Завдання для самостійної роботи.
Задача 1. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо довжина її уявної осі дорівнює 12, і гіпербола проходить через точку (20;8).
Задача 2. Побудувати гіперболу
. Знайти фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис.Задача 3. Скласти рівняння гіперболи, якщо відстань між фокусами дорівнює 10, а рівняння асимптот
.Задача 4 Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, яка симетрична відносно осі Ох і проходить через точку (5;-3). Знайти координати фокуса, рівняння директриси. Побудувати.
Задача 5 Побудувати параболу
. Знайти координати фокуса та рівняння директриси.Задача 6. Записати рівняння лінії, зображеної на рисунку.
Задача 7. Записати рівняння лінії, зображеної на рисунку.
Задача 8. Скласти рівняння геометричного місця точок, які однаково віддалені від точки А(2,2; 2) та від прямої
. Побудувати лінію.9. Рівняння площини в просторі.
Рівняння площини, що проходить через дану точку
в заданому напрямі 
має вигляд:
. (9.1)Рівняння
(9.2)називається загальним рівнянням площини, якщо коефіцієнт А,В,С одночасно не дорівнюють нулю.
Ненульовий вектор
, перпендикулярний до площини, називається нормальним вектором площини.Розглянемо окремі випадки загального рівняння площини.
1. Нехай D=0. Тоді рівняння площини має вигляд
і площина проходить через початок координат.2. Нехай С = 0. Тоді рівняння площини має вигляд
і площина паралельна осі Oz. Аналогічно при А=0 і В = 0 дістанемо площини 
і 
, паралельні відповідно осям Ох і Оy.3. Нехай С = D = 0. Тоді рівняння площини має вигляд
і площина проходить через початок координат і паралельна осі Oz. Аналогічно при А = D = 0 і B = D = 0 дістанемо площини 
і 
, які проходять відповідно через осі Ох і Oy.4. Нехай В = С = 0. Тоді рівняння площини має вигляд
і площина паралельна осям Oy і Oz, тобто перпендикулярна до осі Ох. Аналогічно при А = В = 0 і А=С=0 дістанемо площини 
і 
, які перпендикулярні відповідно до осей Oz і Oy.5. Нехай В=С=D=0. Тоді рівняння площини має вигляд
, тобто х=0; площина збігається з площиною Оyz.Аналогічно при А=В=D=0 і А=С=D=0 дістанемо площини z=0 і y=0, які збігаються відповідно з координатними площинами Охy і Охz.
Кут між двома площинами, які перетинаються,
і 
дорівнює куту між її нормальними векторами 
і 
і обчислюється за формулою:
. (9.3)Щоб дві площини були паралельні, їх нормальні вектори
і 
повинні бути колінеарні, тобто
.Щоб площини були перпендикулярні, їх нормальні вектори
і 
також повинні бути перпендикулярні, тобто
.Відстань від точки M0(x0;y0;z0) до площини
обчислюється за формулою:
(9.4)Зразки розв’язування задач.
Задача 1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку
К(2;0;-1) і перпендикулярна до осі Ох.
Розв’язання.
Рівняння площини, перпендикулярної до осі Ох, має вигляд Ах+D=0. Підставивши в це рівняння координати точки К, знаходимо 2А+D=0, тобто D=-2А. Підставивши тепер значення D в рівняння Ах+D=0, дістанемо Ах-2А=0, тобто х-2=0.
Задача 2. Скласти рівняння площини, яка проходить через вісь Оz і через точку М(2;-5;4).
Розв’язання.
Рівняння шуканої площини має вигляд Ах+Ву=0. Підставивши в це рівняння координати точки М, дістанемо 2А-5В=0, тобто
. Підставивши тепер значення В в рівняння Ах+Ву=0, знаходимо 
, тобто 
або 5х+2у=0.Задача 3. Скласти рівняння площини, яка паралельна осі Ох і проходить через точки М1(3;-1;2) і М2(-2;3;4).
Розв’язання.
Оскільки шукана площина паралельна осі Ох і проходить через точки М1(3;-1;2) і М2(-2;3;4), то за її нормальний вектор
можна взяти вектор перпендикулярний до векторів 
і 
(одиничний вектор на осі Ох). З другого боку, відомо, що векторний добуток двох векторів є вектор, перпендикулярний до векторів співмножників, тому за 
можна взяти векторний добуток 
і .
.Скористаємось рівнянням площини, яка проходить через дану точку
М2(-2;3;4) перпендикулярно до вектора
. Маємо:2(у-3) -4(z-4) = 0 або y-2z+5 = 0.
