С.С. Кубріна
Інститут "Гіпроуглеавтоматізація", Кемерово
Класично, в літературі опис фракталів починається з прикладу тріадной кривої Гельгона фон Коха. Ця крива будується Ітеративний. Побудова починається з прямолінійного відрізка одиничної довжини. На першому кроці вихідний відрізок замінюється чотирма довжиною кожен у 1 / 3 від довжини вихідного. Далі, операція повторюється з кожним знову отриманим відрізком. Таким чином, отримують криву Коха різної детальності в залежності від числа ітерацій. Коли число ітерацій спрямовується до нескінченності () отримуємо граничну криву (рис. 1).
Легко бачити, що довжина тріадной кривої Коха визначається формулою і прагне до нескінченності. Відповідно, розмірність Хаусдорфа даного фрактального освіти визначається співвідношенням: ( 
- Число елементів, - відносний розмір елементів).
Для побудови кривої Коха, використовується тільки одна структура. На жаль, такі фрактали у природі рідко зустрічаються. Частіше за все, в побудові фракталів беруть участь кілька структур, що складаються з різного числа елементів. Причому, розміри елементів структур також різні.
Розглянемо невеликий приклад. Нехай елементи кривої (це, звичайно, буде вже не крива Коха) на першій ітерації діляться на три елементи, на другий на чотири, в третьому на п'ять, у четвертому знову на три і так далі змінюючись циклічно. А правило визначає розмір елементів залишається тим же, що і для кривої Коха.
Тоді, на самому початку процесу довжина кривої визначається як; де: - число елементів, - довжина елемента. На першому кроці (n = 1) довжина кривої та її форма не змінюються, (,).
Запишемо число елементів кривої та довжини елементів для наступних кількох ітерацій. Так при:
n = 2,, 
n = 3,, 
n = 4,, 
n = 5,, 
n = 6,, 
і відповідно для: n,, 
.
Отже, довжина кривої буде дорівнює. Висловлюючи n через довжину елементу () і застосовуючи пряму і зворотну операції логарифмування маємо:
.
Рис.2. Вплив на розмірність Хаусдорфа числа структур з різним
кількістю елементів (l = 1 / 10). У точці n = 1 k = 11.
Звідки фрактальна розмірність. У порівнянні з кривою Коха у знову отриманої кривої розмірність Хаусдорфа менше, але довжина її все ще не кінцева. Узагальнюючи отриманий результат, на довільне число структур, формула для визначення розмірність Хаусдорфа при циклічному структуроформірующем правилі прийме вигляд:
,
тут: å - кількість різних структур; - число елементів в структурі; - число повторень структури.
Провівши аналогічні міркування щодо правила, що визначає розмір елементів структур, отримаємо залежність від числа структур і варіації розмірів елементів структур:
.
Проаналізуємо вплив чисельності структур, що беруть участь у формуванні фрактального освіти, на розмірність Хаусдорфа цього утворення. Нехай є кілька фрактальних утворень. Перше будувалося за допомогою однієї структури, що з j елементів. Друге - за допомогою трьох структур, що складаються відповідно з j-1, j і j +1 елементів. Третє - за допомогою п'яти структур, що складаються відповідно з j-2, j-1, j, j +1 і j +2 елементів. І так далі. На рис. 2 побудований графік залежності розмірності Хаусдорфа від числа структур. З малюнка видно, що, чим більше розмаїтість структур, тим менше розмірність.
Рис.3. Вплив на розмірність Хаусдорфа числа різних елементів в структурі (k = 11). У точці n = 1 l = 10.
Рис. 3 ілюструє вплив на розмірність Хаусдорфа варіації розмірів елементів у структурі. Зі збільшенням кількості розмірів елементів, зростає розмірність.
Аналіз отриманих результатів приводить до висновку, що обчислення розмірності Хаусдорфа в складних фрактальних утвореннях осреднением числа або (і) довжини елементів структур неприпустимо. Прикладний інтерес представляють фрактали з розмірністю менше розмірності простору.
Використання фракталів з циклічно повторюються структурами дозволяє легко отримувати самоподібні освіта необхідної розмірності, що необхідно в різних додатках.
Список літератури
Пайтген Х.О., Ріхтер П.Х., Краса фракталів. Образи комплексних динамічних систем, М.: Світ, 1993. 176 с.
Федер Енс. Фрактали. М.: Світ, 1991. 254 с.
Mandelbrot BB, The Fractal Geometry of Nature. Freeman, SanFrancisco, 198