_______!_______!_______! 7
! _! Х !_!_! х! _! ! __241__ !_______!__ 229__! __223__ !_______!__ 211__! 6
! Х !_!_! х! _! Х! !_______!__ 199__! __193__ !_______!__ 181__ !_______! 5
! Х !_!_!_! х! _! !_______!__ 163__! __157__! __151__ !_______!__ 139__! 4
! Х! _! Х! Х !_!_! !_______!__ 127__ !_______!_______!__ 109__! __103__! 3
! _! Х! Х !_!_!_! ! ___97__ !_______!_______!___ 79__! ___73__! ___67__! 2
! _! Х! Х !_!_!_! ! ___61__ !_______!_______!___ 43__! ___37__! ___31__! 1
! Х !_!_!_! 0! _! !_______!___ 19__! ___13__ !____ 7__ !_______!____ 5__! 0
!_!_!_!_! Х! _! ! ___11__! ___17__ !____ 23_! ___29__ !_______!___ 41__! 1
!_!_!_! Х! _! Х! ! ___47__! ___53__! ___59__ !_______!___ 71__ !_______! 2
!_!_! Х !_!_!_! ! ___83__! ___89__ !_______!__ 101__! __107__! __113__! 3
! Х! Х !_!_! х! _! !_______!_______!__ 131__! __137__ !_______!__ 149__! 4
! Х! Х !_!_!_! х! !_______!_______!___ 167_! __173__! __179__ !_______! 5
!_!_! Х! Х! Х! Х! ! __191__! __197__ !_______!_______!_______!_______! 6
!_!_!_! Х !_!_! ! __227__! __233__! __239__ !_______!__ 251__! __257__! 7
!_!_! Х! _! Х! _! ! __263__! __269__ !_______!__ 281__ !_______!__ 293__! 8
! Х! Х !_!_! х! Х! !_______!_______!__ 311__! __317__ !_______!_______! 9
! Х! Х !_!_!_! х! !_______!_______!__ 347__! __353__! __359__ !_______! 10
! Х! Х !_!_! х! _! !_______!_______!__ 383__! __389__ !_______!__ 401__! 11
! Х! Х! _! Х! _! Х! !_______!_______!__ 419__ !_______!__ 443__ !_______! 12
!_!_! Х !_!_! х! ! __443__! __449__ !_______!__ 461__! __467__ !_______! 13
! _! Х! _! Х !_!_! ! __479__ !_______!__ 491__ !_______!__ 503__! __509__! 14
! Х! _! Х! Х! Х! Х! !_______!__ 521__ !_______!_______!_______!_______! 15
! Х !_!_!_! х! Х! !_______!__ 557__! __563__! __569__ !_______!_______! 16
!_!_!_! Х! Х! _! ! __587__! __593__! __599__ !_______!_______!__ 617 _! 17
_______________________________________________
! 36d -25 _! 36d-19_! 36d-13_! _36d-7_! _36d-1_! _36d +5 _! D
Побудова Таблиці № 1
1. Числова вісь. (Таблиця № 3А)
Числова вісь - це два ряди натуральних чисел, які йдуть вгору і вниз від 0 у центрі таблиці. Числа на осі - номери періодів.
2. Періоди чисел. (Таблиця № 3А)
Період чисел - це один рядок (6 клітин) в колонці. На початок від 0 йдуть № № періодів f чисел виду (6а + 1), вниз від 0 йдуть № № періодів d чисел виду (6а - 1).
3. Числові вузли. (Таблиця № 3В)
Числові вузли - це числа d на осі, рівні квадратах чисел (1 4 вересня 1916 ... n ^ 2).
4. Числові ланцюжка. (Таблиці № 3В і № 3С)
Числові ланцюжка - парні. Вони симетричні відносно осі. Кожна клітина в ланцюжку зрушена щодо попередньої на 1 клітину в бік від числової осі, на n клітин вгору або вниз (схоже на «хід конем» у шахах.)
