Зонна теорія твердих тіл

Зонна теорія твердих тіл

1. Метали, добре проводять електричний струм.

Діелектрики (ізолятори) погано проводять струм.

Електропровідність металів 10 ⁶ - 10 ⁴ (Ом × см) ^-1

Електропровідність діелектриків менше 10 ^-10 (Ом × см) ^-1

Тверді тіла з проміжною електропровідністю називаються напівпровідниками.

2. Різниця напівпровідників і металів проявляється в характері залежності електропровідності від температури.

Рис.1

З пониженням температури провідність металів зростає, і для чистих металів прагне до нескінченності при наближенні до абсолютного нуля. У напівпровідників, навпаки, з пониженням температури провідність зменшується, а поблизу абсолютного нуля напівпровідник стає ізолятором.

3. Ні класична електронна теорія електропровідності, ні квантова теорія, заснована на моделі вільних ферміанов, не може дати відповіді на питання, чому одні тіла є напівпровідниками, а інші провідниками або діелектриками.

4. Для відповіді на питання необхідно методами квантової механіки розглянути питання взаємодії валентних електронів з атомами кристалічної решітки.

5. Розв'язати рівняння Шредінгера з числом змінних близько 10 ²³ - це математична задача безнадійної труднощі.

Тому сучасна квантова теорія твердого тіла грунтується на ряді спрощень. Такою теорією є теорія твердого тіла. Назва пов'язана з характерною угрупованням енергетичних рівнів електронів у кристалах в зони рівнів.

В основі зонної теорії лежать наступні припущення:

1. При вивченні руху валентних електронів позитивні іони кристалічної решітки, зважаючи на їх великої маси, розглядаються як нерухомі джерела поля, що діє на електрони.

2. Розташування позитивних іонів в просторі вважається суворо періодичним: вони розміщуються у вузлах ідеальної кристалічної решітки даного кристала.

3. Взаємодія електронів один з одним замінюється деяким ефективним силовим полем.

Завдання зводиться до розгляду руху електрона в періодичному силовому полі кристала.

Потенційна енергія електрона U (r) періодично змінюється.

§ 2. Найпростіша модель кристалічного тіла

Це модель одновимірна Кроніга - Пенні, періодичне електричне поле позитивних іонів кристала апроксимується потенціалом типу «зубчастої стінки».

Рис.2

На малюнку зображено чергування потенційних ям та бар'єрів.

Рішення рівняння Шредінгера для потенційної ями:

(1)

Рішення для потенційного бар'єру:

(2)

де ;

, .

X _n - координата відраховується від початку n ^ї ділянки. Записують для кожної ями і бар'єру, потім «зшивають" рішення і отримують основне рівняння для визначення енергетичних рівнів у періодичному полі кристала.

(3)

де -Площа зубця.

Рис.3

Графічне зображення рішення рівняння Шредінгера з Кронігу - Пенні.

Cos k'a може змінюватися в межах від -1 до +1.

Провели паралельні прямі осі абсцис і знаходимо точки перетину цих прямих з графіком, опускаємо перпендикуляри і знаходимо корені рівняння (3). Ці ділянки позначені жирними лініями. Таким чином допустимі значення Е (к) мають дискретний характер (зонний). Якщо вісь (Ка) перевернути у вертикальне положення, то отримаємо картину розташування енергетичних зон, дозволених і заборонених.

Рис.4

На рис.4 енергетичний спектр електронів в кристалі має зонну структуру.

L - довжина кільця ланцюжка.

Значення хвильових векторів . α - постійна гратки.

Зону, що сталася від валентних рівнів атомів, що утворюють кристал, називають валентної зоною.

Зони, що відбулися від внутрішніх рівнів, завжди повністю заповнені електронами.

Частково заповненої або незаповненою може бути зовнішній валентний рівень (зона провідності).

Рис.5 Рис.6

Найбільш слабко пов'язані 3 S-електрони. При утворенні твердого тіла з окремих атомів відбувається перекриття хвильових функцій цих електронів.

Просторова протяжність електронних хвильових функцій залежить від квантових чисел. Для великих квантових чисел електронні хвильові функції простягаються на великі відстані від ядра, для цих рівнів взаємний вплив атомів буде виявлятися при великих відстанях між атомами. Що добре видно на рис.7, на прикладі рівнів атомів натрію. На рівнях 1 S, 2 S, 2 P практично не позначається вплив сусідніх атомів, тоді як для рівнів 3 S, 3 P і більш високих рівнів цей вплив суттєво і ці рівні перетворюються на енергетичні зони. Для 3 S - електронів є енергетичний мінімум, який би стійку твердотільну конфігурацію атомів натрію при середній межатомной відстані R ~ 3А. В атомі натрію на енергії 3 S - електрона позначається вплив сусідніх атомів, означає також помітне перекриття хвильових функцій цих електронів. Тому вже не можна говорити про те, що конкретний 3 S - електрон пов'язаний з якимось конкретним атомом. Коли присутність інших атомів змінює потенційну яму окремого атома (рис.5, рис.6), результуючий кулонівський потенціал вже не буде утримувати 3 S - електрони близько конкретних атомів, так що вони можуть перебувати в твердому тілі де завгодно в результаті перекриття хвильових функцій 3 S - електронів. Але 3 S - електрони не можуть вільно залишати тверде тіло, так як їх хвильові функції не «виходять» за межі речовини. Енергія зв'язку електронів у твердому тілі дорівнює роботі виходу φ.

