Теорія оптимального прийому сигналів

ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЙОМУ СИГНАЛІВ

1 Основні положення теорії оптимального прийому сигналів

Прийом сигналів - одна з найбільш складних теоретичних та інженерних завдань передачі повідомлень. Складність полягає в тому, що в пункті прийому повідомлення необхідно витягувати з модульованих сигналів-переносників, які в процесі проходження по лінії зв'язку не тільки послаблюються, але і піддаються впливам різних спотворюють факторів і перешкод.

Дуже бажано розташовувати методами прийому, які були б найкращими (оптимальними) в даних конкретних умовах. Напрямок, пов'язаний з віднайденням таких методів, називається теорією оптимального прийому.

Теоретичною основою розв'язання задач оптимального прийому є теорія Байєса.

Нехай деяка випадкова фізична величина, яку назвемо причиною, може приймати безліч значень (результатів) П з щільністю ймовірностей р (П), яка вважається апріорної (заздалегідь відомою). Нехай причина викликає появу іншої випадкової величини - наслідки С, яке також може приймати безліч значень. Щільність ймовірностей цих значень залежить від конкретних результатів причини. Тому ситуація описується безліччю умовних щільностей ймовірностей р (З / П).

Статистичним рішенням називають процедуру, яка полягає в тому, щоб, спостерігаючи конкретне слідство , Вказувати його причину . Так як спостережуване наслідок може бути викликано будь-яким результатом причини П, то можна визначити щільність ймовірностей всіх можливих результатів, які могли викликати даний наслідок, тобто визначити функцію р (П / ). Ця функція називається апостеріорної (послеопитной, встановленої на основі мав місце досвіду або спостереження) щільністю ймовірностей причин.

Основою для прийняття статистичного рішення є теорема Байєса

(1)

де р (С / П) - умовна щільність розподілу наслідків;

р (З) - безумовна щільність розподілу наслідків С, обумовлена як

Значення цього інтеграла не залежить від П, оскільки інтегрування по цій змінній ведеться по всій області її існування Г.

З (1) випливає, що апостеріорна щільність ймовірностей причини р (П / С) залежить від апріорної щільності ймовірностей причини р (П) і умовної щільності ймовірностей наслідків р (З / П). щільність р (З / П) є функцією П, її називають функцією правдоподібності.

У теорії статистичних рішень показано, що при ухваленні рішення про конкретне значення діяла причини , Що викликала спостережуване (або заданий) слідство , Найменшу помилку можна зробити, якщо виносити рішення на користь того значення причини, при якій умовний розподіл р (П / ) Має найбільше значення. Таке правило прийняття рішення називається байєсовський.

Якщо апріорна щільність р (П) невідома, то найбільше, що можна зробити - припустити рівномірність його розподілу. Тоді рішення буде виноситися на користь того значення причини , При якому функція правдоподібності р (З / П) для спостережуваного слідства приймає найбільше значення. Це означає, що таке значення причини вважається найбільш правдоподібним серед інших можливих значень. Подібна процедура прийняття рішення називається правилом максимальної правдоподібності.

Застосуємо викладений підхід до вирішення задачі оптимального прийому сигналів.

Суть процедури оптимального прийому. Встановлено, що між коливаннями і векторами можна встановити взаємно-однозначна відповідність. Тому замість коливань можна розглядати відповідні вектори. Виходячи з цього, будемо вважати причиною П випадковий вектор х, відповідний переданим повідомленнями (або однозначно пов'язаний з ним вектор сигналів s, що переносять ці повідомлення), а наслідком С - випадковий вектор у, відповідний суміші сигналу шуму на вході приймача. З урахуванням сказаного (1) можна записати або у вигляді

(2)

або в еквівалентному висловом (2) вигляді

(3)

де x, s, y - вектори в багатовимірних просторах, відповідні повідомленнями x (t), сигналами s (t) = s [x (t), t] і вхідним реалізаціям y (t) = s (t) + n (t ).

