Теорія пари знімків
1. Формули зв'язку координат точок місцевості та їх зображень на тереопаре знімків (пряма фотограметрична зарубка)
На рис.1 показана стереопара знімків Р 1 і Р 2, на яких точка місцевості М зобразила відповідно в точках m 1 і m 2. Будемо вважати, що елементи внутрішнього і зовнішнього орієнтування знімків відомі.
Рис.1.
Виведемо формули зв'язку координат точок місцевості та координат їх зображень на стереопарі знімків.
З рис.1 випливає, що вектори визначають відповідно положення точки місцевості М і центру проекції S 1 знімка Р 1 щодо початку системи координат об'єкта OXYZ. Вектор
визначає положення центру проекції S 2 знімки Р 2 щодо центру проекції S 1.
Вектори визначають положення точок m 1 і М щодо центру проекції S 1. Вектори
визначають положення точок m 2 і М щодо центру проекції S 2.
З рис.1 випливає, що
(1)
Так як вектори колінеарні, то
, (2)
де N - скаляр.
З урахуванням (2) вираз (1.8.1) матиме вигляд
. (3)
У координатної формі вираз (1.7.3) матиме вигляд
; (4)
де X 1 ', Y 1', Z 1 '-координати вектора в системі координат об'єкту OXYZ.
.
Знайдемо значення N, що входить у вираз (4). З рис.1 випливає, що
;
або з урахуванням (2)
. (5)
Так як вектори колінеарні, то їх векторний добуток
. (6)
З урахуванням (5) вираз (6) можна представити у вигляді
;
Або
. (7)
У координатної формі вираз (7) має вигляд
або
, (8),
де:
- Орти, що збігаються з осями координат X, Y, Z системи координат об'єкта OXYZ;
B X, B Y, B Z, X 1 ', Y 1', Z 1 ', X 1', Y 1 ', Z 1' - координати векторів в системі координат об'єкту OXYZ.
,
де i - номер знімка, а
. (9)
Так як вектори колінеарні (так як вектори
компланарних), значення N можна знайти як відношення їх модулів, тобто
; (10)
У координатної формі вираження (10) з урахуванням (8) має вигляд
; (11)
У колінеарних векторів ставлення їх координат дорівнює відношенню їх модулів, тому можна записати, що:
Таким чином, якщо відомі елементи внутрішнього і зовнішнього орієнтування стереопари знімків і виміряні на цих знімках координати відповідних точок x 1, y 1 і x 2, y 2, то спочатку треба визначити за однією з формул (12) - (14) значення скаляра N , а потім за формулою (4) обчислити координати точки місцевості X, Y, Z.
2. Формули зв'язку координат точок місцевості та координат їх зображень на стереопарі знімків ідеального випадку зйомки
В ідеальному випадку запису кутові елементи орієнтування знімків стереопари w 1 = a 1 = À 1 = w 2 = a 2 = À 2 = 0, а базис фотографування паралельний осі Х системи координат об'єкта OXYZ.
У цьому випадку координати базису будуть рівні B X = B, B Y = B Z = O (B-модуль
).
Приймемо, що , Тобто початок системи координат об'єкта OXYZ поєднане з точкою S 1), f 1 = f 2 = f, a x 0 i = y 0 i = 0.
Так як кутові елементи орієнтування знімків дорівнюють нулю, то
,
а ,
де i - номер знімка.
При цьому вираз (1 .13) набуде вигляду
, (1)
а вираз (1 .4), яке ми представимо у вигляді
буде мати вигляд
, (2)
а з урахуванням (1)
. (3)
Так як з третього рівняння виразу (3) випливає, що
,
то формули зв'язку координат (3) можна представити у вигляді
(4)
3. Визначення координат точок місцевості за стереопарі знімків методом подвійного зворотного фотограмметричної зарубки
Для визначення координат точок місцевості за стереопарі знімків методом прямої фотограмметричної зарубки необхідно, щоб були відомі елементи зовнішнього орієнтування знімків. У більшості випадків практики їх значення не відомі. У цьому випадку визначення координат точок місцевості за стереопарі знімків виконують методом подвійного зворотного фотограмметричної зарубки.
