Визначення і найпростіші властивості вимірної функції

Якщо кожному x з множини E поставлено у відповідність деяке число f (x), то ми будемо говорити, що на безлічі E задана функція f (x). При цьому ми допускаємо і нескінченні значення функції, лише б вони мали певний знак, тобто вводимо «невласні» числа - і + . Ці числа пов'язані між собою і з будь-яким кінцевим числом a нерівностями
- <A <+ ,
і ми встановлюємо для них такі закони дій:
+ ± a = + , + + (+ ) = + , + - (- ) = + ,
- ± a =- , - + (- ) =- , - - (+ ) =- ,
½ + ½ = ½ - ½ = + , + × a = a × (+ ) = + ,
- × a = a × (- ) =- , Якщо a> 0,
+ × a = a × (+ ) =- ,
- × a = a × (- ) = + , Якщо a <0
0 × (± ) = (± ) × 0 = 0,
(+ ) × (+ ) = (- ) × (- ) = + ,
(+ ) × (- ) = (- ) × (+ ) =- ,
= 0.
Тут a позначає речовий кінцеве число. Символи
+¥-(+¥), -¥-(-¥), +¥+(-¥), -¥+(+¥).
,
ми вважаємо позбавленими сенсу.
Маючи справу з функцією f (x), заданої на множині E, ми будемо символом
E (f> a)
позначати безліч тих x з безлічі Е, для яких виконано нерівність f (x)> а.
Аналогічним чином вводяться символи
Е (f ³ а), Е (f = а), Е (f £ а), Е (а <f £ b)
і т.п. Якщо безліч, на якому задана функція f (x), позначено будь-якої іншою буквою, наприклад А або В, то ми відповідно будемо писати
А (f> а), В (f> а)
і т.п.
Визначення 1. Функція f (x), задана на безліч Е, називається вимірною, якщо вимірно це безліч Е і якщо при будь-якому кінцевому а вимірно безліч
Е (f> а).
У зв'язку з тим, що тут мова йде про множини, вимірюваних в сенсі Лебега, часто (бажаючи підкреслити саме ця обставина) говорять про вимірної (L) функції. Якщо ж Е і всі безлічі Е (f> а) вимірні (В), то і f (x) називається вимірною (В) функцією.
Теорема 1. Всяка функція, задана на безлічі міри нуль, вимірна.
Це твердження очевидне.
Теорема 2. Нехай f (x) є вимірна функція, задана на безлічі Е. Якщо А є вимірне підмножина Е, то f (x), що розглядається тільки для x ÎА, вимірна.
Дійсно, А (f> а) = А × Е (f> а).
Теорема 3. Нехай f (x) задана на вимірному безлічі Е, яке можна зобразити у формі суми кінцевого числа або лічильного безлічі вимірних множин Е _k :
                                 E = ×
Якщо f (x) вимірна на кожному з множин E _R., То вона вимірна і на Є.
У самому справі, E (f> a) = .
Визначення 2. Дві функції f (x) і g (x), задані на одному і тому ж безлічі Е, називаються еквівалентними, якщо
mE (f ¹ g) = 0
Позначати еквівалентність функцій f (x) і g (x) прийнято так:
f (x) ~ g (x).
Визначення 3. Нехай деякий обставина S має місце для всіх точок якого-небудь безлічі Е, крім точок, що входять до підмножина Е ₀ безлічі Е. Якщо Mе ₀ = _0, то говорять, що S має місце майже скрізь на безлічі Е, або майже для всіх точок Є.
Зокрема, безліч виняткових точок Е ₀ може бути і порожнім.
Тепер можна сказати, що дві функції, задані на множині Е, еквіваленти, якщо вони рівні майже скрізь на Є.
Теорема 4. Якщо f (х) є вимірна функція, задана на безлічі Е, а g (x) ~ f (x), то g (x) також вимірна.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай А = Е (f ¹ g), B = E - A. Тоді mA = 0, так що В вимірюється. Значить функція f (x) вимірна на безлічі В. Але на безлічі У функції f (x) і g (x) можна відрізнити, так що g (x) вимірна на В. Оскільки g (x) вимірна і на А (бо mA = 0), вона вимірна на Е = А + В.
Теорема 5. Якщо для всіх точок вимірної множини Е буде f (x) = c, то функція f (x) вимірна.
Дійсно,
E (f> a) =
Зауважимо, що в цій теоремі с може бути і нескінченним.
Функція f (x), задана на сегменті [а, b], називається ступінчастою, якщо [а, b] розкласти точками.
з ₀ = а <з ₁ <з ₂ <... <з _n = b
на кінцеве число частин, в н у т р і яких (тобто в інтервалах (з _k, c _{k + 1)} при k = 0, 1, ...., n -1) функція f (x) постійна. Легко зрозуміти, що з теореми 5 випливає
Слідство. Ступенева функція вимірна.
Теорема 6. Якщо f (x) є вимірна функція, задана на безлічі Е, то при будь-якому а вимірні множини
E (f ³ a), E (f = a), E (f £ a), E (f <a),