а) Числові ланцюжка внизу від 0 виходять з числових вузлів d. Клітини в них зрушені на 1 в сторони від числової осі і на n вниз (Таблиця № 3В). Параметри побудови ланцюжків вниз від 0 наведені в Таблиці № 4А
Таблиця № 3
А. Числова вісь. В. Числові вузли d = n ^ 2 C. Числові
Періоди чисел і числові ланцюжки d 'ланцюжка f'
_______f___ ________ ________ _______________
!_!_!_!_! 4! _! !_!_! Х !_!_! !_!_! Х !_!_! ! Х !_!_!_! 3 !_!_!_! х!
!_!_!_!_! 3! _! ! _! Х! 2! Х! _! !_!_! 5 !_!_! ! _! Х !_!_! 2 !_!_! х! _!
!_!_!_!_! 2! _! ! Х! _! 3! _! Х! ! _! Х! 6! Х! _! !_!_! Х! _! 1! _! Х !_!_!
!_!_!_!_! 1! _! !_!_! 7 !_!_! !_!_!_!_! 0 !_!_!_!_!
!_!_!_!_! 0! _! d = 1 ^ 2! х! _! 8! _! х!
!_!_!_!_! 1! _! f = 1 ^ 2
!_!_!_!_! 2! _! d = 2 ^ 2
!_!_!_!_! 4! _!
d
b) Ланцюжки вгору від 0 починаються на відстані 2n клітин по обидві сторони від f = n ^ 2 (клітина f при цьому відліку виконує роль 0) і зрушені на 1 клітину в сторони від осі і на n клітин вгору (Таблиця № 3С)
Параметри побудови ланцюжків від 0 і вище наведені в Таблиці № 4В
Таблиця № 4А.Параметри Таблиця № 4В. Параметри
ланцюжків чисел виду (6а - 1) ланцюжків чисел виду (6а + 1)
(Вниз від 0) (вгору від 0)
___________________________ ________________________________________
! Числові! Колич.! Колич. ! ! Число! Кількість! Число,! Колич. !
! вузли! клітин! клітин в! ! на осі! клітин від числа! клітин! клітин в!
! ! вниз! сторону! ! ! на осі до! вниз! сторону!
! ! ! ! ! ! початку ланцюжка! ! !
!--------------!-----------!-----------! !-----------!-------------------- !-----------!---- ---------!
! 1 ^ 2 = 1! 1! 1! ! 1 ^ 2 =!! 1 х 2! 1! 1!
! 2 ^ 2 = 4! 2! 1! ! 2 ^ 2 = 4! 2 х 2! 2! 1!
! 3 ^ 2 = 9! 3! 1! ! 3 ^ 2 = 9! 3 х 2! 3! 1!
! n ^ 2! n! 1! ! n ^ 2! 2n! n! 1!
!--------------!----------!-----------! !-----------!---------------------!-----------!--- ---------!
Побудуємо числові ланцюжки до потрібного нам числа. Всі непозначених знаком {x} клітини відповідають простим числам. Слід передбачити, що запис цифр на числовій осі не є зачеркиванием клітин
Таким способом можна визначити всі прості числа від 5 і більше до технічно можливих меж.
29 грудня 2006
ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЕЛ
Періодична система ЧИСЕЛ.
Властивості чисел натурального ряду, а також похідних від них знаходяться в різній періодичній залежності від порядкових номерів чисел.
Наприклад, розглянемо шестерично періодизацію чисел.
1. Запишемо натуральний ряд чисел по 6
-------------------------------------------------- -------------------------------------------
Групи! ABCDEF
-------------------!------------------------------ --------------------------------------------
Періоди!
0! 1
1! 2 3 4 5 6 7
2! 8 9 10 11 12 13
3! 14 15 16 17 18 19
n! 6n - 4 6n - 3 6n - 2 6n - 1 6n 6n + 1
-----------------!-------------------------------- -----------------------------------------
Умовні позначення: AB CDEF - групи чисел
0, 1, 2 ... n - # # періодів
2. Продовжимо таблицю в область негативних чисел: ------------------------------------------- -------------------------------------------------
Групи! ABCDEF
------------------- !------------------------------ ------------------------------------------
Періоди!