Рішення завдання за цим методом виконується в такій послідовності:
Визначають елементи взаємного орієнтування знімків. П'ять елементів взаємного орієнтування знімків визначають взаємну кутову орієнтацію стереопари знімків і базису фотографування. Для їх визначення необхідно виміряти не менше п'яти відповідних точок на стереопарі знімків;
Будують фотограмметричну модель об'єкта по виміряних на стереопарі знімків координатами зображень відповідних точок і значенням елементів взаємного орієнтування знімків. Побудована модель подібна сфотографувати об'єкт, але має довільний масштаб і довільно розташована і орієнтована щодо системи координат об'єкта;
Визначають елементи зовнішнього орієнтування фотограмметричної моделі по опорних точках. Ці сім елементів визначають масштаб моделі, її положення й орієнтацію щодо системи координат об'єкту. Для їх визначення достатньо трьох опорних точок, які не лежать на одній прямій. За значенням елементів зовнішнього орієнтування фотограмметричної моделі та елементів взаємного орієнтування можна визначити елементи зовнішнього орієнтування стереопари знімків;
По координатах точок, визначених у системі координат моделі, і елементам зовнішнього орієнтування моделі визначають координати точок у системі координат об'єкту.
4. Умова, рівняння та елементи взаємного орієнтування знімків
На рис. 1 представлена стереопара знімків Р 1 і Р 2 в положенні, яке вони займали у момент фотографування.
Будь-яка пара відповідних променів у цьому випадку перетинається в точці М місцевості і лежить у площині, що проходить через базис фотографування (Базисної площині).
Очевидно, що в цьому випадку вектори , Що лежать у базисній площині, компланарність.
Рис. 1
Як відомо з аналітичної геометрії, мішаний добуток компланарних векторів дорівнює нулю.
. (.1)
Умова компланарності в координатній формі має вигляд:
. (2)
У рівнянні (2) координати векторів
в системі координат фотограмметричної моделі О М Х М Y M Z M, в загальному випадку довільно розташованої і орієнтованою.
Надалі цю систему координат будемо називати просто системою координат моделі.
Умова (2) пов'язує між собою тільки напрями векторів і виконується за будь-яких значеннях їх модулів. Тому значення модуля вектора можна вибрати довільно. Напрямок вектора
визначається двома незалежними величинами. В якості цих величин можна вибрати координати b z і b у вектора
, Колінеарності вектору
, Задавши величину координати b x довільно.
В окремому випадку величину b x можна вибрати рівною 1.
При цьому напрям вектора будуть визначати величини:
і
.
Вираз (2) в цьому випадку буде мати вигляд:
(3)
У рівнянні (3)
,
де i - номер знімка, а А '1 - ортогональна матриця, елементи a ij якої є функціями кутових елементів орієнтування i-го знімка w i', a i ', À i "щодо системи координат моделі О М Х М Y M Z M .
У виразі (3), яке є рівнянням взаємного орієнтування в загальному вигляді, куди крім координат відповідних точок, виміряних на стереопарі знімків, та елементів внутрішнього орієнтування входять 8 параметрів b y, b z, w 1 ', a 1', À 1 ' , w 2 ', a 2', À 2 ', які визначають кутову орієнтацію базису фотографування і стереопари знімків щодо системи координат моделі О М Х М Y M Z M.
Причому параметри w 1 'і w 2' визначають поворот знімків стерепари навколо осі Х М, параметри b z, a 1 ', a 2' - поворот базису фотографування і стереопари знімків навколо осі Y M, а параметри b y, À 1 ', À 2 ' - Поворот базису фотографування і стереопари знімків навколо осі Z M.
Однак, з цих 8 параметрів тільки 5 визначають взаємну кутову орієнтацію базису фотографування і стереопари знімків.
