Нехай F є замкнутий підмножина А, тоді й поготів F є підмножиною множини В. Звідси випливає, що S Ì T, і теорема випливає з того відомого факту, що точна верхня межа підмножини будь-якого множини не перевершує точної верхньої межі самого цієї множини.
Теорема 5. Якщо обмежене безліч Е є сума кінцевого числа або лічильного безлічі множин Е _k
E = , То m * E £ .
Д о к о з а т е л ь с т в о. Теорема тривіальна у разі расходимости ряду . Припустимо, що цей ряд сходиться. Взявши довільне e> 0, ми можемо знайти такі відкриті обмежені множини G _k, що
G _k ÉE _k, mG _k <m * E _k + (R = 1, 2, 3, ...).
Назвемо через D який-небудь інтервал, що містить безліч Є. Тоді ЕÌD , Звідки, в силу теореми 3.
m * E £ m = M £ ,
і теорема випливає з довільності числа e.

Теорема 6. Якщо обмежене безліч Е є сума кінцевого числа або лічильного безлічі взаємно не налягаючих множин Е _k

Е = (E _k E _{k '=} 0, k ¹ k'),
то
m * E ³ _* E _k.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Розглянемо перші n множин Е _1, Е _2, ... ..., Е _n. Для будь-якого e> 0 існують такі замкнуті безлічі F _k, що
F _k ÌE _k, mF _k> m _* E _k - (K = 1, 2, ..., n).
Множини F _k попарно не перетинаються і сума їх замкнута. Звідси, застосовуючи теорему 6, одержимо
m _* E ³ m = mF _k > m _* E _k - E.
Так як e> 0 довільно, то m _* E _k £ m _* E.
Цим теорема доведена для випадку кінцевого числа доданків множин. Якщо ж цих множин є рахункове безліч, то, спираючись на довільність числа n, ми встановимо збіжність ряду m _* E _k і нерівність m _* E _k £ m _* E.
Легко бачити, що теорема перестає бути справедливою, якщо відкинути умова відсутності спільних точок у множин E _k. Наприклад, якщо Е ₁ = [0, 1], Е ₂ = [0, 1] Е = Е ₁ + Е _2, то m _* E = 1, m _* E ₁ + m _* E ₂ = _2.
Теорема 7. Нехай Е обмежене безліч. Якщо D інтервал, содержацій це безліч, то
m * E + m _* [C _D E] = mD.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Візьмемо довільне e> 0 і знайдемо таке замкнутий безліч F, що FÌC _D Е, mF> m _* [C _D E] - e.
Якщо ми покладемо G = C _D F, то безліч G буде відкритим обмеженим безліччю, що містить безліч Е, звідки, за допомогою леми знаходимо
m _* E £ mG = mD - mF <mD - m _* [C _D E] + e.
Звідси, в силу довільності e, випливає, що
m * E + m _* [C _D E] £ mD.
Для того щоб отримати зворотне нерівність
m * E + m _* [C _D E] ³ mD, (*)
доводиться міркувати тонше.

Візьмемо e> 0 і знайдемо таке відкрите обмежене безліч G _0, що G ₀ É Е, mG ₀ <m * E + .

Назвемо кінці інтервалу D через A і B і побудуємо такий міститься в D інтервал (a, b), що
A <a <A + , В - <B <B.
Зробивши це, покладемо G = DG ₀ + (A, a) + (b, B).
Безліч G відкрито, обмежена, містить E і таке, що
mG <m * E + e.
Але крім того (і це тут основне) безліч F = C _D G виявляється замкнутим, що випливає з легко перевіряється тотожності F = [а, b] × CG.
Так як F Ì С _D Е, то m _* [З _D Є] ³ mF = mD - mG> mD - m * E-e.
Звідси, в силу довільності e, слід нерівність (*), а з ним і теорема.
Слідство. У позначеннях теореми буде
m * [C _D Є] - m _* [C _D Є] = m * E - m _* E.
Справді, якщо ми змін ролі множин Е і С _D Е, то отримаємо, що m * [C _D Є] + m _* Е = mD, звідки
m * [C _D Є] + m _* E = m * E + m _* [C _D E],
а це рівносильно доводить твердження.

Вимірні множини

Визначення. Обмежені безліч Е називається вимірною, якщо його зовнішня і внутрішня заходи дорівнюють один одному:
m ^* E = m _* E.
Їх загальне значення називається мірою множини E і позначається через mE:
mE = m ^* E = m _* E.