Задача 4. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку
М(4;-3;1) і паралельна до площини 3х+2у-4z+12=0.
Розв’язання.
Оскільки шукана площина паралельна площині 3х+2у-4z+12=0, то за її нормальний вектор можна взяти вектор
. Використавши тепер рівняння площини, що проходить через дану точку в заданому напрямі, дістанемо:3(x-4)+2(y+3)-4(z-1)=0 або 3x+2y-4z-2=0.
Задача 5. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки
М1(2;-4;1) і М2(-3;5;7) і перпендикулярна до площини 3х+4у-7z+2=0.
Розв’язання.
За нормальний вектор
шуканої площини візьмемо векторний добуток векторів 
і 
:
Скористаємось рівнянням площини, яка проходить через дану точку М1(2;-4;1) перпендикулярно до вектора
:-87(x-4)-17(y+3)-47(z-1)=0 або 87x+17y+47z-153=0.
Задача 6. Знайти гострий кут між площинами 2x-3y+4z-1=0 і 3x-4y-z+3=0.
Розв’язання.
Щоб обчислити гострий кут φ між площинами, скористаємось формулою (9.3), причому праву частину рівності беремо за абсолютною величиною, бо cos φ>0. Маємо:
А1=2, В1=-3, С2=4 і
А2=3, В2=-4, С2=-1.
Отже
Тоді, використовуючи таблиці Брадіса, маємо φ=59021'.
Задача 7. Знайти відстань від точки А(-5;2;-1) до площини 2х+2у-3z-5=0.
Розв’язання.
Відстань від точки до площини знаходиться за формулою (9.4). Маємо:
(од.).Задача 8. Знайти відстань між паралельними площинами 2х-3у+z-2=0 і 4х-6у+2z+7=0.
Розв’язання.
Щоб знайти шукану відстань, треба визначити точку, яка належить одній з двох даних площин. Розглянемо площину 4х-6у+2z+7=0. Якщо х=0, у=0, то z=-3,5, тобто точка А(0;0;-3,5) належить площині. Тоді треба знайти відстань від точки А до площини 2х-3у+z-2=0. За формулою (9.4) маємо:
(од.).Задача 9. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки
А(1;2;-3), В(3;-1;2) і С(5;-3;4).
Розв’язання.
Нехай точка M(x;y;z) належить до шуканої площини. Складемо три вектори, які будуть виходити з точки А:
Так як вектори належать одній площині, то вони компланарні. За умовою компланарності
, маємо:
Тобто 2х+3у+z-5=0 є рівнянням шуканої площини.
Завдання для самостійної роботи.
Задача 1. Складіть рівняння площини, яка проходить через точку
M(-2;3;1) і вісь Оz.
Задача 2. Складіть рівняння площини, яка проходить через точки
А(2;1;-2), і В(3;0;4) і перпендикулярна до площини х+2у-z=0.
Задача 3. Обчисліть кут між площинами 2х-3у+5z-2=0 і х-у+z=0.
Задача 4. Знайти відстань між паралельними площинами 2 х-3у+z-4=0 і 4х-6у+2z+10=0.
Задача 5. Складіть рівняння площини, яка проходить через точку
M(1;-3;2) паралельно двом векторам:
і 
.Задача 6. Записати рівняння площини, яка проходить через точку
М(5;-7;4) та відтинає на координатних осях рівні відрізки.
Задача 7. З’ясувати, які з точок А(4;1;2), В(3;0;4) та С(1;-2;2) належать площині
.Задача 8. Записати рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від площин
та 
.Задача 9. Записати рівняння площини, яка проходить через точку
А(-4;0;4) та відтинає на осях
та 
відрізки 4 та 3 відповідно.Задача 10. Записати рівняння площини, віддаленої від точки М(1;2;-1)на 3 одиниці та паралельної до площини АВС, якщо А(0;-1;1), В(0;1;5) та С(2;-2;3).
10. Пряма в просторі. Площина і пряма.
Пряму в просторі можна розглядати як лінію перетину двох площин, тобто пряма визначається системою двох лінійних рівнянь:
(10.1)Рівняння (10.1) називається загальним рівнянням прямої.
Канонічне рівняння прямої має вигляд:
, (10.2)де
- напрямний вектор прямої; M0(x0;y0;z0) – точка, яка належить прямій.Якщо в (10.2) ввести
, то дістанемо параметричне рівняння прямої:
(10.3)Якщо пряма проходить через дві точки M1(x1;y1;z1) і M2(x2;y2;z2), її рівняння має вигляд:
(10.4)1 2 3 4