Геометрія чисел

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерство Освіти Російської Федерації
Державні загальноосвітні заклади

ВИЩОЇ ОСВІТИ

Хабаровський Державний Педагогічний Університет

Кафедра математичного аналізу та інформатики

Курсова робота

"Геометрія чисел"

Виконав: = PeppeR =

Науковий керівник: доцент кафедри

мат. аналізу та інформатики

кандидат фіз.-мат. наук

Хабаровськ - 2004

Зміст.

1. Введення. 2
2. Постановка завдання. 3
3. Основне завдання геометрії чисел. 4
4. Теорема Мінковського. 6
5. Доказ теореми Мінковського. 7
6. Грати. 10
7. Критичні решітки. 13
8. «Неоднорідна завдання». 17
9. Список літератури. 18

Введення.

Виникненням теорії чисел ми, за великим рахунком, зобов'язані Маньківського. Мінковський (Minkowski), Герман - видатний математик (1864 - 1909), єврей, родом з Росії. Був професором у Бонні, Кенігсберзі, Цюріху та Геттінгені. Зблизив теорію чисел з геометрією, створивши особливе вчення про "геометрії чисел" ("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen", 1907, і ін.) Остання його робота: "Raum und Zeit" (Лейпціг., 1909; кілька російських перекладів); тут дана смілива математична формулювання так званого "принципу відносності". Повне зібрання твір Маньківського вийшло в Лейпцигу, в 1911 р.; біографія Мінковського в російській виданні "Простір і час". Таким чином, Мінковський зробив великий внесок у розвиток математики як науки. Зокрема, він зумів спростити теорію одиниць полів алгебраїчних чисел, а також спростив і розвинув теорію апроксимації ірраціональних чисел раціональними, або теорію діофантових наближень. Під діофантових наближеннями в даному випадку розуміється розділ теорії чисел, що вивчає наближення дійсних чисел раціональними і питання, пов'язані з вирішенням в цілих числах лінійних і нелінійних нерівностей з дійсними коефіцієнтами. Це новий напрям, який Мінковський назвав "геометрією чисел", розвинулося в незалежний розділ теорії чисел, що має багато додатків в самих різних питаннях і разом з тим досить цікавий для самостійного вивчення.

