Кут між двома прямими
і 
обчислюється за формулою:
(10.5)Тоді умова паралельності двох прямих має вигляд:
(10.6)А умова перпендикулярності – у вигляді:
(10.7)Кут між прямою
і площиною Ах+Ву+Сz+D=0 обчислюється за формулою:
(10.8)Умова паралельності прямої і площини записується у вигляді:
(10.9)А умова перпендикулярності – у вигляді:
(10.10)Рівняння пучка площин, які проходять через пряму
,має вигляд:
(10.11)де λ – будь-яке дійсне число.
Зразки розв’язування задач
Задача 1. Скласти рівняння прямої, яка паралельна вектору
і проходить через точку M(-1;4;-2) .Розв’язання.
Використовуючи канонічне рівняння прямої (10.2), маємо:
. Якщо ці рівняння записати у вигляді системи, то дістанемо загальне рівняння прямої:
або 
Задача 2. Скласти рівняння прямої, яка паралельна осіОуі проходить через точку M(2;-1;1) .
Розв’язання.
Напрямний вектор
прямої колінеарний осі Оу, отже його проекції на осях Ox іOz дорівнюють нулю. Візьмемо 
=1 і виберемо напрям такий, що збігається з додатним напрямом осі Оу , тоді =(0;1;0). Складемо канонічне рівняння прямої:
.Загальні рівняння шуканої прямої мають вигляд:
Задача 3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А(2;-3;-1) і паралельна прямій
.Розв’язання.
Оскільки шукана пряма паралельна даній, то за її напрямний вектор можна взяти напрямний вектор
=(2;4;-3) даної прямої. Використавши тепер рівності (10.2), дістанемо канонічне рівняння шуканої прямої:
.Задача 4. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки А(-3;2;4) і В(7;-3;2).
Розв’язання.
За формулою (10.4) маємо:
або 
.Задача 5. Довести, що прямі
і 
взаємно перпендикулярні.Розв’язання.
Припустивши в рівності (10.7) m1=-2, n1=3, p1=-4 і m2=5, n2=6, p2=2, маємо: -2·5+3·6+(-4)·2=0.
Задача 6. Обчислити гострий кут між двома прямими
і 
.Розв’язання.
Припустивши в рівності (10.5) m1=2, n1=1, p1=2 і m2=12, n2=3, p2=4, знаходимо:
.Задача 7. Обчислити кут між прямою
і площиною 3х+4у+2z-5=0 .Розв’язання.
Скористаємось формулою (10.8).
ОскількиА=3, В=4, С=2, m=1, n=2, p=-3, то
.Задача 8. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку
А(-2;-3;1) перпендикулярно до прямої
.Розв’язання.
Відомо, що за нормальний вектор
шуканої площини можна взяти паралельний йому напрямний вектор =(4;-2;3) даної прямої. Скористаємось рівнянням площини, яка проходить через дану точкуМ перпендикулярно до вектора :4(х+2)-2(у+3)+3(z-1)=0 або 4х-3у-2z-1=0.
Задача 9. Перевірити, що пряма
паралельна площині 4х-3у-2z+7=0.Розв’язання.
Використавши умову (10.9) паралельності прямої і площини, дістанемо 5·4+2·(-3)+7·(-2)=0, тобто пряма і площина паралельні.
Задача 10. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму
і точку М(1;-3;5).Розв’язання.
Використавши рівність (10.11), запишемо рівняння пучка площин, які проходять через дану пряму:
(*)Оскільки координати точкиМ повинні задовольняти рівнянню площини, то, підставивши у співвідношення (*), x=1, y=-3, z=5, маємо:
або 
, звідки 
. Підставивши тепер у співвідношення (*) знайдене значення 
, дістанемо 
або 
.Завдання для самостійної роботи.
Задача 1. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку
М(-1;4;-2) і паралельна до вектора
=(3;-2;5).Задача 2. Обчисліть кут між прямими
і 
.Задача 3. Перевірте, що пряма
паралельна площині 
.Задача 4. Обчисліть кут між прямою
і площиною 
.Задача 5. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму
і точку М(2;-5;4).Задача 6. Знайти точку перетину прямих
та 
.Задача 7. З’ясувати, чи будуть паралельними прямі
та АВ, якщо А(-1;1;2) та В(-5;-1;-4).Задача 8. Знайти відстань між прямими
та 
.Задача 9. З’ясувати, чи перетинаються прямі
та 
.Задача 10. Знайти точку перетину прямої
та площини АВС, якщо А(0;1;3), В(0;3;4) та С(1;0;1).11. Нескінченна числова послідовність. Границя числової послідовності і її властивості. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
Нескінченною числовою послідовністю називається числова функція, визначена на множині Nнатуральних чисел.