Тверде тіло з чотирьох атомів буде мати всього чотири рівні, розподілені по деякому енергетичному інтервалу.

Рис.8

Наприклад: в основному стані атома водню електрон може перебувати в одному з двох станів - зі спіном вгору або вниз. У системі чотирьох протонів є вісім можливих станів. Але якщо додати ще три електрони, щоб отримати чотири атома водню, то зайнятими опиняться чотири стану та на кожен електрон буде доводитися по два стани. Ефект зближення атомів проявляється у зміні енергії окремих станів

де - Енергія ізольованого атома, - Зміни енергії, пов'язані з впливом відповідних протонів 2, 3, 4. R - відстань між атомами.

Ефект зближення атомів проявляється у збільшенні загальної кількості рівнів. У реальному тілі міститься близько ^{23 жовтень} окремих рівнів, які безперервно розподіляються усередині деякого інтервалу, утворюючи зону дозволених значень енергії (рис.9). Така ж ситуація в основному має місце для валентних електронів будь-якого атома.Ріс.9

У твердому натрії зона 3 S - електронів є зовнішньою, наполовину заповненою. Верхня межа заповнених рівнів припадає на середину зони. Електрон може перейти на більш високий вільний рівень у цій зоні за рахунок теплового або електричного збудження. Отже, твердий натрій має гарну електропровідністю і теплопровідністю. На рис.10 зонна структура провідників (натрію). Верхня зона - частково заповнена зона. Нижні зони - заповнені електронами.

Якщо число енергетичних рівнів у зоні більше числа електронів у ній, то електрони легко збуджуються, забезпечуючи тим самим провідність, якщо ж всі рівні в зоні заповнені, то провідність неможлива або утруднена.

Наприклад: у кремнії, германії, вуглеці (алмаз) на P - оболонці є два електрони і виникає змішана конфігурація S і P - орбіталей (орбіталь - хвильова функція, що описує дане квантовий стан), яка робить особливо сприятливою конфігурацію з чотирьох атомів, зображену на рис.11 (енергія кулонівського відштовхування електронів мінімальна).

Рис.11

Хвильові функції S і P - електронів утворюють одну абсолютно порожню гібридну SP - зону і одну заповнену гібридну SP - зону. Заповнена та порожня зони розділені досить значним енергетичним інтервалом або зоною заборонених значень енергії. Для ізоляторів типове значення ширини забороненої зони ~ 5 ев і більше. Ширина забороненої зони для напівпровідників (германію 0,67 ев, кремнію 1,12 ев) знаходиться в межах 0,1 ¸ 3 ев.

Напівпровідники та ізолятори відрізняються один від одного тільки шириною забороненої зони.

Рис.12

§ Теорема Блоха

Теорема Блоха стверджує, що власні функції хвильового рівняння з періодичним потенціалом мають вигляд твори функції плоскої хвилі

На функцію , Яка є періодичною функцією в кристалічній решітці:

Індекс в вказує, що ця функція залежить від хвильового вектора .

Хвильову функцію називають функцією Блоха. Рішення рівняння Шредінгера такого виду складаються з біжучих хвиль, з таких рішень можна скласти хвильовий пакет, який буде представляти електрон, вільно поширюється в періодичному потенціальному полі, створеному іонними кістяками.

Рис.13

Форма хвильового пакету при t = 0 для дебройлевскіх хвиль . Амплітуда вказана штриховою лінією, хвиля - суцільний. Рух монохроматичної плоскої хвилі вздовж осі Х можна описати функцією

(1)

Швидкість поширення хвилі може бути знайдена як швидкість переміщення постійної фази.

(2)

Якщо часом зміниться на величину Δ t, то для того, щоб дотримувалися умова (2), координата повинна змінитися на величину Δх, яка може бути знайдена з рівності

тобто (3)

Звідси швидкість поширення постійної фази, що отримала назву фазової швидкості:

(4)

Фазова швидкість фотонів (m ₀ = ₀₎ дорівнює швидкості світла

(5)

, (6)

Фазова швидкість електрона, що рухається зі швидкістю V, можна написати

(7)

, (7)

тобто вона стає більше швидкості світла, оскільки V <с. Це говорить про те, що фазова швидкість не може відповідати руху частинки або ж перенесення будь-якої енергії.

Реальний процес не може бути чисто монохроматичним (k = const). Він завжди володіє певною шириною, тобто складається з набору хвиль, що володіють близькими хвильовими числами, а разом з тим і частотами.

За допомогою набору хвиль можна побудувати хвильовий пакет, амплітуда якого відмінна від нуля лише в невеликій області простору, яку пов'язують з місцем розташування частинки. Максимум амплітуди хвильового пакета поширяться зі швидкістю, яка отримала назву групової швидкості.

Амплітуда У хвильового пакету

де A - амплітуда постійна кожної з цих хвиль.