-4! -28 -27 -26 -25 -24 -23
-3! -22 -21 -20 -19 -18 -17
-2! -16 -15 -14 -13 - 12 -11
-1! -10 -9 -8 -7 -6 -5
0! -4 -3 -2 -1 0 1
1! 2 3 4 5 6 7
2! 8 9 10 11 12 13
3! 14 15 16 17 18 19
4! 20 21 22 23 24 25
n! 6n - 4 6n - 3 6n - 2 6n - 1 6n 6n + 1
-----------------!-------------------------------- -----------------------------------------
Групи В і Е - самостійні групи. Негативні числа кожної з цих груп за абсолютною величиною дорівнюють власним позитивним.
Група А в негативній частині переходить у групу С (і навпаки).
Група D в негативній частині переходить у групу F (і навпаки).
За абсолютною величиною ряди чисел A = C, D = F на всьому протязі від оо до - оо.
Групи A і C, D і F називаються близнюками.
У Таблиці № 1 наведені деякі загальні властивості чисел по групах при шестерично періодизації.
Таблиця № 1
___________________________________________________________________
Група! Загальні властивості чисел
---------------- !--------------------------------- ------------------------------------------------- А (6n - 4)! Парні (з них 1 просте)! має близнюка З
B (6n - 3)! Кратні 3-м (з них 1 просте)!
С (6n - 2)! Парні! має близнюка А D (6n - 1)! Прості + твори D x F! має близнюка F
E (6n)! Парні, кратні 3-м!
F (6n + 1)! Прості + твори D x D, F x F! має близнюка D
------------------------------------------------ - -----------------------------------------------
.
I. ПРОСТІ ЧИСЛА
Таблиця № 2 Розташування простих чисел згідно з шестерично періодизацією.
-------------------------------------------------- ------------
Групи! A B C D E F
----------------------!--------------------------- ------------
№ № періодів!
0! х х х х х х
1! 2 Березня х 5 х 7
2! х х х 11 х 13
3! х х х 17 х 19
4! х х х 23 х х
n! х х х 6n - 1 х 6n + 1
----------------------!--------------------------- --------------
1. Числа 2 і 3 - первинні прості числа. Це єдині прості числа, що стоять поруч, без інтервалів
Всі інші, типові прості числа знаходяться в D і F групах
Позначимо № № періодів чисел групи D буквою d, а чисел групи F буквою f.
D = 6d -1 F = 6f +1.
2. Типові прості числа, що належать різним групам, але одного й того ж періоду, називаються близнюками
Наприклад
Числа 5 і7 - близнюки. Вони мають один і той же період d = f = 1
(6d - 1) = 6 х 1 - 1 = 5
(6f + 1) = 6 х 1 + 1 = 7.
Числа 29 і 31 - близнюки. Вони мають період d = f = 5
(6d - 1) = 6 х 5 - 1 = 29
(6f + 1) = 6 х 5 + 1 = 31
3. Склад ряду чисел групи D (Таблиця № 1)
а) прості числа
b) твори D х F:
(6a - 1) х (6b + 1) = 36ab + 6a - 6b - 1 = 6 (6ab + a - b) - 1 = 6d - 1
Звідси випливає, що всі D = / 6 (6ab + a - b) - 1
(Де a і b будь-яке натуральне число) - це прості числа.
Всі d = / 6ab + a - b (де a і b будь-яке натуральне число) - це періоди простих чисел.
