РЕФЕРАТ
Дослідження спектрів немодульований і модульованих коливань і сигналів
Поняття сигнал у загальному випадку означає умовний знак для передачі на відстань будь-яких відомостей і повідомлень. У радіоелектроніки під сигналом розуміється змінюється фізична величина, однозначно відображає повідомлення. Сигнал, що несе інформацію про фізичну величиною, станів досліджуваного об'єкта або процесу, називається інформаційним. Таким чином, під сигналом розуміється поширюється в просторі носій з інформацією, що міститься в значеннях його фізичних параметрів.
Якщо використовувати в якості базисних функцій 1, cos (n W t), sin (n W t), де n = 1, 2, 3, ..., то одержимо ряд Фур'є. Ряд Фур'є використовується для аналізу спектрів періодичних сигналів, якщо сигнал представлений на обмеженому часовому відрізку від 0 до Т, або сигнал є періодичним з періодом Т. При цьому функція S (t) має відповідати умовам Діріхле.
Вихідна математична форма ряду Фур'є:
,
де - Частоту основної (першої) гармоніки, а коефіцієнти
і
рівні:
Т. о. складний сигнал на відрізку часу Т містить постійну складову і суму нескінченного числа гармонік з частотами, кратними частоті основної гармоніки.
Враховуючи, що , Де
, А
, Отримаємо радіотехнічну форму ряду Фур'є:
.
При розрахунках найбільш зручна комплексна форма ряду Фур'є:
, Де
- Комплексна амплітуда n-ої гармоніки.
Використовую формулу Ейлера: , Отримаємо такі вирази взаємозв'язку комплексної та інших форм ряду Фур'є:
,
,
Негативним n в комплексній формі ряду Фур'є відповідають негативні частоти комплексного гармонійного сигналу . Вектор, що зображує комплексний гармонійний сигнал на комплексній площині, обертається при
за годинниковою стрілкою, а при
- Проти годинникової стрілки. Спектр сигналу стає двостороннім: для кожної гармоніки з позитивною частотою є гармоніка - "дублер" з негативною частотою. Винятком є постійна складова - для неї «дублера» немає.
Якщо в періодичній послідовності прямокутних імпульсів амплітуда S m, тривалість t, період Т, то тоді
тобто амплітуди гармонік
речовинні.
Спектр простого гармонійного сигналу S (t) = U m * sin (w t + j 0) (1)
Більшість аналогових сигналів мають більш складну форму. Періодичні сигнали довільної форми можуть бути представлені відповідно до низки Фур'є у вигляді суми гармонійних коливань:
(2)
Таким чином, ряд Фур'є являє собою математичну модель періодичного сигналу.
Сукупність гармонійних складових сигналу утворюють його спектр.
Амплітуда кожної спектральної складової характеризує енергію відповідної гармоніки основної частини сигналу. Чим вище швидкість зміни амплітуди сигналу, тим більше в його спектрі високочастотних гармонік. Різниця між мінімальною та максимальними частотами спектру сигналу, між якими міститься основна частина (95%) енергії, називається шириною спектру Δ F. (Рис1).
Рис1. Спектр періодичного аналогового сигналу.
Для одиночного прямокутного імпульсу (неперіодичний сигнал) мають місце два співвідношення:
(3)
(4)
Формули 3 і 4 носять фундаментальний характер в теорії сигналів і називаються прямими та зворотними перетвореннями Фур'є. Вони пов'язують між собою речову функцію часу u (t) і комплексну функцію частоти S (w).
Таким чином, інтеграл Фур'є (3) містить безперервну (суцільну) послідовність спектральних складових сигналів з нескінченно малими амплітудами. Функцію S (w) називають спектральною щільністю. Вона характеризує інтенсивність суцільного розподілу амплітуд гармонік неперіодичного сигналу вздовж осі частот (Рис 2). У цьому основна відмінність спектральної щільності неперіодичного сигналу від дискретного спектра періодичного сигналу, в якому кожна гармонійна складова має цілком певне значення частоти і відстоїть від сусідньої на величину w 1 (Рис3).
Рис. 3. Періодична послідовність та її спектр.