У поширюється зі швидкістю

Для фотонів (m ₀ = ₀₎

Для дебройлевскіх хвиль

тобто групова швидкість співпадає зі швидкістю руху частки.

У точках і т.д.

Квадрат амплітуди звертається в нуль.

Область локалізації хвильового пакету

,

де - Ширина хвильового пакету.

де - Час розпливання хвильового пакету.

Співвідношення невизначеностей Гейзенберга. Чим менше , Тим ширше . Для монохроматичної хвилі

,

де амплітуда у всьому просторі має одне і те ж значення, тобто накладення частки (одновимірний випадок) у всьому просторі равновероятно. Це узагальнюється і на тривимірний випадок.

Для нерелятівістского випадку (m = m ₀₎ час розпливання хвильового пакету

якщо m = 1г, , То

час розпливання надзвичайно велике. У випадку електрона m ₀ ~ 10 ^-27 г (Розміри атома),

тобто для опису електрона в атомі ми повинні використовувати хвильове рівняння, тому що хвильовий пакет розпливається практично миттєво.

Хвильове рівняння фотона містить другу похідну за часом, тому що фотон завжди релятивістська частка.

Рух електрона в кристалі

Закон руху, порівнюючи з

де

де m * - ефективна маса, вона враховує спільну дію потенційного поля і зовнішньої сили на електрон в кристалі.

- У зоні провідності,

у валентній зоні

- У валентній зоні, але в зоні германію та кремнію є важкі і легкі дірки. Ефективні маси завжди виражаються в частках істинної маси m ₀ = 9.10 ^-28 г

і

Ефективна маса - тензорна величина, в різних напрямках вона різна, що є наслідком анізотропних властивостей кристалів.

Е _к - рівняння еліпсоїда обертання і описується двома значеннями мас і

Енергетичний спектр електронів і дірок в координатах Е і K

Е (К) - функція квазі-імпульсу. Енергія електрона в ідеальній гратці є періодична функція квазі-імпульсу.

Імпульс електрона

Дірки - квазічастинки з меншою енергією розташовуються у стелі валентної зони і збільшують свою енергію, переміщаючись за шкалою енергії вглиб валентної зони. Для дірок і електронів відлік енергій в протилежних напрямках.

Електрони і дірки, що володіють хвильовим вектором , Можуть стикатися з іншими частками чи полями, як якщо б вони мали імпульс

- Називається квазіімпульс.

На фононах розсіюються рентгенівські промені, нейтрони.

Імпульсу у квантовій механіці відповідає оператор .

тобто плоска хвиля Ψ _до є власною функцією оператора імпульсу , Причому власними значеннями оператора імпульсу служать

Енергія Фермі визначається як енергія електронів на вищому заповненому рівні

де n _F - квантове число найвищого зайнятого енергетичного рівня.

2 n _F = N

де N - число електронів в об'ємі

Енергія - квадратична функція квантового числа n _F.

Хвильові функції, що задовольняють рівняння Шредінгера, для вільної частинки в періодичному полі представляють собою біжать плоскі хвилі:

за умови, що компоненти хвильового вектора приймають значення

аналогічні набори для K _y і K _z. Будь-який компонент вектора має вигляд

, Де

n - ціле позитивне чи негативне число. Компоненти є квантовими числами поряд з квантовими числами

задає напрямок спина.

тобто власні значення енергії станів з хвильовим вектором

В основному стані (1 S) системи з N вільних електронів зайняті стану можна описувати точками всередині сфери в К - просторі. Енергія, відповідна поверхні цієї сфери, є енергією Фермі. Хвильові вектори, «упираються» в поверхню цієї сфери, мають довжини, рівні K _F, а сама поверхня називається поверхнею Фермі (в даному стані вона є сферою). K _F - Радіус цієї сфери

де - Енергія електрона з хвильовим вектором , Що закінчується на поверхні сфери.

Кожній трійці квантових чисел K _x, K _y, K _z відповідає елемент обсягу в К - просторі величиною . тому в сфері обсягом кількість точок, що описують дозволені стану, дорівнює кількості осередків об'ємом , І тому число дозволених станів одно

де множник 2 у лівій частині враховує два допустимих значення спінового квантового числа

( )

для кожного дозволеного значення

Повне число станів дорівнює числу електронів N.

Радіус сфери Фермі K _F залежить лише від концентрації частинок і не залежить від маси m

Енергію Фермі можна визначати як енергію таких квантових станів, ймовірність заповнення яких часткою дорівнює 1 / 2.

якщо Е = Е _F, то

значення її можна розрахувати при Т = 0 за формулою

Але абсолютний нуль температури розуміється як межа

Т ® 0,

маючи на увазі, що абсолютний нуль не досяжний і плюс принцип Паулі.

Звичайно розглядаються системи не тільки при Т = 0, але і при будь-якій температурі, якщо гранична енергій , Це умова виродження, функція розподілу таких частинок близька до «сходинці»

Для таких систем, де можна знехтувати залежністю Е _F від температури і вважати

Існують таблиці параметрів поверхні Фермі для ряду металів, обчислених для моделі вільних електронів для кімнатної температури (Т = 300 ⁰ К).