4. Склад ряду чисел групи F (Таблиця № 1)
а) прості числа
b) твори D х D
(6a - 1) х (6b - 1) = 36ab - 6a - 6b + 1 = 6 (6ab - a - b) + 1
з) твори F х F:
(6a + 1) х (6b + 1) = 36ab + 6a + 6b + 1 = 6 (6ab + a + b) + 1
Значить, прості числа це:
F = / 6 (6ab - a - b) + 1
F = / 6 (6ab + a + b) + 1 (де a і b будь-яке натуральне число)
Періоди простих чисел
f = / 6ab - a - b
f = / 6ab + a + b (де a і b будь-яке натуральне число)
.
II ТЕСТИ ПРОСТОТИ
1. РЕШЕТИЛО
Запишемо будь-який з числових рядів груп D або F до потрібного нам числа. Знак (-) опустимо без шкоди для нашої задачі.
53 47 41 35 29 23 17 11 5 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55
Центр цього ряду - число 1. Воно не є простим. Позначимо його [х]. Перше після 1
число 5 - просте. Від 5 вліво і вправо відлічуємо Кожен 5-е число і викреслюємо.
53 47 41 х 29 23 17 11 Травня х 13 липня 1919 х 31 37 43 49 х
Наступний за величиною невичеркнутое число 7 - просте. Від 7 вліво і вправо відлічуємо кожне 7-е число і викреслюємо.
53 47 41 х 29 23 17 11 Травня х 13 липня 1919 х 31 37 43 х х
Ми отримали ряд типових простих чисел в інтервалі від 5 до 55. Достатньою є викреслюємо число [корінь квадратний з найбільшого квадрата в ряду].
2. Пісочний годинник
Таблиця № 1 Визначення простоти чисел «Пісочний годинник»
____________________________________________________________________
! ! ! ! ! ! ! _________! X!
! ! ! ! ! ! _________!_!_!_!_!_! X! _!
! ! ! ! !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! _!
! ! ! ! _________!_!_!_!_!_!_! X! _! x! _!_!_!_!_!_! x! _!_!_!
! ! !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_ ! _!
! !_________! _! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_ ! _! x! _!_!_!_!_!
! ____!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! _!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_! x! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! _! x! x! _!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ !_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! _! x! _!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! x! _!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! x! _! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ !_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_! x ! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! x! _!_!_!_!_!_!_! x! x !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_! x! _! _ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! 0 !_!_!_!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! x! _!_!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _! _! x! _! _! x! _! _ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_! x! _! x! _!_!_! x !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ ! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_! x! _!_!_! x! _!_!_ ! _! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_ !_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_! x! _! _ !_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ !_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_! x! _! _! x! _! x! _! _! x! _ !_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_ !_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!_!_! x !_!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_! x! _!_!_ !_!_!_!_!_!_!_!_! ! !
!_!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_! x! _!_!_!_!_ ! x! _! ! ! !
!_!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! ! ! ! !
!_!_! X! _!_!_!_!_!_!_!_!_! x! _! _! ! ! ! ! !
! _! X! _!_!_!_!_!_!_! ! ! ! ! ! !
! X! _!_!_________ !_________ !_________ !_________ !_________ !_________! _!
1
2. Відріжемо від кожної колонки білу неразлінованную частину.
3 Сумісний колонки, наклавши одна на одну. Якщо перша колонка має ширину менше, ніж 6 клітин, то вона зсувається вправо, а остання - вліво до бокової лінії.
4 Припустимо, що лист прозорий. Тоді порожні клітини в суміщеної колонці
відповідають простим числах (Таблиці № 2А і2В). Формули вгорі Таблиці № 2В для чисел f періодів від 0 і вище, формули внизу - для чисел d періодів від 0 і нижче. (Періоди f і d - № № рядків).