Д о к о з а т е л ь с т в о. Легко перевірити, що

E (f ³ a) =

звідки випливає вимірність множини E (f ³ a). Вимірність інших множин випливає із співвідношень:

E (f = a) = E (f ³ a) - E (f> a), E (f £ a) = E - E (f> a),
E (f <a) = E - E (f ³ a).
Зауваження. Легко показати, що якщо хоч одна з множин
E (f ³ a), E (f £ a), E (f <a)
виявляється вимірним при всякому а, то функція f (x) вимірна на безлічі Е (яке також передбачається вимірним).
Дійсно, тотожність ) Показує, наприклад, що f (x) вимірна, якщо вимірні всі безлічі Е (f ³ а). Подібним чином встановлюються та інші твердження. Таким чином, у визначенні вимірної функції можна замінити безліч Е (f> a) будь-яким з множин (1).
Теорема 7. Якщо функція f (x), задана на безлічі Е, вимірна, а k кінцеве число, то вимірні і функції 1) f (x) + k, 2) kf (x), 3) ç f (x) ç, 4) f ² (x), і якщо f (x) ¹ 0, то вимірна і функція 5) .
Д о к о з а т е л ь с т в о. 1) Вимірність функції f (x) + k випливає зі співвідношення Е (f + k> a) = E (f> a-k).
2) Вимірність функції kf (x) при k = 0 випливає з теореми 5. Для інших k вимірність випливає з очевидних співвідношень

3) Функція çf (x) ç вимірна тому, що

4) Аналогічно, з того, що
E (f ^2> a) =
випливає вимірність функції f ² (x).
5) Нарешті, при f (x) ¹ 0 маємо
> A) =
звідки і слід вимірність .
Теорема 8. Функція f (x), задана і неперервна на сегменті Е = , Вимірна.

Д о к о з а т е л ь с т в о. Перш за все встановимо, що безліч

F = E (f £ a)
замкнуто. Дійсно, якщо x ₀ є гранична точка цієї множини і x _n ® x ₀ (x _n   ÎF), то f (x _n) £ a   і, в силу безперервності f (x), буде   f (x ₀₎ £ a, тобто x ₀ ÎF, що і встановлює замкнутість множини F.
Але тоді багато Е (f> а) = Е - Е (f £ а) вимірно, і теорема доведена.
З самого визначення вимірної функції випливає, що функція, задана на безмірі безлічі, невимірна.
Однак легко виявити існування незмірну функції, заданої на вимірному множині.
Визначення 4. Нехай М є підмножина сегмента Е = [А, В]. Функція Jм (х), що дорівнює одиниці на безлічі М і нулю на безлічі Е-М, називається характеристичною функцією множини М.
Теорема 9. Безліч М і його характеристична функція j _м одночасно вимірні чи ні.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Якщо функція j _M (х) вимірна, то вимірність множини М випливає із співвідношення
М = Е (Jм> 0).

Зворотно, якщо М є вимірна множина, то співвідношення

встановлюють вимірність функції j _М (х).
Звідси, між іншим, вельми просто виходять приклади розривних вимірних функцій.