Концентрація електронів визначається твором валентності металу на число електронів в 1 см ^3.

то отримаємо:

або, якщо ,

Наприклад: Li

Валентність - 1,

* R ₀ - радіус сфери, яка містить один електрон.

L _н - борівський радіус 0,53 × 10 ^-8 см.

* безрозмірний параметр

Хвильовий вектор К _F = 1,11 × 10 ⁸ см ^-1;

Швидкість Фермі V _F = 1,29 × 10 ⁸ см / с;

Енергія Фермі .

Температура Фермі

Т _F не має ніякого відношення до температури електронного газу.

Визначимо - Число станів на одиничний енергетичний інтервал, частини званий щільністю станів при

;

Щільність станів дорівнює:

Варіант 5 № 2. Число електронів з кінетичною енергією від Е _F / 2 до Е _F визначається співвідношенням

За аналогією:

Цей же результат можна отримати з

в більш простій формі:

З точністю порядку одиниці число станів на одиничний енергетичний інтервал поблизу енергії Фермі дорівнює відношенню числа електронів провідності до енергії Фермі.

Висновки

1. Ефективні маси: германій

кремній

тобто у валентній зоні германію та кремнію є важкі і легкі дірки. Валентні зони складаються з трьох підзон.

2. Поверхня Фермі є поверхня постійної енергії в просторі. Поверхня Фермі при абсолютному нулі відокремлює заповнені електронами стану від незаповнених станів. Сфера Фермі. Усі стану з К <До _F є зайнятими.

3. Різноманітність властивостей твердих тіл і є свідчення різноманітності квазічастинок.

4. До останнього часу вважалося, що електрони схожі один на одного. Коли хочуть підкреслити відмінність електронів заліза від електронів міді, то говорять, що вони володіють різними поверхнями Фермі.

На всесвітній виставці в Брюсселі будівлю віддає данину століття фізики. Представляє правильну систему пов'язаних між собою сфер, усередині яких виставкові приміщення. Кожна з яких (сфера) представляє іон заліза, що втратив одні електрон. Це поверхня рівня Фермі.

У кожного металу тільки своя йому притаманна форма поверхні Фермі, вона обмежує область імпульсного простору, зайнятого електронами провідності при абсолютному нулі. Це візитні картки різних металів.

5. Властивості металів визначаються електронами на поверхні Фермі або поблизу неї.

6. Рух хвильового пакету, пов'язаного з хвильовим вектором описується рівнянням

Групова швидкість

§ Енергетичний спектр енергії для вільних електронів у періодичному полі

На малюнку заштриховані області заборонених значень енергії (енергетичні щілини).

Хвильова функція має вигляд:

Енергія не є тепер безперервною функцією квазі-імпульсу , Вона неперервна тільки в зонах дозволених енергій і зазнає розриви на межах зон Брілюена. Енергетичні зони є наслідком періодичної структури кристала і представляють собою фундаментальні характеристики електронної структури твердого тіла. - Межа зони, це вектор оберненої гратки.

Області значень , При яких енергія електронів змінюється безперервно, а на кордонах зазнає розрив, називаються зонами Бріллюена.

Енергетичний спектр електронів і дірок в координатах Е - К. У германії і кремнії зона провідності описується двома значеннями мас.

§ Механізм електропровідності власного напівпровідника

Містить електрони зону з найбільшою енергією, називають валентної зоною. Першу зону з незайнятими енергетичними рівнями називають зоною провідності, оскільки електрони в цій зоні беруть участь у перенесенні заряду. У провідниках валентна зона і зона провідності або збігаються, або перекриваються. В ізоляторах і напівпровідниках ці зони відокремлені один від одного.

Якщо матеріал знаходиться не в змозі основному, а володіє додатковою енергією - тепловим збудженням. Ця енергія відіграє важливу роль у властивостях електропровідності.

Провідник в основному стані, якщо відсутня теплова енергія тобто Т = 0. Залежність ймовірності заповнення електронами енергетичних рівнів при КТ = 0 від енергії e відраховується від дна зони.

для всіх значень енергії, відповідних заповненим рівнями.

Енергія, відрахована від дна зони, при якій величина f (E) стрибком змінюється від 1 до 0, називається енергією Фермі e _F У даному випадку тобто роботі виходу

При наявності теплової енергії деякі електрони збудяться і перейдуть з початкових станів на вільні енергетичні рівні. Для електронів з енергією поблизу e _F такі переходи більш вірогідні, оскільки потрібна менша енергія збудження. Відповідно, і ймовірність заповнення станів зменшується із зростанням їх енергії. Якщо електрони не підкоряються принципу Паулі, то їх розподіл за енергією описується класичним розподілом Максвелла - Больцмана

Розподіл, що враховує принцип Паулі, називається розподілом Фермі - Дірака

Розподіл Фермі - Дірака при різних значеннях КТ показано на малюнку. Тут енергія Фермі має сенс енергії рівня, якому відповідає 50%-ва ймовірність заповнення.