Постановка завдання.
Для початку я хочу розглянути деякі поняття і результати, які грають у подальшому основну роль. Міркування, якими ми тут користуємося, іноді значно відрізняються від міркувань в основних книгах з даного питання, тому що в даній роботі ми маємо на меті, не даючи повних доказів, зробити для найпростіших випадків геометричну ситуацію інтуїтивно ясною, тоді як пізніше ми будемо змушені жертвувати наочністю заради точності. У роботі розглядається основне завдання геометрії чисел, наводиться теорема Мінковського з її доказом, і пояснюються такі поняття геометрії чисел як грати і критичні решітки. У кінці роботи наводиться так звана «неоднорідна завдання» геометрії чисел.
Основне завдання геометрії чисел.
Основний і типовою завданням геометрії чисел є наступна задача.
Нехай f (х 1, ..., x n) - Функція речових аргументів, приймаюча речові значення. Як малий може бути ïf (u 1, ..., u n) ï при відповідному виборі цілих чисел u 1, ..., u n? Може зустрітися тривіальний випадок f (0, ..., 0) = 0, наприклад, якщо f (х 1, ..., x n) є однорідною формою; в цьому випадку сукупність значень u 1 = u 2 = ... = U n = 0 з розгляду виключається ("однорідна проблема").
Звичайно розглядаються оцінки, що застосовуються не тільки для конкретних функцій f, а й для цілих класів функцій. Так, типовим результатом такого роду є наступна пропозиція. Нехай
f (x 1, x 2) = a 11 x 1 2 + 2a 12 x 1 x2 + a 22 x 2 лютого (1)
- Позитивно певна квадратична форма. Тоді знайдуться такі цілі числа u 1, u 2, не одночасно дорівнюють нулю, що справедливо нерівність
f (u 1, u 2) £ (4D / 3) 1 / 2 (2)
де D = a 11 a 22 - a 12 2 - визначник форми. Ясно, що якщо цей результат вірний, то він є найкращим. Дійсно,
u 1 2 + u 1 u 2 + u 2 лютого ³ 1
для всіх пар цілих чисел u 1, u 2, не рівних одночасно нулю; тут D = 3 / 4.
Звичайно, випадок позитивно певних бінарних квадратичних форм вкрай простий, і результат завдання був відомий задовго до виникнення геометрії чисел. Однак на позитивно певних бінарних квадратичних формах відносно просто проводяться деякі міркування геометрії чисел, так що ці форми зручно використовувати в якості ілюстрації всіх міркувань.
Тільки що сформульований результат можна висловити наочно. Нерівність типу
f (x 1, x 2) £ k,
де f (x 1, x 2) - форма (1), а k - деяке позитивне число, задає область Â площині {x 1, x 2}, обмежену еліпсом. Таким чином, наша пропозиція стверджує, що якщо k ³ (4D / 3) 1 / 2, то область Â містить точку (u 1, u 2) з цілими координатами u 1 і u 2, не рівними одночасно нулю.
Теорема Мінковського.
Аналогічний, але, правда, не настільки точний результат негайно слід з основної теореми Мінковського. У двовимірному випадку ця теорема стверджує, що область Â завжди містить точку (u 1, u 2) з цілими координатами, відмінну від початку, якщо ця ділянка задовольняє наступним трьом умовам:
1) область Â симетрична відносно початку координат; тобто якщо точка (x 1, x 2) знаходиться в Â, то точка (-x 1,-x 2) також міститься в Â;
2) область Â опукла; тобто якщо (x 1, x 2), (y 1, y 2) - дві які-небудь точки області Â, то і весь відрізок
{Lx 1 + (1-l) y 1, lx 2 + (1-l) y 2}, 0 £ l £ 1,
з'єднує ці точки, також міститься в Â;
3) площа Â більше 4.
Будь-еліпс f (x 1, x 2) £ k задовольняє умовам 1) і 2). Так як його площа дорівнює
kp / (a 11 a 22 - a 12) 1 / 2 = kp / D 1 / 2,
то він задовольняє умові 3), якщо kp> 4D 1 / 2. Таким чином, ми маємо результат, аналогічний наведеному вище пропозицією, якщо в (2) константу (4 / 3) 1 / 2 замінити будь-яким числом, великим 4 / p.
Доказ теореми Мінковського.
Цікаво буде коротко розглянути основні ідеї, що лежать в основі доведення теореми Мінковського, тому що у формальних доказах, наведених основними джерелами, вони губляться за необхідністю отримання сильних теорем, що мають найбільш широкі програми.

Замість області Â Мінковський розглядає область j = Â / 2, яка складається з точок (x 1 / 2, x 2 / 2), де (x 1, x 2) - точки області Â. Таким чином, область j симетрична відносно початку координат і опукла, її площа дорівнює чверті площі області Â і, отже, більше 1. У загальному випадку Мінковський розглядає сукупність областей j (u 1, u 2) з центрами в цілочисельних точках (u 1, u 2), отриманих з тіла j паралельними переносами.
Для початку справедливо відзначити, що якщо j і j (u 1, u 2) перетинаються, то точка (u 1, u 2) знаходиться в Â. Протилежне твердження тривіально. Якщо точка (u 1, u 2) знаходиться в Â, то точка (u 1 / 2, u 2 / 2) міститься як в j, так і в j (u 1, u 2). Дійсно, нехай (ξ 1, ξ 2) - точка, що лежить в перетині. Тому що крапка (ξ 1, ξ 2) лежить в області j (u 1, u 2), то тоді точка (ξ 1 - u 1, ξ 2 - u 2) лежить в області j; отже, зважаючи на симетрії області j точка (u 1 - ξ 1, u 2 - ξ 2) знаходиться в j. Нарешті, в силу опуклості тіла j середина відрізка, що з'єднує точку (u 1 - ξ 1, u 2 - ξ 2) з крапкою (ξ 1, ξ 2), тобто точка (u 1 / 2, u 2 / 2), лежить в j, а тому точка (u 1, u 2) знаходиться в Â. Що, власне, і було потрібно довести. Ясно, що область j (u 1, u 2) тоді і тільки тоді перетинається з областю j (u 1 ', u 2'), коли область j перетинається з областю j (u 1 - u 1 ', u 2 - u 2').
Таким чином, щоб теорема Мінковського була доведена, досить показати, що якщо області j (u 1, u 2) не перетинаються, то площа області j (u 1, u 2) не перевищує 1. Невелике роздум переконує, що так має бути. Інше обгрунтування, можливо інтуїтивно більш ясне, можна отримати, вважаючи, що область j цілком міститься в квадраті
x 1 ≤ X, | x 2 | ≤ X,
при цьому потрібно враховувати те, що опукла область кінцевої площі обмежена.
Нехай U - досить велике ціле число. Існує (2U + 1) 2 областей j (u 1, u 2), координати центрів яких задовольняють нерівності
u 1 ≤ U, | u 2 | ≤ U.