При передачі дискретних повідомлень безліч повідомлень x (t) може приймати тільки кінцеве число дискретних значень , Якому однозначно відповідає кінцеве число розрізняються сигналів

Оптимальна процедура прийому полягає у визначенні величин р (s / y) для всіх М значень , Порівняння цих величин між собою і виборі найбільшою з них. Значення , Якому відповідає максимальна величина р ( / Y)

вважається переданим сигналом і відповідно до цього на виході приймача відтворюється повідомлення .

Основні труднощі при вирішенні такого завдання пов'язана з перебуванням апостеріор розподілу р (s / y). Найбільш детально задача вирішена для перешкоди типу гауссовского білого шуму і набору сигналів, заздалегідь відомих в точці прийому. Якщо при цьому всі повідомлення різновірогідні і незалежні, то вираз для р (s / y) можна привести до виду

(4)

де - Одностороння спектральна щільність потужності білого гауссовского шуму;

А - деяка константа.

Знаходження сигналу , Максимізує величину (4) при спостереженні на вході приймача деякої реалізації y (t), еквівалентно мінімізації показника експоненти. Отже, оптимальний приймач повинен виносити рішення про прийом того сигналу , При якому функція р ( / Y) досягає максимуму, а величина

(5)

відповідно стає мінімальною.

Враховуючи властивості векторного представлення функцій часу, від виразу (5), можна перейти до еквівалентного йому вираженні.

(6)

Вираз (5) або (6) являє собою алгоритм роботи оптимального приймача дискретних повідомлень. Працюючи за цим алгоритмом, оптимальний приймач повинен обчислити значення величини для всіх М, що використовуються в системі сигналів (Де j-1, 2, ..., М), порівняти їх між собою, вибрати найменше значення і відтворити на виході відповідне йому дискретне повідомлення.

Іншими словами, оптимальний приймач завжди відтворює на виході повідомлення, переносний тим сигналом, до якого найбільш близька вхідні реалізація y (t). У геометричній інтерпретації це означає, що оптимальний приймач завжди відносить вектор вхідний реалізації y до найближчого вектору сигналу.

Очевидно, що прийом сигналів в присутності шуму може призводити до помилок, оскільки вектор вхідний реалізації випадковий і з деякою імовірністю може потрапити в будь-яку точку простору. Припустимо, що вектор y, утворений з переданого сигналу і шуму n, потрапив в точку, найбільше близько розташовану до вектора сигналу .

Якщо i = j, то приймач прийме правильне рішення, якщо ж , То рішення приймача виявиться помилковим і замість надісланого повідомлення він помилково відтворить повідомлення .

Незважаючи на те, що оптимальний приймач дискретних повідомлень може допускати помилкові рішення, їх вірогідність у цього приймача мінімальна в порівнянні з будь-якими реальними приймачами таких повідомлень.

Дослідження показують, що алгоритм може бути представлений в більш зручному для схемної реалізації вигляді і дозволяє отримати структурні схеми оптимальних приймачів і вирази для розрахунку завадостійкості.

2 Оптимальний когерентний прийом дискретних сигналів і його завадостійкість

У задачі розпізнавання сигналів, що не містять випадкових параметрів (тобто точно відомих), «причинами» є поступають на вхід сигнали , Ймовірності яких рівні, очевидно, ймовірності появи відповідних елементів . «Наслідками» є реалізації суми сигналу і перешкоди.

Кількісно опис ситуації зручно проводити за допомогою розгляду векторів відповідних коливань. Замість сигналів будемо оперувати однозначно відповідними їм векторами , А замість реалізацій y (t) - векторами , Координати яких визначаються вираженням, яке в нашому випадку запишемо так:

(1)

Відповідно до теореми Байєса

(2)

Як було відзначено, рішення зазвичай виноситься на користь сигналу, що має найбільшу апостеріорну ймовірність. Так як знаменник не залежить від номера I, то вирішальне правило (алгоритм рішення) визначається так:

(3)

Слід звернути увагу на те, що в цих висловлюваннях - Щільності ймовірностей, так як компоненти вектора y, як видно з (1), є безперервними випадковими величинами.

