ЗМІСТ
ВСТУП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ОСНОВНА ЧАСТИНА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 1. Введення в топологію. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
§ 2. Теорема Жордана про замкнутої кривої. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
§ 3. Проблема чотирьох фарб. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
§ 4. Фрактали. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Самоподібні геометричні об'єкти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Що таке розмірність? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Як виміряти розмірність? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20
«Фрактальна геометрія природи». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ВИСНОВОК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Список використаної літератури. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Доповнення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Додаток 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25
ВСТУП
В умовах розвитку нових технологій різко зріс попит на людей, що володіють нестандартним мисленням, вміють ставити і вирішувати нові завдання. Тому так важливо, щоб у кожній школі проводилася позакласна робота з учнями найбільш талановитими. А топологія як тема для факультативного курсу або курсу за вибором - це найбільш успішна тема для розвитку нестандартного мислення у свідомості учнів.
У даній роботі представлені матеріали по темі «наочна топологія», призначені для організації курсу за вибором у класах з поглибленим вивчення математики. Вивчення топології сприяє розвитку просторової уяви школярів, вироблення абстрактного мислення.
При написанні даної роботи використовувалися наступні методи: аналізувалися підручники, наукові журнали, науково-популярна література, збірники нормативних документів, проводився пошук і відбір матеріалів, присвячених даній темі, проводилася їх методична обробка. Особливістю даної роботи є розгляд питань, що рідко зустрічаються в шкільній практиці.
Основний зміст роботи викладено у трьох параграфах.
У першому параграфі розповідається про топологію як науці: визначається, що є предметом топології, дається «визначення» топології, робиться невеликий екскурс в історію топології.
Другий параграф присвячений жорданова кривої. Формулюється основне твердження, проводиться доказ.
У третьому параграфі йде обговорення проблеми чотирьох фарб. Повідомляється, що існує доказ, що шести фарб достатньо для правильної розмальовки будь-якої карти на площині чи сфері. Наводиться приклад того, що необхідно як мінімум чотири фарби, щоб розфарбувати карту на площині чи сфері і поки не знайдено карти, для правильної розмальовки якої не вистачало б чотирьох фарб. Повідомляється, що поки фактичного докази того, що будь-яку карту можна правильно розфарбувати чотирма фарбами. Але існує доказ твердження про сім фарбах тора. Пропонується дозволити цікаву головоломку.
У четвертому параграфі йдеться про фрактали. А саме відбувається знайомство з самоподібними геометричними об'єктами, дається кілька варіантів визначення розмірності, розповідається, як виміряти розмірність, знайомство з «фрактальної геометрією природи».
У додатку - наводиться рішення головоломки запропонованої в § 3.
При написанні роботи були використані книги, статті науково-популярних журналів, збірник нормативних документів [1] - [8].
§ 1. Введення в топологію.
У середині ХIX століття виникло зовсім нова течія в геометрії, якому було призначено слідом за тим стати однією з головних рушійних сил сучасної математики. Предметом нової галузі, званої топологією (або analysis situs), є вивчення властивостей геометричних фігур, що зберігаються навіть тоді, коли ці фігури піддаються таким перетворенням, які знищують всі їх і метричні і проективні властивості.
Топології дивно важко дати визначення. Її опис значно складніше тих формулювань, які припускають визнані довідники та енциклопедії для арифметики («Наука про позитивні дійсних числах» - Webster's New Collegiate Dictionary або «Мистецтво маніпулювати з числовими величинами та їх відношеннями» - Encyclopaedia Britannica) або геометрії («Вивчення [математичних ] властивостей простору »- Encyclopaedia Britannica). [Марк Барр взагалі визначає математику як щось «призначене тримати факти в стані заціпеніння, в той час як ми безпристрасно вивчаємо співвідношення між ними», що особливо застосовно до алгебри.]
Стартувавши як розділ геометрії, топологія швидко проникла і в багато інші області математики. Здається майже правильним твердження, що топологія представляє собою особливий стан розуму і переслідує свої власні цілі.
Одним з великих геометрів цієї епохи був А. Ф. Мебіус (1790-1868), людина, не надто досяг успіху через свою скромність у науковій кар'єрі: він займав посаду астронома в одній з другорозрядних німецьких обсерваторій. У віці шістдесяти восьми років він представив Паризькій академії мемуар про «односторонніх» поверхнях, що містить деякі з найбільш дивних фактів у новій галузі геометрії. Подібно багатьом іншим важливим науковим роботам, його рукопис кілька років кілька років валялася на полицях Академії, поки обставини не склалися так, що її опублікував сам автор. Незалежно від Мебіуса геттінгінскій астроном І. Лістинг (1808-1882) зробив подібні ж відкриття і, під впливом Гаусса, в 1847 р . Видав невелику книгу «Vorstudien zur Topologie». Коли Бернгард Ріман (1826-1866) прибув в Геттінген, щоб стати там студентом, математична атмосфера цього університету цього міста вже була насичена гострим цікавістю по відношенню до нових і старих геометричним ідеям. Скоро він усвідомив, що саме в них потрібно шукати розгадку найглибших властивостей аналітичних функцій комплексного змінного. Пізніша розвиток топології, ймовірно, навряд чи зобов'язане чого-небудь в такому ступені, як чудовому будинку римановой теорії функцій, в якій топологічні концепції мають саме фундаментальне значення.
У певному сенсі слова топології - це наука, що вивчає безперервність: виходячи з безперервності простору або форм, вона переходить до узагальнень, які потім за аналогією призводять до нового розуміння безперервності, а «звичайне» простір, як ми собі його уявляємо, залишається далеко позаду. Справжні топологи уникають будь-яких картинок, відчуваючи до них певну недовіру. Це викликано тим, що неможливо (і безглуздо!) Зобразити займають їх «простору». Однак нам буде легше підійти до розуміння їх цілей, до топологічної точки зору на певні форми (або «простору»), якщо ми почнемо з того, що можна побачити і помацати.
Тополог цікавиться тими властивостями «предметів» (трактованих нами поки в геометричному сенсі), які найбільш стійкі, тобто які витримують деформації стиснення і розтягування.
На перших порах своєрідності методів, якими доводилося діяти в новій області, перешкодило того, щоб отримані тут результати були викладені у традиційній дедуктивної формі, типової для елементарної геометрії.
Хоча топологію можна з повною певністю назвати продуктом двох останніх століть, необхідно все-таки відзначити, що ще й раніше було зроблено кілька відкриттів, які, як випливає з сучасної систематики математичних знань, мають найближчим ставлення топології. З них найбільшим, безсумнівно, є встановлення формули, що зв'язує числа вершин, ребер, граней простого багатогранника: вона була помічена вже Декартом у 1640р., Пізніше перевідкрито і використана Ейлером в 1752 році. Характерні риси топологічного зроблені у цій формулі стали очевидними набагато пізніше - після того як Пуанкаре у «формулі Ейлера» та її узагальненнях угледів одну з центральних теорем топології.
Так як при перших кроках в невідомій області ідеал бездоганною строгості зовсім не обов'язковий і навіть мало важливий, то ми іноді без коливань апелювати безпосередньо до інтуїції учнів.
§ 2. Теорема Жордана про замкнутої кривої.