Частота першої гармоніки дорівнює частоті проходження імпульсів. Амплітуди гармонік з збільшенням їх номери зменшуються, тому вважають, що якщо смуга пропускання пристрою лежить в межах від до
, То воно не вносить суттєвих змін в передаваний через нього імпульсний сигнал.
Частоти складових спектру неперіодичного аналогового сигналу безперервно змінюються. При спостереженні спектру такого сигналу на екрані аналізатора спектра становище і рівень різних спектральних складових безперервно змінюється, і спектр виглядає як суцільний.
Відповідно до зміни амплітуди аналогового сигналу змінюється його енергія або потужність. У залежності від часу вимірювання потужності розрізняють середню і миттєву потужність. Вводиться поняття динамічний діапазон: (5),
де P max c і P min c - Максимальна і мінімальна потужність сигналу.
Таким чином, аналоговий сигнал описується набором параметрів, які є його ознаками:
- Частота або діапазон частот;
- Фаза сигналу;
- Тривалість сигналу;
- Амплітуда або потужність сигналу;
- Ширина спектру сигналу;
- Динамічний діапазон сигналу;
У дискретних сигналів амплітуда має конкретне значення (рис. 4). Наприклад, в ЕОМ 0В і 5В (бінарний сигнал). Дискретний сигнал характеризується наступними параметрами:
- Амплітудою або потужністю Р;
- Тривалістю імпульсу , Часом наростання t н і спаду t сп фронтів;
- Періодом Т або частотою f повторення імпульсів;
- Шириною спектру сигналу ;
- Скважностью імпульсів ;
Спектр дискретного періодичного сигналу містить нескінченну кількість відбувають за амплітудою гармонік.
U 0 = U m / Q
U m1
U m3
U m5
Мьь
Він характеризується такими властивостями:
- Форма огинаючої спектра описується функцією ;
- Амплітуда гармонік має нульове значення в точках
, Де
- В області частот спектру розташовуються
гармонік;
- Постійна складова сигналу дорівнює .
Враховуючи, що більша частина енергії сигналу зосереджена в області частот , Ширина спектру бінарного періодичного сигналу приблизно оцінюється за формулою:
,
У реальних ланцюгах форма прямокутного імпульсу спотворюється. Тому розмивається межа між формами аналогового та дискретного сигналу.
Вид інформації, що міститься в сигналі, змінює його ознаки: форму, ширину спектра, частотний і динамічний діапазон. Наприклад, стандартний мовний сигнал, що передається по телефонній лінії, має ширину спектра 300 - 3400 Гц, звуковий 16 - 20000 Гц, телевізійний 6 - 8 МГц і т.д.
Твір називається базою сигналу. Якщо
, То сигнал вузькосмуговий, при
- Широкосмуговий.
У відповідність з формулою Фур'є зміна форми сигналу при модуляції призводить до зміни спектру модульованого сигналу. Чим вище максимальна частота спектра сигналу, що модулює , Тим ширше спектр модульованого сигналу.
Кількісне значення збільшення ширини спектра цього сигналу залежить від виду модуляції і ширини спектру сигналу, що модулює.
Ширина спектра модульованого синусоїдального сигналу становить:
-Для АМ: Δ F АМ = 2 F с.м.;
-Для ЧС: Δ F ЧС>> F с.м.;
-Для ФМ: Δ F ФМ ≈ Δ F ЧС;
Для радіомовлення ширина спектру для ЧМ сигналу становить 100 ÷ 150 кГц, а для АМ »7 кГц.
Будь-яке повідомлення в загальному випадку можна описати за допомогою трьох основних параметрів:
-Динамічним діапазоном - Д с;
-Шириною спектру частот - Δ F с;
-Тривалістю передачі - t c;
Твір Д з * Δ F с * t c = V c називається об'ємом сигналу. (Рис 5)
Рис. 5. Графічне подання обсягу сигналу
Для забезпечення неспотвореної передачі повідомлення обсягом V c , Необхідно щоб характеристики середовища поширення і безпосередньо приймача відповідали ширині спектра і динамічному діапазону.
Для безіскаженной передачі повідомлення в реальному масштабі часу смуга пропускання приймача повинна відповідати ширині спектра сигналу.
