Ю.В. Лялін, А.В. Поздняков
Інститут оптичного моніторингу СО РАН, Томськ
Розвиток цілісних систем, незалежно від їх природи, забезпечується за рахунок надходження енергії та речовини з середовища і виділення їх у середу. Динаміка різниці витрат речовини та енергії в цих двох потоках протягом часу і визначає розвиток системи, а встановлення балансу речовини і енергії на вході і виході системи характеризує її динамічно рівноважний режим. Таким чином, формування, розвиток і самоорганізація цілісних систем здійснюється через діалектичну взаємодію двох потоків речовини та енергії протилежної спрямованості.
Потоки енергії і речовини, що формують природні системи, названі [1, 2] F-потоками, а потоки, які викликають їх деградацію, - D-потоками. Дія F-потоків, що формують систему, необоротно направлено до зростання показників, що характеризують систему: розміри, обсяг, а дія D-потоків призводить до їх зменшення [1, 2]. Величина D-потоку (витрата енергії і речовини в ньому) монотонно залежить від параметрів системи: чим більше розміри системи, яка створюється внаслідок дії F-потоку, тим більше величина D-потоку, і навпаки, зі зменшенням розмірів системи зменшується і величина D-потоку .
Зростання розмірів систем, у міру наближення до своїх граничних характеристикам, асимптотично загасає, в силу того, що величина витрати в D-потоці прагне до такої в F-потоці. Теоретично в кінцевому варіанті розвитку системи повинен встановлюватися баланс витрат речовини та енергії в обох потоках, що характеризує стан динамічного (термодинамічної) рівноваги, або граничного циклу системи. Практично ж, в силу постійно мінливих умов равзития системи і, отже, зміни витрат речовини в F-і D-потоках, це стан ніколи не досягається, при об'єктивному до нього прагненні.
Фрактали в геоморфосистеми. У геоморфосистеми роль F-потоку грає ендогенний потік речовини, що створює первинну похилу поверхню. Вона піддається ерозійного розчленування, в результаті чого створюється екзогенний літопоток речовини (D-потік) і формуються схили другої генерації. Ці схили знову розчленовуються, з утворенням схилів наступної генерації, і так далі. При цьому крутизна схилів наступної генерації зростає наступним чином:
де a - крутість схилу; j - ухил тальвегу, базису ерозії.
Оскільки рельєф у процесі ерозійного розчленування зберігає подібність, то його можна вважати фрактальним.
Розглянемо приклад геоморфологічного фрактального множини. Його побудова починається з рівнобедреного трикутника з кутом при основі - це 0-е покоління. Далі на кожній бічній стороні будується рівнобедрений трикутник з таким же кутом. У результаті виходить наступне покоління. При нескінченному повторенні цього процесу отримаємо фрактальное безліч.
Важливою властивістю фрактальних множин є дробова розмірність. За визначенням, розмірність Хаусдорфа дорівнює D = log (N) / log (f), де N - кількість частин, а f показує, у скільки разів ціле більше частини. Так як при побудові фрактальної поверхні рельєфу на кожному наступному кроці площа трикутника, що характеризує поперечний переріз форми рельєфу, в 4 cos2 (α) менше площі попередньої форми, з якої він отриманий, то для нього N = 2, f = і, отже, розмірність D Хаусдорфа отриманого безлічі дорівнює D = log (2) / log.
Рис. 1. Фрактальна характеристика ерозійно розчленоване рельєфу з 7 поколінь безлічі
Внаслідок фрактального характеру процесу ерозійного розчленування, площа поверхні рельєфу можна знайти за формулою:
, (1)
де - площа поверхні форми рельєфу, яка не піддалася ерозійного розчленування, величина m> 1 залежить від розмірності кордону поверхні.
Таким чином, процес ерозійного розчленування і зростання площі поверхні, а отже, і денудації є нелінійним, і в силу цих причин у геоморфосистеми проявляються автоколивання.
Механізм виникнення автоколивань у геоморфосистеми. Поява F-потоку речовини і формування системи викликає через деякий час поява D-потоку. Зі зростанням розмірів системи мультиплікативно наростає і D-потік (за рахунок збільшення площі S поверхні). Коли величина D-потоку перевищить величину F-потоку, зростання розмірів системи (обсягу, висоти та ін) припиниться і почнеться їх зменшення. У міру зменшення розмірів системи будуть знижуватися витрати речовини і в D-потоках. Коли його величина стане менше витрат в F-потоці, знову почнеться зростання розмірів системи. Таким чином, динаміка системи має коливальний характер. Відзначимо, що зазвичай, внаслідок різних причин, система "проскакує" положення рівноваги (тобто момент рівності F і D-потоків), і в ній виникають автоколивання навіть при постійній величині F-потоку.
Алгоритм формування рельєфу [3] представлений в блок-схемі (рис. 2).