На площині намальована проста замкнута крива (ніде сама себе не перетинає). Подивимося, яке властивість цієї фігури зберігається незмінним навіть у тому випадку, якщо площина буде піддаватися яким завгодно деформацій, як ніби вона була зроблена з тонкого шару гуми. Довжина кривої або площа обмеженою нею частини площині при деформаціях не зберігається. Але у розглянутої конфігурації є і топологічний властивість, настільки просте, що може здатися тривіальним. Проста замкнута крива С на площині ділить площину рівно на дві області, внутрішню і зовнішню. Точніше кажучи, ми стверджуємо наступне: точки площини розбиваються на два класи - А (зовнішні точки) і В (внутрішні точки) - таким чином, що будь-яка пара точок, що належать одному і тому ж класу, може бути пов'язана кривої, що не має спільних точок з С, тоді як будь-яка крива, що сполучає дві які-небудь точки різних класів, неодмінно перетинається з С. Це твердження цілком очевидно, наприклад, для випадку кола або еліпса, але вже трохи менш очевидно для такої складної кривої, як химерної форми багатокутник, зображений на рис. 1.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Вперше ця теорема була сформульована Каміллом Жорданом (1838 - 1922) в його широко відомому «Cours d'analyse», з якого ціле покоління математиків почерпнуло сучасну концепцію математичної строгості. Як це не дивно, доказ, дане самим Жорданом, не було ні коротким, ні простим за своєю ідеєю, але особливо дивно те, що, як виявилося, воно і не було цілком вичерпним, і знадобилися значні зусилля, щоб заповнити його прогалини. Перші суворі докази теореми Жордана були дуже складними і важко сприймаються навіть для людей з гарною математичної підготовкою. Порівняно прості докази були придумані лише недавно. Одне з утруднень полягає у великій спільності поняття «простий замкнутої» кривої, значно ширшого, ніж поняття багатокутника або «гладкою» кривої: за визначенням «проста замкнута» крива є будь-яка пряма, топологічно еквівалентна окружності. З іншого боку, необхідно таким термінам, як «всередині» або «поза» (настільки ясними інтуїтивно), дати логічні визначення, перш ніж суворе доказ стане можливим. Проаналізувати в їх повній спільності, що у цьому разі відносини і поняття є теоретична завдання першорядного значення, вирішення якої у великій мірі служить сучасна топологія. Але, з іншого боку, слід мати на увазі і, та обставина, що, займаючись вивченням конкретних явищ у галузі геометрії, у величезній більшості випадків малоуместно вводити поняття, необмежена спільність яких створює зайві труднощі. Так, повертаючись до теореми Жордана, істотно те, що для випадку «добре провідних себе» кривих - наприклад, для багатокутників або для кривих з безперервно мінливою дотичній (які тільки й зустрічаються в найбільш важливих завданнях) - доказ цієї теореми може бути проведено зовсім просто . Для випадку багатокутників зробити це набагато складніше, наведемо це доказ трохи нижче.
Пам'ятаємо, що стверджується: жорданова крива розбиває однозв'язна поверхню (наприклад, площина чи сферу) на дві області, які не мають спільних точок, загальна межа яких збігається з даною лінією. Жорданова криву, який розбиває поверхню на дві частини, можна намалювати і на тор; треба тільки, щоб вона не оточувала дірку і не проходила через неї, як це має місце у випадку двох кривих на рис. 2. Однак на площині або на сфері всяка жорданова крива розбиває поверхню на дві частини, а на торі це вірно не для всякої жорданова кривої.
Наведемо доказ теореми Жордана для випадку багатокутника. Отже, теорема Жордана стверджує, що всяка проста замкнута кріваяС поділяє точки площини, які не належать кривої С, на такі дві області (що не мають спільних точок), по відношенню до яких сама крива С є спільним кордоном. Доведемо тут цю теорему для окремого випадку, коли С є замкнутий багатокутник Р.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Покажемо, що точки площини (крім точок, що знаходяться на самому багатокутної контурі Р) розбиваються на два класи А і В, що володіють наступними властивостями: 1) дві точки одного й того ж класу можуть бути з'єднані ламаною лінією, яка не має спільних точок з Р; 2) якщо дві точки належать різним класам, то будь-яка ламана лінія, їх з'єднує, має спільні точки з Р. Один з названих класів утворює «нутро» багатокутника, інший - складається з точок, що знаходяться «поза» багатокутника.
Приступаючи до доказу, виберемо якийсь фіксований напрямок в нашій площині, не паралельне жодної зі сторін Р. Так як р має кінцеве число сторін, то це завжди можливо. Потім визначимо класи А і В таким чином.
Точка р належить класу А, якщо промінь, проведений через неї у фіксованому напрямку, перетинає P у парному числі точок (0,2, 4,6 і т. д.). Точка р належить класу В, якщо промінь, проведений з р у фіксованому напрямку, перетинає P у непарному числі точок (1,3,5 і т.д.).
До цього потрібно додати, що якщо розглянутий промінь проходить через яку-небудь вершину Р, то ця вершина йде в рахунок як точка перетину променя з Р або не йде, залежно від того, чи розташовані прилеглі сторони багатокутника Р по різні сторони променя або за одну і тугіше його бік.
Домовимося говорити, що дві точки р і q мають одну й ту ж «парність», якщо вони належать одному і тому ж із двох класів А і В.
Зауважимо насамперед, що всі точки будь-якого відрізка прямої, не пересічного з Р, мають одну і ту ж парність. Дійсно, парність точки р, що рухається на такому відтинку, може змінитися не інакше, як при перетині відповідного променя з однією з вершин Р; але, беручи до уваги нашу угоду про рахунок точок перетину, легко переконатися, що в кожному з двох можливих випадків парність все ж таки не змінюється. Зі сказаного випливає, що якщо деяка точка Р1 області А з'єднана ламаною лінією з деякою точкою р2 області В, то ця лінія неодмінно перетинає Р. Інакше парність усіх точок ламаної лінії, зокрема точок р1 і р2, була б однаковою. Далі, покажемо, що дві Точик одного і того ж з двох класів А і В можуть бути з'єднані ламаною лінією, не пересічної з Р. Позначимо дві дані точки через р і q. Якщо прямолінійний відрізок РQ, що з'єднує р і q, не перетинається з Р, то доводити більше нічого. В іншому випадку хай р'-перша, а q'-остання точка перетину відрізка РQ з багатокутником Р (рис. 4). Побудуємо ламану лінію, що починається сот точки р прямолінійним відрізком, розташованим у напрямку РQ, але заканчівающюся безпосередньо перед точкою р ': звідси ламана піде уздовж Р (байдуже, в якому з двох можливих напрямів) та буде так іти, поки не прийде знову на пряму РQ близько точки q '. Все питання в тому, чи відбудеться перетинання з прямою РQ на відрізку р'q 'або на відрізку q' q: ми зараз переконаємося, що справедливо саме останнє, і тоді будемо мати можливість закінчити ламану, з'єднуючи останню отриманих точок з точкою q прямолінійним відрізком, знову лежачим на відрізку РQ. Якщо дві точки r і s розташовані дуже близько одна від одної, але по різні сторони однієї зі сторін многокутника P, то вони мають різну парність, так як виходять з них (у фіксованому напрямку) промінь будуть такі, що на одному з них буде на одну точку більше точок перетину з Р, ніж на іншому. Звідси ясно, що парність змінюється, коли рухаючись по РQ, ми проходимо через точку q '. Значить, ламаний «шлях», намічений на кресленні пунктиром, повернеться на РQ між q 'і q, так як р і q (отже, всі крапки на розглянутому «шляху») мають одну і ту ж саму парність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT ВСТУП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ОСНОВНА ЧАСТИНА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 1. Введення в топологію. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
§ 2. Теорема Жордана про замкнутої кривої. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
§ 3. Проблема чотирьох фарб. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
§ 4. Фрактали. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Самоподібні геометричні об'єкти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Що таке розмірність? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Як виміряти розмірність? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20
«Фрактальна геометрія природи». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ВИСНОВОК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Список використаної літератури. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Доповнення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Додаток 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25
ВСТУП
В умовах розвитку нових технологій різко зріс попит на людей, що володіють нестандартним мисленням, вміють ставити і вирішувати нові завдання. Тому так важливо, щоб у кожній школі проводилася позакласна робота з учнями найбільш талановитими. А топологія як тема для факультативного курсу або курсу за вибором - це найбільш успішна тема для розвитку нестандартного мислення у свідомості учнів.
У даній роботі представлені матеріали по темі «наочна топологія», призначені для організації курсу за вибором у класах з поглибленим вивчення математики. Вивчення топології сприяє розвитку просторової уяви школярів, вироблення абстрактного мислення.