Число вільних рівнів (вакансій) нижче рівня Фермі, і їх розподіл щодо e _F збігається з числом і розподілом заповнених станів вище рівня Фермі. Ці стани відповідають тепловому збудження електронної системи і забезпечують появу кінетичної енергії направленого руху. Зі зростанням температури (збільшення КТ) зменшується нахил кривої f (e) поблизу e _F і збільшується ймовірність заповнення станів з великими енергіями.

З виразів для f (E, K, T) видно, що провідність матеріалів сильно залежить від температури.

У напівпровідниках положення рівня Фермі відповідає формально стелі валентної зони, але це невірно. Нехай зі стелі валентної зони (з енергією e _V) окремий електрон від збудження перейшов на дно (з енергією e _C) порожній зони провідності.

e _V - стеля валентної зони

e _C - дно зони провідності.

На малюнку рівень Фермі знаходиться в середині забороненої зони, враховуючи симетрію розподілу Фермі - Дірака щодо енергії Фермі e _F і очевидну симетрію функції f (E) в проміжку між стелею валентної зони і дном зони провідності.

* Визначимо ймовірність переходу електрона в зону провідності для алмазу, ширина забороненої зони e _g »5,5 ев. при кімнатній температурі КТ = 0,026 еВ. для дна зони провідності

Таким чином, навряд чи навіть один з кожних 10 ^{44 Електронна} у валентній зоні буде мати енергію, достатню для переходу в зону провідності при кімнатній температурі. Оскільки кожен моль речовини містить близько 10 ²⁴ атомів. Отже, алмаз - хороший ізолятор.

Визначимо для ймовірність при КТ = 0,026 еВ. (Кімнатна)

У цьому випадку приблизно один валентний електрон з мільйона може при порушенні перейти на дно зони провідності і в зоні провідності можна знайти електрони.

Їх буде значно менше, ніж у випадку провідника, у якого f (e) у зоні провідності становить порядку одиниці. Проте в зоні провідності напівпровідника все-таки є досить електронів і вони вносять внесок в електропровідність напівпровідника. У напівпровідниках f (e) сильно залежить від температури. Зростання температури на 10 ⁰ До щодо кімнатної (300 ⁰ К) тобто всього на 3% ймовірність переходу електронів в зону провідності збільшується приблизно на 30%. Зі зменшенням ширини забороненої зони чутливість напівпровідників до температури зростає.

Збуджуючись з переходом в зону провідності, електрони залишають після себе у валентній зоні незайняті стану або «дірки». Заповнена спочатку валентна зона стає частково заповненою і, отже, в ній можливі енергетичні збудження електронів, хоча дуже невеликого числа. Дірка поводиться подібно позитивно зарядженої частинки, яка може брати участь в електричній провідності. Реальному руху електронів відповідає більш-менш вільною фіктивне рух дірок в напрямку зовнішнього електричного поля.

Дірки реагують на зовнішню силу (наприклад, на зовнішнє електричне поле) не так, як вільні електрони, тому, щоб врахувати вплив інших атомів на рухливість дірок, їм приписують ефективну масу m *, яка трохи більше ефективної маси електрона.

Щільність струму електронів і дірок

де n - концентрація електронів,

р - концентрація дірок,

m _n - рухливість електронів,

m _p - рухливість дірок.

Під дією зовнішнього електричного поля електрони і дірки набувають швидкості спрямованого руху, дрейфові швидкості

m _n і m _ін - рухливості

Для власних напівпровідників n = p

або

де , S - коефіцієнт

n - сильно залежить від температури в зоні провідності, у той час як рухливості слабо залежать від температури

Якщо концентрація електронів у зоні провідності мала, то ймовірність заповнення кожного рівня мала в порівнянні з одиницею в знаменнику, то нею можна знехтувати.

і отже , Або

Електропровідність власних напівпровідників зростає з температурою, у провідників зменшується.

Якщо прологаріфміровать і побудувати графік залежності ln s від , То отримаємо пряму лінію, кутовий коефіцієнт якої дорівнює

Це дає можливість, вимірюючи електропровідність напівпровідника при різних температурах, визначити дослідним шляхом ширину забороненої зони для даного напівпровідника

Для металів з ​​зростанням температури опір збільшується

R _0-опір при t = ⁰ 0 С

R _t - опір при t ⁰ С

a - термічний коефіцієнт опору, рівний 1 / 273

Для металів

Для напівпровідників опір зі зростанням температури швидко зменшується або де КВ = Е _a, то

де E _a - енергія активації, вона різна для різних інтервалів температур.

Наявність енергії активації E _a означає, що для збільшення провідності до полупроводниковому речовини необхідно підвести енергію. Напівпровідники - це речовини, провідність яких сильно залежить від зовнішніх умов: температури, тиску, зовнішніх полів, опромінення ядерними частинками.

Напівпровідники - це речовини, що мають при кімнатній температурі питому електричну провідність в інтервалі від 10 ^-8 до 10 ⁶ Сім м ^-1, яка залежить сильно від виду та кількості домішки, і структури речовини, і від зовнішніх умов.

* У напівпровіднику з власною провідністю число електронів дорівнює числу дірок, кожен електрон створює єдину дірку.

Кількість порушених власних носіїв експоненціально залежить від , Де Е _g - ширина енергетичної забороненої зони.

Якщо m _C = m _h, то тобто рівень Фермі лежить в середині забороненої зони.