Умова (3) виконується при будь-якої орієнтації системи координат моделі О М Х М Y M Z M. Отже, її можна орієнтувати таким чином, щоб 3 з 8 параметрів стали рівні нулю.
Очевидно, що в загальному випадку можна зробити рівним нулю тільки один з параметрів, що входять в три групи параметрів:
w 1 ', w 2';
b z, a 1 ', a 2';
b y, À 1 ', À 2'.
Таким чином, в якості елементів взаємного орієнтування можна вибрати будь-яку комбінацію з восьми параметрів b y, b z, w 1 ', a 1', À 1 ', w 2', a 2 ', À 2', крім комбінацій, в які одночасно входять дві трійки параметрів b z, a 1 ', a 2' і b y, À 1 ', À 2', а також пара параметрів w 1 'і w 2'.
Розглянемо найбільш розповсюджені системи елементів взаємного орієнтування:
Система a 1 ', À 1', w 2 ', a 2', À 2 '. Якщо взяти при цьому, що b y = b z = w 1 '= 0, то рівняння (3) має вигляд:
. (4)
Система b y, b z, w 2 ', a 2', À 2 '. Якщо при цьому взяти, що w 1' = a 1 '= À 1' = 0, то рівняння (3) буде мати вигляд:
; (5)
так як .
Коментар. 3 залишилися з 8 параметрів після вибору 5 елементів взаємного орієнтування задають орієнтацію системи координат моделі О М Х М Y M Z M. Наприклад, вибравши систему елементів взаємного орієнтування b y, b z, w 2 ', a 2', À 2 'і прийнявши, що w 1' = a 1 '= À 1' = 0, ми таким чином задаємо систему координат моделі Про М Х М Y M Z M, якої паралельні осям x, y, z системи координат першого знімку стереопари S 1 x 1 y 1 z 1. У загальному випадку значення трьох параметрів можна задавати довільно.
5. Визначення елементів взаємного орієнтування
Для визначення елементів взаємного орієнтування в якості вихідного використовують рівняння взаємного орієнтування (4.3)
.
Кожна точка, виміряна на стереопарі знімків, дозволяє скласти одне рівняння (4.3), в яке, крім виміряних координат точок на стереопарі знімків, елементів внутрішнього орієнтування та трьох параметрів, які задають орієнтацію системи координат моделі, входять 5 невідомих елементів взаємного орієнтування.
Очевидно, що для визначення елементів взаємного орієнтування необхідно виміряти на стереопарі знімків не менше 5 точок.
В якості прикладу розглянемо визначення елементів взаємного орієнтування b y, b z, w 2 ', a 2', À 2 '.
У зв'язку з тим, що рівняння (4.3) не лінійні, їх попередньо призводять до лінійного вигляду і переходять до рівняння поправок:
. (1)
У рівнянні поправок коефіцієнти a i приватні похідні від функції (4.3) за відповідними аргументів, а ℓ - вільний член.
Значення коефіцієнтів а i в рівнянні (1) обчислюють за такими відомими значеннями:
виміряним координатам точок на стереопарі знімків - х i, y i;
елементам внутрішнього орієнтування знімків f i, x 0 i, y 0 i;
3 параметрами, що задає орієнтацію системи координат моделі (у нашому випадку w 1 ', a 1', À 1 ') та наближеним значенням елементів взаємного орієнтування.
Вільний член ℓ обчислюється за формулою (4.3) таким же чином.
Отриману систему рівнянь поправок вирішують методом наближень, а в разі, якщо виміряна більше 5 точок за методом найменших квадратів (під умовою V T PV = min). У результаті рішення знаходять значення елементів взаємного орієнтування.
Критерієм, за яким приймається рішення про завершення ітеррацій, можуть бути величини поправок до обумовлених невідомим або величини залишкових поперечних паралаксів, які для кожної виміряної точки обчислюються за формулами:
, (2)
де .