При написанні даної роботи використовувалися наступні методи: аналізувалися підручники, наукові журнали, науково-популярна література, збірники нормативних документів, проводився пошук і відбір матеріалів, присвячених даній темі, проводилася їх методична обробка. Особливістю даної роботи є розгляд питань, що рідко зустрічаються в шкільній практиці.
Основний зміст роботи викладено у трьох параграфах.
У першому параграфі розповідається про топологію як науці: визначається, що є предметом топології, дається «визначення» топології, робиться невеликий екскурс в історію топології.
Другий параграф присвячений жорданова кривої. Формулюється основне твердження, проводиться доказ.
У третьому параграфі йде обговорення проблеми чотирьох фарб. Повідомляється, що існує доказ, що шести фарб достатньо для правильної розмальовки будь-якої карти на площині чи сфері. Наводиться приклад того, що необхідно як мінімум чотири фарби, щоб розфарбувати карту на площині чи сфері і поки не знайдено карти, для правильної розмальовки якої не вистачало б чотирьох фарб. Повідомляється, що поки фактичного докази того, що будь-яку карту можна правильно розфарбувати чотирма фарбами. Але існує доказ твердження про сім фарбах тора. Пропонується дозволити цікаву головоломку.
У четвертому параграфі йдеться про фрактали. А саме відбувається знайомство з самоподібними геометричними об'єктами, дається кілька варіантів визначення розмірності, розповідається, як виміряти розмірність, знайомство з «фрактальної геометрією природи».
У додатку - наводиться рішення головоломки запропонованої в § 3.
При написанні роботи були використані книги, статті науково-популярних журналів, збірник нормативних документів [1] - [8].
§ 1. Введення в топологію.
У середині ХIX століття виникло зовсім нова течія в геометрії, якому було призначено слідом за тим стати однією з головних рушійних сил сучасної математики. Предметом нової галузі, званої топологією (або analysis situs), є вивчення властивостей геометричних фігур, що зберігаються навіть тоді, коли ці фігури піддаються таким перетворенням, які знищують всі їх і метричні і проективні властивості.
Топології дивно важко дати визначення. Її опис значно складніше тих формулювань, які припускають визнані довідники та енциклопедії для арифметики («Наука про позитивні дійсних числах» - Webster's New Collegiate Dictionary або «Мистецтво маніпулювати з числовими величинами та їх відношеннями» - Encyclopaedia Britannica) або геометрії («Вивчення [математичних ] властивостей простору »- Encyclopaedia Britannica). [Марк Барр взагалі визначає математику як щось «призначене тримати факти в стані заціпеніння, в той час як ми безпристрасно вивчаємо співвідношення між ними», що особливо застосовно до алгебри.]
Стартувавши як розділ геометрії, топологія швидко проникла і в багато інші області математики. Здається майже правильним твердження, що топологія представляє собою особливий стан розуму і переслідує свої власні цілі.
Одним з великих геометрів цієї епохи був А. Ф. Мебіус (1790-1868), людина, не надто досяг успіху через свою скромність у науковій кар'єрі: він займав посаду астронома в одній з другорозрядних німецьких обсерваторій. У віці шістдесяти восьми років він представив Паризькій академії мемуар про «односторонніх» поверхнях, що містить деякі з найбільш дивних фактів у новій галузі геометрії. Подібно багатьом іншим важливим науковим роботам, його рукопис кілька років кілька років валялася на полицях Академії, поки обставини не склалися так, що її опублікував сам автор. Незалежно від Мебіуса геттінгінскій астроном І. Лістинг (1808-1882) зробив подібні ж відкриття і, під впливом Гаусса, в
У певному сенсі слова топології - це наука, що вивчає безперервність: виходячи з безперервності простору або форм, вона переходить до узагальнень, які потім за аналогією призводять до нового розуміння безперервності, а «звичайне» простір, як ми собі його уявляємо, залишається далеко позаду. Справжні топологи уникають будь-яких картинок, відчуваючи до них певну недовіру. Це викликано тим, що неможливо (і безглуздо!) Зобразити займають їх «простору». Однак нам буде легше підійти до розуміння їх цілей, до топологічної точки зору на певні форми (або «простору»), якщо ми почнемо з того, що можна побачити і помацати.
Тополог цікавиться тими властивостями «предметів» (трактованих нами поки в геометричному сенсі), які найбільш стійкі, тобто які витримують деформації стиснення і розтягування.
На перших порах своєрідності методів, якими доводилося діяти в новій області, перешкодило того, щоб отримані тут результати були викладені у традиційній дедуктивної формі, типової для елементарної геометрії.
Хоча топологію можна з повною певністю назвати продуктом двох останніх століть, необхідно все-таки відзначити, що ще й раніше було зроблено кілька відкриттів, які, як випливає з сучасної систематики математичних знань, мають найближчим ставлення топології. З них найбільшим, безсумнівно, є встановлення формули, що зв'язує числа вершин, ребер, граней простого багатогранника: вона була помічена вже Декартом у 1640р., Пізніше перевідкрито і використана Ейлером в 1752 році. Характерні риси топологічного зроблені у цій формулі стали очевидними набагато пізніше - після того як Пуанкаре у «формулі Ейлера» та її узагальненнях угледів одну з центральних теорем топології.
Так як при перших кроках в невідомій області ідеал бездоганною строгості зовсім не обов'язковий і навіть мало важливий, то ми іноді без коливань апелювати безпосередньо до інтуїції учнів.
§ 2. Теорема Жордана про замкнутої кривої.
На площині намальована проста замкнута крива (ніде сама себе не перетинає). Подивимося, яке властивість цієї фігури зберігається незмінним навіть у тому випадку, якщо площина буде піддаватися яким завгодно деформацій, як ніби вона була зроблена з тонкого шару гуми. Довжина кривої або площа обмеженою нею частини площині при деформаціях не зберігається. Але у розглянутої конфігурації є і топологічний властивість, настільки просте, що може здатися тривіальним. Проста замкнута крива С на площині ділить площину рівно на дві області, внутрішню і зовнішню. Точніше кажучи, ми стверджуємо наступне: точки площини розбиваються на два класи - А (зовнішні точки) і В (внутрішні точки) - таким чином, що будь-яка пара точок, що належать одному і тому ж класу, може бути пов'язана кривої, що не має спільних точок з С, тоді як будь-яка крива, що сполучає дві які-небудь точки різних класів, неодмінно перетинається з С. Це твердження цілком очевидно, наприклад, для випадку кола або еліпса, але вже трохи менш очевидно для такої складної кривої, як химерної форми багатокутник, зображений на рис. 1.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1 |
Вперше ця теорема була сформульована Каміллом Жорданом (1838 - 1922) в його широко відомому «Cours d'analyse», з якого ціле покоління математиків почерпнуло сучасну концепцію математичної строгості. Як це не дивно, доказ, дане самим Жорданом, не було ні коротким, ні простим за своєю ідеєю, але особливо дивно те, що, як виявилося, воно і не було цілком вичерпним, і знадобилися значні зусилля, щоб заповнити його прогалини. Перші суворі докази теореми Жордана були дуже складними і важко сприймаються навіть для людей з гарною математичної підготовкою. Порівняно прості докази були придумані лише недавно. Одне з утруднень полягає у великій спільності поняття «простий замкнутої» кривої, значно ширшого, ніж поняття багатокутника або «гладкою» кривої: за визначенням «проста замкнута» крива є будь-яка пряма, топологічно еквівалентна окружності. З іншого боку, необхідно таким термінам, як «всередині» або «поза» (настільки ясними інтуїтивно), дати логічні визначення, перш ніж суворе доказ стане можливим. Проаналізувати в їх повній спільності, що у цьому разі відносини і поняття є теоретична завдання першорядного значення, вирішення якої у великій мірі служить сучасна топологія. Але, з іншого боку, слід мати на увазі і, та обставина, що, займаючись вивченням конкретних явищ у галузі геометрії, у величезній більшості випадків малоуместно вводити поняття, необмежена спільність яких створює зайві труднощі. Так, повертаючись до теореми Жордана, істотно те, що для випадку «добре провідних себе» кривих - наприклад, для багатокутників або для кривих з безперервно мінливою дотичній (які тільки й зустрічаються в найбільш важливих завданнях) - доказ цієї теореми може бути проведено зовсім просто . Для випадку багатокутників зробити це набагато складніше, наведемо це доказ трохи нижче.