Проблема передачі інформації, що міститься в багатьох низькочастотних сигналах, за допомогою безлічі вузькосмугових каналів зв'язку з різними частотами вирішується при використанні модульованих сигналів.
Модульований сигнал - це вузькосмуговий сигнал, параметри якого змінюються пропорційно низькочастотному інформаційного сигналу. Модульований сигнал, як правило, є високочастотним коливанням.
Для отримання модульованого сигналу використовується гармонійне (що несе) коливання (несуча частота).
Інформація вноситься в несе коливання з використанням модуляції - зміна будь-якого з параметрів високочастотного коливання пропорційно низькочастотному сигналу .
Амплітудна модуляція (АМ).
При АМ амплітуда сигналу змінюється пропорційно низькочастотному інформаційного сигналу: , Де
- Початкове значення амплітуди несучої; k AM - Коефіцієнт амплітудного модулятора.
Тому сигнал з АМ: .
Нехай повідомлення , Тоді
,
де - Коефіцієнт амплітудної модуляції, основний параметр АМ - коливань з гармонійної модуляцією.
Використовуючи тригонометричну формулу для твору косинусів, отримаємо:
Всі три доданків - гармонійні коливання: перше - несе коливання, друге і третє складові називають відповідно верхній і нижній бічними складовими. Таким чином, ця формула дає повне спектральне розкладання АМ коливання (амплітудний і фазовий спектри). Ширина амплітудного спектра цього АМ - коливання дорівнює (2 W) подвоєною частотою модулюючого сигналу.
Якщо модуляція здійснюється суцільним періодичним сигналом, в спектрі якого міститься багато гармонік, то кожна з них дасть дві бічні складові в спектрі модульованої сигналу. У спектрі з'являється верхня і нижня бічні смуги. Ширина спектра буде визначатися модулирующей гармонікою з максимально високою частотою. Обидві бічні смуги несуть повну інформацію про зв \ год модулює сигналі. Тому в техніці зв'язку часто використовуються сигнали з однією бічною смугою (ОЧП-сигнали).
Амплітудно-імпульсна модуляція (АІМ)
При АІМ амплітуда періодичної послідовності прямокутних імпульсів змінюється пропорційно низькочастотному інформаційного сигналу. У теорії інформації АІМ - сигнал називають сигналом типу АІМ-1.
Нехай несе коливання являє собою періодичну послідовність прямокутних імпульсів u (t) з амплітудою U н, яка описується тригонометричним рядом Фур'є. Замінивши у формулі для АМ величину (U н cos w 0 t) на u (t), отримаємо:
, Де
- Коефіцієнт чи глибина модуляції імпульсів.
Оскільки то тоді після перетворення отримаємо вираз для АМ-сигналу:
Аналізуючи цю формулу, можна зробити висновок, що АІМ - сигнал містить постійну складову А 0, гармоніку А 0 М частоти модуляції W і вищі гармонійні складові А n частоти проходження імпульсів n w 1, біля кожної з яких симетрично по обидві сторони розташовані бічні складові з частотами (n w 1 + W) і (n w 1 - W).
Фазова модуляція (ФМ) - це зміна початкової фази в \ ч сигналу пропорційно н \ ч сигналу:
, Де k ФМ - коефіцієнт фазового модулятора,
φ 0 - початкова фаза в \ ч коливання.
Амплітуда сигналу при ФМ не змінюється, а при гармонійної ФМ виникає гармонійна ЧС. Тоді повна фаза (аргумент косинуса) при ФМ буде дорівнює
, Тобто зміна повної фази не дорівнює частоті несучої ω 0.
Миттєвої частотою сигналу називають похідну .
У ідеального гармонійного сигналу миттєва частота постійна: . При ФМ
, Тобто при ФМ змінюється миттєва частота сигналу.
Модульований сигнал з ФМ:
, Якщо
, То
, Де β = S m k ФМ - індекс фазової модуляції. Це основний показник сигналу з гармонійної ФМ.