У виразі (3) апріорні ймовірності передачі елементів повинні бути задані. Отже, необхідно визначити тільки правдоподібності . Це можна зробити виходячи з того, що перешкода аддитивна. Так як

то щільність ймовірності деякого значення вектора дорівнює щільності ймовірності, що вектор перешкоди n прийме значення . Звідси випливає, що якщо - Відома нам щільність ймовірності вектора перешкоди, то

(4)

Останній перехід справедливий тому, що сигнал і перешкоди - незалежні процеси.

Для подальшої конкретизації алгоритму необхідно задати певний вид перешкоди. У більшості випадків мають місце нормальні (гаусові) або близькі до них перешкоди. Обчислення в цьому випадку виявляються найбільш простими. При гауссовских перешкодах кожна компонента вектора розподілена за нормальним законом

(5)

У ряді випадків, зокрема, при рівномірному розподілі енергії перешкоди по смузі розглянутих частот, компоненти вектора є незалежними випадковими величинами. Тоді, як відомо,

(6)

При залежних компонентах вираз для істотно ускладнюється і цей випадок тут розглядати не будемо.

Відзначимо, що , Тобто є квадратом довжини (норми) вектора перешкоди.

Отже,

(7)

Відкинувши множники, що не залежать від номера сигналу i, вирішальне правило (3) можна представити у вигляді

(8)

Приймач, що працює за алгоритмом (8), називається байєсовський або приймачем максимальної апостеріорної ймовірності. Якщо апостеріорні ймовірності елементів однакові, то вирішальне правило спрощується:

(9)

Відповідний приймач називається приймачем максимальної правдоподібності. Правило (9) розкриває механізм роботи оптимального приймача.

Отримавши вектор y, за допомогою обробки реалізації y (t) необхідно обчислити відстань від його кінця до кінців векторів всіх можливих сигналів і винести рішення на користь того сигналу, для якого величина буде мінімальною, тому що саме в цьому випадку функція (9) досягне максимуму. Коротко можна сказати, що оптимальний приймач виносить рішення на користь сигналу «найближчого» до y (t).

Вираз (9) досягає максимуму при мінімумі показника експоненти. Отже, правило (9) можна записати в іншому вигляді:

або, враховуючи векторне подання

(10)

Тут перший член в дужках не залежить від номера i. Останній член - є енергія i-того сигналу. Якщо енергії всіх сигналів однакові, що зазвичай має місце, то цей член також не залежить від номера i. Таким чином, вирішальне правило можна записати так:

(11)

Справедливість такого переходу зумовлена тим, що другий член в (10) має знак мінус і вираз (10) мінімізується, якщо цей член досягає максимуму. Вираз (11) вже дозволяє визначити структуру оптимального приймача. Однак зручніше це вираз уявити в іншому вигляді. Дійсно, врахуємо, що

(12)

Тоді остаточно отримаємо

(13)

Ця структура називається оптимальним кореляційним приймачем, так як основна операція, що лежить в його основі, це операція кореляції y (t) з усіма можливими сигналами .

З проведеного розгляду слід, що до складу оптимального приймача повинні входити генератори, що виробляють зразки сигналів , Тотожні тим, які використовуються на передавачі. Крім того, між роботою генераторів передавача і приймача повинна дотримуватися синхронність і синфазность, тобто забезпечуватися ідеальна синхронізація.