Пам'ятаємо, що стверджується: жорданова крива розбиває однозв'язна поверхню (наприклад, площина чи сферу) на дві області, які не мають спільних точок, загальна межа яких збігається з даною лінією. Жорданова криву, який розбиває поверхню на дві частини, можна намалювати і на тор; треба тільки, щоб вона не оточувала дірку і не проходила через неї, як це має місце у випадку двох кривих на рис. 2. Однак на площині або на сфері всяка жорданова крива розбиває поверхню на дві частини, а на торі це вірно не для всякої жорданова кривої.
Наведемо доказ теореми Жордана для випадку багатокутника. Отже, теорема Жордана стверджує, що всяка проста замкнута кріваяС поділяє точки площини, які не належать кривої С, на такі дві області (що не мають спільних точок), по відношенню до яких сама крива С є спільним кордоном. Доведемо тут цю теорему для окремого випадку, коли С є замкнутий багатокутник Р.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 2 |
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 3. Рахунок перетинань |
р |
р |
р |
Покажемо, що точки площини (крім точок, що знаходяться на самому багатокутної контурі Р) розбиваються на два класи А і В, що володіють наступними властивостями: 1) дві точки одного й того ж класу можуть бути з'єднані ламаною лінією, яка не має спільних точок з Р; 2) якщо дві точки належать різним класам, то будь-яка ламана лінія, їх з'єднує, має спільні точки з Р. Один з названих класів утворює «нутро» багатокутника, інший - складається з точок, що знаходяться «поза» багатокутника.
Приступаючи до доказу, виберемо якийсь фіксований напрямок в нашій площині, не паралельне жодної зі сторін Р. Так як р має кінцеве число сторін, то це завжди можливо. Потім визначимо класи А і В таким чином.
Точка р належить класу А, якщо промінь, проведений через неї у фіксованому напрямку, перетинає P у парному числі точок (0,2, 4,6 і т. д.). Точка р належить класу В, якщо промінь, проведений з р у фіксованому напрямку, перетинає P у непарному числі точок (1,3,5 і т.д.).
До цього потрібно додати, що якщо розглянутий промінь проходить через яку-небудь вершину Р, то ця вершина йде в рахунок як точка перетину променя з Р або не йде, залежно від того, чи розташовані прилеглі сторони багатокутника Р по різні сторони променя або за одну і тугіше його бік.
Домовимося говорити, що дві точки р і q мають одну й ту ж «парність», якщо вони належать одному і тому ж із двох класів А і В.
Зауважимо насамперед, що всі точки будь-якого відрізка прямої, не пересічного з Р, мають одну і ту ж парність. Дійсно, парність точки р, що рухається на такому відтинку, може змінитися не інакше, як при перетині відповідного променя з однією з вершин Р; але, беручи до уваги нашу угоду про рахунок точок перетину, легко переконатися, що в кожному з двох можливих випадків парність все ж таки не змінюється. Зі сказаного випливає, що якщо деяка точка Р1 області А з'єднана ламаною лінією з деякою точкою р2 області В, то ця лінія неодмінно перетинає Р. Інакше парність усіх точок ламаної лінії, зокрема точок р1 і р2, була б однаковою. Далі, покажемо, що дві Точик одного і того ж з двох класів А і В можуть бути з'єднані ламаною лінією, не пересічної з Р. Позначимо дві дані точки через р і q. Якщо прямолінійний відрізок РQ, що з'єднує р і q, не перетинається з Р, то доводити більше нічого. В іншому випадку хай р'-перша, а q'-остання точка перетину відрізка РQ з багатокутником Р (рис. 4). Побудуємо ламану лінію, що починається сот точки р прямолінійним відрізком, розташованим у напрямку РQ, але заканчівающюся безпосередньо перед точкою р ': звідси ламана піде уздовж Р (байдуже, в якому з двох можливих напрямів) та буде так іти, поки не прийде знову на пряму РQ близько точки q '. Все питання в тому, чи відбудеться перетинання з прямою РQ на відрізку р'q 'або на відрізку q' q: ми зараз переконаємося, що справедливо саме останнє, і тоді будемо мати можливість закінчити ламану, з'єднуючи останню отриманих точок з точкою q прямолінійним відрізком, знову лежачим на відрізку РQ. Якщо дві точки r і s розташовані дуже близько одна від одної, але по різні сторони однієї зі сторін многокутника P, то вони мають різну парність, так як виходять з них (у фіксованому напрямку) промінь будуть такі, що на одному з них буде на одну точку більше точок перетину з Р, ніж на іншому. Звідси ясно, що парність змінюється, коли рухаючись по РQ, ми проходимо через точку q '. Значить, ламаний «шлях», намічений на кресленні пунктиром, повернеться на РQ між q 'і q, так як р і q (отже, всі крапки на розглянутому «шляху») мають одну і ту ж саму парність.
Рис. 4. До доведенню теореми Жордана |
р |
р |
р " |
q ' |
q |
Таким чином, теорема Жордана для випадку багатокутника доведена. «Зовнішніми» по відношенню до багатокутнику Р будуть ті точки, які належать класу А: дійсно, рухаючись по якому-небудь променю у фіксованому напрямку досить далеко, ми безсумнівно, прийдемо до точки, за якою перетинів з Р вже не буде, і всі такі точки будуть належати класу А, так що їх парність буде 0. Тоді вже доведеться укласти, що точками «внутрішніми» будуть точки класу В. Яким би заплутаним не був замкнутий багатокутник Р, завжди дуже легко дізнатися, розташована дана точка р всередині або поза ним: достатньо з р провести промінь і порахувати кількість його точок перетину з Р. Якщо це число непарне, значить, р «сидить» всередині і не зможе вибратися назовні, не перетинаючи Р. Але якщо це число парне, то точка р - поза багатокутника Р.
§ 3. Проблема чотирьох фарб.
Серед ранніх і глибоких досягнень топології є ряд теорем, які спочатку були сформульовані як проблеми і лише потім доведені. Деякі з них, начебто вже згадуваної теореми про жорданова кривої, бути може, тому так знамениті, що їх наочна очевидність настільки явно контрастує з труднощами докази.
Існує і ще одна теорема, навіть більш знаменита, чим вище названа, бо пройшло більше ста років, як вона сформульована, а докази до цих пір немає. У
Розфарбовуючи географічну карту, звичайно намагаються розподілити кольору, таким чином, між країнами, щоб дві країни, які мають спільний кордон, були пофарбовані по-різному. Було виявлено на досвіді, що будь-яка карта, скільки б не було зображено на ній країн і як би вони не були розташовані, може бути розфарбована із дотриманням зазначеного правила не більше ніж чотирма фарбами. Легко переконатися, що менше число достатнім для всіх випадків не є. На рис. 5 зображено острів посеред моря, який ніяк не можна розфарбувати менш ніж чотирма фарбами, тому що на ньому є чотири країни, з яких кожна стикається з іншими трьома.