Послідовність
називається зростаючою (спадною), якщо для будь-якогоnвиконується нерівність 
.Послідовність
називається незростаючою (неспадною), якщо для будь-якого n виконується нерівність 
.Спадні, зростаючі, неспадні і незростаючі послідовності називаються монотонними.
Звичайно послідовність задається формулою, яка виражає загальний член послідовності через n.
Число а називається границею послідовності
, якщо для будь-якого додатного числа ε знайдеться натуральне число N, що буде виконуватися нерівність 
. Записується таким чином: 
.Послідовність може мати лише одну границю. Якщо послідовність має границю, то таку послідовність називають збіжною, а послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.
Властивості числових границь мають вигляд:
Теорема 1. Якщо послідовності
і 
збігаються, то 
Теорема 2. Якщо послідовності
і збігаються, то 
Теорема 3. Сталий множник можна винести за знак границі, якщо послідовність
збігається: 
Теорема 4. Якщо послідовності
і збігаються і границя послідовності відмінна від нуля, то 
Послідовність називається нескінченно малою, якщо її границя дорівнює нулю.
Для нескінченно малих послідовностей справедливі наступні теореми:
Теорема І. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою.
Теорема ІІ. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу є нескінченно малою.
Теорема ІІІ. Щоб виконувалася рівність
, необхідно і достатньо, щоб 
, де 
- нескінченно мала послідовність.Послідовність називається нескінченно великою, якщо
.Зразки розв’язування задач.
Обчислити границі таких послідовностей:
1)
.Чисельник і знаменник не мають границі, бо це необмежені послідовності, отже теорему про границю частки безпосередньо застосувати не можна. Поділивши чисельник і знаменник на n і застосувавши потім теорему про границю частки, дістанемо:
.Решта границь 2-5 обчислюється аналогічно (чисельник і знаменник ділимо на n у старшому ступені):
2)
.3)
.4)
5)
.6)
;При
послідовність 
є різницею двох нескінченно великих послідовностей 
. Помноживши і поділивши послідовність на вираз 
, дістанемо:
Решта границь 7,8 обчислюється аналогічно.
7)
8)
9)
;Чисельник і знаменник не мають границі, бо це необмежені послідовності, які утворюють суми арифметичних прогресій. У чисельнику така сума
дорівнює 
. У знаменнику така сума 
, або 
. Тоді дана границя має вигляд:
Завдання для самостійної роботи.
I. Для яких заданих графічно функцій
?а)
б)
в) 
II. Обчислити границі послідовностей:
1).
2).
3).
4).
;5).
З’ясувати, чи має границю послідовність
, якщо 
та 
. Відомо, що
та 
. Довести, користуючись властивостями нескінченно малих, що 
.12. Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Основні правила диференціювання.
Похідною функції
в точці 
називається границя відношення приросту функції 
функції в цій точці до приросту 
аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:
Наводимо таблицю похідних основних елементарних функцій.
1.
;2.
;3.
;4.
;5.
;6.
;7.
;8.
;9.
;10.
;11.
;12.
;13.
;14.
;15.
;16.
.При знаходженні похідної функції користуються також основними правилами диференціювання.
1.
, де с – стала.2.
, де 
- функція.3.
.4.
.Якщо у є функція від
: 
, де , у свою чергу є функція від аргументу х: 
, тобто залежить від х через проміжний аргумент , у називається складеною функцією від х (функцією від функції): 
.Похідна складеної функції дорівнює добутку її похідної за проміжним аргументом на похідну цього аргументу за незалежною змінною:
.Якщо функція у від х задана параметричними рівняннями
, 
(
- параметр), похідна 
обчисляється за формулою 
.Геометричний зміст похідної
у точці 
у тому, що вона дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до кривої 
у точці з абсцисою . Рівняння дотичної до кривої в точці з абсцисою має вигляд:
.Другою похідною функції
називається похідна від першої похідної цієї функції:
.Друга похідна параметрично заданої функції обчисляється за формулою:
.Зразки розв’язування задач
Задача 1. Знайти похідні функцій:
1)
, 2) 
, 3) 
,4)
, 5) 
.Розв’язання.
