Фактор групи Cмежние класи

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Установа освіти
Математичний факультет
Кафедра алгебри і методики викладання математики
Курсова робота

ЗМІСТ
Ведення
1.Основні визначення і теореми
2.Смежние класи
2.1. Праві і ліві суміжні класи
2.2 Подвійні суміжні класи
3. Нормальні підгрупи і фактор-групи
3.1 Нормальні підгрупи
3.2 Фактор-групи
Висновок
Список використаних джерел

ВСТУП
Перший значний внесок у теорію груп вніс Еваріст Галуа (1811-1832) при дослідженні питання про можливість розв'язання в радикалах алгебраїчних рівнянь. Саме Галуа вперше ввів поняття групи і спробував з'ясувати, як вони влаштовані. До нього групи у вигляді підстановок коренів рівняння виникли також у роботах Лагранжа (1771), Роффіні (1799) і Абеля (1825).
У 1830-1832 роках Галуа прийшов до понять нормальної підгрупи, яка вирішується групи, простої групи. З тих пір багато вчених математики займалися дослідженнями в питаннях пов'язаними з групами, вводили нові поняття, будували свої здогади, формулювали і доводили теореми.
Теорія груп - один з центральних розділів сучасної алгебри, в даний час активно розробляється в Білорусі в наукових школах Мінська, Гомеля, Вітебська, Новополоцька, Мозиря.
Поняття групи набуває в даний час все більше панування над самими різними розділами математики та її застосувань і поряд з поняттям функції відноситься до самих фундаментальним поняттям всієї математики.
Поняття групи не важче поняття функції, його можна освоїти на самих перших щаблях математичної освіти, тим більше що зробити це можна на матеріалі елементарної математики. Разом з тим знайомство з цією теорією здається одним із самих природних способів ознайомлення з сучасною математикою взагалі.
Моя мета полягає в тому, щоб розібратися з початковими поняттями, пов'язаними з групами: фактор-групи, суміжні класи, довести найбільш важливі теореми, наслідки, виділити деякі властивості.

1.Основні ВИЗНАЧЕННЯ і теореми
Розглянемо деякий непорожнє безліч G, на якому визначена бінарна алгебраїчна операція.
ВИЗНАЧЕННЯ 1.1. Пара (G, *) називається групою, якщо:
1) операція асоціативна, тобто для будь-яких a, b, c ÎG виконується
a * (b * c) = (a * b) * c;
2) у G існує нейтральний елемент відносно, тобто для будь-якого a Î G знайдеться такий елемент e, що виконується
a * e = e * a = a
3) для будь-якого елементу G існує симетричний елемент відносно, тобто для будь-яких a, bÎ G виконується
a * b = b * a = e;
ВИЗНАЧЕННЯ 1.2. Підмножина H групи G називається підгрупою, якщо H-група щодо тієї ж операції, яка визначена на G.
ВИЗНАЧЕННЯ 1.3. Зафіксуємо в групі G елемент a. Перетин всіх підгруп групи G, що містять елемент а, називається циклічною підгрупою, породженої елементом а, і позначається áаñ.
ВИЗНАЧЕННЯ 1.4. Якщо G збігається з однією зі своїх циклічних підгруп, то G називають циклічною групою.

ТЕОРЕМА 1.1. Нехай елемент аÎG має скінченний порядок k.
Тоді
áаñ = {e, a, a , ..., A }
Крім того, а = E в точності тоді, коли k ділить m.
ТЕОРЕМА 1.2. Всі підгрупи нескінченної циклічної групи G = áаñ вичерпуються одиничної підгрупою E = {e} і нескінченними підгрупами á а ñ для кожного натурального m.
ТЕОРЕМА 1.3.Все підгрупи кінцевої циклічної групи áаñ порядку n вичерпуються циклічними підгрупами á а ñ порядку n / m для кожного натурального m, яка розділяє n.
ТЕОРЕМА 1.4. Непорожнє підмножина H групи G буде підгрупою тоді і тільки тоді, коли h h H і h H.