Зрозуміло, що на карті можуть існувати точки, в яких сходиться будь-яке число областей (або країн), що ще зовсім не означає, що кожну з них необхідно зафарбувати своєю фарбою. Шахівницю можна, як завжди розфарбувати тільки двома фарбами, хоча на ній є точки, де сходяться чотири клітини. Щоб дві країни було необхідно зафарбувати в різні кольори, треба щоб у них був хот б невеликий загальний ділянку кордону. Нам не потрібно також всі моря фарбувати блакитною фарбою або всі британські володіння - рожевої; ми зобов'язані лише фарбувати у різні кольори прилеглі країни. Нікому не вдалося побудувати карти, для якої треба було б більше чотирьох фарб, нікому не вдалося також довести, що такої карти побудувати не можна, хоча величезна кількість вчених умів намагалися це зробити. Було доведено, що п'ять областей не можна розташувати таким чином, щоб кожна з них стосувалася всіх інших (доказ, якщо проводити його абсолютно строго, виявляється хитріший, ніж можна було б запропонувати.) Однак звідси ще зовсім не випливає справедливість загальної теореми про чотири фарбах, хоча існування подібних п'яти областей, звичайно, спростувало б цю теорему.
Той факт, що до теперішнього часу не було жодного разу знайдено такої карти, для розфарбовування якої знадобилося б більше чотирьох фарб, призводить до думки про справедливість такої теореми: При будь-якому даному розбитті площини на області, не покривають один одного ні повністю, ні частково, завжди можливо позначити їх цифрами 1, 2, 3, 4 таким чином, щоб «прилеглі» області були б позначені різними цифрами. Під «прилеглими» областями розуміються такі, які мають цілий відрізок кордону загальним: дві області, що мають лише одну спільну точку (або навіть кінцеве число спільних точок), як наприклад штати Колорадо й Аризона, не будуть називатися «прилеглими», тому що ніякого змішання або незручності не виникає, якщо їх розфарбувати однаково.
Можна почати креслити карту і розфарбовувати її в міру побудови, але не виключено, що ми зайдемо в глухий кут і нам доведеться повернутися назад і розфарбовувати карту по-новому. У всіх експериментах нам вдається виплутатися з будь-якого положення, але до цих пір не доведено, що це дійсно можливо завжди.
Є підстави вважати, що вперше проблема чотирьох фарб була поставлена Мебіусом в 1840р.; Пізніше її формулювали де Морган у 1850р. і Келі в 1878г. «Доказ» її було опубліковано в 1879р. Кемпе, але Хівуд в 1890р. знайшов помилку в міркуванні Кемпе. Переглядаючи доказ Кемпе, Хівуд виявив, що п'яти фарб завжди достатньо. Незважаючи на зусилля багатьох видатних математиків, становище аж до нашого часу залишається по суті незмінним. Було доведено, що п'яти фарб достатньо для всіх карт, і є припущення, що достатньо також чотирьох. Але, як і у випадку знаменитої теореми Ферма, ні докази цього припущення, ні суперечить йому приклад наведено не було, і воно залишається однією з «великих» невирішених математичних проблем. Зауважимо, між іншим, що проблема чотирьох фарб була вирішена в позитивному сенсі для окремих випадків, коли число областей не перевищує тридцяти восьми. Звідси ясно, що якщо в загальному випадку теорема невірна, то спростовує приклад повинен бути не особливо простим.
Найприкріше, що доведена теорема, яка здається набагато більш важкою: на торі або на будь-який інший двозв'язній поверхні існують карти, для розфарбовування яких потрібно 7 фарб, і семи барв вистачає для розфарбовування будь-якої карти. У разі якщо читачеві подобається спантеличувати інших, нехай він завдасть рис. 6 на паперовий тор (бублики малопридатні для картографії) і після невеликої попередньої балаканини його розфарбувати. Як можна помітити, на малюнку сім областей, кожна з яких стосується всіх інших (не забудьте про склейка, зазначених стрілками).
Слід пояснити, що області на протилежних сторонах, які стикаються між собою вздовж ділянки склеювання, повинні бути пофарбовані в різні кольори. Навіть у випадку стрічки Мебіуса вдалося довести, що потрібно не більш ніж 6 фарб і що є карти, для яких потрібно рівно 6 фарб. Якщо розбити смужку, як показано на рис. 7, а потім перекрутити її і склеїти, то ми побачимо, що при цьому вийде 6 областей, кожна з яких буде стосуватися всіх інших. Оскільки в аркуша Мебіуса одна сторона, ми вважаємо, що він прозорий: кожна дільниця має один і той же колір, незалежно від того, з якого напряму ми на нього дивимось.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
B |
А |
A ' |
B ' |
Рис.6. |
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 7. |
До проблеми чотирьох фарб підступалися з різних сторін, з яких мабуть, найбільш обіцяє є формула Ейлера для багатогранників, оскільки будь-яку карту можна топологічно перетворити в деякий багатогранник, а формула, як ми бачили раніше, застосовні до будь-якої фігури, що складається з граней ( країн на карті), ребер (меж) і вершин (точок дотику кордонів). Незважаючи на виснажливі дослідження, основна проблема не вирішена до цих пір, хоча в якості її «відходів» отримано ряд цікавих теорем. У певному сенсі цю проблему можна було б назвати проблемою трьох фарб, бо якщо б нам вдалося побудувати карту, для зовнішнього «пояси» якої треба було б більше трьох фарб, то ми могли б потім оточити її ще однією областю, для чого нам знадобилася б п'яту фарба.
Це означає не те, що для всієї такої карти, за винятком лише навколишнього карту області, використовують тільки 3 фарби, а те, що у всіх випадках ми повинні бути в змозі так перефарбувати карту, щоб для областей зовнішнього «пояси» знадобилося лише 3 фарби . У разі карти, зображеної на рис.8, ми починаємо розфарбовувати спочатку внутрішні області: 1, 2 і 3, а потім, як на показано, що оточують їх області; при цьому ми починаємо з тих же фарб 1, 2 і 3, але вже для х потрібно четверта фарба, а для у - п'ята. Щоб цього уникнути, ми повинні відмовитися від четвертої фарби для області х, зафарбувавши цим кольором одну з внутрішніх областей, що дозволить нам у разі «пояси» х обійтися трьома фарбами. Якщо ми знайдемо вдалий метод видалення четверте фарб для всіх послідовно виникають «зовнішніх поясів», то зможемо вирішити цю частину проблеми.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 8 |
Будь-який карті можна надати більш однакову форму, перетворивши її в те, що називається правильною картою - такий, у якої в кожній точці стикається не більше трьох областей. Це не вплине на розфарбовування, оскільки при переході до первісної карті виявиться лише, що несоприкасающихся області стикаються в точці (але не по частині кордону!). Звичайний спосіб полягає в тому, щоб замінити крапку р, в якій стикається більше трьох областей, нової областю А (рис.9). Тепер у нас виникло 4 точки a, b, c, d, в кожній з яких стикаються тільки 3 області (країни). Якщо ми правильно розфарбуємо цю другу карту, а потім видалимо А, то в результаті залишиться все ще правильно розфарбована карта, з тим застереженням, що ми, можливо, використовуємо 3 фарби там, де опиниться достатньо і двох. Ми принесли простоту в жертву однаковості - річ, часом корисна в математиці.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
А |
Рис. 9. |
Відзначимо те чудове обставина, що для деяких поверхонь більш складного типу, ніж площину або сфера, відповідні, відповідні теореми дійсно були доведені, так що, як це не парадоксально, аналіз більш складних (в геометричному відношенні) поверхонь в даному випадку проводиться легше, ніж більш простих. Як було сказано вище, для випадку поверхні тора, що має вигляд «бублика», що всяка намальована на ній карта може бути розфарбована сім'ю фарбами і що, з іншого боку, на ній мислимі такі карти, що складаються з семи областей, що кожна область стикається з іншими шістьма.
Головоломка. Вам потрібно розфарбувати карту (рис. 10). Площа кожної області дорівнює 8м 2, за винятком верхньої, у якої площа становить 16м 2. У вас є такі фарби: ЧЕРВОНА, якої вистачає рівно, на 24м 2; ЖОВТА, якої вистачає на 24м 2; ЗЕЛЕНА, якої вистачає на 16м 2, і СИНЯ, якої вистачає на 8м 2. Результат повинен задовольнити звичайному вимогу: дотичні області не можна зафарбовувати в однаковий колір. Остерігайтеся єдинорогів.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 10. |
§ 4. Фрактали.