Подальші властивості вимірних функцій

Лема. Якщо на множині Е задані дві вимірні функції f (х) і g (х), то безліч Е (f> g) вимірюється.
Дійсно, якщо ми перенумеруем всі раціональні числа r _1, r _2, r _3, ..., то легко перевіримо справедливість співвідношення
Е (f> g) = Е (f> r _k) Е (g <r _k),
звідки і слід лема.
Теорема 1. Нехай f (х) і g (х) суть кінцеві вимірні функції, задані на множині Є. Тоді вимірна кожна з функцій 1) f (х) - g (х), 2) f (х) + g (х ), 3) f ^(х). g (х), і якщо g (х) ¹ 0, то вимірна також функція 4) .
Д о к о з а т е л ь с т в о. 1) Функція а + g (х) вимірна при будь-якому а. Значить (на підставі леми), безліч Е (f> а + g), а так як E (fg> a) = E (f> a + g), то вимірна функція f (х) - g (х).
2) Вимірність суми f (х) + g (х) виходить з того, що
f (х) + g (х) = f (х) - [- g (х)].
3) Вимірність твори f ^(x). G (x) випливає з тотожності
f ^(x). g (x) = {[F (x) + g (x)] - [F (x)-g (x)] }
і теореми 7
4) Нарешті, вимірність приватного є наслідок тотожності
= F (x) · .
Ця теорема показує, що дії арифметики, будучи застосовані до вимірюваних функцій, не виводять нас за межі цього класу функцій. Наступна теорема встановлює подібний результат щодо вже не арифметичної операції - граничного переходу.
Теорема 2. Нехай на множині Е задана послідовність вимірних функцій f ₁ (x), f ₂ (x), ... Якщо в кожній точці х Е існує (кінцевий або нескінченний) межа
F (x) = f _n (x),
то функція F (х) вимірна.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Фіксуємо довільні а і введемо в розгляд множини
А = Е (f > A + ), В = .
Ці множини, очевидно, вимірні, і для доказу теореми достатньо перевірити, що
E (F> a) = .
Займемося ж перевіркою цієї тотожності.
Нехай х Е (F> a), тоді F (x _0)> a, і знайдеться таке натуральне m, що F (x _0)> a + 1 / m. Оскільки ж f _k (x) F (x _0), то знайдеться таке n, що при k n буде
f _k (x _0)> a + .
Інакше кажучи, х ₀ А при всіх k n, а тоді х ₀ У і тим більше х ₀ . Звідси випливає, що Е (F> a) .
Тепер залишається встановити зворотне включення
E (F> a),
і теорема буде доведена.
Нехай х ₀ . Тоді х ₀ У при деяких фіксованих n і m. Це означає, що х ₀ А для k n. Інакше кажучи для k n буде f _k (x _0)> a +1 / m.
Спрямовуючи k до нескінченності і переходячи в останньому нерівності до межі, отримаємо, що F (x _0)> a, тобто x ₀ ÎE (F> a). Цим і доведено включення (*). Доведена теорема допускає наступне узагальнення.
Теорема 3. Нехай на множині E задані вимірні функції f ₁ (x), f ₂ (x), ... і деяка функція F (x). Якщо співвідношення
(A)
виконується майже скрізь на Е, то F (x) вимірна.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Позначимо через А безліч усіх точок X Î Е, в яких співвідношення (a) не має місця (у цих точках межі може зовсім не існувати). За умовою, mA = 0 і F (x) вимірна на безлічі А. По теоремі 2 вона вимірна і на безлічі Е - А, а тоді вона вимірна і на всій множині Є.
Послідовності вимірних функцій. Збіжність за мірою.
У цьому місці нам доведеться розглядати безлічі виду Е (| f - g | ³ s), Е (| f - g | <s), де f (x) і g (x) суть функції задані не безліч Е, а s деякий позитивне число. При цьому точки, в яких обидві функції f (x) і g (x) приймають нескінченні значення одного знаку, строго кажучи, не входять ні в один з цих множин, оскільки в цих точках різниця f (x) - g (x) позбавлена сенсу. Так як вказана обставина представляє відомі незручності, то ми раз і назавжди домовимося ці точки відносити до безлічі Е (| f - g | ³ s). При такій угоді очевидно
Е = Е (| f - g | ³ s) + Е (| f - g | <s)
і складові правої частини не перетинаються.
Теорема 1 (А. Лебег). Нехай на вимірному безлічі Е задана послідовність вимірюваних і майже скрізь кінцевих функцій f ₁ (x), f ₂ (x), f ₃ (x), ..., яка майже у всіх точках Е сходиться до майже скрізь кінцевої функції f (x). Тоді, яке б не було s> 0, буде

