Теорія ймовірності та математична статистика

Московський авіаційний інститут

(Технічний університет)

Курсова робота

Дисципліна: Теорія ймовірності та математична статистика

Виконав

студент групи Р 2 / 1

Істелюев Батирбек.

Ахтубинск-2004

Завдання

1. Перевірити виконання теореми Бернуллі на прикладі електричної схеми.

2. Методом дискретних випадкових величин змоделювати випадкову величину, яка має закон розподілу Пуассона. Заповнити масив з 300 точок.

3. Критерієм Колмогорова перевірити, що даний масив має відповідний закон розподілу.

Коротка теорія

У теорії ймовірності часто зустрічається такий характер наближення одних величин до інших, і для його опису введений спеціальний термін: «збіжність за ймовірністю».

Кажуть, що величина X _n сходиться по ймовірності до величини а, якщо при скільки завгодно малому е ймовірність нерівності │ X _n - a │ <e із збільшенням необмежено наближається до одиниці. Застосовуючи цей термін, можна сказати, що при збільшенні числа дослідів частота події не прагне до ймовірності події, а сходиться до неї за ймовірністю. Це властивість становить зміст теореми Бернуллі.

Наприклад, при киданні монети 10 раз теоретично можливо, що всі 10 раз з'явиться герб, тобто частота появ буде дорівнює 1; при 1000 бросаниях така подія можливо, але набуває меншу ймовірність; при ще великій кількості бросаний ймовірність стає на стільки мала, що цю подію можна вважати практично нездійсненним.

Теорема Я. Бернуллі: при збільшенні кількості дослідів, частота появ подій сходиться за ймовірністю до ймовірності цієї події.

Теорема Я. Бернуллі стверджує стійкість частоти при постійних умовах досвіду. Але при змінних умовах досвіду аналогічна стійкість також існує. Теорема, що встановлює властивість стійкості частот при змінних умовах досвіду, називається теоремою Пуассона.

Закон Пуассона.

Розглянемо випадкову величину Х, яка може приймати цілі, невід'ємні значення: 0,1,2, ..., m, ...

Кажуть, що ця СВ Х розподілена за законом Пуассона, якщо ймовірність того, що вона прийме певне значення m, виражається формулою:

P _m = (a ^m / m!) * E ^{- a} (m = 0,1,2 ...), a - деяка позитивна величина звана параметром закону Пуассона.

Ряд розподілу СВ Х, розподілений за законом Пуассона, має вигляд:

xm	0	1	2	...	m	...
pm	ea	(A / 1!) * Ea	(A 2 / 2!) * Ea	...	(Am / m!) * E - a	...

Математичне сподівання даного розподілу випадкової величини дорівнює параметру закону Пуассона а: m _x = a; Дисперсія також дорівнює цьому параметру: D _x = a. Таким чином дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона дорівнює її математичного сподівання і дорівнює параметру а.

Це властивість застосовується на практиці для вирішення питання, правдоподібна гіпотеза про те, що випадкова величина Х, розподілена за законом Пуассона, для цього визначають з досвіду статистичні характеристики: математичне сподівання і дисперсію. Якщо їх значення близькі, то гіпотеза є правдоподібною.

Діскетной називається випадкова величина, можливі значення якої є окремі ізольовані числа (тобто між двома можливими сусідніми значеннями немає можливих значень), які ця величина приймає з певними ймовірностями. Іншими словами, можливі значення випадкової величини можна перенумерувати. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним (в останньому випадку безліч всіх можливих значень називають рахунковим).

Законом розподілу називають перелік її можливих значень і відповідних їм імовірностей.

Критерій А.Н. Колмогорова.

В якості міри розбіжності між теоретичним і статистичним розподілами Колмогоров розглядає максимальне значення модуля різниці між статистичної функцією розподілу F ^* (x) і відповідної теоретичної функцією розподілу F (x):

D = max │ F ^* (x) - F (x) │.

Підставою для вибору як розбіжності величини D є простота її обчислення. Разом з тим вона має досить простий закон розподілу. Колмогоров довів, що, якою б не була функція розподілу F (x) випадкової величини X, при необмеженому зростанні числа незалежних спостережень n ймовірність нерівності

D √ n ≥ λ прагне до межі P (λ) = 1-Σ _{k =- ^∞ ∞} (-1) ^k e ^{-2 ∙ k ^ (2) ∙ λ ^ (2)} значення Р (λ) можна знайти за таблицею , знаючи λ.

Завдання № 1

Перевірити виконання теореми Бернуллі на прикладі електричної схеми:

Нехай імовірність того, що кожен елемент даної схеми не вийде з ладу, дорівнює:

Р ₁ = 0,6; Р ₂ = 0,4; Р ₃ = 0,5; Р ₄ = 0,7; Р ₅ = 0,3; Р ₆ = 0,8.