Об'єкти, які ми тепер називаємо фракталами, вперше з'явилися в уяві математиків початку минулого століття. І тоді навряд чи могло спасти на думку, що в оточуючій нас природі зустрінеться що-небудь схоже на ці незвичайні і вишукані криві. І хоча в цьому параграфі мова піде в основному про фізичних системах, почати доведеться з маленького і дуже несуворого математичного введення.
4.1. Самоподібні геометричні об'єкти.
Самоподібної геометричною фігурою (тілом) будемо називати фігуру, яку можна розрізати на кінцеве число однакових фігур, подібних їй самій. Приклади - на малюнку 11: відрізок, рівносторонній трикутник, квадрат, куб.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
2 |
4 |
4 |
8 |
Рис. 11 |
Дещо складніше виглядає самоподібних об'єкт на рис. 12. Але будується він досить просто. Починаючи з рівностороннього трикутника зі стороною l 0, будемо повторювати (до нескінченності) наступний процес: кожні відрізок, що з'єднує вершини ламаної, розділимо на три частини і середню частину замінимо двома відрізками довжиною l / 3, де l - довжина вихідного відрізка. Перші кілька стадій побудови такої кривої показані на рис. 12. На n-й стадії побудови крива являє собою ламану з N = 3N = 3.4 n відрізків довжиною l / 3 n кожен, повна її довжина L = 3l про (4 / 3) n. Цю ламану називають тріадіческой кривої Коха (по імені шведського математика, що придумав цей об'єкт).
Кожен вихідний відрізок тріадіческой кривої Коха складається з чотирьох подібних йому відрізків з утричі меншим відстанню між кінцями.
Самоподібними є й об'єкти, показані на малюнку 13, - так звані трикутна крива Серпінського - «килим Серпінського» (по імені польського математика В. Серпінського (1882 - 1969)). Спосіб їх побудови ясний з малюнка: перша виходить при багаторазовому з'єднанні середин сторін відповідних рівносторонніх трикутників, друга - при нескінченному повторенні процедури викидання середини з розділеного на 9 частин квадрата.
Рис. 13
Повернемося до кривої Коха. Спробуємо, наприклад, визначити її довжину з допомогою циркуля. Встановивши розчин циркуля рівним λ, будемо переставляти циркуль по кривій, вважаючи число його перестановок n. Довжина кривої при цьому наближено дорівнюватиме L ≈ λn. Величину λ будемо називати масштабом виміру.
Вимірюючи, скажімо, довжину окружності з радіусом R = 1 м, ми отримаємо, що вимірювана довжина L = λn при λ = 1м дорівнює 3,0 м, при λ = 0,1 м L = 6,2 мм, при λ = 0,01 м L = 6,28 м, і при λ ® 0 довжина L прагне до межі 2πR = 6,28318 ... м.
Спробувавши виконати аналогічну процедуру з кривою Коха, ми переконаємося у відсутності тієї межі, який можна було б вважати довжиною цієї кривої. Вибираючи масштаб λ = l 0 / 3 n, ми отримаємо, що вимірювана довжина кривої буде дорівнює довжині ламаної, відповідної n-й стадії її побудови - L = 3l 0 (4 / 3) n.
Спроби виміряти довжини інших самоподібних кривих призвели б до аналогічного результату - із зменшенням масштабу виміру довжина кривої необмежено зростає.
Відзначимо один дуже важливий чинник, який відрізняє реальний самоподібних об'єкт від ідеального математичного: у реальних об'єктів існує мінімальний масштаб виміру λ min.
Розглянемо, наприклад, реальний процес побудови кривої Коха за допомогою олівця і паперу. Нехай ми будуємо криву з початковою довжиною сторони l 0 = 1м олівцем, залишає лінію товщиною а 0 = 0,1 мм = 10 -
Тепер повернемося до ідеальним математичних об'єктів. Формулу довжини кривої Коха можна записати в такому вигляді: L = Аλ - a, де А = 3l 0 ln4/ln3, a = (ln4/ln3) -1. (Учні, знаючи правила поводження з логарифмами, зможуть самі переконатися, що цей запис еквівалентна формулою L = 3l 0 (4 / 3) n.) Фігурує у формулі показник a пов'язаний з розмірністю кривої.
4.2. Що таке розмірність?
Існує кілька визначень розмірності, відповідних абсолютно різним поняттям. Спробуємо скласти уявлення про деякі з них.
Перше визначення пов'язане з мінімальним числом координат, необхідних для однозначного визначення положення точки. У нашому просторі це число дорівнює трьом, на площині достатньо двох координат, на лінії - всього однієї. У цьому сенсі простір тривимірно, площину двовимірна, лінія одномірною. Природно, у такому визначенні розмірність завжди є цілим числом.
Друге визначення пов'язане з наступним обставиною. Щоб розрізати пряму на дві частини, досить виключити одну точку. Безліч, що складається з кінцевого (лічильного) числа точок, будемо вважати нульмерним. Розмірність будь-якої безлічі будемо вважати на одиницю більшої, ніж розмірність розрізу, яка розділяє його на дві зв'язні частини. При такому визначенні розмірності лінія одномерна, площину (для розрізання якої необхідно провести розріз за деякою лінії) двовимірна, об'ємно геометричне тіло тривимірно. Ця розмірність - її називають топологічної - також може бути тільки цілою.
Перейдемо тепер до третьому, самому цікавому для нас визначення розмірності, точніше - до визначення цілого класу близьких за змістом понять розмірності. Просте з них - розмірність самоподібності D можна визначити формулою D = (ln N) / (ln n), де N - кількість однакових частин, на які розбивається даний самоподібних об'єкт, що мають у n разів менший просторовий розріз. Подивіться на ріс11. Провівши, як показано на малюнку, розрізи, ми розділимо квадрат на N = 4 квадрати зі стороною, меншою вихідної в n = 2 рази. Кубик зі стороною 1 складається з N = 8 кубиків зі стороною ½ (n = 2). Так що розмірність самоподібності для квадрата дорівнює ln4/ln2 = 2, для кубика - ln8/ln2 = 3; очевидно, що розмірність відрізка дорівнює 1.
Обчислюючи таким же чином розмірність об'єктів, показаних на малюнках 12 і 13, ми побачимо, що розмірність кожної ділянки кривої Коха (і розмірність всій кривій) дорівнює D = ln4/ln3 = 1,2618, трикутної кривої Серпінського - ln3/ln2 = 1, 5849, «килима Серпінського» - ln8/ln3 = 1,8727. Ці дивні криві мають неціле розмірність.
А тепер повернемося до формули довжини кривої Коха. Скориставшись щойно наведеним визначенням розмірності D, ми можемо переписати цю формулу у вигляді L = 3l 0 D λ 1 - D.
Зростання виміряної довжини самоподібної кривої при зменшенні масштабу виміру є показником її нецілої розмірності: D = 1 + a.
4.3. Як виміряти розмірність?
Розмірність самоподібності можна визначити тільки для дуже регулярних, побудованих за строго певними правилами, об'єктів. Якщо відхилення від регулярності невеликі, об'єкт можна вважати приблизно самоподібним. А якщо великі?
Скористаємося визначенням розмірності, яким часто користуються при експериментальному вимірі розмірності різних фізичних систем.
Простір, в якому розташований цікавий для нас об'єкт, розбивають на клітини розміром λ (наприклад, наносять на площину фотографії об'єкта квадратну сітку зі стороною λ). Підраховують кількість клітин, в які потрапили точи об'єкта. Розбиття повторюють, використовуючи менший масштаб λ ¢ <λ і т.д. (Рис. 14). Залежність числа клітин, в які потрапили точки об'єкта, від розміру клітини при цьому дається законом N = Aλ - D, де D і є шукана розмірність. Розглядаючи плоску область площі S (трикутник на рис. 4), неважко переконатися, що N ≈ S / λ 2, так що D = 2. Для відрізка N = BL / λ, де L - довжина відрізка, а B - коеффіцінт, що залежить від його орієнтації. Розмірність відрізка D = 1. Якщо виконати ту ж процедуру і з об'єктами, показаними на малюнках 12 і 13, вийдуть значення D, що збігаються з їх розмірністю самоподібності. Для визначення розмірності реальних об'єктів малюють графік залежності lnN від - lnλ. Цей графік зображається прямою лінією, тангенс кута нахилу якої дає нам значення D.