Таблиця № 2А Таблиця № 2В Періоди
_____________________________________________
! _36f +25! _36f +19! _36f +13! _36f +7 _! _36f +1 _! _36f-5_! F
___________ ______________________________________________
! Х! Х! Х !_!_! х! !_______!_______!_______!__ 547__! __541__ !_______! 15
! Х! _! Х! Х! Х! _! !_______!__ 523_ !_______!_______!_______!__ 499__! 14
! Х! _! Х! Х! Х! _! !_______!__ 487__ !_______!_______!_______!__ 463__! 13
! _! Х! Х !_!_! х! ! __457__ !_______!_______!__ 439__! __433__ !_______! 12
! _! Х! _! Х! _! Х! ! __421__ !_______!__ 409__ !_______!__ 397__ !_______! 11
! Х !_!_!_! х! Х! !_______!__ 379__! __373__! __367__ !_______!_______! 10
! _! Х !_!_! х! Х! ! __349__ !_______!__ 337__! __331__ !_______!_______! 9
!_!_! Х! Х! Х! _! ! __313__! __307__ !_______!_______!_______!__ 283__! 8
!_!_! Х! Х! Х! Х! ! __277__! __271__ !_______!_______!_______!_______! 7
! _! Х !_!_! х! _! ! __241__ !_______!__ 229__! __223__ !_______!__ 211__! 6
! Х !_!_! х! _! Х! !_______!__ 199__! __193__ !_______!__ 181__ !_______! 5
! Х !_!_!_! х! _! !_______!__ 163__! __157__! __151__ !_______!__ 139__! 4
! Х! _! Х! Х !_!_! !_______!__ 127__ !_______!_______!__ 109__! __103__! 3
! _! Х! Х !_!_!_! ! ___97__ !_______!_______!___ 79__! ___73__! ___67__! 2
! _! Х! Х !_!_!_! ! ___61__ !_______!_______!___ 43__! ___37__! ___31__! 1
! Х !_!_!_! 0! _! !_______!___ 19__! ___13__ !____ 7__ !_______!____ 5__! 0
!_!_!_!_! Х! _! ! ___11__! ___17__ !____ 23_! ___29__ !_______!___ 41__! 1
!_!_!_! Х! _! Х! ! ___47__! ___53__! ___59__ !_______!___ 71__ !_______! 2
!_!_! Х !_!_!_! ! ___83__! ___89__ !_______!__ 101__! __107__! __113__! 3
! Х! Х !_!_! х! _! !_______!_______!__ 131__! __137__ !_______!__ 149__! 4
! Х! Х !_!_!_! х! !_______!_______!___ 167_! __173__! __179__ !_______! 5
!_!_! Х! Х! Х! Х! ! __191__! __197__ !_______!_______!_______!_______! 6
!_!_!_! Х !_!_! ! __227__! __233__! __239__ !_______!__ 251__! __257__! 7
!_!_! Х! _! Х! _! ! __263__! __269__ !_______!__ 281__ !_______!__ 293__! 8
! Х! Х !_!_! х! Х! !_______!_______!__ 311__! __317__ !_______!_______! 9
! Х! Х !_!_!_! х! !_______!_______!__ 347__! __353__! __359__ !_______! 10
! Х! Х !_!_! х! _! !_______!_______!__ 383__! __389__ !_______!__ 401__! 11
! Х! Х! _! Х! _! Х! !_______!_______!__ 419__ !_______!__ 443__ !_______! 12
!_!_! Х !_!_! х! ! __443__! __449__ !_______!__ 461__! __467__ !_______! 13
! _! Х! _! Х !_!_! ! __479__ !_______!__ 491__ !_______!__ 503__! __509__! 14
! Х! _! Х! Х! Х! Х! !_______!__ 521__ !_______!_______!_______!_______! 15
! Х !_!_!_! х! Х! !_______!__ 557__! __563__! __569__ !_______!_______! 16
!_!_!_! Х! Х! _! ! __587__! __593__! __599__ !_______!_______!__ 617 _! 17
_______________________________________________
! 36d -25 _! 36d-19_! 36d-13_! _36d-7_! _36d-1_! _36d +5 _! D
Побудова Таблиці № 1
1. Числова вісь. (Таблиця № 3А)
Числова вісь - це два ряди натуральних чисел, які йдуть вгору і вниз від 0 у центрі таблиці. Числа на осі - номери періодів.
