1 2 3 4 II.Парабола Параболою називають множину точок на площині, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом і від даної прямої, яка називається директрисою. Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Ох, має вигляд: , (8.3) де р – параметр параболи. Я Рис. 8.3 кщо , то вітки параболи напрямлені вправо, якщо , то вітки напрямлені вліво (рис. 8.3). Фокус параболи знаходиться у точці . Рівняння директриси . Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оy, має вигляд: . (8.4) Якщо , то вітки направлені вгору, якщо , то вітки направлені вниз (рис. 8.4). Фокус такої параболи є точка , рівняння директриси . Якщо вершина параболи – у точці , а вісь симетрії паралельна осі Оy, то рівняння має вигляд: . (8.4*') Фокус цієї параболи , рівняння директриси . Я Рис. 8.4 кщо вершина параболи знаходиться у точці , а вісь симетрії паралельна осі Ох, то рівняння параболи має вигляд: . (8.3*') Фокус такої параболи , рівняння директриси . Зразки розв’язування задач. Задача 1. Побудувати гіперболу . Знайти фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис. Розв’язання. Приведемо рівняння кривої до виду (8.1): :144 ; . Таким чином , ; , - півосі гіперболи. Знайдемо відстань фокусів від центра симетрії: . Фокуси гіперболи , . Ексцентриситет . Рівняння асимптот . Рівняння директрис ; . П Рис. 8.5 обудуємо параболу. Задача 2. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо її дійсна вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами дорівнює . Розв’язання. Для складання рівняння гіперболи треба знайти параметри а і b. З умови маємо: . Знайдемо а ,с і b: , . Підставивши і в рівняння , дістанемо . Задача 3. Скласти рівняння гіперболи за координатами її фокусів , і ексцентриситетом . Розв’язання. З умови маємо: с=20, . Підставивши у цю рівність с , дістанемо: , тобто . Далі знайдемо . Підставивши і в рівняння (8.1), дістанемо . Задача 4. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо довжина її дійсної осі дорівнює 16, і гіпербола проходить через точку (-10;-3). Розв’язання. За умовою 2а=16, тобто а=8. Підставивши в рівняння (8.1) значення а=8і координати даної точки, дістанемо: ; ; ; . Підставивши і в рівняння (8.1), отримаємо . Задача 5. Скласти рівняння гіперболи за рівнянням її асимптот і координатами точки, через яку вона проходить . Розв’язання. Рівняння асимптот гіперболи . За умовою . Підставимо в рівняння (8.1) координати точки і розв’яжемо систему рівнянь: ; ; ; ; . Рівняння гіперболи . Задача 6. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, якщо її фокус лежить у точці F (1;0). Розв’язання. Фокус лежить на осі Ох, тобто рівняння параболи має вигляд (8.3) . Оскільки координати фокуса , то .Підставивши значення р в рівняння (8.3), дістанемо . Задача 7. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, яка симетрична відносно осі Оy і проходить через точку А (-2;-4). Розв’язання. Шукана парабола симетрична відносно осі Оy, отже її рівняння має вигляд . Підставивши в це рівняння координати точки А, знайдемо р: ; ; . Після підстановки значення р в рівняння параболи дістанемо . Задача 8. За даним рівнянням параболи обчислити координати її фокуса, одержати рівняння директриси. Побудувати. Розв’язання. З рівняння параболи маємо , . Парабола симетрична відносно осі Ох, її фокус лежить на осі симетрії і має координати , тобто . Рівняння директриси , тобто х=2. Ш Рис. 8.6 укана парабола симетрична відносно осі Ох, її вітки напрямлені вліво. Знайдемо точку, що лежить на параболі. Нехай х=2, , . Задача 9. Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси. Розв’язання. Знайдемо вершину параболи, перетворивши рівняння до вигляду . ; ; ; . З цього рівняння х0=3, y0=1, С (3;1) – вершина параболи. Знайдемо точки перетину параболи з осями Ох і Оy: ; ; ; ; ; . Знайдемо координати фокуса. З рівняння маємо: , . Координати фокуса , тобто , . Р Рис. 8.4 івняння директриси: , тобто ; . Задача 10. Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси. Розв’язання. Знайдемо координати вершини: ; . Вершина параболи лежить у точці С (0;-2). Вітки параболи напрямлені вправо . Знайдемо точку перетину параболи з віссю Ох: , , . Координати фокуса , тобто , . Рівняння директриси: , тобто . П Рис. 8.4 обудуємо параболу. 1 2 3 4 |