2. СУМІЖНІ КЛАСИ
2.1 Праві та ліві суміжні класи
Нехай G - група, H - її підгрупа і gÎG.
ВИЗНАЧЕННЯ 2.1.1. Правим суміжних класом групи G за підгрупою H називається безліч Hg = {hg | hÎH} всіх елементів групи G виду hg, де h "пробігає" всі елементи підгрупи H.
Аналогічно визначається лівий суміжний клас gH = {gh | hÎH}.
ЛЕММА 2.1.1. Нехай G - група, H - підгрупа. Тоді справедливі твердження:
1) H = He;
2) gÎHg для кожного gÎG;
3) якщо a Î H, то Ha = H; якщо bÎ Ha, то Hb = Ha;
4) Ha = Hb тоді і тільки тоді, коли ab ÎH;
5) два суміжних класу або збігаються, або їх перетин порожньо;
6) якщо H - кінцева підгрупа, то | Hg | = | H | для всіх gÎG.
Доказ
Перші три властивості випливають з визначення правого суміжного класу
(4) Якщо Ha = Hb, то ea = hb, hÎH і ab = HÎH. Зворотно, якщо ab ÎH, то aÎHb і Ha = Hb за твердженням 3.
(5) Нехай Ha Ç Hb ≠ Æ і c Î Ha Ç Hb. Тоді c = a = b і ab = ÎH. Тепер Ha = Hb за твердженням 4).
(6) Для кожного gÎG відображення φ: h → hg є біекція множин H і Hg. Тому | H | = | Hg |
Ч.т.д.
З властивостей 2) і 5) випливає, що кожен елемент групи G міститься точно в одному правому суміжному класі по підгрупі H. Ця властивість дозволяє ввести таке визначення.
ВИЗНАЧЕННЯ 2.1.2. Нехай H підгрупа групи G. Підмножина T елементів групи G називається правої трансверсалью підгрупи H в групі G, якщо T містить точно один елемент з кожного правого суміжного класу групи G за підгрупою H. Отже, якщо T = { | AÎI}-права трансверсаль підгрупи H в групі G, то G = , H Æ при .
Таким чином, справедлива теорема.
ТЕОРЕМА 2.1.1. Якщо H - підгрупа групи G, то G є підгрупою непересічних правих суміжних класів по підгрупі H.
Якщо G - кінцева група, то число різних правих суміжних класів по підгрупі H також буде звичайно, воно називається індексом підгрупи H в групі G і позначається через | G: H |. Ясно, що індекс підгрупи H в кінцевій групі G збігається з числом елементів у правій трансверсалі T підгрупи H, тобто
| G: H | = | T | = | G | / | H |
ТЕОРЕМА 2.1.2. (Лагранжа) Якщо H-підгрупа кінцевої групи G, то | G | = | H | | G: H |. Зокрема, порядок скінченної групи ділиться на порядок кожної своєї підгрупи.
Доказ.
Нехай індекс H в групі G дорівнює n. По теоремі 2.1.1. маємо розкладання
G = Hg Hg Hg , Hg Hg Æ при i ≠ j.