Величина q ост представляє собою різницю ординат виміряних точок на стереопарі знімків, наведених до ідеального нагоди зйомки, тобто q = y 1 - y 2.
Необхідно відзначити, що за відсутності помилок побудови знімка і помилок вимірів величина q повинна бути дорівнює 0.
При визначенні елементів взаємного орієнтування оптимальним варіантом вважається вимір 12-18 точок на стереопарі знімків, розташованих парами або трійками у 6 стандартних зонах (рис. 1).
Рис. 1
- Головна точка знімка
- Стандартно розташована зона
У цьому випадку виходить найбільш точне і надійне визначення елементів взаємного орієнтування і з'являється можливість локалізації грубих вимірів.
6. Побудова фотограмметричної моделі
Побудова фотограмметричної моделі полягає у визначенні координат точок об'єкта по виміряних на стереопарі знімків координатами їхніх зображень у системі координат моделі О М Х М Y M Z M.
Визначення координат точок моделі проводиться за формулами прямої фотограмметричної зарубки (див. розділ 1).
При цьому координати центру проекції S приймаються довільними (зазвичай 0). Також довільно (але не дорівнює 0) вибирається величина У Х. У більшості випадків практики величину У Х приймають рівною:
;
де b - базис фотографування в масштабі знімка,
m - знаменник масштабу знімка.
Останні значення елементів зовнішнього орієнтування визначають по 8 параметрами b y, b z, w 1 ', a 1', À 1 ', w 2', a 2 ', À 2', 5 з яких є елементами взаємного орієнтування, а 3 визначають орієнтацію системи координат моделі.
При цьому
.
Наприклад, якщо були визначені елементи взаємного орієнтування a 1 ', À 1', w 2 ', a 2', À 2 'і при цьому величини параметрів b y, b z, w 1' були прийняті рівними нулю (b y = b z = w 1 '= 0), то B Y = B Z = 0, w 1 = 0, a 1 = a 1', À 1 = À 1 ', w 2 = w 2', a 2 = a 2 ' , À 2 = À 2 '.
Якщо були визначені елементи взаємного орієнтування b y, b z, w 2 ', a 2', À 2 ', а величини параметрів w 1', a 1 ', À 1' були прийняті рівними нулю (w 1 '= a 1' = À 1 '= 0), то
.
7. Зовнішнє орієнтування моделі. Елементи зовнішнього орієнтування моделі
Рис. 1
На рис.1: OXYZ - система координат об'єкту, О М Х М Y M Z M - система координат фотограмметричної моделі, А - точка об'єкта, АМ-точка фотограмметричної моделі, що відповідає крапці А об'єкта.
Вектори визначають положення початку системи координат моделі О М Х М Y M Z M і точки А місцевості щодо початку системи координат об'єкта OXYZ.
Вектори визначають відповідно положення точок А М і А щодо системи координат фотограмметричної моделі.
З рис. 1 випливає, що
. (1)
Вектори колінеарні, тому
, (2)
де t - знаменник масштабу моделі.
З урахуванням (2) вираз (1) має вигляд:
; (.3)
У координатної формі вираз (3) має вигляд:
; (4)
Або
. (.5)
У виразах (4) і (5):
X, Y, Z - координати точки об'єкта в системі координат об'єкту;
Х М, Y M, Z M - координати потрібної точки моделі в системі координат фотограмметричної моделі;
А М - матриця перетворення координат, елементи a ij якої є функціями кутів w М, a М, À М, що визначають орієнтацію системи координат моделі щодо системи координат об'єкта;
t - знаменник масштабу моделі.
7 параметрів: - Називають елементами зовнішнього орієнтування моделі.
8. Визначення елементів зовнішнього орієнтування моделі по опорних точках
Для визначення елементів зовнішнього орієнтування моделі по опорних точках в якості вихідних використовують рівняння (7.5), які представимо у вигляді:
. (1)
Кожна планово-висотна опорна точка (X, Y, Z) дозволяє скласти 3 рівняння (1), в яких невідомими є 7 елементів зовнішнього орієнтування моделі. Кожна планова опорна точка (X, Y) дозволяє скласти два перші рівняння з виразу (1), а кожна висотна опорна точка (Z) - третє рівняння з виразу (1).
