Н.П. Запівалов, Г. І. Смирнов
Інститут геології нафти і газу СО РАН,
Сибірське відділення Міжнародного інституту нелінійних досліджень РАН, Новосибірськ
Дане повідомлення присвячено розробкам нових методів фрактального аналізу нафтогазонасиченість об'єктів як відкритих динамічних систем з швидко мінливих станом, то різко напруженим, то близьким до стабільного, що особливо характерно в період накладених техногенних процесів (геологорозвідка, розробка родовищ нафти і газу). Фрактальное моделювання як інструмент для вивчення прихованого порядку в динаміці невпорядкованих систем, якими є нафтогазові родовища, стало технологічної потребою. Фрактальні моделі спрощують аналіз турбулентного руху рідини чи газу, а також процесу протікання, що важливо для індустріальних технологій технології розробки родовищ нафти і газу [1 - 5].
Зокрема, напружені великомасштабні фрактальні структури виникають при закачуванні в пласт води, газу та інших агентів, що підтримують пластовий тиск. Наявність фрактальних структур може бути пов'язане із забрудненням пріскважінной зон пласта. Очищення цих зон зводиться до руйнування цих фракталів і вимагає значних витрат часу і коштів.
Аналіз сучасних технічних засобів сейсморозвідки корисних копалин дозволяє констатувати, що реалізація унікальних можливостей сейсмоакустичних джерел хвильових полів стримуються внаслідок застосування надмірно спрощених моделей розсіювання сейсмічних і акустичних хвиль, відсутності належного математичного забезпечення процесів обробки результатів вимірювань. Подібна ситуація характерна для геології нафти і газу, нафтогазовидобувної промисловості. Ймовірно тому залишається низьким коефіцієнт успішності в пошуково-розвідувальних роботах, все ще малий відсоток вилучення нафти з пластів. У силу цього потрібні нові підходи до вивчення геодинаміки та напруженого стану нефтенасищенних об'єктів.
У даній роботі розглядаються можливості істотного підвищення інформативності коштів сейсмоакустичної локації, застосовуваних для геологорозвідки та моніторингу геофізичної обстановки покладів нафти і газу, на основі фрактального моделювання розсіювання сейсмічних і акустичних полів. Показано, зокрема, що використання цих методів дозволяє здійснювати детальну діагностику геодинаміки нафтогазоносних колекторів при накладених техногенних процесах. Досліджено взаємозв'язок між фрактальною структурою невпорядкованою нафтогазонасиченість пружного середовища і фрактонних особливостей сейсмічних і акустичних хвиль, які поширюються і розсіюються в ній.
Так фрактальні кластери, утворені пісковиками, мають значення хаусдорфовой розмірності D, що розташовуються в інтервалі D = 2,57 ¸ 2,87, (див., наприклад, [1]). У відсутність істотних перепадів тиску перенесення нафти або газу в теригенних колекторі обумовлений дифузією на фрактале, що відповідає цьому середовищі. Розмірність фрактала залежить від сорту пісковику. Фрактальні властивості колектора проявляються в широкому діапазоні розмірів піщаних частинок - від 0,1 до 100 мкм.
Розмірність Хаусдорфа D цього континуального двофазного кластера визначається співвідношенням
D = d - b / n, (1)
де d - розмірність простору; b, n - критичні термодинамічні показники системи, що відповідають так званому двухпоказательному скейлінг. У граничному випадку дрібнозернистих пластів, коли їх товщина h істотно перевищує характерний розмір піщаних частинок L, маємо d = 3, b = 0,4, n = 0,88. При цьому D = 2,55, що збігається з даними для кластерних систем, складених з порожнеч пористої речовини. Якщо розміри часток порівнянні з товщиною піщаної плівки, то можна вважати, що d = 2, причому b = 5 / 36, n = 4,3 і, отже, D »1,9. Такий проміжний випадок відповідає варіаціям фрактальної розмірності кластера в інтервалі 1,9 <D <2,55.
Перенесення нафти в такій фрактальної структурі характеризується густиною ймовірності f (r, t) знайти частку, вміщену в момент часу t = 0 в точку 0, в точці r в момент часу t ¹ 0. Оскільки функція f (r, t) є неаналітичних і має особливості на всіх масштабах, то нафтогазоносність колектора можна описувати в зазначених умовах рівнянням дифузії на фрактале, яке в сферичних координатах має вигляд
, (2)
де F (r, t - плавна обвідна функції f (r, t), K - узагальнений коефіцієнт дифузії, x - показник аномальної дифузії.
З рішення цього рівняння випливає вираз для середнього квадрата відстані, на яку пересувається частка за час t:
<R2> = [K (2 + x) 2 t] 2 / (2 + x) G (z + 2 (2 + x) -1) G (z). (3)
Через G (z) в (2), (3) позначена гамма-функція Ейлера; z = D (2 + x) -1.