Всі ці області цілком знаходяться у квадраті

x 1 ≤ U + X, | x 2 | ≤ U + X,
площа якого дорівнює
4 (U + X) 2.
Так як передбачається, що області j (u 1, u 2) не перетинаються, то має місце нерівність
(2U + 1) 2 V £ 4 (U + X) 2,
де V - площа області j, а значить, і будь-якій області j (u 1, u 2). Спрямовуючи тепер U до нескінченності, ми отримуємо нерівність V £ 1, що й потрібно було довести.
Грати.
Перетворення координат у наведеному прикладі з певною бінарної квадратичною формою може призвести і до іншої точки зору. Ми можемо представити форму f (x 1, x 2) як суму квадратів двох лінійних форм
f (x 1, x 2) = Х 1 2 + Х 2 2, (3)
де
Х 1 = ax 1 + bx 2, X 2 = gx 1 + dx 2, (4)
a, b, g, d - деякі постійні дійсні числа. Можна, наприклад, покласти
a = a 11 січня / 2, b = a 11 -1 / 2 a 12,
g = 0, d = a 11 -1 / 2 D 1 / 2.

Зворотно, якщо a, b, g, d - такі дійсні числа, що ab - gd ¹ 0, і форми Х 1, Х 2 задані равенствами (4), то вираз