Індекс I (intrinsic - власність)

Не містить рівня Фермі.

Це закон діючих мас, який стверджує, що відстань рівня Фермі від країв обох зон повинно бути велике в порівнянні з КТ = 0,026 еВ. При 300 ⁰ К (кімнатна температура), за умови m _e = m _h = m, твір n _i P _i

для германію 3,6 × 10 ²⁷ см ^-6,

для кремнію 4,6 × 1019 см ^-6.

Енергія активації E _a для власного напівпровідника дорівнює половині ширини забороненої зони

Домішкові напівпровідники

Розташування зарядів в решітці кремнію. Чотири електрона A _s утворюють тетраедричних ковалентні зв'язки, подібні зв'язків Si, а п'ятий електрон A _s здійснює провідність. Миш'як (As) має п'ять валентних електронів, а кремній (Si) - тільки чотири. Атом миш'яку називається донором, він віддає при іонізації електрон в зону провідності.

Добавка домішки до напівпровідника називається легуванням.

E _d = 0,020 еВ., Енергія іонізації

При К _В Т <<E _d (низька концентрація електронів провідності)

де

N _d - концентрація донорів

Якщо в кремній ввести атом бору (В), який має три валентних електрона, він може «укомплектувати» свої тетраедричних зв'язку, лише запозичивши один електрон зі зв'язку Si - Si, утворюючи дірку у валентній зоні кремнію, яка бере участь в провідності. Атом бору називається акцептором саме тому, що при іонізації захоплює електрон з валентної зони.

Домішки, не здатні до іонізації, не впливають на концентрацію носіїв і можуть бути присутніми і у великих кількостях - електричні вимірювання не виявляють їх.

N _a - концентрація акцепторів.

Умовою застосування класичної статистики є нерівність

, Звідки E _F <E _C - KT, тобто напівпровідник є невиродженим (підпорядковується класичної статистики), якщо рівень Фермі лежить нижче зони провідності не менш, ніж на КТ.

Якщо рівень Фермі лежить вище Е _з більш ніж на 5КТ, то напівпровідник повністю вироджений. Умова виродження залежить від температури і положення рівня Фермі відносно дна зони провідності.

Концентрація електронів в невироджених напівпровіднику: F <E _c - KT,

N _c - число станів у зоні провідності

Вироджений напівпровідник

F> E _C +5 KT

вона не залежить від температури.

Рівень Фермі знаходиться в зоні провідності вище її дна не менше ніж на 5 КТ.

В невироджених напівпровіднику концентрація дірок визначається статистикою Больцмана за умови F> E _v + KT тобто рівень Фермі лежить вище стелі валентної зони на величину КТ.

У повністю виродженим напівпровіднику або F <E _v - KT

тобто у валентній зоні нижче її стелі на величину не менш 5КТ. N _v - число станів у валентній зоні.

Невироджених напівпровідник

Вироджений полцпроводнік

У невирожденості:

не залежить від рівня Фермі

У виродженим

де V _F - обсяг зони Брілюена. Для сферичних поверхонь , де радіус сфери Фермі

Функція розподілу електронів:

де g _i - ступінь виродження, якщо E _i = E _d належить донорної домішки, то g _i = 2. Якщо E _i = E _a належить акцепторної домішки, то g _i = 1 / 2

Розподіл електронів по донорним рівнями

по акцепторним

Для дірок:

;

Число електронів:

Число дірок:

N _D = N _a = 0 власний напівпровідник.

Рівняння електронейтральності n = P. Якщо N _v = N _c тобто , Тоді звідки положення рівня Фермі від температури не залежить і лежить посередині забороненої зони. Власний напівпровідник є невиродженим.

Генерація електронів і дірок провідності у власному напівпровіднику:

Перехід кожного електрона з валентної зони породжує в ній дірку.

Якщо N _V ¹ N _C, то

Рівень Фермі при Т = 0, лежить в середині забороненої зони, він лінійно залежить від температури.

Температурна залежність рівня Фермі у власному напівпровіднику. Зі зростанням температури рівень Фермі наближається до тієї зоні, яка має меншу щільність станів і тому заповнюється швидше.

або

На малюнку графік ln n _i від зворотної температури становить пряму лінію:

Залежністю ln 1 / T у порівнянні з лінійним членом можна знехтувати. Кут нахилу прямої визначається шириною забороненої зони: звідки tg s вимірюється за графіком (ln n _i, 1 / T)

Оцінимо власну концентрацію носіїв заряду в германії і кремнії дорівнюють 0,299 і 0,719, і при Т »300 ⁰ К,

і

Концентрація носіїв заряду при Т ® 0 звертається в нуль, і опір власного напівпровідника має рости до безкінечності. Однак, в реальних напівпровідниках завжди залишається домішка, яка забезпечує провідність при будь-яких температурах.

Теплова генерація на малюнку носіїв заряду в напівпровіднику з донорної домішкою.

Низькі температури: електрони провідності визначаються концентрацією домішки, що виникає за рахунок іонізації донорної домішки.

При підвищенні температури рівень Фермі підвищується, проходить при деякій температурі через максимум, потім опускається. При K _d = N _{2 C} він знову перебуває в середині між Е _С і Е _D.