Так як
| Hg | = | H | для всіх i, то | G | = | H | | G: H |
СЛІДСТВО 2.1.1. Порядок кожного елемента кінцевої групи ділить порядок всієї групи.
Доказ
Порядок елемента a збігається з порядком циклічної підгрупи áаñ, породжений цим елементом, див. теорему 1.1. Тому, | á аñ | = | a | ділить | G |.
Аналогічно визначається ліва трансверсаль підгрупи H в групі G. Якщо L = {l | AÎ J} - ліва трансверсаль підгрупи H в групі G, то
G = l H, l H Ç l H = Æ при .
Ясно, що індекс підгрупи H в кінцевій групі G збігається з числом елементів в лівій трансверсалі L підгрупи H, тобто | G: H | = | L |. Для лівої трансверсалі справедливий аналог теореми 2.1.1. Тому з теореми Лагранжа маємо
СЛІДСТВО 2.1.2. Число лівих і число правих суміжних класів кінцевої групи G за підгрупою H збігаються.
ТЕОРЕМА 2.1.3. У групі простого порядку немає невід'ємних підгруп. Зокрема, група простого порядку циклічна.
Доказ.
Нехай G - кінцева група простого порядку p. Якщо H - підгрупа групи G, то згідно теореми Лагранжа | H | ділить | G |. Тому або | H | = 1 і H - одинична підгрупа, або | H | = p і H збігається з групою G. Виберемо непоодинокий елемент а в групі G і розглянемо циклічну підгрупу áаñ, породжену цим елементом. Так як a ≠ e, то á аñ ≠ E, тому áаñ = G і G - циклічна група.
ТЕОРЕМА 2.1.4. Нехай H ≤ K ≤ G і G - кінцева група. Якщо T - права трансверсаль підгрупи H в групі K, а S - права трансверсаль підгрупи K в групі G, то TS - права трансверсаль підгрупи H в групі G. Зокрема, | G: H | = | G: K | | K: H |.
Доказ
Нехай
T = {t , ..., T }, S = {s , ..., S }
Тоді
K = Ht . . . Ht , Ht Ht Æ, i ≠ j;
G = Ks . . . Ks , Ks Ks Æ, i ≠ j.
Тепер
G = (Ht . . . Ht ) S . . . (Ht . . . Ht ) S . (2.1.1)
Припустимо, що Ht s Ht s для деяких натуральних a, b, c і d. Тоді
t s (T s ) = T s s t ÎH ≤ K,
тому
s s Î t Kt = K, K s = Ks

Але s і s - Елементи з правої трансверсалі підгрупи K в групі G, тому s = S і b = d. Тепер
t s (T s ) = T t ÎH, H t = Ht
і a = c. Таким чином, формула (2.1.1.) Є розкладанням групи G за підгрупою H і TS - права трансверсаль підгрупи H в групі G. Так як індекс підгрупи збігається з числом елементів у правій трансверсалі цієї підгрупи, то
| G: H | = | TS | = | T | | S | = | K: H | | G: K |
Зазначимо, що теорема Лагранжа випливає з теореми 2.1.4. при H = E.
2.3. Подвійні суміжні класи
Нехай H і K - підгрупи групи G і g Î G. Безліч
HgK = {hgk | h Î H, k Î K}
називається подвійним суміжних класом групи G за підгрупами H і K
ЛЕММА 2.3.1. Нехай H і K-підгрупи групи G. Тоді справедливі наступні твердження:
1) Кожен елемент gÎ G міститься в єдиному подвійному суміжному класі HgK;
2) Два подвійних суміжних класу по H і K або збігаються, або їх перетин порожньо;
3) Група G є об'єднання непересічних подвійних суміжних класів по підгрупах H і K;
4) Кожен подвійний суміжний клас з H і K є об'єднання правих суміжних класів по H і лівих суміжних класів з K;
5) Якщо група G кінцева, то подвійний суміжний клас HgK містить
| K: H K | правих суміжних класів з H і | H: H K | Лівих суміжних класів з К.
Доказ.
(1) Так як кожна підгрупа містить одиничний елемент, то
g = ege Î HgK
Припустимо, що gÎHxK. Тоді g = hxk для деяких hÎH, kÎK і
HgK = H (hxk) K = HxK.
(2) та (3) слідують з (1)
(4) Оскільки
HgK = = ,
то твердження (4) доведено.
Підрахуємо число правих суміжних класів в розкладанні HgK = по підгрупі H. Припустимо, що Hgk = Hgk . Тоді
Hg k k = Hg і k k Î g Hg K = H K