2. Періоди чисел. (Таблиця № 3А)
Період чисел - це один рядок (6 клітин) в колонці. На початок від 0 йдуть № № періодів f чисел виду (6а + 1), вниз від 0 йдуть № № періодів d чисел виду (6а - 1).
3. Числові вузли. (Таблиця № 3В)
Числові вузли - це числа d на осі, рівні квадратах чисел (1 4 вересня 1916 ... n ^ 2).
4. Числові ланцюжка. (Таблиці № 3В і № 3С)
Числові ланцюжка - парні. Вони симетричні відносно осі. Кожна клітина в ланцюжку зрушена щодо попередньої на 1 клітину в бік від числової осі, на n клітин вгору або вниз (схоже на «хід конем» у шахах.)
а) Числові ланцюжка внизу від 0 виходять з числових вузлів d. Клітини в них зрушені на 1 в сторони від числової осі і на n вниз (Таблиця № 3В). Параметри побудови ланцюжків вниз від 0 наведені в Таблиці № 4А
Таблиця № 3
А. Числова вісь. В. Числові вузли d = n ^ 2 C. Числові
Періоди чисел і числові ланцюжки d 'ланцюжка f'
_______f___ ________ ________ _______________
!_!_!_!_! 4! _! !_!_! Х !_!_! !_!_! Х !_!_! ! Х !_!_!_! 3 !_!_!_! х!
!_!_!_!_! 3! _! ! _! Х! 2! Х! _! !_!_! 5 !_!_! ! _! Х !_!_! 2 !_!_! х! _!
!_!_!_!_! 2! _! ! Х! _! 3! _! Х! ! _! Х! 6! Х! _! !_!_! Х! _! 1! _! Х !_!_!
!_!_!_!_! 1! _! !_!_! 7 !_!_! !_!_!_!_! 0 !_!_!_!_!
!_!_!_!_! 0! _! d = 1 ^ 2! х! _! 8! _! х!
!_!_!_!_! 1! _! f = 1 ^ 2
!_!_!_!_! 2! _! d = 2 ^ 2
!_!_!_!_! 4! _!
d
b) Ланцюжки вгору від 0 починаються на відстані 2n клітин по обидві сторони від f = n ^ 2 (клітина f при цьому відліку виконує роль 0) і зрушені на 1 клітину в сторони від осі і на n клітин вгору (Таблиця № 3С)
Параметри побудови ланцюжків від 0 і вище наведені в Таблиці № 4В
Таблиця № 4А.Параметри Таблиця № 4В. Параметри
ланцюжків чисел виду (6а - 1) ланцюжків чисел виду (6а + 1)
(Вниз від 0) (вгору від 0)
___________________________ ________________________________________
! Числові! Колич.! Колич. ! ! Число! Кількість! Число,! Колич. !
! вузли! клітин! клітин в! ! на осі! клітин від числа! клітин! клітин в!
! ! вниз! сторону! ! ! на осі до! вниз! сторону!
! ! ! ! ! ! початку ланцюжка! ! !
!--------------!-----------!-----------! !-----------!-------------------- !-----------!---- ---------!
! 1 ^ 2 = 1! 1! 1! ! 1 ^ 2 =!! 1 х 2! 1! 1!
! 2 ^ 2 = 4! 2! 1! ! 2 ^ 2 = 4! 2 х 2! 2! 1!
! 3 ^ 2 = 9! 3! 1! ! 3 ^ 2 = 9! 3 х 2! 3! 1!
! n ^ 2! n! 1! ! n ^ 2! 2n! n! 1!
!--------------!----------!-----------! !-----------!---------------------!-----------!--- ---------!
Побудуємо числові ланцюжки до потрібного нам числа. Всі непозначених знаком {x} клітини відповідають простим числам. Слід передбачити, що запис цифр на числовій осі не є зачеркиванием клітин
Таким способом можна визначити всі прості числа від 5 і більше до технічно можливих меж.