Рис. 2. блок-схема алгоритму формування рельєфу в результаті взаємодії F-і D-потоків V-об'єм речовини, укладеного у формах рельєфу; P і Q - обсяги речовини, що надходить відповідно в ендогенному (F-) і екзогенному (D-) літопотоках
Для дослідження зв'язку між механізмами освіти фракталів та виникнення автоколивань у деякій системі, необхідно побудувати її математичну модель. Математичною моделлю реальної системи будемо вважати динамічну систему, що розуміється як відображення S (t, x) фазового простору, або простору станів у себе і задається рівнянням виду. Його рішення є криві в фазовому просторі, або фазові траєкторії.
Як було встановлено [4], фізичній поняттю автоколивань відповідає математичне поняття граничного циклу. Можна показати, що фазові траєкторії в його околицях мають вигляд розкручувати або скручується спіралей, подібних зображеної на рис 3, намотуються на деяку замкнену криву, яка і називається граничним циклом.
Рис. 3. Граничний цикл і спіралевідниая фазова траєкторія
Однак ці спіралі лише прагнуть до граничного циклу, нескінченно близько до нього наближаючись, але не перетинаючи його.
Таким чином, граничний цикл самоподібності, а поведінка автоколебательной системи фрактально.
У силу того, що швидкість росту розмірів системи залежить від різниці F (t)-D (t), динаміку геоморфосистем, як і інших подібних систем, що розвиваються на таких же принципах, можна описувати рівнянням:
, (2)
де - розміри системи; і 
- Функції, що виражають швидкість зміни розмірів системи.
Якщо в якості розмірів системи брати об'єм речовини, укладеного у формах рельєфу, а в якості F-і D-потоків - обсяги ендогенного та денудіруемоего матеріалу відповідно, отримаємо з (2) наступну систему рівнянь, що описує динаміку рельєфу [3]:
(3)
де V - об'єм речовини, укладеної у формі рельєфу, м3; P - обсяг ендогенного матеріалу, м3/рік; Q - обсяг денудіруемоего матеріалу, м3/рік; до - коефіцієнт денудації, м3 з м2/год;
- Площа поверхні форми рельєфу з об'ємом V, м3; - крутість форми рельєфу, радий.; - Приріст висоти, м; - приріст площі підстави одиничної ширини, м2.
Якщо крутість форм рельєфу, приріст висоти і площу основи постійні, то система рівнянь (3) лінійна, і в її фазовому просторі не може існувати граничний цикл. Однак з урахуванням фрактального характеру процесу ерозійного розчленування, система рівнянь моделі набуває вигляду:
(4)
Система рівнянь (4) є нелінійною, і в її фазовому просторі може існувати граничний цикл [4]. Дослідження даної моделі можливо з використанням чисельних методів. Замінюючи в (4) диференціальний оператор різницевим, отримаємо таку різницеву схему:
(5)
Результати розрахунків із застосуванням (5) показують, що положення рівноваги системи (4) є нестійким, і фазові траєкторії в його околиці мають вигляд розкручується спіраль. Оскільки витрата речовини в ендогенному літопотоке є кінцева величина, а обсяг денудіруемоего матеріалу не може бути менше нуля, то ці спіралі не можуть розкручуватися в нескінченність. Вони обов'язково почнуть намотуватися на деяку замкнену криву і приймуть вид, подібний зображеному на рис 3.
Таким чином, у фазовому просторі системи (4) існує граничний цикл, і в геоморфосистеми, моделлю якої вона є, можуть виникати автоколивання.
Слід підкреслити, що саме внаслідок фрактального характеру процесу ерозійного розчленування система (4) стає нелінійною, і цим обумовлюється можливість виникнення автоколивань у геоморфосистеми і в цілому рух системи до стану динамічної рівноваги. Досягнувши його, вона, в силу зміни балансу витрат речовини в літопотоках, йде від нього, з тим щоб знову, після закінчення деякого часу, повернутися. Динаміку системи в такому стані можна порівняти з динамікою спіральної пружини маятника в годиннику - вона то стискається, то розтискається, перебуваючи в заданих межах. Стосовно до рельфу, ця межа встановлюється F-потоком.
У реальності стан динамічної рівноваги ніколи не досягається, хоча прагнення до нього об'єктивно, воно, можна сказати, іманентно притаманне всім цілісним самоорганизующимся утворенням.
Література:
Поздняков А.В. Динамічна рівновага в рельєфоутворення. - М.: Наука, 1988. - 207 с.
Поздняков А.В. Стратегія російських реформ. - Томськ: Спектр, 1998. - 324 с.
Поздняков А.В., Лялін Ю.В., Тихоступ Д.М. Формування поверхні рівноваги та фрактальні співвідношення в ерозійному розчленування / / Самоорганізація геоморфосистем (Пробл. самоорганізації. Вип. 3). - Томськ: ТНЦ СО РАН, 1996. - С. 36-48.
Понтрягин Л.С. Звичайні диференціальні рівняння. - М.: Наука, 1982. - 331 с.