Справедливо і зворотне, тобто якщо k k Î H K, то
k k Î g Hg, gk k ÎHg, gk ÎHgk
і Hg k = Hgk . Тому, у подвійному суміжному класі HgK правих суміжних класів з H стільки, скільки їх у групі K по підгрупі H K.
Аналогічно,
Hgk = і h gK = h gK
тоді і тільки тоді, коли h h ÎH K . Тому, у творі HgK лівих суміжних класів з K буде точно стільки, який індекс
| H: H K |
Твір підгруп. При g = e подвійний суміжний клас HgK = HK = {hk | hÎH, kÎK} перетворюється на твір підгруп H і K. У загальному випадку HK не є підгрупою.
Приклад:
Знайдемо розкладання симетричної групи S в ліві суміжні класи по підгрупі .
Для цього знайдемо всі ліві суміжні класи групи
S = {Î, (12), (13), (23), (123), (132)} по підгрупі H = = {Î, (12)}
ÎH = Î {Î, (12)} = {Î, (12)} = H,
(12) H = (12) {Î, (12)} = {(12), Î} = H,
(13) H = (13) {Î, (12)} = {(13), (123)},
(23) H = (23) {Î, (12)} = {(23), (132)},
(123) H = (123) {Î, (12)} = {(123), (13)} = (13) H,
(132) H = (132) {Î, (12)} = {(132), (23)} = (23)
Шукане розкладання приймає вигляд
S = ÎH (13) H (23) H.

3. НОРМАЛЬНІ ПІДГРУПИ І ФАКТОР-ГРУПИ
3.1 Нормальні підгрупи
Підгрупа H називається нормальною підгрупою групи G, якщо xH = Hx для всіх xÎG. Запис H G читається так: "H - нормальна підгрупа групи G". Рівність xH = Hx означає, що для будь-якого елемента h ÎH існує елемент h Î H такий, що xh = H x.
ТЕОРЕМА 3.1.1. (Критерій нормальної підгрупи) Для підгрупи H групи G наступні твердження еквівалентні:
1) H - нормальна підгрупа групи G;
2) Підгрупа H разом з кожним своїм елементом містить все йому пов'язані елементи, тобто h ÎH для всіх hÎH і всіх xÎG;
3) Підгрупа H збігається з кожною своєю сполученої підгрупою, тобто H = H для всіх xÎG.
Доказ.
Доказ проведемо за схемою (1) (2) (3) (4)
(1) (2). Нехай H G, тобто xH = Hx для всіх xÎG. Якщо h - довільний елемент з H, то hx Hx = xH. Тому існує елемент h H такий, що hx = xh . Тепер x hx = h H.
(2) (3). Нехай виконуються вимога 2). Тоді H = {H | H H} Í Í H для всіх x G. Зокрема, Hx Í H, тобто xHx Í H. Тепер
H Í x Hx = H і H = H для всіх x G.
(3) (1). Якщо H = H для всіх x G, то x Hx = H і Hx = xH для всіх x G, тобто H - нормальна підгрупа групи G.
Ч.т.д.
СЛІДСТВО 3.1.1.
Якщо H G і h H, то h Í H. Зворотно, якщо h Í H для всіх h H, то H G.
Поняття "нормальна підгрупа" можна розглядати не тільки по відношенню до всієї групи, але і відносно підгруп. Якщо H £ K £ G, то підгрупа H буде нормальною в K, якщо xH = Hx для всіх x K.
Проста група. У кожній групі G тривіальні підгрупи (одинична підгрупа E і сама група G) є нормальними підгрупами. Якщо в непоодинокий групі G немає інших нормальних підгруп, то група G називається простою. Одиничну групи E вважають непростий групою.
ТЕОРЕМА 3.1.2. Абелева проста група є циклічною групою простого порядку. Зворотно, кожна група простого порядку буде простою абелевої групою.
3.2 Фактор-групи
Нехай H - нормальна підгрупа групи G. Позначимо через сукупність всіх лівих суміжних класів групи G за підгрупою H, тобто = = {XH | x Î G}. Покладемо
(XH) (yH) = xyH. (3.2.1)
Перевіримо, що це рівність задає алгебраїчну операцію на безлічі . Якщо xH = x H, yH = y H для деяких x , Y Î G, то x = Xh, y = = Yg, h і g Î H. Тому
(X H) (y H) = x y H = (xh) (yg) H = xy (y hy) gH = xyH,
тому що y hy ÎH по теоремі 3.1.1. Таким чином, рівність (3.2.1) не залежить від вибору представників суміжних класів і кожній парі xH, yH ставиться у відповідність єдиний елемент xyH.
Ясно, що запропонована операція (3.2.1) визначена на і асоціативна. Елемент eH = H буде одиничним, а елемент a H - зворотним до елемента aH. Таким чином, доведена наступна.
ТЕОРЕМА 3.2.1. Сукупність = {XH | x Î G} всіх лівих суміжних класів групи G за нормальною підгрупі H з операцією
(XH) (yH) = xyH
утворює групу з одиничним елементом eH = H і зворотним елементом (aH) = A H.
Група називається фактор-групою групи G за підгрупою H і позначається через G / H.
Якщо H не буде нормальною підгрупою, то рівність (3.2.1.) Не буде задавати алгебраїчну операцію, і сукупність лівих суміжних класів не буде групою.
Очевидно, що якщо група G кінцева, то фактор-група групи G по будь-якій нормальній підгрупі H також буде кінцевою групою порядку, рівного індексом підгрупи H в групі G, тобто
| G / H | = | G: H | = | G | / | H |
ЛЕММА 3.2.1. Якщо фактор-група G / Z (G) циклічна, то група G абелева.
Доказ.
Нехай G / Z (G) = á gZ (G) ñ циклічна група і a, b - довільні елементи групи G. Тогдаa = g z , B = g z , Z , Z Î Z (G), k, l Î Z