Д о к о з а т е л ь с т в о. Відзначимо перш за все, що в силу теореми 3, гранична функція f (x) також вимірна і, отже, вимірні ті безлічі, про які йде мова.
Покладемо
А = Е (| f | = + ¥), A _n = E (| f _n | = + ¥), B = E (f _n НЕ ® f)
.
Очевидно,

MQ = 0 (1)

Нехай, далі,
, , .
Всі ці безлічі вимірні.
Так як R ₁ (s) ÉR ₂ (s) ÉR ₃ (s) É ..., то, в силу теореми 12, при n ® ¥ буде
mR _n (s) ® mM. (2)
Переконаємося в тому, що
MÌQ. (3)
У самому справі, якщо , То , Причому всі числа f ₁ (x _0), f ₂ (x _0), ... і їх межа f (x ₀₎ - кінцеві. Значить знайдеться таке n, що для k ³ n буде | f _k (x ₀₎ - f (x ₀₎ <s.
Інакше кажучи (K ³ n), а тому і тим більше , Звідки і слід (3).
Але тоді, в силу (1), nM = 0, і (2) набуває вигляду
(4)
Цим і доведена теорема, бо Е _n (s) Ì R _n (s).
Зауваження. Відзначимо, що нами встановлено результат (4), більш сильний, ніж те, що ми хотіли довести. Нижче при доведенні теореми Д.Ф. Єгорова, нам доведеться скористатися саме цим більш сильним результатом.
Доведена теорема дає привід встановити наступне
Визначення. Нехай на вимірному безлічі Е задана послідовність вимірюваних і майже скрізь кінцевих функцій
f ₁ (x), f ₂ (x), f ₃ (x), ...
і вимірна і майже скрізь кінцева функція f (x). Якщо, яке б не було позитивне число s, виявляється, що
,
то кажуть, що послідовність ^(*) збігається до функції f (x) в міру.
Ми будемо, слідуючи Г. М. Фіхтенгольца, позначати збіжність за мірою символом
f _n (x) Þ f (x).
За допомогою поняття збіжності за мірою можна формулювати теорему Леберга так.
Теорема 1 *. Якщо послідовність функцій сходиться майже скрізь, то вона збігається і в міру до тієї ж граничної функції.
Наступний приклад показує, що ця теорема необоротна.
П р и м е р. Визначимо на полусегменте [0, 1) для кожного натурального k групу з k функцій: f ₁ ^(k) (x), f ₂ ^(k) (x), ..., f _k ^(k) (x), вважаючи

Зокрема, f ₁ ⁽¹⁾ (x) º 1 на [0, 1). Нумеруючи всі побудовані функції поспіль одним значком, ми отримаємо послідовність
j ₁ (x) = f ₁ ⁽¹⁾ (x), j ₂ (x) = f ₁ ⁽²⁾ (x), j ₃ (x) = f ^{_{2 (2)}} (x), j ₄ (x) = f ₁ ⁽³⁾ (x), ...
Легко бачити, що послідовність функцій j _n (x) сходиться в міру до нуля. У самому справі, якщо j _n (x) = f _i ^(k) (x), то при будь-якому s> 0 буде