Програма, отримана в середовищі PASCAL:

Program Shema;

Uses CRT;

Var a: array [1 .. 6] of integer;

p, x: array [1 .. 6] of real;

m, n, i, j, c: integer;

R, S, B: real;

BEGIN

CLRSCR;

p [1]: = 0.6; p [2]: = 0.4; p [3]: = 0.5; p [4]: = 0.7; p [5]: = 0.3; p [6]: = 0.8;

n: = 1000;

c: = 0;

while n <= 25000 do begin

m: = 0;

for i: = 1 to n do begin

for j: = 1 to 6 do begin

x [j]: = random;

if x [j] <p [j] then a [j]: = 1 else a [j]: = 0;

end;

if a [1] * (a [2] + a [3] + a [4]) * (a [5] + a [6])> = 1 then m: = m +1;

end;

R: = m / n;

writeln ('кіл - у дослідів = ', n: 5,' P = ', R: 5:3);

S: = S + R;

n: = n +1000;

inc (c);

end;

S: = S / c;

writeln;

writeln ('Імовірність безвідмовної роботи =', s: 4:5);

writeln;

B: = p [1] * (1 - (1-p [2]) * (1-p [3]) * (1-p [4 ]))*( 1 - (1-p [5]) * (1-p [6]));

writeln ('Імовірність роботи (2-ий спосіб) =', B: 4:5);

readln;

END.

Результати роботи:

кол-во дослідів = 1000 P = 0.476

кол-во дослідів = 2000 P = 0.480

кол-во дослідів = 3000 P = 0.474

кол-во дослідів = 4000 P = 0.463

кол-во дослідів = 5000 P = 0.476

кол-во дослідів = 6000 P = 0.470

кол-во дослідів = 7000 P = 0.467

кол-во дослідів = 8000 P = 0.463

кол-во дослідів = 9000 P = 0.473

кол-во дослідів = 10000 P = 0.476

кол-во дослідів = 11000 P = 0.468

кол-во дослідів = 12000 P = 0.466

кол-во дослідів = 13000 P = 0.462

кол-во дослідів = 14000 P = 0.472

кол-во дослідів = 15000 P = 0.473

кол-во дослідів = 16000 P = 0.464

кол-во дослідів = 17000 P = 0.469

кол-во дослідів = 18000 P = 0.474

кол-во дослідів = 19000 P = 0.471

кол-во дослідів = 20000 P = 0.472

кол-во дослідів = 21000 P = 0.467

кол-во дослідів = 22000 P = 0.464

кол-во дослідів = 23000 P = 0.468

кол-во дослідів = 24000 P = 0.466

кол-во дослідів = 25000 P = 0.469

Ймовірність безвідмовної роботи = 0.46972

Ймовірність роботи (2-ий спосіб) = 0.46956

Висновок: за результатами видно, що ймовірність безвідмовної роботи ланцюга, при великій кількості дослідів, сходиться до загальної ймовірності безвідмовної роботи цього ланцюга, значить, частота подій при великому числі дослідів наближається до ймовірності цієї події, про що говорить теорема Бернуллі.

Завдання № 2

Змоделювати масив з 300 дискретних випадкових величин, що має закон розподілу Пуассона.

Програма:

Program Puasson;

Uses CRT;

Const a = 5; d = 15; n = 300; k = d +1;

Var i, j, w: word; sums, ran: real;

xmin, xmax, mx, Dx, Rx, Sx, Ex, Sk, h: real;

s, al: array [0 .. d] of real;

x: array [1 .. n] of byte;

function Pwr (x, p: real): real;

Begin

randomize;

if x> 0 then pwr: = exp (p * ln (x))

else pwr: = 0;

end;

function fact (x: word): real;

var i: word;

f: real;

Begin

f: = 1

if x> 0 then for i: = 1 to x do f: = f * i;

fact: = f;

end;

Function f (m: word): real;

begin

if m> = 0 then f: = pwr (a, m) * exp (-a) / fact (m)

else f: = 0;

end;

begin

sums: = 0;

for i: = 1 to d do begin

s [i]: = f (i); sums: = sums + s [i];

end;

for i: = 0 to d do begin al [i]: = 0;

for j: = 0 to i do al [i]: = al [i] + s [j] / sums;

end;

for w: = 1 to n do begin

ran: = random;

for i: = 0 to d do begin

if al [i]> ran then begin

x [w]: = i; break;

end;

end;

end;

writeln;

writeln ('Масив, отриманий за законом розподілу Пуассона:');

writeln;

mx: = 0;

for i: = 1 to n do begin

write (x [i]: 2, '');

mx: = mx + x [i] / n;

end;