і
ab = g z g z = G g z z = G g z z = G z g z = Ba

ТЕОРЕМА 3.2.2. Всі фактор-групи нескінченної циклічної групи á аñ вичерпуються нескінченної циклічної групою á аñ / E »á а ñ і кінцевими циклічними групами áaáа ñ ñ порядку m для кожного натурального числа m.
Доказ.
По теоремі 1.2 все підгрупи нескінченної циклічної групи A = áаñ вичерпуються одиничної підгрупою E і нескінченними циклічними підгрупами M = á а ñ, m Î N. Так як кожна циклічна група абелева, то в ній будь-яка підгрупа нормальна.
Фактор-група A / E очевидно буде нескінченною циклічної групою, ізоморфної A. Так як A = {a | K Î Z}, то фактор-група A / M складається із суміжних класів a M, k Î Z. Якщо два суміжних класу співпадуть a M = a M, то a ÎM і s - t кратно m. Звідси випливає, що суміжні класи M, aM, a M,. , A M попарно різні. Крім того, для будь-якого a M Î A / M маємо:
t = mq + r, 0 ≤ r <m і a M = a a M = a M.
Таким чином,
A / M = {M, aM, a M,. . . , A M} = áaMñ,
тобто фактор-група A / M буде кінцевою циклічної групою порядку m.
ТЕОРЕМА 3.2.3. Всі фактор-групи кінцевої циклічної групи áañ порядку n вичерпуються кінцевими циклічними групами áaáа ñ ñ порядку m для кожного натурального m, яка розділяє n.
Доказ.
По теоремі 1.3, все підгрупи кінцевої циклічної групи A = áañ порядку n вичерпуються циклічними підгрупами M = á а ñ порядку n / m для кожного натурального m, яка розділяє n. Легко перевірити, що
A / M = áaMñ = {aM, a M,. . . , A M, M},
тобто A / M = áaáа ñ ñ буде циклічною групою порядку m.
Домовимося через S (G, H) позначати сукупність всіх підгруп групи G, що містять підгрупу H. Зокрема, S (G, E) = S (G) - сукупність всіх підгруп групи G, а S (G, G) = {G}.
ТЕОРЕМА 3.2.4. (Теорема про відповідність)
Нехай H - нормальна підгрупа групи G. Тоді:
1) якщо U - підгрупа групи G і H ≤ U, то = U / H - підгрупа фактор-групи = G / H;
2) кожна підгрупа фактор-групи = G / H має вигляд = V / H, де V-підгрупа групи G і H £ V;
3) відображення : U → є біекціей безлічі S (G, H) на безліч S ( );
4) якщо N Î S (G, H), то N - нормальна підгрупа групи G тоді і тільки тоді, коли N / H - нормальна підгрупа фактор-групи G / H.
Доказ.
(1) Нехай U Î S (G, H) і нехай = {UH | u Î U} - сукупність суміжних класів групи U за своїм нормальним підгрупі H. Якщо u H, u H Î Î , То u , U Î U, а так як U - підгрупа, то u u Î U і u Î U. Тому,