При дослідженні хвильових процесів в матеріалах з фрактальної структурою найбільший інтерес представляють спектри власних коливань фракталів, які визначають на основі аналогії між рівняннями пружних коливань фракталів і рівнянням випадкових блукань на фрактале [6,7]. Локалізовані коливальні стану на фракталах, змінюють звичайні фононні стани при частотах, що перевищують деяку частоту переходу (кросовера), іменуються фрактонамі. Частотний розподіл фрактонов чинності масштабної інваріантності має степеневий вигляд, причому показник ступеня визначається так званої фрактонной (спектральної) розмірністю
df = 2D / (2 + x), (4)
виражається через показник аномальної дифузії x> 0. Фрактонная розмірність характеризує розмірність простору в низькочастотній асимптотики щільності коливальних станів.
Надзвичайно важливою в нефтегазогеологіческіх дослідженнях представляється можливість оцінити фрактальну розмірність неоднорідностей земної кори по частотних залежностей коефіцієнтів розсіювання сейсмічних хвиль.
Так для Західного Сибіру давно актуальна проблема вивчення і оцінки нафтогазоносності палеозойських утворень, що представляють нижній формаційному-тектонічний комплекс плити. Справа ускладнюється тим, що в силу особливої будови і стану цього шару земної кори неможливо отримати протяжні відображають сейсмічні горизонти, придатні для достовірних структурних побудов. У мезозойськім чохлі таких опорних горизонтів багато [8]. Наслідком цього стала неоднозначна оцінка перспективності палеозойських відкладень, невпевнене картування та розробка об'єктів.
Нами зроблена спроба обробки сейсмічної інформації за профілем, що перетинає ряд родовищ півдня Західного Сибіру. На часовому розрізі вибрані ділянки, що представляють складну картину акустичних відображень у палеозої. Тут спостерігається хаотичний розподіл відображають майданчиків, що мають фрактальну структуру [8].
Фрактальна розмірність - величина, що має багато визначень і способів обчислення. Важливим її властивістю є те, що вона входить до співвідношення виду
a (e) = C e D, (5)
де a - деяка величина, що залежить від величини e, яка зазвичай характеризує лінійний розмір; C - постійний коефіцієнт пропорційності, а показник ступеня D - є фрактальною розмірністю. Якщо прологаріфміровать, то в логарифмічному масштабі по e ми отримаємо лінійну залежність з коефіцієнтом пропорційності C:
ln a (e) = ln C + D ln e. (6)
Це властивість і використовувалося в розрахунках. За сейсмічного профілю, фрагмент якого показаний в роботі [8], в межах виділених палеозойських блоків були підраховані кількості відображають майданчиків різних розмірів. Логарифми отриманих чисел представлені у вигляді графіків. Чотири і більше точки, що відповідають різним розмірам майданчиків, лежать на одній прямій, нахил якої в кожному випадку і дає величину D.
При аналізі отриманих значень з'ясувалося, що від дільниці до дільниці, якщо є тектонічний розлам, значення D різко змінюється. Крім того, між двома блоками з близькими значеннями D є третій, що знаходиться посередині, але з іншого D. Тут можна припускати наявність структурного ускладнення, що об'єднує перші два блоки. Таким чином, фрактальну величину D можна використовувати як один з критеріїв подібності та відмінності ділянок (блоків). Необхідно відзначити, що теорія протікання була розроблена на газорідинних моделях (вода, що заповнює грати з осередків, з яких відкачано повітря; повітря витісняє гліцерин, вода, що витісняє незмочувальна рідина, наприклад нафту, та ін), а також на комп'ютерних моделях. Причому всі перераховані процеси виявили дивну подібність своїх фрактальних властивостей. Разом з тим цю теорію можна перенести й на процеси в твердих тілах, якщо брати геологічні масштаби часу, так як тверді тіла в певних умовах пластичні і "течуть" подібно рідким. Що ж стосується просторових масштабів, то тут для фрактальних досліджень доступний і мікро-, і макрорівень, що випливає із самої суті використовуваного апарату фрактальної математики.
Фрактальний кластер радіуса r містить ~ r D вузлів кластера. При блуканні на фрактале, як випливає з (3), зміщення від початкового вузла складе
r μ t 1 / (2 + x), (7)
де x 0. У ситуації відсутності фрактальності x = 0, і має місце звичайне для дифузії співвідношення r μ t 1 / 2.