При досить високій температурі N _C>> N _D, то

концентрація електронів не залежить від температури і дорівнює концентрації домішки. (Область виснаження домішки). Носії заряду називають основними, якщо їх концентрація більше концентрації власних носіїв заряду n _i при даній температурі, якщо ж концентрація менше n _i, то їх називають неосновними носіями заряду. В області виснаження домішки концентрація неосновних носіїв заряду повинна різко зростати з температурою

Остання справедливо до тих пір, поки концентрація дірок залишається багато менше концентрації електронів.

P <<n = N _D

Високі температури

Зі зростанням температури число дірок зростає і може стати порівнянною з концентрацією електронів вся домішка іонізована і необхідно враховувати іонізацію речовини.

З рівняння

P = N _D або n = 2 N _D Температура переходу до власної концентрації, тим вище, чим більше і чим більше концентрація домішок.

Акцепторний напівпровідник.

Температурна залежність на малюнку рівня Фермі в напівпровідниках з акцепторної домішкою.

Оцінимо температуру, при якій настає виснаження домішки.

Коли вся домішка іонізована:

Коли вся домішка іонізована і відбувається іонізація основної речовини: n = N _D + P

Чим ширше заборонена зона і чим більше концентрація домішки, тим при більшій температурі відбувається перехід до власної провідності.

Фотопровідність

Ширину забороненої зони можна визначити за допомогою явища внутрішнього фотоефекту. Якщо напівпровідник опромінювати монохроматичним світлом, поступово збільшуючи частоту світлової хвилі n, то, починаючи з деякої частоти, n _0, можна виявити зростання електропровідності (фотопровідність). Ця частота відповідає такої енергії фотона h n _0, при якій електрон в основній зоні, поглинувши фотон, отримує від нього енергію, достатню для переходу в зону провідності. Це має місце, якщо виконується нерівність

Вимірюючи частоту світла, при якій починається зростання електропровідності, можна отримати . Одержують гарні результати.

Ефект Холла в напівпровіднику.

Фізичні явища, що виникають в речовині, що знаходиться в магнітному полі, при проходженні через речовину електричного струму під впливом електричного поля, називають гальваномагнітних ефектами. Іншими словами, гальваномагнітні явища спостерігаються в речовині при спільній дії електричного і магнітного полів. До гальваномагнітних явищ належать:

1. ефект Холла;

2. магніторезистивний ефект, або магнітоопір;

3. ефект Еттінгсгаузена, або поперечний гальванотермомагнітні ефект;

4. ефект Нернота, або поздовжній гальванотермомагнітні ефект.

Ефект Холла називають також гальваномагнітних ефектом. Зазначені вище назви «поперечний» і «поздовжній» гальванотермомагнітні ефекти відображають напрями градієнтів температури відносно струму; по відношенню до магнітного поля вони можуть бути поперечними або поздовжніми.

Гальваномагнітні ефекти можна представити на основі розгляду руху зарядженої частинки в електричному і магнітному полях під дією сили Лоренца:

(1)

У паралельних електричному і магнітному полях частинка рухається по гвинтовій лінії з безперервно зростаючим кроком. Частка що має в одному магнітному полі швидкість V _парал вздовж поля і V _перпен перпендикулярно полю, - обертається по колу радіуса

(2)

з кутовою швидкістю і переміщається уздовж поля зі швидкістю V _парал

Оскільки електричне поле не впливає на V _{перпен,} але змінює V _парал, стає очевидним, що рух відбувається по гвинтовій лінії з перемінним кроком.

У поперечних (або схрещених) полях і частка, яка не має початкової швидкості, рухається по циклоїді: частка обертається окружності радіусу (3)

центр якої рухається рівномірно у напрямку перпендикулярному електричному й магнітному полях зі швидкістю дрейфу

(4)

Якщо частка має початкову швидкість V _0, що лежить в площині, перпендикулярній магнітному полю, то траєкторією частинки є трахоіда (подовжена або укорочена циклоїда).

Якщо швидкість рухомої частинки має складову вздовж магнітного поля, то на цю складову швидкості не впливає ні електричне, ні магнітне поля.

При русі частинки в твердому тілі не6обходімо врахувати зіткнення, які порушують спрямований рух частинок під дією полів. Після кожного зіткнення частка буде рухатися по гвинтовій лінії або трахоіде, яке характеризується новими параметрами.

Для характеристики величини поля необхідно порівняти час релаксації з періодом обертання частинки під дією магнітного поля. Якщо час релаксації значно перевершує період , То за час t частка здійснить кілька оборотів, рухаючись по циклоїді або гвинтової лінії. Це можливо при великих магнітних полях. Якщо частка не робить навіть одного обороту за час t, то магнітні поля вважаються малими. Таким чином, в сильних полях

(5)

в слабких полях

(6)

Поняття «сильні» поля або «слабкі» залежить не тільки від величини індукції магнітного поля В, але і від рухливості носіїв заряду. Умови (5) і (6) можна пов'язати з радіусом окружності r, по якому рухається частинка, і довжиною вільного пробігу l:

(7)

Отже, в будь-яких магнітних полях r>> 1 - траєкторія частки викривлюється незначно, в сильних магнітних полях траєкторія змінюється дуже сильно.