Цей спосіб визначення поняття міри належить Лебегом, у зв'язку з чим іноді вимірна множина називають безліччю "вимірним в сенсі Лебега", або, коротше, "вимірним (L)".

Якщо безліч E незмірно, то про його мірою не можна говорити, і символ mE для нас позбавлений сенсу. Зокрема, невимірними ми вважаємо всі необмежені множини.
Теорема 1. Відкрите обмежене безліч вимірно і його знову певна міра співпадає з мірою.
Цей результат є безпосередній наслідок теореми 1. Точно також з теореми 2, випливає наступна теорема:
Теорема 2. Замкнена обмежене безліч вимірно і його знову певна міра співпадає з введеною.
З слідства теореми 7, випливає:
Теорема 3. Якщо Е є обмежена кількість, що міститься в інтервалі D, безлічі Е і С _D Е одночасно вимірні чи ні.
З зіставлення теорем 5 і 6 попередньої теми слід:
Теорема 4. Якщо обмежене безліч Е є сума кінцевого числа або лічильного безлічі вимірних множин, попарно не мають точок,
(Е _k Е _{k '=} 0, k ¹ k'),
то безліч Е вимірно і

Д о к о з а т е л ь с т в о випливає з наступного ланцюга нерівностей:

Доведене властивість заходи називається її повної аддитивностью.
В останній теоремі істотно було, що окремі складові попарно не перетинаються. Позбудемося цього обмеження, поки, втім, для випадку кінцевого числа доданків множин.
Теорема 5. Сума кінцевого числа вимірних множин є вимірна множина.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай причому безлічі
E _k (k = 1, 2, ..., n) вимірні.
Візьмемо довільне e> 0 і побудуємо для кожного k таке замкнутий безліч F _k і таке відкрите обмежене безліч G _k, щоб було
F _k Ì E _k Ì G _k, mG _k - mF _k < (K = 1, 2, ..., n).

Зробивши це, покладемо

Очевидно, що безліч F замкнуто, а G відкрито і обмежена, і що
F Ì E Ì G, звідки випливає, що
mF £ m _* E £ m ^* E £ mG. ^(*)
Але безліч G - F відкрито (бо його можна представити у формі
G · CF) і обмежена. Значить, це безліч вимірюється. Безліч F також вимірна, а тому, оскільки
G = F + (G - F)
і множини F і G - F не перетинаються, можна застосувати попередню теорему, що дає mG = mF + m (G - F), звідки
m (G - F) = mG - mF.

Аналогічно ми встановимо, що

m (Gk - Fk) = mGk - mFk (k = 1, 2, ..., n).

Зазначимо тепер легко перевіряється включення

GF (G _{k-F k).}
Усі вхідні сюди безлічі відкриті і обмежені, так що, на підставі теорем § 1, ми маємо
m (GF)
або
mG - mF <E.
Звідси і з (*) випливає, що m * E - m _* E <e, а також як e як завгодно мало, то
m * E = m _* E.
Теорема 6. Перетин кінцевого числа вимірних множин вимірюється.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай E = , Причому безлічі E _k вимірні. Назвемо через D який-небудь інтервал, що містить всі множини E _k. Легко перевірити, що C _D E = .
Але безлічі З E _k вимірні одночасно з множинами E _k, звідки, в силу теореми 5, слід вимірність множини C _D E, а з ним і множини E, що й потрібно було довести.
Теорема 7. Різниця двох вимірних множин вимірна.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай E = E ₁ - E _2, де множини E ₁ і E ₂ вимірні. Назвемо через D який-небудь інтервал, що містить обидва множини E ₁ і E _2. Тоді E = E ₁ · C _D E ₂ і справа зводиться до попередньої теоремі.
Теорема 8. Якщо в умовах теореми 7 буде E ₁ E _2, то
ME = mE ₁ - mE _2.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Очевидно E ₁ = E + E ₂ (EE ₂ = 0), звідки, в силу теореми 4, mE ₁ = mE + mE _2, що рівносильно теоремі.
Теорема 9. Якщо обмежене безліч E є сумою рахункового безлічі вимірних множин, то E вимірюється.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай E = .
Введемо безлічі A _k (k = 1, 2, ...), вважаючи
A ₁ = E _1, A ₂ = E _{2-E 1,} ..., A _k = E _k - (E ₁ + ... + E _k-1), ...
Легко перевірити, що . При цьому всі безлічі A _k вимірні і попарно не перетинаються (в останньому вся суть докази), так що справа звелася до теореми 4.
Умова обмеженості безлічі Е (яке в теоремі 5 виконувалося само собою) відкинути не можна, як видно хоча б з прикладу Е _k = [0, k], де сума _k = [0, + ) Невимірна.
Теорема 10. Перетин рахункового безлічі вимірних множин вимірюється.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай _k, де всі безлічі Е _k вимірні. Так як Е Е _1, то безліч Е обмежена. Позначимо через D який-небудь інтервал, що містить це безліч, і покладемо А _k = D Е _k (K = 1, 2, 3, ...).