1) Винесемо сталий множник за знак похідної, а потім застосуємо формулу 2 таблиці похідних
.Аналогічно дістанемо:
2)
.3)
.4)
.5)
.Задача 2. Знайти похідні функції:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
.Розв’язання.
1) Знайдемо похідну від алгебраїчної суми як алгебраїчну суми похідних доданків:
2)
.3) Знайдемо похідну за основним правилом 3:
.4) Використаємо правило 4:
.5)
Задача 3. Знайти похідні складених функцій:
1)
;2)
;3)
;4)
;5)
.Розв’язання.
1) Знайдемо похідну від першого доданку за формулою:
, де 
.Тоді
.Похідну від другого доданку знайдемо аналогічно:
.Загалом
.2)
.3)
.4)
5)
=
.Задача 4. Обчислити значення похідної функції
у точці х=2а.Розв’язання:
.Задача 5. Знайти похідну параметрично заданої функції:
, 
.Розв’язання.
Знайдемо
;
;
.Задача 6. Знайти похідну неявно заданої функції:
1)
;2)
.1) Диференціюємо по х ліву і праву частину рівняння, враховуючи, що y – це функція від х:
.Розв’язуємо рівняння відносно
.
;
.2) Диференціюємо по х:
;
;
;
;
.Задача 7. Скласти рівняння дотичних до кривих:
1)
у точці з абсцисою 
;2)
у точці де, 
;3)
у точці 
.Розв’язання:
1) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої:
, 
,а також
.Підставимо в рівняння дотичної:
;
;
.2)
.
;
.Знайдемо координати точки М0, через яку проведена дотична:
, 
.Рівняння дотичної
;
.3) Знайдемо похідну неявної функції:
;
;
.Рівняння дотичної:
;
;
.Задача 8. Знайти похідну другого порядку функції:
1)
;2)
;3)
.Розв’язання:
1) Знайдемо
;
.2)
;
; 
;
.
;
;
.3)
;
;
; 
;
.Диференціюємо по х ще раз, а потім підставимо замість
її вираз через х.
.Завдання для самостійної роботи.
I. Знайти похідні функцій:
1)
;2)
;3)
;4)
.II. Обчислити значення похідної
функції 
.III. Знайти похідні параметричної і неявної функцій:
1)
;2)
.IV. Скласти рівняння дотичних до кривих:
1)
у точці з абсцисою х0=0;2)
;3)
у точці М(0;1).V. Знайти другі похідні функцій:
1)
;2)
;3)
.VI. Обчислити за означенням похідні функцій:
1)
;2)
.Література
Вища математика: основні означення, приклади і задачі: У двох книгах/ За редакцією Г.Л.Кулініча та І.П.Васильченка.- К.: Либідь, 1994.
Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика.- К.: Вища школа, 1993.
Богомолов М.В. Практичні заняття з математики.- К.: Вища школа, 1979.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1.-М.:Наука, 1976.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.- М.:Наука, 1975.
ЗМІСТ
Вступ……….………………………………………………………………………..3
1.Матриці і операції над ними. Визначники матриць. Властивості визначників. Обернена матриця………………………………………………………………….4
2. Системи лінійних рівнянь. Формули Крамера. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом…………………………………………. 12
3. Вектори в просторі. Основні поняття. Лінійні операції з векторами. Прямокутна система координат у просторі…………………………………….19
4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Застосування в задачах геометрії. Умови перпендикулярності та компланарності векторів…………..26
5. Загальне і канонічне рівняння прямої. Рівняння прямої у відрізках на осях. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки. Перетин двох прямих…………………………………………...33
6. Кут між двома прямими. Пучок прямих, які проходять через дану точку. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої………………….40
7. Криві другого порядку: коло, еліпс……………………………………………46
8. Криві другого порядку: гіпербола, парабола………………………………52
9. Рівняння площини в просторі…………………………………………………63
10. Пряма в просторі. Площина і пряма……………………………………….69
11. Нескінченна числова послідовність. Границя числової послідовності і її властивості. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності…………..75
12. Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Основні правила диференціювання…………………………………………………………………79
Література…………………………………………………………………………91
1 2 3 4