(U H) (u H) = u u H Î , (U H) = U H Î
і за критерієм підгрупи (теорема 1.4) сукупність - Підгрупа групи .
(2) Нехай - Довільна підгрупа з . Тоді складається з деяких суміжних класів групи G за підгрупою H. Позначимо через V безліч всіх тих елементів групи G, з яких складаються суміжні класи, що належать , Тобто V = {x Î G | xH Î }. Якщо v , V Î V, то v H, v H Î , А так як - Підгрупа, то
(V H) (v H) = v v H Î і (v H) = V H Î
Отже, v v Î V і v Î V, тобто V - підгрупа групи G. Ясно, що H ≤ Vе
(3) Відображення : U → буде сюр'екціей на підставі затвердження (2). Доведемо, що - Ін'єкція. Нехай U і V - підгрупи, що містять H, і припустимо, що підгрупи = {UH | u Î U} і = {VH | v Î V} збігаються. Тоді для будь-якого елементу u Î U існує елемент v Î V такий, що uH = vH. Тому v u Î H ≤ V ∩ U. Тепер u Î V і U ≤ V. Аналогічно перевіряється зворотне включення. Отже U = V і - Ін'єкція.
(4) Якщо N G, N Î S (G, H), то
(GH) (NH) (gH) = g ngH Î N / H
для всіх g Î G, n Î N. Тому = N / H . Зворотно, якщо , То

g ngH = (gH) (NH) (gH) Î
і g ngH ÎN, значить N G.
Приклад: Знайдемо всі фактор-групи групи S .
Серед підгруп групи S зі своїми сполученими збігаються наступні підгрупи: E, S , H = (Див. приклад вище). По теоремі 4.1. ці три підгрупи нормальні в S . Ясно, що S / S - Одинична група, а S / E ізоморфна S . Порядок підгрупи H = дорівнює 3, а порядок S / H дорівнює 2. Тому S / H - циклічна група порядку 2.Смежние класи S за H вичерпуються класами H і (12) H. Таким чином, група S має три фактор-групи: S / H S , S / S E, S / H = {H, (12) H} = .

ВИСНОВОК
Теорія груп є одним з найважливіших розділів математики, а поняття фактор-групи і суміжних класів - всього лише маленька частинка цього величезного айсберга знань. У світі все ще існують невирішені проблеми теорії груп, розбираючись ж у самих простих визначеннях і теореми можна прийти до чогось більшого. Можливо, в недалекому майбутньому саме мені вдасться вирішити ці питання.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Александров, П.С. Введення в теорію груп / П.С. Александров-М.: Наука, 1980.
2. Богопольского, О.В. Введення в теорію груп / О.В. Богопольского - М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002.
3. Монахов, В.С. Введення в теорію кінцевих груп та їх класів / В. С. Монахов - Мн.: Вишейшая школа, 2006.