Тоді

_k = _k) = _k.
Легко перевірити, що , І справа зводиться до теорем 3 і 9.
На закінчення встановимо дві теореми, які відіграють важливу роль в теорії функцій.
Теорема 11. Нехай безлічі Е _1, Е _2, Е _3, ... вимірні. Якщо

і якщо сума обмежена, то
[ME _n].
Д о к о з а т е л ь с т в о. Легко бачити, що безліч Е можна представити у формі
Е = Е ₁ + (Е ₂ - Е ₁₎ + (Е ₃ - Е ₂₎ + (Е ₄ - Е ₃₎ + ...,
де окремі складові попарно не перетинаються. Звідси, в силу теорем 4 і 8, випливає, що

На підставі самого визначення суми нескінченної низки, остання рівність можна переписати так
{
а це рівносильно теоремі, бо
mE ₁ + = ME _n
Теорема 12. Нехай E _1, E _2, E _3, ... суть вимірні множини, і Е = . Якщо Е ₁ É E ₂ É E ₃ É _..., то
mE = lim .
Д о к о з а т е л ь с т в о. Цю теорему легко звести до попередньої. Дійсно, позначивши через D який-небудь інтервал, що містить безліч Е _1, ми будемо мати
З _D E ₁ ÌC _D E ₂ ÌC _D E ₃ Ì ..., C _D E = .
У силу теореми 11 ми отримуємо, що
m (С _D E) =
що можна уявити і так:
mD - mE =
а це рівносильно теоремі.

Вимірність і міра як інваріанти руху

Нехай дано дві множини А і В, що складаються з об'єктів будь-якої природи. Якщо вказано правило, яке кожному елементу а безлічі А ставить у відповідність один і тільки один елемент b множини В, то говорять, що встановлено однозначне відображення множини А в множину В. При цьому не передбачається, що кожен елемент множини В виявляється співвіднесених якому-небудь елементу з А. Поняття відображення є пряме узагальнення поняття функції. У зв'язку з цим елемент b Î В, що відповідає елементу а Î A, часто позначають через f (а) і пишуть b = f (а).
Якщо b = f (а), то ми будемо називати елемент b чином елемента а, а елемент а прообразом елемента b. При цьому один елемент b може мати кілька прообразів.
Нехай А * є частина множини А, а В * є безліч образів всіх елементів А * (інакше кажучи, якщо аÎА *, то f (а) ÎВ *, і якщо bÎВ *, то існує хоч один елемент аÎА * такий, що f (а) = b). У такому випадку безліч В * називається чином безлічі А *, що записують так: У *= f (А *).
При цьому безліч А * називається прообразом безлічі У *.
Встановивши ці загальні поняття, перейдемо до розгляду одного важливого спеціального виду відображень.
Визначення 1. Однозначне відображення j (х) числової прямої Z в себе називається рухом, якщо відстань між образами будь-яких двох точок прямої дорівнює відстані між самими цими точками:
½ j (х) - j (y) ½ = ½ х - y ½.
Інакше кажучи, рухом називається таке відображення безлічі Z в безліч Z, яке не змінює відстаней між точками Z.
У визначення поняття руху не включено вимогу, щоб кожна точка Z cлужіла чином який-небудь точки, а також вимога, щоб різні точки Z мали різні ж образи. Однак обидва ці обставини мають місце. Переконаємося в цьому поки для одного з них.
Теорема 1. Нехай j (х) є рух. Якщо х ¹ y, то j (х) ¹ j (y).
Дійсно, в цьому випадку ½ j (х) - j (y) ½ = ½ х - y ½ ¹ 0.
Теорема 2. a) Якщо А Ì В, то j (А) Ì j (В).
                     b)
                     c)
                     d) Якщо L порожня множина, то j (L) = L
Доказ надається читачеві; вкажемо лише на те, що при доказі с) використовується теорема 1.
Легко перевірити, що наступні три відображення є рухами:
   I. j (х) = х + d (зрушення),
  II. J (х) = - х (дзеркальне відбиття),
III. J (х) = - х + d.
Надзвичайно важливим є те, що цими трьома (власне - двома, бо III охоплює II) типами вичерпуються всі можливі руху в Z.
Теорема 3. Якщо j (х) є рух, то або
               j (х) = х + d,
або
               j (х) = - х + d.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Покладемо, j (0) = d. Тоді для будь-якого х буде | j (х) - d | = | х | і, отже,
j (х) = (-1) ^{s (х)} х + d [s (х) = 0, 1].
Функція s (х) визначена для будь-якого х ¹ 0. Нашим завданням є встановлення того, що s (х) є постійна величина.
Нехай x і y дві точки, причому x ¹ 0, y ¹ 0, x ¹ y. Тоді
j (x) - j (y) = (-1) ^{s (x)} x - (-1) ^{s (y)} y,
або
j (x) - j (y) = (-1) ^{s (x)} [x - (-1) ^r y],
де r = s (y) - s (x) має одне з трьох значень r = 1, 0, -1.
Користуючись визначенням руху, можна стверджувати, що
| X - (-1) ^r y | = | x - y |.
Звідси, або x - (-1) ^r y = x - y, або ж x - (-1) ^r y =-x + y.
Але другий випадок неможливий, бо він призводить до того, що
2x = y [1 + (-1) ^r ], Звідки (при r = ± 1) x = 0, або (при r = 0) x = y, а це суперечить умові.
Значить, залишається перший випадок, який дає, що r = 0, тобто s (x) = s (y).
Значить, для всіх x ¹ 0 функція s (x) має одне і те ж значення
s (x) = s (s = 0, 1), так що j (x) = (-1) ^s x + d.
Оскільки це рівність, очевидно, залишається в силі і для x = 0, теорема доведена.
Слідство. При русі кожна точка y Î Z служить чином деякої точки x Î Z, тобто j (Z) = Z.
Дійсно, якщо j (x) = (-1) ^s x + d, то прообразом точки y служить точка x = (-1) ^s (yd).