Для розуміння одних явищ досить врахувати тільки швидкість дрейфового руху

в той час як для розуміння інших ефектів важливо мати на увазі розкид швидкостей електронів. Все це враховується кінетичним рівнянням, тому воно дозволяє отримати значно більш точний опис кінетичних ефектів

1. Ефект Холла.

На малюнку показано виникнення поля Холла в електронному й діркового напівпровідниках.

Напівпровідник має вигляд паралелепіпеда перетином а × с, по якому тече струм. Електричне поле направлене вздовж осі Х:

магнітне поле вздовж осі Y:

При включенні електричного поля виникає електричний струм

(8)

Носії отримують швидкість спрямованого руху V _d - дрейфову швидкість - по полю для дірок і проти поля для електронів.

При включенні магнітного поля на електрони і дірки діє сила

(9)

перпендикулярна і

(10)

тому

(11)

тобто сила Лоренца не залежить від знаку носіїв заряду, а визначається тільки напрямком полів і , Або і . На малюнку вона спрямована вгору

Носії заряду - електрони і дірки - відхиляються в одну і ту ж сторону, якщо їх швидкість визначається електричним полем.

У результаті дії полів і і зіткнень електрони і дірки будуть рухатися по траєкторіях у вигляді прямої лінії, усереднюючий відрізки циклоїд, під кутом j до поля . Іншими словами вектор буде повернутий на кут j щодо вектора , Причому напрямок повороту залежить від знаку носіїв заряду, у силу того, що електрони і дірки відхиляються в одну і ту ж сторону (на малюнку,, а, б).

Таким чином має протікати в необмеженій речовині.

Якщо ж напівпровідник має кінцеві в напрямку осі Z розміри, то в результаті того, що компонент j _z ¹ 0, відбудеться накопичення носіїв на верхній (на малюнку) стороні зразка, виникне їх дефіцит на нижній. Протилежні сторони зразка заряджаються, і виникає поперечне по відношенню до електричне поле. Це поле має назву поля Холла, а явище виникнення поперечного поля під дією магнітного поля називають ефектом Холла. Напрямок поля Холла залежить від знаку носіїв заряду, у даному випадку спрямоване вгору в n - зразку і вниз в р - зразку. До накладення на зразок магнітного поля еквіпотенціальні поверхні представляли собою площині, перпендикулярні осі Х, тобто вектору величина Е ^н буде рости до тих пір, поки поперечне поле не компенсуватиме силу Лоренца. Після цього носії заряду будуть рухатися як би тільки під дією одного поля , І траєкторія носіїв заряду буде представляти собою знову пряму лінію вздовж осі Х, тим самим вектор буде спрямований по полю . але сумарне електричне поле буде повернено на деякий кут j щодо осі Х або (Мал. в, 2).

Таким чином, в необмеженій напівпровіднику повертається вектор струму, а в обмеженому - вектор електричного поля і в кожному випадку між і (Або ) Виникає кут j, званий кутом Холла. Еквіпотенціальні поверхні в обмеженому зразку повернені на кут j щодо їх первісного стану, тому в точках, що лежать в одній площині, перпендикулярної з'являється різниця потенціалів.

де Е ^н - напруженість поля Холла, а з - розмір зразка в напрямку, перпендикулярному і : V ^н носить назву Халловей різниці потенціалів.

Хол експериментально знайшов, що Е ^н визначається щільністю струму і індукцією магнітного поля , А також властивостями зразка.

Властивості зразка визначаються деякою величиною R, званої коефіцієнтом Холла. Чотири величини: і R пов'язані емпіричним співвідношенням

(12)

Легко знайти R, якщо врахувати, що Халловей поле повинно компенсувати силу Лоренца:

(13)

Звідси випливає:

(14)

З іншого боку, згідно (12)

(15)

Порівнюючи (14) і (15), отримуємо

n - концентрація носіїв заряду (електронів чи дірок).

Коефіцієнт Холла обернено пропорційний концентрації носіїв заряду і його знак збігається зі знаком носіїв заряду.

Визначивши R, можна знайти знак носіїв заряду або тип провідності. Знак ж R визначається за знаком , Або V ^н, якщо відповідним чином визначити знак V ^н. Кут Холла j можна визначити:

При заданих і полі Холла визначається тільки рухливістю носіїв заряду.

Оцінимо R. Нехай n = 10 ¹⁶ см ^-3, тоді

Опір у магнітному полі зростає, оскільки Халловей полі компенсує дію магнітного поля лише в середньому, як якщо б всі носії заряду рухалися з однією і тією ж швидкістю. Однак швидкості електронів (і дірок) різна, тому на частинки, які рухаються зі швидкостями, великими середньої швидкості, сильніше діє магнітне поле, ніж Холловей. Навпаки, більш повільні частинки відхиляються під дією превалюючого Халловей поля. У результаті розкиду часток за швидкостями зменшується внесок у провідність швидких і повільних носіїв заряду, що призводить до збільшення опору, але в значно меншому ступені, ніж у необмежених напівпровідниках.