Рис. 14.
4.4. «Фрактальна геометрія природи».
У 1961 році вийшла робота англійського дослідника Л. Річардсона (1881 - 1953), присвячена вимірюванню довжин берегових ліній. Автором було встановлено, що вимірювана довжина узбережжя зростає із зменшенням масштабу виміру по законуL = Аλ - a (закон Річардсона), де показник a складає, наприклад, для західного узбережжя Британії 0, 24, а для узбережжя Австралії - 1,13. І хоча цей закон дуже нагадував формули довжин самоподібних кривих, робота Річардсона існувала сама по собі. Малося і певна кількість інших фізичних прикладів, «виходять» на самоподібні об'єкти. Але все було розрізнено ...
Істотно зміна відбулася з появою книги французького математика Бенуа Мандельброта (працюючого в США), що вийшла в 1975 році на французькому і в 1977 році англійською мовою. Книга зібрала воєдино безліч цих математичних та фізичних прикладів, зробивши їх надбанням наукового вжитку. Але головною заслугою Мандельброта було те, що він придумав, як все це називається.
Багато хто, ймовірно, пам'ятають, що основним внеском Атоса у розвиток подій, описаних у романі Дюма «Двадцять років потому», був винахід назви операції - «Сімейна справа». Цей внесок вважався рівноцінним шпазі д'Артаньяна та грошам Партос. Придумати гарну назву - велика заслуга.
Для об'єктів дробової розмірності, точніше - для об'єктів, фрактальна розмірність яких більше їх топологічної розмірності, Мандельброт придумав назву «фрактал». Слово це походить від латинського fraktus - дробовий, порізаний. Один досить дотепний чоловік перевів цю назву на російську мову словом «дробняк».
Перша книга Мандельброта називалася «Фрактали: форма, випадок, розмірність». Друга, що вийшла в 1982 рік, називалася вже так: «Фрактальна геометрія Природи». Це назва як не можна краще відображає реальну ситуацію.
Фрактальними властивостями володіють багато географічні об'єкти - океанські і морські узбережжя, річки, гори та гірські ущелини. Кордони держав, якщо тільки вони слідують природним орієнтирів, а не проведені лінійкою на карті і лише потім визначені на місцевості (як, наприклад, межа між Єгиптом і Суданом), - теж фрактали. Довжина кордону між Португалією та Іспанією (наведена у португальському довіднику) і довжина кордону між Іспанією і Португалією (наведена в іспанських офіційних відомостях) відрізняється на 20%, оскільки при їх вимірі використані різні масштаби. Це ще раз підтверджує, що поняття довжини для фрактальних кривих є не надто осмисленим.
Таким чином, історія вивчення фрактальних систем досить повчальна. З'явившись на початку як гра розуму чистих математиків, ці об'єкти мало цікавили натуралістів. Одночасно з цим існувало деяке кількість малоприємних фактів (типу незмірності довжини берегової лінії), не дуже важливих, щоб привернути загальну увагу, і не дуже цікавих, щоб дослідити їх заради них самих. Число таких фактів зростає, але вони як і раніше залишаються малоцікавими і розрізненими. Але етап питань пройшли багато теорій, перш, ніж придбати стрункість і завершеність. Так що у фракталов все попереду.
ВИСНОВОК
Позакласна робота є однією з найважливіших форм навчання в класах звичайних, а також з углубл6енним і підвищеним вивченням математики. Тому перед методистами-математиками в даний час стоять завдання допомогти вчителям наповнити її новим змістом і підвищити її ефективність. А так як в даний час відбувається реформа освіти (запровадження профільного навчання, і в зв'язку з цим зміни програми), то цю роботу потрібно проводити якомога швидше.
У даній роботі були запропоновані матеріали для проведення факультатив або курсу за вибором за темою «наочна топологія». Учитель має широкі можливості при розгляді даної теми.
Питання, що розглядаються в даній роботі, не повністю охоплюють зміст теорії топології. Але все ж, запропоновані розробки мають ряд особливостей: вони цікаві, цікаві і здатні захопити учнів. Рекомендуємо вчителям гімназій, ліцеїв, шкіл в класах з поглибленим і підвищеним вивченням математики використовувати їх при організації позакласної роботи.
Список використаної літератури
1. Барр Ст. Розсипи головоломок / Переклад: Ю. М. Сударева. - М.: Світ, 1978. - 415с.
2. Гарднер М. Математичні головоломки й розваги / Переклад: Ю. А. Данилова. - М.: Світ, 1971. - 511с.
3. Зборнік нарматиўних дакументаў / / заснавальнік: Міністерства адукациі Республікі Білорусь; пад Ред. Б. В. Іваноў, М. І. Ліс, Н. М. Лінькова І інш. - Мінск: Нациянальни інститут адукациі, 2004. - № 21 (560) - С. 3 - 23.
4. Лізінскій В.М. Робота з обдарованою молоддю / / Науково-практичний журнал «Завуч» для адміністрації шкіл. - 2004. - № 7. - С. 83 - 87.
5. Соколов І.М. Фрактали / / Квант. -1989, - № 5 - С. 6 - 11.
6. Трігг Ч. Завдання з родзинкою / Переклад: Ю. М. Сударева. - М.: Світ, 1975. - 304с.
7. Яглом І. М. Чотирьох фарб достатньо / / Природа. - 1977, № 4.
8. Белага Е.Г. Міні-геометрії, М., «Знання», 1977;
Додаток 1.
Рішення головоломки.
Змішавши 1 / 3 червоної фарби з усією синьою, отримаємо досить фіолетовою фарби, щоб пофарбувати 16м 2. На рис. 11 показана схема розмальовки.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
4.2. Що таке розмірність?
Існує кілька визначень розмірності, відповідних абсолютно різним поняттям. Спробуємо скласти уявлення про деякі з них.
Перше визначення пов'язане з мінімальним числом координат, необхідних для однозначного визначення положення точки. У нашому просторі це число дорівнює трьом, на площині достатньо двох координат, на лінії - всього однієї. У цьому сенсі простір тривимірно, площину двовимірна, лінія одномірною. Природно, у такому визначенні розмірність завжди є цілим числом.
Друге визначення пов'язане з наступним обставиною. Щоб розрізати пряму на дві частини, досить виключити одну точку. Безліч, що складається з кінцевого (лічильного) числа точок, будемо вважати нульмерним. Розмірність будь-якої безлічі будемо вважати на одиницю більшої, ніж розмірність розрізу, яка розділяє його на дві зв'язні частини. При такому визначенні розмірності лінія одномерна, площину (для розрізання якої необхідно провести розріз за деякою лінії) двовимірна, об'ємно геометричне тіло тривимірно. Ця розмірність - її називають топологічної - також може бути тільки цілою.
Перейдемо тепер до третьому, самому цікавому для нас визначення розмірності, точніше - до визначення цілого класу близьких за змістом понять розмірності. Просте з них - розмірність самоподібності D можна визначити формулою D = (ln N) / (ln n), де N - кількість однакових частин, на які розбивається даний самоподібних об'єкт, що мають у n разів менший просторовий розріз. Подивіться на ріс11. Провівши, як показано на малюнку, розрізи, ми розділимо квадрат на N = 4 квадрати зі стороною, меншою вихідної в n = 2 рази. Кубик зі стороною 1 складається з N = 8 кубиків зі стороною ½ (n = 2). Так що розмірність самоподібності для квадрата дорівнює ln4/ln2 = 2, для кубика - ln8/ln2 = 3; очевидно, що розмірність відрізка дорівнює 1.