Dx: = 0;

Sk: = 0;

xmin: = x [1];

xmax: = xmin;

for i: = 1 to n do begin

Dx: = Dx + sqr (x [i]-mx) / (n-1);

if xmin> x [i] then xmin: = x [i];

if xmax <x [i] then xmax: = x [i];

end;

SX: = sqrt (Dx);

writeln;

Rx: = d;

h: = Rx / k;

Ex: =- 3;

for i: = 1 to n do begin

Sk: = Sk + ((x [i]-mx) * (x [i]-mx) * (x [i]-mx)) / (sqr (dx) * sqr (dx) * sqr (dx));

Ex: = Ex + ((x [i]-mx) * (x [i]-mx) * (x [i]-mx) * (x [i]-mx)) / (sqr (dx) * sqr ( dx) * sqr (dx) * sqr (dx))

end;

writeln ('Інтервал значень випадкової величини:', xmin: 0:3 ,'-', Xmax: 0:3);

writeln ('математичне сподівання =', mx: 0:3);

writeln ('Дисперсія =', Dx: 0:3);

writeln ('Середня квадротіческое відхилення =', Sx: 0:3);

writeln ('скошеність =', Sk: 0:3);

writeln ('Ексцес =', Ex: 0:3);

readln;

END.

Результат роботи:

Масив, отриманий за законом розподілу Пуассона:

2 4 5 3 8 5 5 6 5 4 3 1 6 8 7 2 8 8 7 3

8 4 4 1 5 4 2 4 3 4 1 5 7 4 6 3 3 7 4 7

6 5 4 7 2 7 4 10 5 4 4 7 6 5 4 3 4 5 7 5

2 2 3 11 7 7 6 8 4 5 8 7 9 3 6 5 3 3 6 5

7 6 2 5 1 2 6 6 4 2 13 6 5 5 2 3 9 3 7 7

2 7 6 4 3 4 1 7 6 4 5 4 4 4 5 2 5 4 3 6

3 4 4 5 7 4 4 7 6 3 8 5 7 5 4 3 4 5 6 9

2 4 8 6 8 7 6 3 5 9 2 4 8 1 7 1 4 6 6 7

2 2 3 3 3 4 3 3 1 6 7 4 8 2 3 7 5 5 6 4

6 4 9 10 4 6 4 7 4 7 3 2 3 6 9 3 4 5 6 10

5 10 7 9 5 3 4 7 6 5 7 2 3 7 6 4 5 10 3 6

7 10 3 7 5 5 5 7 7 4 5 2 5 2 9 2 5 8 4 4

5 7 5 6 5 5 4 1 3 5 5 6 9 3 5 ​​3 5 2 13 7

7 5 1 5 3 9 7 5 3 5 5 8 7 4 10 5 5 8 7 8

7 3 4 7 8 4 2 7 7 2 3 4 6 7 4 7 4 5 7 2

Інтервал значень випадкової величини :1.000-13 .000

математичне сподівання = 5.093

Дисперсія = 4.941

Середнє квадротіческое відхилення = 2.223

Скошеність = 0.104

Ексцес =- 2.934

Завдання № 3:

Критерієм Колмогорова перевірити, що даний масив, отриманий у другому завдання, має відповідний закон розподілу.

Статистична обробка отриманого масиву.

За отриманого масиву побудуємо таблицю:

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
M	0	10	26	39	53	54	33	48	17	10	7	1	0	2

де, M - кількість точок.

Таблиця статистичних ймовірностей:

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
P (x)	0	0,033	0,0867	0,13	0,1767	0,18	0,11	0,16	0,0567	0,0333	0,2333	0,0033	0	0,0067

Таблиця статистичних значень функції:

Теоретична обробка

Таблиця теоретичних ймовірностей:

F (X) = P (X <x), значить таблиця теоретичних значень функції розподілу виглядає так:

Знаходимо максимальний модуль різниці між F (x) і F ^* (x), вона дорівнює

D = │ F (6) - F ^* (6) │ = │ 0,7167-0,762 │ = 0,0453.

Знайдемо λ = D * √ n = 0,0453 * √ 300 = 0,78462.

Ймовірність P (λ) = 1-Σ _{k =- ^∞ ∞} (-1) ^k e ^{-2 ∙ k ^ (2) ∙ λ ^ (2)} дорівнює (при λ = 0,78462 з табл) = 0,544.

Висновок: Значення ймовірності не мале, тобто> критичного значення 0.1, значить гіпотезу можна вважати правдоподібною.