і міра цієї множини, що дорівнює 1 / k, прагне до нуля зі зростанням n.
Разом з тим, співвідношення j _n (x) ® 0 не виконується в жодній точці проміжку [0, 1). Дійсно, якщо так що f _i ^(k) (x ₀₎ = 1. Інакше кажучи, як далеко ми не просунемося уздовж ряду чисел j ₁ (x _0), j ₂ (x _0), j ₃ (x _0), ..., ми завжди будемо зустрічати в цьому ряду числа, що дорівнюють 1, що й доводить наше твердження.
Таким чином, поняття збіжності за мірою є поняття, істотно більш загальне, ніж поняття збіжності майже скрізь і тим більше, ніж поняття збіжності скрізь.
Природно запитати, в якій мірі співвідношення
f _n (x) Þ f (x)
визначає функцію f (x), тобто єдина чи гранична функція при збіжності за мірою.
Теореми 2 і 3 дозволяють відповісти на це питання.
Теорема 2. Якщо послідовність функцій f _n (x) сходиться в міру до функції f (x), то ця ж послідовність сходиться в міру до всякої функції g (x), еквівалентній функції f (x).
Д о к о з а т е л ь с т в о. При будь-якому s> 0 буде
E (êf _n - G ê ³ s) Ì E (f ¹ g) + E (çf _n - F ç ³ s),
звідки (оскільки mE (f ¹ g) = 0)
mE (êf _n - g ê ³ s) £ mE (çf _n - f ç ³ s),
що і доводить теорему.
Теорема 3. Якщо послідовність функцій f _n (x) сходиться в міру до двох функцій f (x) і g (x), то ці граничні функції еквівалентні.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Легко перевірити, що при s> 0 буде
(*)
бо точка, яка не входить в праву частину цього співвідношення, і поготів не може входити і в ліву частину. Але співвідношення
f _n Þ f, f _n Þ g
показують, що міра правій частині (*) прагне до нуля зі зростанням n, звідки ясно, що mE (êf _n - g ê ³ s) = 0.

Але так як

то f ~ g, що і вимагалося довести.
Теореми 2 і 3 показують, що, бажаючи відновити властивість єдиною граничної функції для збіжності за мірою, ми повинні були б домовитися вважати еквівалентні функції за тотожні. Це зазвичай і робиться в метричних питаннях теорії функцій, тобто в тих питаннях, де всі властивості функцій вивчаються за допомогою заходів множин, на яких функція має чи не має тим або іншим властивістю. В інтегральному численні ми Надем багато прикладів подібного підходу до речей.
Хоча збіжність за мірою загальне збіжності майже скрізь, має місце все ж наступна теорема.
Теорема 4 (Ф. Рисс). Нехай {fn (x)} послідовність функцій, що сходиться в міру до функції f (x). У такому випадку існує підпослідовність
fn ₁ (x), fn ₂ (x), fn ₃ (x), ... (N ₁ <n ₂ <n ₃ <...),
сходящаяся до функції f (x) майже скрізь.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Візьмемо послідовність позитивних чисел s _1> s _2> s _3> ¼, для якої lim s _k = 0.
Нехай, далі, h ₁ + h ₂ + h ₃ + ¼ (h _k> 0) є сходиться позитивний ряд.
Тепер ми можемо побудувати необхідну послідовність індексів
n ₁ <n ₂ <n ₃ <... (*)
наступним чином: позначимо через n ₁ натуральне число, для якого
mE (½ f _n1-f ½ ³ s ₁₎ <h _1.
Таке число обов'язково існує, бо
mE (½ f _n-f ½ ³ s ₁₎ ® 0 при n ® ¥.
Потім через n ₂ позначимо то натуральне число, для якого
mE (½ f _{n 2-f} ½ ³ s ₂₎ h _2, n _2> n _1.
Взагалі через n _k ми позначаємо таке число, що
mE (½ f _nk-f ½ ³ s _k) <h _k, n _k> n _k-1.
Послідовність (*), таким чином, побудована.
Тепер встановимо, що майже скрізь на безлічі E буде
(**)
Дійсно, нехай
, .
Так як R ₁ ÉR ₂ ÉR ₃ É ..., то (теорема 12)
mR _i ® mQ
C іншого боку, очевидно, що так що mR _i ® 0 і, отже, mQ = 0.
Залишається перевірити, що співвідношення (**) має місце для всіх x з множини E - Q.
Нехай x ₀ Î E - Q. Тоді x ₀ R _io. Інакше кажучи, при k ³ i ₀
x ₀ E (| f _nk-f | ³ s _k),
і, отже,
| F _nk (x ₀₎ - f (x ₀₎ | <s _k, (k ³ i ₀₎
і, оскільки s _k ® 0, ясно, що f _nk (x ₀₎ ® f (x _0).
Теорема доведена.
Теорема Лебега дала привід до встановлення поняття збіжності за мірою. З іншого боку, за допомогою цієї ж теореми можна встановити досить важливу теорему Д. Ф. Єгорова.
Теорема 5 (Д. Ф. Єгоров). Нехай на вимірному безлічі Е задана послідовність вимірюваних і майже скрізь кінцевих функцій f ₁ ^(x), f ₂ ^(x), f ₃ (x), ..., майже скрізь сходиться до вимірної і майже скрізь кінцевої функції f (x):      