Якщо j (x) = (-1) ^s x + d є деякий рух, то рух   

j ^-1 (x) = (-1) ^s (x - d)
називається зворотним рухом. Ці два рухи пов'язані співвідношеннями                            
j [j ^-1 (x)] = j ^-1 [j (x)] = x.
Інакше кажучи, якщо точка х в русі j має чином крапку y, то в русі j ^-1 точка y має чином крапку х. Дуже важливим є те, що з усякого руху існує зворотне йому рух.
Теорема 4. При русі: а) всякий інтервал переходить в інтервал тієї ж заходи, причому кінцями інтервалу-образу служать образи решт інтервалу-прообразу;
b) образ обмеженої множини є обмежене ж безліч.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай D = (a, b) є певний інтервал. Тоді при русі j (x) = x + d чином інтервалу D служить інтервал (а + d, b + d), а при русі j (x) =-x + d - інтервал (d - b, d - a). В обох випадках mj (D) = b - a = mD.
Щоб довести b), позначимо через Є якесь обмежене безліч. Якщо D є інтервал, що містить безліч Е, то
j (Е) Ì j (D), так що j (Е) обмежена. Можна міркувати і так: якщо для всіх х з Е буде | х | <k, то для всіх у з j (E) буде | у | <k + | d |.
Теорема 5. При русі: а) замкнутий безліч переходить у замкнутий безліч;
b) відкрите безліч переходить у відкрите безліч.
Д о к о з а т е л ь с т в о. a) хай j (F) є образ замкнутого безлічі F. Позначимо через у ₀ будь-яку граничну точку безлічі j (F) і знайдемо послідовність {у _n}, для якої
lim у _n = у _0, у _n Î j (F).
Нехай х ₀ = j ^-1 (у _0), х _n = у ^-1 (у _n).
Тоді х _n ÎF. Але | х _n - Х ₀ | = | у _n - У ₀ |, так що х _n ® х ₀ і, в силу замкнутості F, х ₀ Î F, звідки у ₀ = j (х ₀₎ Î j (F).
Значить j (F) є відкрита множина.
b) Нехай G є відкрита множина. Покладемо F = CG. Тоді F є замкнутий безліч і G + F = Z, G · F = 0.
Звідси, в силу теореми 2 і слідства теореми 3,
j (G) + j (F) = Z, j (G) j · (F) = 0,