Частотна модуляція (ЧМ) - це зміна миттєвої частоти в \ ч сигналу пропорційно н \ ч сигналу:
,
де k ЧС - коефіцієнт частотного модулятора,
ω 0 - частота в \ ч коливання.
Амплітуда сигналу при ЧС не змінюється. Збільшення рівня модулюючого сигналу викликає збільшення миттєвої частоти сигналу, що відповідає збільшенню числа макс. і мін. коливання на фіксується відрізку часу. При зменшенні миттєвої частоти сигналу збільшується період квазігармоніческого сигналу.
При ЧС повна фаза сигналу визначається за формулою:
,
тобто при ЧМ змінюється початкова фаза сигналу, а при ФМ є зміна миттєвої частоти.
Тому ФМ та ЧМ - два тісно пов'язаних один з одним виду модуляції - відносять до кутової модуляції (УМ). Оскільки при модуляції в \ ч сигнал близький до ідеального гармонійного сигналу, то модульований сигнал називають також квазігармоніческім сигналом.
Використовуючи введені поняття миттєвої частоти при ЧМ, модульований сигнал запишемо у вигляді:
).
Якщо для ЧС використовується , То
, Де
- Девіація частоти, що дорівнює максимальному відхиленню миттєвої частоти ω (t) від ω 0. Δω - основний показник сигналу з гармонійному ЧС. Тоді при гармонійної ЧС y ЧС (t) має вигляд:
у чм (t) = U m0 cos (φ 0 t + + Φ 0)
З аналізу цієї формули видно, що при гармонійної ЧС виникає гармонійна ФМ із індексом .
Для визначення спектру сигналу з гармонійної УМ можна використовувати формули у фм (t) і у чм (t), а так само використовуючи тригонометрическое співвідношення для косинуса суми двох кутів, отримаємо: cos (βcos W t) = j 0 (β) - 2 j 2 (β) cos 2 W t + 2 j 4 (β) cos 4 W t - ... ....;
sin (βcos W t) = 2 j 1 (β) cos W t - 2 j 3 (β) cos 3 W t + 2 j 5 (β) cos 4 W t - ... ....,
де j n (β) - бесселева функція першого роду n-го порядку.
Малюнок 6. Графіки перших восьми функцій Бесселя
Підставляючи останні висловлювання в у фм (t) та враховуючи формули для творів тригонометричних функцій, отримаємо
у чм (t) = j 0 (β) U m 0 cosω 0 t - j 1 (β) U m 0 sin (ω 0 + W) t - j 1 (β) U m 0 sin (ω 0 - W) t -
j 2 (β) U m0 cos (φ 0 +2 W) t - j 2 (β) U m0 cos (ω 0 -2 W) t +
+ J 3 (β) U m0 sin (ω 0 +3 W) t + j 3 (β) U m0 sin (ω 0 -3 W) t +
+ J 4 (β) U m0 cos (ω 0 +4 W) t + j 4 (β) U m0 cos (ω 0 -4 W) t - ... ..
Отже, при ФМ спектр коливань містить несучу і нескінченне число гармонійних складових, розташованих симетрично щодо несучої частоти. При використанні формули для ЧС - сигналу спектр буде відрізнятися від спектру ФМ - сигналу тільки початковими фазами окремих спектральних компонент.
Амплітуди несучої і бічних складових у спектрі сигналу з УМ визначаються функціями Бесселя.
Якщо індекс кутовий модуляції β = 1, то j 0 (β) = 0,8 і j 1 (β) = 0,5, а інші функції Бесселя будуть зневажливо малі. Таким чином, при β <1 спектр коливань з ЧС схожий на спектр з АМ, а ширина спектра сигналу при β <1 приблизно дорівнює 2 W. При β> 1образуются верхня і нижня бічні смуги, а значить ширина спектру приблизно дорівнює 2Δ ω.
В даний час найбільш широко використовуються ЧС і ФМ в радіомовленні, в космічній зв'язку, в пристроях стільникового зв'язку і в інших системах передачі інформації з малими спотвореннями.
Для збільшення швидкості передачі повідомлень в сучасних системах зв'язку і передачі інформації використовуються змішані види модуляції. Наприклад, в модемах використовується амплітудно-фазова або квадратурна модуляція.