У такому випадку, для будь-якого d> 0 існує таке вимірна множина Е _d Е, що:
1) mE _s> mE - D;
2) на множині E _d прагнення (*) відбувається рівномірно.
Д о к о з а т е л ь с т в о. При доведенні теореми Лебега було встановлено, що при будь-якому s> 0 буде
(1)
де .

Помітивши це, візьмемо сходиться позитивний ряд

h ₁ + h ₂ + h ₃ + ... (H _i> 0)
і прагне до нуля послідовність позитивних чисел
s _1> s _2> s _3> ..., lim s _i = 0.
У силу (1), можна кожному натуральному i співвіднести таке натуральне n _i, що mR _ni (s _i) <h _i.
Зробивши це, знайдемо таке i _0, що (Де d число, яке фігурує у формулюванні теореми), і покладемо .
Очевидно,
me <d.
Нехай Е _d = Е - тобто Встановимо, що безліч Е _d потрібне. Нерівність mE _d > ME - d ясно, так що залишається переконатися в рівномірності прагнення
f _n (x) ® f (x)
на множині Е _d.
Нехай e> 0. Знайдемо i таке, що i ³ i _0, s _i <e, і покажемо, що при k ³ n _i і при всіх x Î Е _d буде
| F _k (x) - f (x) | <e,
звідки і буде слідувати теорема.
Якщо x Î Е _d, то x e. Значить зокрема, x R _ni (s _i).
Інакше кажучи, при k ³ n _i
x ÎE (| f _k - f | ³ s _i),
так що
| F _k (x) - f (x) | <s _i (k ³ n _i)
і тим більше
| F _k (x) - f (x) | <e (k ³ n _i).

Теорема доведена, бо n _i залежить тільки від e, але не від x.

Структура вимірних функцій
При вивченні якої-небудь функції сам собою постає питання про точний або наближеному представленні її за допомогою функцій більш простої природи.
Такі, наприклад, алгебраїчні питання про розкладання многочлена на множники або раціональні дробу на найпростіші. Такий же питання про розкладання безперервної функції в степеневий або тригонометричний ряд і т.п.
У цій частині ми встановлюємо різні теореми про наближення вимірних функцій функціями безперервними, тобто вирішуємо подібний питання для вимірних функцій. Ці теореми дозволяють нам знайти основне структурна властивість вимірної функції виражається теоремою 4.
Теорема 1. Нехай на множині Е задана вимірна, майже скрізь кінцева функція f (x). Яке б не було e> 0, існує вимірна обмежена функція g (x), така, що mE (f ¹ g) <e.

Д о к о з а т е л ь с т в о. Покладемо

А _k = E (| f |> k), Q = E (| f | = + ¥).
За умовою, mQ = 0. Зважаючи на очевидних співвідношень
А ₁ É А ₂ É А ₃ É ...,
буде (теорема 12) при k ® ¥
mA _k ® mQ = 0.
Значить, знайдеться таке k _0, що mA _{k 0} <e.
Визначимо на множині E функцію g (x), вважаючи

Ця функція вимірна і, крім того, обмежена, оскільки g (x) ê k _0. Нарешті, E (f ¹ g) = A _ko, що і доводить теорему.
Доведена теорема означає, що будь-яка вимірна і майже скрізь кінцева функція стає обмеженою, якщо знехтувати безліччю як завгодно малої заходи.
Визначення. Нехай функція F (x) задана на безлічі E і x ₀ ÎE, причому F (x ₀₎ ¹ ± ¥. Кажуть, що функція F (x) неперервна у точці х ₀ в двох випадках: 1) якщо х ₀ є ізольована точка E; 2) якщо х ₀ Î E ¢ та співвідношення x _n ® x _0, x _n ÎE тягнуть співвідношення
f (x _n) ® f (x _0).
Якщо f (x) неперервна в кожній точці множини E, то говорять, що вона неперервна на цьому множині.
Лемма 1. Нехай множини F _1, F _2, ..., F _n замкнуті і попарно не перетинаються. Якщо функція j (х), задана на безлічі