3 Оптимальний некогерентне прийом дискретних сигналів і його завадостійкість

Раніше було показано, що якщо імпульсний відгук лінії являє собою -Функцію, то така лінія тільки послаблює передається сигнал, не змінюючи його форми. Нехай ослаблення сигналу а - повільно змінюється випадкова величина, практично постійна на інтервалах тривалістю Тс. Якби а була постійною і відомої величиною, то здійснювався б прийом точно відомих сигналів з вирішальним правилом

(1)

При випадковому значенні а слід усереднити результат за законом розподілу р (а); тоді при равновероятностних сигналах вирішальне правило набуде вигляду

(2)

Зі співвідношення (2) випливає, що при такому підході структура оптимального приймача залишиться незмінною (інваріантної до випадкових значень а). Імовірність же помилок (за інших рівних умов) зростає. При випадковому значенні а ці вирази необхідно усереднити по р. (а). Зокрема, для протилежних сигналів усереднене значення ймовірності помилки Р0ш має визначатися відповідно до вираження

(3)

Для розподілу р (а), що підкоряється закону Релея можна показати, що

(4)

де . Неважко бачити, що при однакових значеннях а ймовірність помилок, розрахована за формулою (4), значно перевищує імовірність помилок. Фізична причина збільшення ймовірності помилок ясна: зростання а призводить до деякого зменшення ймовірності помилок, однак падіння а призводить до значного зростання цієї імовірності внаслідок зазначеного вище «порогового ефекту».

Розглянемо далі випадок, коли лінія вносить до сигнали тільки випадковий зсув початкової фази, що має місце у переважній більшості реальних ситуацій. При цьому, якщо

то сигнали на виході лінії (вході приймача)

(5)

Вихідні сигнали (5) можна представити у вигляді двох складах з випадковими амплітудами, але постійними фазами:

(6)

де а і Ь можуть, на відміну від попереднього випадку, приймати і позитивні і негативні значення.

З (6) видно, що дія лінії можна звести до появи в точці прийому двох складових сигналу: косинусоидальной і синусоїдальної. Аналіз цього випадку, пов'язаний з виконанням усереднення по обох випадковим параметрами а і Ь, досить громіздкий.

Наведемо кінцеве вираз для вирішального правила:

(7)

З нього випливає, що оптимальний приймач виробляє кореляцію прийнятої реалізації у (t) зі зразками обох доданків сигналу. Зведення результатів у квадрати перед складанням і вибором максимуму викликано тим, що величини а і Ь можуть бути як позитивними, так і негативними.

Цей алгоритм можна реалізувати і за допомогою узгоджених фільтрів. Тут містяться детектори огинають вихідних коливань узгоджених фільтрів, після яких і проводиться відлік. Фізика процесів також зрозуміла: якщо на вхід узгодженого з сигналом фільтра подати зрушений по фазі сигнал, то в силу лінійності фільтра відбудеться запізнювання коливання і на виході фільтра. Тому відлік в момент t = TС не співпаде з максимумом напруги. У силу випадковості цього зсуву найкращою стратегією виявляється відлік обвідної, а не миттєвого значення коливання.

Порівняємо випадок прийому сигналів при відсутності випадкової фази (тобто точно відомих за формою сигналів) і за наявності випадкової фази. Перший випадок прийнято називати когерентним, а другий - некогерентним прийомом (саме цей випадок найчастіше має місце на практиці).

(8)

Порівнюючи вирази для когерентного та некогерентного прийому при однаковому значенні ймовірності помилки, можна встановити, який енергетичний програш дає застосування некогерентного прийому порівняно з когерентним. Розрахунки показують, що для забезпечення при некогерентним прийомі потрібне збільшення енергії сигналу на 15-30% в порівнянні з когерентним, тобто програш невеликий.

У більш загальному випадку неідеальність лінії обумовлює випадкові зміни амплітуди і фази. Імовірність помилок від цього збільшується, тому що незалежно діють обидва розглянуті фактора. Можна показати, що в цьому випадку ймовірність помилок при розпізнаванні бінарних ортогональних сигналів дорівнює

(9)

де - Середнє значення енергії прийнятих сигналів.