Ймовірності знаходження частинки в будь-якому вузлі на відстані r від початкового стануть однаковими через досить великий час t при будь-якому r. Тому ймовірність виявитися через час t у початковому вузлі i можна представити у вигляді
wii μ r - D μ r - D / (2 + x). (8)
У випадку коливань фрактала щільність розподілу його коливальних станів r (w) за частотами w визначається на основі аналогії між рівнянням пружних коливань фракталів і рівнянням випадкових блукань на фракталах:
. (9)
Фрактонная розмірність df = d для щільності звичайних фононних станів на d - мірної регулярної решітці.
Область фрактального поведінки реальних фрактальних структур обмежується деяким максимальним масштабом l. При цьому на масштабах, що перевищують l, і, отже, на низьких частотах, що не перевищують деяку частоту кросовера wc (l), реалізується ситуація звичайного фононного спектра. На більш високих частотах відбувається перехід (кросовер) до фрактонному спектру, що може характеризувати ступінь нафтогазонасиченість досліджуваних середовищ.
Напруженість пружною пористої середовища пов'язана з її насиченістю нафтою чи газом. Тому варіації в часі фрактонной частини спектру будуть відображати геодинаміки нафтогазонасиченість систем, обумовлену техногенними процесами. Разом з тим з'являються можливості з просторовим змін фрактонних характеристик судити про насиченість пружного середовища нафтою і (або) газом, причому по переходу фрактонов в фононні спектри в ряді реальних ситуацій можна реєструвати кордон нафтогазового родовища.
Оскільки число часток, що складають реальний матеріал, має відповідати числу мод коливань, то щільність станів фононного (rp) і фрактонного (rf) спектрів в одиниці об'єму виражається наступним чином:
, (10)
, (11)
тут - число фрактальних фрагментів в одиниці об'єму, формують фононну частину спектру; - число часток розміру l 0 у фрактальному фрагменті розміру l;
(12)
- Фрактонная Радіус частота, яка визначається через частоту кросовера wc.
Фрактонная Радіус частота, як і звичайна Радіус частота для фононного спектру, в якості межі інтегрування забезпечує нормування числа коливань на число частинок. Інтегруючи щільності rp (w) і rf (w) на інтервалах (0, wc) та (wc, wd) відповідно, отримуємо, що повне число фононних станів N p = N, тоді як для фрактонов повне число коливальних мод N f = N (n - 1). Повне число частинок дорівнює числу всіх коливальних станів:
N = Np + Nf = Nn. (13)
З (10), (11) випливає, що на частоті кросовера щільність фононних станів перевищує щільність фрактонних станів:
rp = Nd> r f = Nf df, (14)
так як d> df. Наявність цієї особливості можна використовувати для реєстрації кордонів нефтенасищенной структури.
Проблема визначення розмірності фракталів, представлених неупорядкованими пружними середовищами, вирішується шляхом вимірювання фрактонной розмірності сейсмоакустичних сигналів. Результати вивчення зв'язку між фрактонним спектром і фрактальними характеристиками пружних середовищ можуть бути використані для розвитку методів дослідження геодинаміки нафтогазоносних систем, геологорозвідки та геофізичного моніторингу родовищ нафти і газу. Розробляються в даний час на основі сучасних досягнень фізики фракталів, геофізики та математичної фізики принципово нові методи комплексного аналізу нефтегеологіческіх систем дозволяють конкретизувати інформацію про їх динаміці з урахуванням складності топології нафтогазових колекторів, пористої структури напружених нафтогазоносних шарів, зміни стану родовищ під впливом техногенних процесів.
Список літератури
Смирнов Б.М. Фізика фрактальних кластерів. М.: Наука, 1991.
Федер Є. Фрактали. М.: Світ, 1991.
Turcotte DL Fractals and chaos in geology and geophysics. Cambridge University Press, 1992.
Fractals in petroleum geology and Earth processes. Ed. Barton CC and La Pointe PR, NY and London: Plenum Press, 1995.
Запівалов Н.П., Смирнов Г.І. Про фрактальної структурі нафтогазових родовищ / / ДАН, 1995, Т. 341, N 1. С. 110 - 112.
Голубятников В.П., Запівалов Н.П., Іванов В.М., Смірнов Г.І. Фрактальное моделювання оберненої задачі розсіювання сейсмічних і акустичних полів при геологорозвідки та геофізичному моніторингу / / Праці Міжн. семінару "Зворотні задачі геофізики". Новосибірськ: Изд. ВЦ СО РАН, 1996. С. 72 - 73.
Соколов І.М. Розмірності та інші геометричні критичні показники в теорії протікання / / Успіхи фіз. наук. 1986. Т. 150, N 2. С. 221 - 256.
Запівалов Н.П. Фрактальна геофлюідодінаміка нефтенасищенних систем / / Праці Всерос. наук. конф. "Фундаментальні проблеми нафти і газу". М.: Изд. РАПН, 1996. Т. 4. С. 21 - 30.