постійна на кожному з множин F _k, то вона неперервна на множині F.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай x ₀ ÎF 'і x _i ® x _0, x _i ÎF.
У силу замкнутості безлічі F точка x ₀ належить цій безлічі і, отже, знайдеться таке m, що x ₀ ÎF _m.
Але безлічі F _k попарно не перетинаються. Значить, якщо k ¹ m, то х ₀ F _k і, в силу замкнутості безлічі F _k, точка x ₀ не є і граничної точкою цієї множини.
Звідси випливає, що в послідовності {x _i} може бути тільки кінцеве число точок, що належать безлічі F _k при k ¹ m. Відзначимо всі члени послідовності, які входять в одне з множин F _1, ..., F _{m -1,} F _{m +1,} ..., F _n, і нехай x _{i 0,} останній з них. Тоді при i> i ₀ необхідно буде x ₁ ÎF _m, тобто при i> i ₀ виявляється j (x _i) = j (x _0), а це доводить лему.
Лемма 2. Нехай F є замкнутий безліч, що міститься в сегменті [a, b]. Якщо функція j (x) задана і неперервна на множині F, то можна визначити на [a, b] функцію y (x) з наступними властивостями
1) y (x) неперервна;
2) якщо x Î F, то y (x) = j (x);
3) max | y (x) | = max | j (x) |.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Позначимо через [a, b] найменший сегмент, що містить безліч F. Якщо б необхідна функція y (x) була вже побудована на сегменті [a, b], то достатньо було б доповнити її визначення, вважаючи

щоб отримати необхідну функцію вже на всьому сегменті [a, b].
Тому, не обмежуючи спільності, можна вважати що [a, b] і є найменший сегмент, що містить безліч F.
Якщо F = [a, b], то теорема тривіальна. Будемо вважати, що F ¹ [a, b]. Тоді безліч [a, b] - F складається з кінцевого або лічильного безлічі взаємно не налягаючих інтервалів, кінці яких належать F (додаткових інтервалів множини F).
Задамо функцію y (x), вважаючи її рівною j (x) в точках множини F та лінійної на всіх додаткових інтервалах.
Переконаємося в безперервності цієї функції. Безперервність її в кожній точці безлічі [a, b] - F очевидна.
Нехай х ₀ є точка множини F. Ми покажемо, що функція y (x) неперервна в цій точці зліва (безперервність праворуч встановлюється абсолютно аналогічно).
Якщо точка х ₀ служить правим кінцем якого-небудь додаткового інтервалу, то безперервність функції y (x) в цій точці зліва очевидна.
Нехай же x ₀ не є правим кінцем ніякого додаткового інтервалу і нехай x ₁ <x ₂ <x ₃ <... послідовність точок, прагнучих до x _0.
Якщо x _n ÎF (n = 1, 2, 3, ...) те, використовуючи безперервність на безлічі F функції j (x), маємо y (x _n) = j (x _n) ® j (x ₀₎ = y (x _0). Тому можна вважати, що х _n F (n = 1, 2, 3, ...).
У такому випадку точка x ₁ потрапляє в якийсь додатковий інтервал (l _1, m _1), причому m ₁ <х _0. Продовжуючи це міркування, ми приходимо до послідовності (l _1, m _1), (l _2, m _2), (l _3, m _3), ... додаткових інтервалів, розташованих в порядку номерів зліва направо і таких, що
X _k Î (l _1, m ₁₎ (k = n _{i -1} +1, ..., n _i).
Співвідношення x _ni <m _i <x ₀ показує, що m _i, а з того, що m _{i -1} £ l _i <x _0, ясно, що і l _i ® x _0.
Але l _i і m _i входять у F, так що
lim y (l _i) = lim y (m _i) = y (x _0).
З огляду на те, що значення лінійної функції в якому-небудь інтервалі лежать між її значеннями на кінцях цього інтервалу, ясно, що і limy (x _n) = y (x _0).
Отже, безперервність функції y (x) доведена.
З самого її побудови видно, що вона збігається з j (x) на множині F.
Нарешті по відомій теоремі Вейєрштрасса, серед значень неперервної на сегменті функції | y (x) | є найбільше - max | y (x) |. Легко бачити, що цей максимум досягається саме в точці, що належить безлічі F, бо на додаткових інтервалах функція y (x) лінійна. Тому max | y (x) | = max | j (x) |.
Лема доведена повністю.
Теорема 2 (Е. Борель). Нехай на сегменті [a, b] задана вимірна і майже скрізь кінцева функція f (x). Які б не були числа s> 0 і e> 0 існує безперервна на [a, b] функція y (x), для якої
mE (| f-y | ³ s) <e
Якщо при цьому | f (x) | £ K, то можна і y (x) вибрати так, що | y (x) | £ K.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Припустимо спочатку, що | f (x) | £ K, тобто що функція f (x) обмежена.
Фіксуючи довільні s> 0 і e> 0, знайдемо настільки велике натуральне m, що K / m <s, і побудуємо безлічі
(I = 1 - m, 2 - m, ..., m - 1)