4 Оптимальний і квазіоптимальний прийом безперервних сигналів і його завадостійкість

Перейдемо до розгляду особливостей оптимального прийому при передачі безперервних повідомлень. У цьому випадку передане повідомлення х (t) може мати дуже велике (практично нескінченне) число можливих реалізацій, кожна з яких представляє собою безперервну функцію часу. Тому в геометричній інтерпретації повідомленнями і сигналами відповідають не окремі точки (або вектори з фіксованою довжиною) в багатовимірних просторах (як це було при передачі дискретних повідомлень), а континуум ліній повідомлень і сигналів, що описуються кінцями векторів х і s. Дослідження показують, що в цій ситуації оптимальний прийом пов'язаний з формуванням на приймальному боці такого сигналу s (t), який би забезпечував максимум максіморум апостеріорної щільності ймовірності, яка визначається виразом.

Стосовно до каналу з гауссовских білим шумом і рівноімовірними повідомленнями зазначена умова зводиться до мінімізації величини

(1)

Щоб сформувати сигнал s (t), на приймальній стороні потрібно використовувати отримане повідомлення х (t), яке представляє собою результат обробки вхідної реалізації у (t) приймачем. Повідомлення х (t) називають оцінкою переданого повідомлення х (t). Формування сигналу s (t) являє собою модуляцію несучої сигналу коливанням х (t) за тим же законом і з тими ж параметрами, що і на передавальній стороні.

Сформований в приймачі сигнал s (t) використовується при обробці вхідної реалізації у (t) і наступному формуванні оцінки повідомлення х (t), яка, у свою чергу, необхідна для створення сигналу s (t). Неважко зрозуміти, що вказана процедура може бути виконана тільки в пристрої стежить типу, з використанням зворотного зв'язку по формованої оцінці повідомлення х (t).

У геометричній інтерпретації мінімізація вираження означає, що оптимальний приймач завжди відносить вхідні поточну реалізацію у до найближчої лінії сигналів і відповідно до цього формує на виході оцінку повідомлення х (t). Через вплив шуму оцінка х (t) відрізняється від переданого повідомлення х (t). Ця відмінність зазвичай характеризують величиною середньоквадратичної помилки (див. л. 1.3). Оптимальний прийом забезпечує мінімальне значення цієї похибки у порівнянні з будь-яким іншим способом прийому.

Теорія оптимального прийому безперервних повідомлень, часто звана також теорією оптимальної демодуляції аналогових видів модуляції, або теорією нелінійної фільтрації, представляє важливий розділ загальної теорії зв'язку, основи якої були закладені в роботах О.М. Колмогорова, В.А. Котельникова, Н. Вінера, К. Шеннона і ряду інших вітчизняних і зарубіжних вчених.

Завданням приймального пристрою є витяг надісланого повідомлення х (t) з вхідного коливання у (t). Однак через перешкоди і спотворень ця процедура не може бути виконана точно, і відновити сполучення на виході приймача можна тільки приблизно. Таке наближене повідомлення називають оцінкою і позначають х (t).

Критерієм близькості х (t) і х (t) в теорії і техніці зв'язку прийнята СКО, відповідно до якої

(2)

де дужки <.> означають операцію усереднення реалізації за часом.

Оптимальний приймач безперервних повідомлень забезпечує найменшу можливу в заданих умовах величину СКО. Визначимо цю помилку.

Грунтуючись на теорії ортогональних розкладів передачу будь-якого безперервного повідомлення можна замінити передачею сукупності числових коефіцієнтів (параметрів). Нехай безперервне повідомлення х (t) представлено поруч

(3)

При певній системі базисних функцій передача повідомлень x (t) еквівалентна передачі п значень коефіцієнтів Отже, передається сигнал можна розглядати як функцію часу і коефіцієнтів , Т. е.

(4)

Вплив перешкод призведе до того, що кожен коефіцієнт , Буде прийнятий з деякою погрішністю. У результаті оцінка повідомлення набуде вигляду

(5)

де коливання потрібно розглядати як перешкоду на виході приймача.

