1   2   3   4
Ім'я файлу: формулы матан.doc
Розширення: doc
Розмір: 1656кб.
Дата: 02.05.2020
скачати

II.Парабола
Параболою називають множину точок на площині, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом і від даної прямої, яка називається директрисою.

Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Ох, має вигляд:

, (8.3)

де р – параметр параболи.

Я


Рис. 8.3

кщо , то вітки параболи напрямлені вправо, якщо , то вітки напрямлені вліво (рис. 8.3).

Фокус параболи знаходиться у точці . Рівняння директриси .

Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оy, має вигляд:

. (8.4)

Якщо , то вітки направлені вгору, якщо , то вітки направлені вниз (рис. 8.4). Фокус такої параболи є точка , рівняння директриси .
Якщо вершина параболи – у точці , а вісь симетрії паралельна осі Оy, то рівняння має вигляд:
. (8.4*')
Фокус цієї параболи , рівняння директриси .

Я


Рис. 8.4

кщо вершина параболи знаходиться у точці , а вісь симетрії паралельна осі Ох, то рівняння параболи має вигляд:
. (8.3*')

Фокус такої параболи , рівняння директриси .
Зразки розв’язування задач.
Задача 1. Побудувати гіперболу . Знайти фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис.
Розв’язання.
Приведемо рівняння кривої до виду (8.1):

:144
;
.

Таким чином

, ;
, - півосі гіперболи.
Знайдемо відстань фокусів від центра симетрії:

.

Фокуси гіперболи , .

Ексцентриситет .

Рівняння асимптот .

Рівняння директрис ; .

П


Рис. 8.5

обудуємо параболу.

Задача 2. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо її дійсна вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами дорівнює .
Розв’язання.
Для складання рівняння гіперболи треба знайти параметри а і b. З умови маємо:

.

Знайдемо а ,с і b:

, .
Підставивши і в рівняння , дістанемо .
Задача 3. Скласти рівняння гіперболи за координатами її фокусів , і ексцентриситетом .
Розв’язання.

З умови маємо: с=20, . Підставивши у цю рівність с , дістанемо: , тобто . Далі знайдемо . Підставивши і в рівняння (8.1), дістанемо .
Задача 4. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо довжина її дійсної осі дорівнює 16, і гіпербола проходить через точку (-10;-3).


Розв’язання.

За умовою 2а=16, тобто а=8. Підставивши в рівняння (8.1) значення а=8і координати даної точки, дістанемо:
;
; ; .
Підставивши і в рівняння (8.1), отримаємо .
Задача 5. Скласти рівняння гіперболи за рівнянням її асимптот і координатами точки, через яку вона проходить .

Розв’язання.

Рівняння асимптот гіперболи . За умовою . Підставимо в рівняння (8.1) координати точки і розв’яжемо систему рівнянь:

; ; ; ; .
Рівняння гіперболи .
Задача 6. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, якщо її фокус лежить у точці F (1;0).
Розв’язання.
Фокус лежить на осі Ох, тобто рівняння параболи має вигляд (8.3) . Оскільки координати фокуса , то .Підставивши значення р в рівняння (8.3), дістанемо .
Задача 7. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, яка симетрична відносно осі Оy і проходить через точку А (-2;-4).
Розв’язання.
Шукана парабола симетрична відносно осі Оy, отже її рівняння має вигляд . Підставивши в це рівняння координати точки А, знайдемо р:
;
;

.

Після підстановки значення р в рівняння параболи дістанемо .
Задача 8. За даним рівнянням параболи обчислити координати її фокуса, одержати рівняння директриси. Побудувати.
Розв’язання.

З рівняння параболи маємо , .

Парабола симетрична відносно осі Ох, її фокус лежить на осі симетрії і має координати , тобто . Рівняння директриси , тобто х=2.

Ш


Рис. 8.6

укана парабола симетрична відносно осі Ох, її вітки напрямлені вліво. Знайдемо точку, що лежить на параболі. Нехай х=2, , .
Задача 9. Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси.
Розв’язання.
Знайдемо вершину параболи, перетворивши рівняння до вигляду .

; ;
; .

З цього рівняння х0=3, y0=1, С (3;1) – вершина параболи.

Знайдемо точки перетину параболи з осями Ох і Оy:
; ; ;

; ; .
Знайдемо координати фокуса. З рівняння маємо:

, .

Координати фокуса , тобто , .

Р


Рис. 8.4

івняння директриси: , тобто ; .

Задача 10. Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси.
Розв’язання.
Знайдемо координати вершини:

;

.

Вершина параболи лежить у точці С (0;-2). Вітки параболи напрямлені вправо .

Знайдемо точку перетину параболи з віссю Ох:

, , .

Координати фокуса , тобто , .

Рівняння директриси: , тобто .

П


Рис. 8.4

обудуємо параболу.

1   2   3   4

скачати

© Усі права захищені
написати до нас