Х 1 2 + Х 2 2 = a 11 x 1 2 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2,
де
a 11 = a 2 + g 2,
a 12 = ad + bg, (5)
a 22 = b 2 + d 2,
є позитивно певної квадратичною формою з визначником
D = a 11 a 22 - a 12 лютого = (ad - bg) 2. (6)
Тепер будемо розглядати пару (Х 1, Х 2) як систему прямокутних декартових координат. Тоді кажуть, що точки (Х 1, Х 2), відповідні цілим (x 1, x 2) у виразах (4), утворюють (двовимірну) грати L. У векторних позначеннях решітка L є сукупність точок
1, Х 2) = u 1 (a, g) + u 2 (b, d), (7)
де u 1, u 2 пробігають всі цілі числа; точки (вектори) (a, g) і (b, d) утворюють базис решітки L.
Розглянемо тепер більш докладно властивості грат. З огляду на те, що ми розглядаємо грати L просто як безліч точок, ми можемо її описати за допомогою різних базисів. Наприклад, пара
(Α - β, γ - δ), (- β, - δ)
є іншим базисом решітки L. Фіксований базис (α, β), (γ, δ) решітки L визначає розбиття площини двома родинами рівновіддалених паралельних прямих; перша родина складається з тих точок (Х 1, Х 2), які мають координати виду (7), де u 2 - будь-яке ціле число, а u 1 - будь-яке дійсне. Для ліній другого порядку сімейства u 1 і u 2 міняються ролями. Таким чином, площина розбивається на паралелограми, вершинами яких є саме точки решітки L.
Зрозуміло, що це розбиття залежить від вибору базису. Однак, можна показати, що площа одержуваних паралелограмів, саме число
| Αδ - βγ |,
не залежить від вибору базису. Це стає можливим, якщо показати, що число N (X) точок решітки в досить великому квадраті
ζ (Х): | Х 1 | ≤ Х, | Х 2 | ≤ Х
задовольняє співвідношенню
N (X) / 4X 2 → 1 / | αδ - βγ | (X → ∞).
Дійсно, розгляд ідей докази теореми Мінковського, яке було приведено в стислому вигляді вище, показує, що кількість точок решітки L в квадраті ζ (Х), грубо кажучи, дорівнює числу паралелограмів, що знаходяться в цьому квадраті. А це число, в свою чергу, приблизно дорівнює площі квадрата ζ (Х), поділеній на площу | αδ - βγ | одного паралелограма. Строго позитивне число
d (L) = | αδ - βγ | (8)
називається визначником решітки L. Як було щойно показано, це число не залежить від вибору базису.
Критичні решітки.
Використовуючи введені вище нові поняття, можна помітити, що твердження про існування цілих рішень нерівності f (х 1, х 2) £ (4D / 3) 1 / 2 еквівалентно твердженню про те, що будь-яка решітка L в області
Х 1 2 + Х 2 2 ≤ (4 / 3) 1 / 2 d (L) (9)
має точки, відмінні від початку координат. У силу однорідності це в свою чергу еквівалентно твердженням, що відкритий коло
Р: Х 1 2 + Х 2 2 <1 (10)
містить точку кожної решітки L, для якої d (L) <(3 / 4) 1 / 2. А той факт, що існують такі форми, для яких в (2) знак рівності необхідний, еквівалентний існуванню решітки L с з визначником d (L с) = (3 / 4) 1 / 2, що не має точок у колі Р. Таким чином , задача про довільній певної бінарної квадратичної формі еквівалентна задачі про фіксовану області Р і довільної решітці. Аналогічно дослідження решіток з точками в області
| Х 1 Х 2 | <1
дає інформацію про мінімумах inf | f (u 1, u 2) | невизначених бінарних квадратичних форм f (x 1, x 2). Тут точна нижня межа береться по всіх цілих чисел u 1 і u 2, не рівним одночасно нулю. Приклади можна продовжити.
Подібні розгляду призводять до наступних визначень. Кажуть, що грати L припустима для області (точкового безлічі) Â в площині {Х 1, Х 2} якщо вона не містить жодних інших точок Â, крім, може бути, початку координат. Останній випадок можливий, коли початок координат є точкою області Â. Тоді ми говоримо, що ця решітка Â-допустима. Точна нижня грань Δ (Â) визначників d (Λ) всіх Â-допустимих решіток є константою області Â. Якщо Â-допустимих грат не існує, то вважаємо, що Δ (Â) = ∞. Тоді будь-яка решітка Λ, для якої d (Λ) <Δ (Â), обов'язково містить точку області Â, відмінну від початку координат. Â-допустима решітка Λ, для якої d (Λ) = Δ (Â), називається критичною (для Â). Звичайно, критичні решітки, взагалі кажучи, існують не завжди.
Важливість критичних решіток була помічена вже Мінковським. Якщо L с - критична решітка області Â, а грати Λ отримана з Λ з невеликою деформацією (тобто малим зміною пари базисних векторів), то або решітка Λ має точку, відмінну від початку координат і що лежить в області Â, або d (Λ) ≥ d (Λ с). Або і те, й інше разом.
Як приклад можна знову розглянути відкритий коло
Р: Х 1 2 + Х 2 2 <1.
Припустимо, що Λ с - критична решітка області Р. Нижче буде дано начерк докази того, що якщо критична решітка існує, то вона повинна мати три пари точок ± (А 1, А 2), ± (В 1, В 2), ± (С 1, С 2) на кордоні Х 1 2 + Х 2 2 = 1 кола Р.
Якщо Λ з не має точок на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1, то можна буде отримати Р-допустиму грати з меншим визначником, гомотетіческі стискаючи грати Λ з до початку координат, тобто розглядаючи грати L = tΛ з точок (tX 1, tX 2), де (Х 1, Х 2) Î Λ с, а t - це фіксоване число з умовою 0 <t <1. Тоді d (L) = t 2 d (L c) <d (L c) і, очевидно, L буде Р-допустимої гратами, якщо t досить близько до 1. Таким чином, грати L c містить пару точок на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1, координати яких після належного повороту осей ми можемо вважати рівними ± (1, 0).
Якщо б на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1 не було б більше точок решітки L c, то ми змогли б отримати Р-допустиму грати L з меншим визначником, стискаючи грати L c у напрямку, перпендикулярному осі X 1, тобто беручи за L грати точок (Х 1,2), де (Х 1, Х 2) Î Λ с, а t досить близько до 1.
Нарешті, якщо б Λ з мала б лише дві пари точок ± (1, 0), ± (В 1, В 2) на кордоні, то грати можна було б злегка деформувати так, щоб точка (1, 0) залишилася на місці, а точка з координатами (В 1, В 2) просунулася б уздовж окружності Х 1 2 + Х 2 2 = 1 ближче до осі Х 1. Наочно це представлено на малюнку:

Дана операція, як легко перевірити, зменшує визначник, і при невеликих деформаціях получающаяся решітка Λ залишається Р-допустимої. Дійсно, (1,0) і (В 1, В 2) можна розглядати як базис решітки Λ с, так як трикутник з вершинами (0, 0), (1, 0), (В 1, В 2), а отже , і паралелограм, що відповідає базису (1, 0), (В 1, В 2) не містить усередині себе точок Λ с. Тоді критична решітка Λ с (якщо вона існує) повинна мати три пари точок на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1. Легко побачити, що єдиною гратами, у якої три пари точок лежать на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1, а одна з пар є пара ± (1, 0), є грати Λ з базисом
(1, 0), (1 / 2, √ 3 / 4).
Вона містить вершини правильного шестикутника
± (1, 0), ± (1 / 2, √ 3 / 4), ± (-1 / 2, √ 3 / 4),
лежать на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1, але не містить жодної точки (крім (0, 0)) в колі Х 1 2 + Х 2 2 <1. Таким чином, ми показали, що якщо Р має критичну грати, то Δ (Р) = d (Λ) = (3 / 4) 1 / 2. Мінковський показав, що критичні решітки існують для досить широкого класу областей Â, показавши, грубо кажучи, що будь-яку Â-допустиму грати Λ можна поступово деформувати до тих пір, поки вона не стане критичною.
"Неоднорідна завдання"
Іншим загальним типом проблеми є наступна типова «неоднорідна завдання». Нехай f (х 1, ..., x n) - Деяка дійснозначних функція речових аргументів х 1,. . ., Х n. Потрібно підібрати постійне число k з наступним властивість: якщо ξ 1, ..., ξ n - будь-які дійсні числа, то знайдуться такі цілі числа u 1, ..., u n, що
│ f (ξ 1 - u 1, ..., ξ n - U n) │ ≤ k.
Подібні питання природно виникають, наприклад, в теорії алгебраїчних чисел. І на цей раз є проста геометрична інтерпретація. Для наочності покладемо n = 2. Нехай Â - безліч таких точок (х 1, х 2) двовимірної евклідової площини, що
│ f (x 1, ..., x n) │ ≤ k.
Нехай u 1, u 2 - будь-які цілі числа; позначимо через Â (u 1, u 2) область, отриману з Â паралельним перенесенням на вектор (u 1, u 2); іншими словами, Â (u 1, u 2) є безліч таких точок х 1, х 2, що
│ f (х 1 - u 1, х 2 - U 2) │ ≤ k.
Неоднорідна проблема полягає у виборі k таким чином, щоб області Â (u 1, u 2) покривали всю площину. Бажано вибрати k, а значить і Â, найменшим з усіх можливих (але так, щоб властивість покривати всю площину збереглося). Тут ми маємо противагу постановці однорідної задачі, наведеної вище, де мета полягала в тому, щоб зробити області найбільшими, але все ще не пересічними одна з іншою.
Список літератури.
1. Касселс, Дж. В. С. Геометрія чисел - М., Мир, 1965р.
2. Мінковський Г. Геометрія чисел - Лейпциг, 1911р. (Перевидання 1996р.)
3. Марков А. А. Про бінарних квадратичних формах позитивного визначника - СПб., 1948р.
4. Чеботарьов М. Г. Нотатки з алгебри і теорії чисел - УЧ Зап. Каз. Унів-та, 1934р. (Перевидання 1994р.)
5. Чеботарьов М. Г. Доказ теореми Мінковського про неоднорідних лінійних формах - М., Мир, 1949р.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
37кб. | скачати


Схожі роботи:
Закономірність розподілу простих чисел в ряду натуральних чисел
Властивості чисел Періодична система чисел
Геометрія
Гіперболічна геометрія
Неевклидова геометрія
Геометрія фізичного простору
Аналітична геометрія на площині
Геометрія місця точок на площині
Векторна алгебра та аналітична геометрія
© Усі права захищені
написати до нас