Для визначення елементів зовнішнього орієнтування моделі необхідно скласти систему не менше ніж з 7 рівнянь. Очевидно, що для цього необхідно мати не менше двох планово-висотних і однієї висотної опорної точки. Завдання можна також вирішити, якщо мати дві планові і три висотні опорні точки.
Так як рівняння (1) не лінійні, їх приводять до лінійного вигляду і переходять до рівнянь поправок.
. (2)
У рівнянні поправок:
a i, b i, c i - приватні похідні від рівнянь (1) за відповідними змінним;
ℓ X, ℓ Y, ℓ Z - Вільні члени.
Значення коефіцієнтів рівнянь поправок a i, b i, c i обчислюють за відомими значеннями координат Х М, Y M, Z M і X, Y, Z і наближеним значенням невідомих. Значення вільних членів ℓ X, ℓ Y, ℓ Z обчислюють таким же чином за формулами (.1).
Отриману таким чином систему рівнянь поправок вирішують методом послідовних наближень. Якщо кількість рівнянь поправок в системі більше семи, то її вирішують за методом найменших квадратів (під умовою V T PV = min).
9. Визначення елементів зовнішнього орієнтування знімків стереопари
За елементами зовнішнього орієнтування моделі і елементам взаємного орієнтування можна визначити елементи зовнішнього орієнтування знімків стереопари.
Лінійні елементи зовнішнього орієнтування знімків визначають за формулами:
; (1)
в яких - Координати центру проекції i-го знімка стереопари в системі координат моделі.
Кутові елементи зовнішнього орієнтування знімків w i, a i, À i визначають в такій послідовності:
Спочатку одержують матрицю перетворення координат i-го знімка
, (2)
А М - матриця, в якій елементи a ij обчислюють за кутовими елементами зовнішнього орієнтування моделі w М, a М, À М;
A i '- матриця, в якій елементи a ij обчислюють за кутовими елементами взаємного орієнтування i-го знімка w i', a i ', À i'.
Потім за елементами a ij матриці A i обчислюють кутові елементи зовнішнього орієнтування i-го знімка стереопари:
.
10. Точність визначення координат точок об'єкта по стереопарі знімків
Для предрасчета точності визначення координат точок місцевості за стереопарі аерофотознімків, враховуючи, що кути нахилу знімків не перевищують 1 ° - 3 °, а базис фотографування практично горизонтальний, скористаємося формулами зв'язку координат точок місцевості та координат їх зображень на стереопарі знімків ідеального випадку зйомки (2.4) :
. (2.4)
Спочатку отримаємо середню квадратическую похибку визначення висоти точки Z місцевості. Для цього продиференціюємо третій формулу виразу (1.8.4) по аргументу р.
.
Замінимо величину р на b - базис в масштабі знімка.
Рис.1
На рис.1 О 1 і О 2 - головні точки знімка.
У результаті отримаємо
.
Перейшовши до середніх квадратичних помилок отримаємо формулу:
. (1)
Для отримання середніх квадратичних помилок визначення координат Х і Y точки місцевості продиференціюємо перші дві формули виразу (1.8.4) з аргументів x, y, Z і перейдемо до середніх квадратичних помилок.
У результаті отримаємо
. (2)
В якості прикладу обчислимо величини m X, m Y і m Z точок місцевості, визначених за стереопарі знімків масштабу 1:5000, отриманої АФА з f = 150 мм і форматом кадру 23х23 см, з поздовжнім перекриттям 60%.
Будемо вважати, що на стереопарі знімків точки були виміряні з помилками
.
У цьому випадку висота фотографування
;
а базис фотографування в масштабі знімка
.
Середні квадратичні помилки визначення координат точки місцевості, обчислені за формулами (1) і (2) будуть рівні:
.