Якщо єдиною причиною появи цієї перешкоди є білий гауссовский шум на вході приймача, то неважко переконатися в тому, що перешкода має нормальний розподіл. В. А. Котельников показав, що в режимі надпороговое оптимального прийому спектральна щільність такої перешкоди визначається виразом

(6)

Середній квадрат помилки при оптимальному прийомі безперервних повідомлень з урахуванням (2) можна знайти за формулою

(7)

Для вибраного (або заданого) виду модульованих сигналів завадостійкість оптимального прийому буде найбільш високою в порівнянні з будь-яким можливим реальним способом прийому цих же сигналів. Тому таку завадостійкість часто називають потенційної (гранично можливою для даного виду сигналів).

При аналізі потенційної завадостійкості корисно розрізняти прямі види модуляції, у яких передане повідомлення x (t) безпосередньо входить у вираз для сигналу та інтегральні, у яких сигнал - функція інтеграла від переданого повідомлення, тобто .

Розглянемо особливості розрахунку потенційної завадостійкості для деяких випадків.

Завадостійкість сигналів з амплітудною модуляцією. Нехай для передачі безперервних повідомлень використовується АМ сигнал. У цьому випадку

(8)

(9)

(10)

У (8) враховано, що соs2а = 0,5 (1 + соs2а) та інтеграл розпадається на дві складових, одна з яких (з частотою 2w0) близька до нуля і відкинута.

З (9) випливає, що при АМ сигналі спектральна щільність перешкоди на виході оптимального приймача постійна. Ця особливість характерна не тільки для АМ, а й усіх інших сигналів з прямими видами модуляції.

Прийнявши до уваги, що середні потужності сигналу і шуму на вході приймача

де - Ширина спектру АМ сигналу, що визначає смугу пропускання приймача, маємо

(11)

Відповідно до (11) потенційна завадостійкість АМ сигналів в основному визначається відношенням сигналу до шуму на вході приймача. Для отримання малих значень помилки це ставлення має бути досить великим.

Завадостійкість сигналів з кутовою модуляцією. Нехай для передачі безперервних повідомлень використовуються сигнали з кутовою модуляцією. Спочатку розглянемо випадок фазової модуляції.

З (13) випливає, що при ФМ сигналі, як і при АМ, спектральна щільність перешкоди на виході постійна, оскільки ФМ належить до сигналів з прямою модуляцією.

При ЧС сигналі спектральна щільність перешкоди на виході має квадратичну залежність від частоти. Така залежність характерна для всіх інтегральних видів модуляції. У цьому випадку

(12)

(13)

(14)

де і - Середні потужності шуму і сигналу на вході приймача; - Смуга частот, займана спектром ФМ сигналу.

Проведемо тепер розгляд для ЧМ сигналу. Він відноситься до інтегрального увазі модуляції.

(15)

де - Поточна частота, що приймає значення в інтервалі

Спектральна щільність перешкоди на виході оптимального приймача ЧМ сигналів дорівнює

(16)

Ця формула показує, що при ЧМ сигналі спектральна щільність перешкоди на виході має квадратичну залежність від частоти. Така залежність характерна для всіх інтегральних видів модуляції.

Середній квадрат помилки при прийомі ЧМ сигналів можна записати так:

(17)

де - Індекс частотної модуляції.

Проаналізуємо отримані результати. З (14) і (17) випливає, що при ФМ та ЧМ завадостійкість прийому можна підвищити тільки за рахунок збільшення індексу модуляції (Не збільшуючи при цьому середню потужність сигналу Рс). Однак збільшення призводить до розширення спектру ФМ та ЧМ сигналів і відповідно до необхідності використовувати більш широку смугу частот. Це зменшує відношення сигналу до шуму на вході приймача При деякому значенні індексу величина qс знизиться до порогової величини, , При якому умови надпороговое прийому порушуються і починає різко зростати вірогідність аномальних помилок . У цьому випадку формулами (14) і (17) користуватися вже не можна.