Ці безлічі вимірні, попарно не перетинаються і

Побудуємо для кожного i замкнутий безліч F _i Ì E _i з мірою і покладемо .
Ясно, що , Звідки m [a, b] - mF <e.
Задамо тепер на множині F функцію j (x), вважаючи
при xÎF _i (i = 1 - m, ..., m).
У силу леми 1 ця функція неперервна на множині F, | j (x) | £ K і, нарешті, при xÎF буде | f (x) - j (x) | <s.
Залишається застосувати лему 2. Це призводить до безперервної функції y (x), що збігається на множині F з функцією j (x), причому | j (x) | ³ K. Оскільки E (| f - y | ³ s) Ì [a, b] - F, ясно, що функція y (x) необхідна.
Отже, для обмеженої функції теорема доведена.
Припустимо тепер, що f (x) не обмежена. Тоді, користуючись теоремою 1, можна побудувати таку обмежену функцію g (x), що mE (f ¹ g) <e / 2.
Застосовуючи вже доведену частину теореми до функції g (x), ми знайдемо таку безперервну функцію y (x), що

Але легко бачити, що

E (| fy | ³ s) Ì E (f ¹ g) + E (| gy | ³ s),
Так що функція y (x) вирішує задачу.
Слідство. Для всякої вимірної і майже скрізь кінцевої функції f (x), заданої на сегменті [a, b], існує послідовність неперервних функцій y _n (x), що сходиться в міру до функції f (x).

У самому справі, взявши два прагнуть до нуля послідовності

s _1> s _2> s _3> ..., s _n ® 0,
e _1> e _2> e _3> ..., e _n ® 0,
побудуємо для кожного n таку безперервну функцію y _n (x), що
mE (| fy _n | ³ s _n) <e _n

Легко бачити, що y _n (x) Þ f (x).

Дійсно, яке б s> 0 ні взяти, для n ³ n ₀ буде s _n <s, а для таких n

звідки і слід наше твердження.
Застосувавши до послідовності {y _n (x)} теорему Ф. Рісса ми приходимо до послідовності безперервних функцій {y _nk (x)}, що сходиться до функції f (x) майже скрізь.
Інакше кажучи встановлена
Теорема 3 (М. Фреше). Для всякої вимірної і майже скрізь кінцевої функції f (x), заданої на сегменті [a, b], існує послідовність неперервних функцій, що сходиться до f (x) майже скрізь.
За допомогою цієї теореми легко встановлюється вельми чудова і важлива
Теорема 4 (Н. Н. Лузін). Нехай f (x) вимірна і майже скрізь кінцева функція, задана на [a, b]. Яке б не було d> 0, існує така неперервна функція j (x), що
mE (f ¹ j) <d
Якщо, зокрема, | f (x) | £ K, то й | j (x) | £ K.