Обчислюючи таким же чином розмірність об'єктів, показаних на малюнках 12 і 13, ми побачимо, що розмірність кожної ділянки кривої Коха (і розмірність всій кривій) дорівнює D = ln4/ln3 = 1,2618, трикутної кривої Серпінського - ln3/ln2 = 1, 5849, «килима Серпінського» - ln8/ln3 = 1,8727. Ці дивні криві мають неціле розмірність.
А тепер повернемося до формули довжини кривої Коха. Скориставшись щойно наведеним визначенням розмірності D, ми можемо переписати цю формулу у вигляді L = 3l 0 D λ 1 - D.
Зростання виміряної довжини самоподібної кривої при зменшенні масштабу виміру є показником її нецілої розмірності: D = 1 + a.
4.3. Як виміряти розмірність?
Розмірність самоподібності можна визначити тільки для дуже регулярних, побудованих за строго певними правилами, об'єктів. Якщо відхилення від регулярності невеликі, об'єкт можна вважати приблизно самоподібним. А якщо великі?
Скористаємося визначенням розмірності, яким часто користуються при експериментальному вимірі розмірності різних фізичних систем.
Простір, в якому розташований цікавий для нас об'єкт, розбивають на клітини розміром λ (наприклад, наносять на площину фотографії об'єкта квадратну сітку зі стороною λ). Підраховують кількість клітин, в які потрапили точи об'єкта. Розбиття повторюють, використовуючи менший масштаб λ ¢ <λ і т.д. (Рис. 14). Залежність числа клітин, в які потрапили точки об'єкта, від розміру клітини при цьому дається законом N = Aλ - D, де D і є шукана розмірність. Розглядаючи плоску область площі S (трикутник на рис. 4), неважко переконатися, що N ≈ S / λ 2, так що D = 2. Для відрізка N = BL / λ, де L - довжина відрізка, а B - коеффіцінт, що залежить від його орієнтації. Розмірність відрізка D = 1. Якщо виконати ту ж процедуру і з об'єктами, показаними на малюнках 12 і 13, вийдуть значення D, що збігаються з їх розмірністю самоподібності. Для визначення розмірності реальних об'єктів малюють графік залежності lnN від - lnλ. Цей графік зображається прямою лінією, тангенс кута нахилу якої дає нам значення D.
4.4. «Фрактальна геометрія природи».
У 1961 році вийшла робота англійського дослідника Л. Річардсона (1881 - 1953), присвячена вимірюванню довжин берегових ліній. Автором було встановлено, що вимірювана довжина узбережжя зростає із зменшенням масштабу виміру по законуL = Аλ - a (закон Річардсона), де показник a складає, наприклад, для західного узбережжя Британії 0, 24, а для узбережжя Австралії - 1,13. І хоча цей закон дуже нагадував формули довжин самоподібних кривих, робота Річардсона існувала сама по собі. Малося і певна кількість інших фізичних прикладів, «виходять» на самоподібні об'єкти. Але все було розрізнено ...
Істотно зміна відбулася з появою книги французького математика Бенуа Мандельброта (працюючого в США), що вийшла в 1975 році на французькому і в 1977 році англійською мовою. Книга зібрала воєдино безліч цих математичних та фізичних прикладів, зробивши їх надбанням наукового вжитку. Але головною заслугою Мандельброта було те, що він придумав, як все це називається.
Багато хто, ймовірно, пам'ятають, що основним внеском Атоса у розвиток подій, описаних у романі Дюма «Двадцять років потому», був винахід назви операції - «Сімейна справа». Цей внесок вважався рівноцінним шпазі д'Артаньяна та грошам Партос. Придумати гарну назву - велика заслуга.
Для об'єктів дробової розмірності, точніше - для об'єктів, фрактальна розмірність яких більше їх топологічної розмірності, Мандельброт придумав назву «фрактал». Слово це походить від латинського fraktus - дробовий, порізаний. Один досить дотепний чоловік перевів цю назву на російську мову словом «дробняк».
Перша книга Мандельброта називалася «Фрактали: форма, випадок, розмірність». Друга, що вийшла в 1982 рік, називалася вже так: «Фрактальна геометрія Природи». Це назва як не можна краще відображає реальну ситуацію.
Фрактальними властивостями володіють багато географічні об'єкти - океанські і морські узбережжя, річки, гори та гірські ущелини. Кордони держав, якщо тільки вони слідують природним орієнтирів, а не проведені лінійкою на карті і лише потім визначені на місцевості (як, наприклад, межа між Єгиптом і Суданом), - теж фрактали. Довжина кордону між Португалією та Іспанією (наведена у португальському довіднику) і довжина кордону між Іспанією і Португалією (наведена в іспанських офіційних відомостях) відрізняється на 20%, оскільки при їх вимірі використані різні масштаби. Це ще раз підтверджує, що поняття довжини для фрактальних кривих є не надто осмисленим.
Таким чином, історія вивчення фрактальних систем досить повчальна. З'явившись на початку як гра розуму чистих математиків, ці об'єкти мало цікавили натуралістів. Одночасно з цим існувало деяке кількість малоприємних фактів (типу незмірності довжини берегової лінії), не дуже важливих, щоб привернути загальну увагу, і не дуже цікавих, щоб дослідити їх заради них самих. Число таких фактів зростає, але вони як і раніше залишаються малоцікавими і розрізненими. Але етап питань пройшли багато теорій, перш, ніж придбати стрункість і завершеність. Так що у фракталов все попереду.
ВИСНОВОК
Позакласна робота є однією з найважливіших форм навчання в класах звичайних, а також з углубл6енним і підвищеним вивченням математики. Тому перед методистами-математиками в даний час стоять завдання допомогти вчителям наповнити її новим змістом і підвищити її ефективність. А так як в даний час відбувається реформа освіти (запровадження профільного навчання, і в зв'язку з цим зміни програми), то цю роботу потрібно проводити якомога швидше.
У даній роботі були запропоновані матеріали для проведення факультатив або курсу за вибором за темою «наочна топологія». Учитель має широкі можливості при розгляді даної теми.
Питання, що розглядаються в даній роботі, не повністю охоплюють зміст теорії топології. Але все ж, запропоновані розробки мають ряд особливостей: вони цікаві, цікаві і здатні захопити учнів. Рекомендуємо вчителям гімназій, ліцеїв, шкіл в класах з поглибленим і підвищеним вивченням математики використовувати їх при організації позакласної роботи.
Список використаної літератури
1. Барр Ст. Розсипи головоломок / Переклад: Ю. М. Сударева. - М.: Світ, 1978. - 415с.
2. Гарднер М. Математичні головоломки й розваги / Переклад: Ю. А. Данилова. - М.: Світ, 1971. - 511с.
3. Зборнік нарматиўних дакументаў / / заснавальнік: Міністерства адукациі Республікі Білорусь; пад Ред. Б. В. Іваноў, М. І. Ліс, Н. М. Лінькова І інш. - Мінск: Нациянальни інститут адукациі, 2004. - № 21 (560) - С. 3 - 23.
4. Лізінскій В.М. Робота з обдарованою молоддю / / Науково-практичний журнал «Завуч» для адміністрації шкіл. - 2004. - № 7. - С. 83 - 87.
5. Соколов І.М. Фрактали / / Квант. -1989, - № 5 - С. 6 - 11.
6. Трігг Ч. Завдання з родзинкою / Переклад: Ю. М. Сударева. - М.: Світ, 1975. - 304с.
7. Яглом І. М. Чотирьох фарб достатньо / / Природа. - 1977, № 4.
8. Белага Е.Г. Міні-геометрії, М., «Знання», 1977;
Додаток 1.
Рішення головоломки.
Змішавши 1 / 3 червоної фарби з усією синьою, отримаємо досить фіолетовою фарби, щоб пофарбувати 16м 2. На рис. 11 показана схема розмальовки.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Жовта |
Жовта |
Зелена |
Фіолетова |
Фіолетова |
До р а з н а я |
З е л е н а я |
До р а з н а я |
Рис. 11. |