Міністерство освіти Республіки Білорусь
Білоруський державний університет інформатики і
радіоелектроніки
кафедра РЕЗ
РЕФЕРАТ
на тему:
«СТАТИСТИЧНІ ОЦІНКИ КРИТЕРІЇВ НАДІЙНОСТІ РЕСІ»
МІНСЬК, 2008
Результати експлуатації РЕСІ та її елементів можуть бути використані для отримання експериментальних значень їх критеріїв надійності.
Такі критерії завжди є наближеними, так як отримані за обмеженою обсягом експериментальних даних і, отже, завжди містять елемент випадковості. Помилку критерію надійності, отриманого експериментальним шляхом, можна оцінити за допомогою довірчого інтервалу (при заданій довірчій ймовірності). Довірчим інтервалом називають область всіх можливих значень критерію надійності, які можуть бути отримані в результаті даного експерименту. Довірча ймовірність вказує, наскільки ймовірно знаходження експериментального значення критерію надійності всередині кордонів довірчого інтервалу.
Будь-яке наближене значення Х * критерію Х надійності, обчислена на основі обмеженої кількості реалізацій, називається оцінкою критерію. Природно, щоб при збільшенні n вона наближалася (сходилася по вертикалі) до шуканого параметру розподілу Х. Оцінка, що володіє такою властивістю, називається заможною. Бажано також, щоб при використанні оцінки Х * замість дійсного значення Х критерію надійності не було математичної помилки в розрахунках, тобто щоб виконувалася умова т (х *) = х. Оцінка, що задовольняє такій умові, називається незміщеної. Особливо це важливо при малому обсязі експериментальних даних. І, по-третє, бажано, щоб обрана оцінка мала в порівнянні з іншими найменшу дисперсію. Така оцінка називається ефективною.
Практично не завжди вдається знайти оцінку критерію, яка б задовольняла всім перерахованим вимогам.
Вид формули оцінки критерію надійності залежить від його закону розподілу, і від типу вибіркового плану випробувань (або експлуатації).
Розглянемо правила визначення оцінок і довірчих меж для параметрів експоненціального розподілу і розподілу Пуассона.
Визначення даних параметрів проводиться для розрахунку характеристик надійності за результатами спеціально організованих випробувань. У нижченаведеної таблиці наведемо характеристики 12 найбільш часто зустрічаються планів випробувань на надійність:
Таблиця 1 - Характеристики планів випробувань на надійність
Всі плани можна розділити на три групи:
плани з індексом R, тобто плани випробувань не відновлюваних виробів, згідно з якими відмовили під час випробувань вироби замінюються новими;
плани з індексом U, тобто плани випробувань невідновлювальних об'єктів, згідно з якими відмовили вироби не замінюються новими;
плани з індексом М, т. е. плани випробувань відновлюваних об'єктів, згідно з якими після відмови працездатність об'єкта відновлюється.
Таким чином при позначенні плану випробувань:
перша буква позначення плану означає, що на випробування було поставлено N виробів;
друга літера - характеризує вибірку (поворотна або безповоротна);
третя буква r, T-позначає обмеження випробувань, тобто:
r - Випробування ведуться до отримання очікуваного числа відмов r;
Т - випробування припиняються після закінчення заданого часу Т;
При випробуванні невідновлювальних об'єктів за планом NUr при r = N одержуємо повністю певну вибірку, тобто таку вибірку, в якій всі значення X 1, X 2, .., X n випадкової величини Х визначені. При решту планів випробувань отримують не повністю визначені вибірки, тобто такі в яких відомі m значень випадкової величини Х (m <n) /
При випробуванні відновлюваних об'єктів за планом NMr при будь-якому r одержують повністю певну вибірку, за інших - не повністю визначені вибірки.
Плани випробувань [N, U, (r, T)], [N, M, (r, T)], [N, R, (r, T)], [N, M, (r Σ, T Σ) ] називають
подвійними, на відміну від інших простих планів.
При випробуванні за двоїстим планам отримують зазвичай результат, що відповідає одному з двох простих планів, окрім плану [N, M, (r, T)].
Дамо графічну інтерпретацію окремих планів:
NRT
NUT
Визначення оцінок параметрів експоненціального розподілу
Експоненційний розподіл має один параметр λ, який пов'язаний із середнім значенням α випадкової величини Х співвідношенням: λ = 1 / α; Таким чином надалі, оцінку середнього значення α випадкової величини Х будемо позначати через Х, оцінка параметра λ буде позначатися через λ.
Вирази для оцінки параметрів Х і λ наведені в таблицях 2, 3
Таблиця 2 - Вираз для оцінки Х
S - сумарне напрацювання об'єкта під час випробувань;
m - сумарна кількість відмов (m> 0).
Даною таблицею можна користуватися і для двоїстих планів, входячи в цю таблицю з тим простим планом, до якого призвели результати випробувань за двоїстий планом.
Розглянемо вирази для оцінки λ для різних планів:
Таблиця 3 - Вирази для оцінок λ
Визначення довірчих меж для параметрів експоненціального розподілу
Вирази для λ H і λ B, α H і α B при односторонній довірчої ймовірності представлені в таблиці 4.
Таблиця 4 - Значення параметрів α H, α B, λ H, λ B
Значення оцінки λ визначається по відповідному рядку таблиці 4, коефіцієнти r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, r 0 визначаються по відповідних графах таблиць по довірчій ймовірності γ, значенням m і n.
Довірчі границі для α плану [NUT] знаходять з п.3 таблиці 4, при цьому:
де
Коефіцієнти r 1 і r 2 знаходять по таблиці залежно від значення j та m.
Коефіцієнти r 1 'і r 2' знаходять за цими ж таблицями, в які входять по значенням j і m '= N - m.
Довірчі границі для λ H і λ B у разі плану [N, U, T] знаходять за допомогою рівнянь попереднього пункту при:
Розподіл Пуассона
Розподіл Пуассона має один параметр а, що дорівнює математичного сподівання випадкової величини. Оцінка даного параметра дається формулою:
α = К, (10)
де К - бачимо значення випадкової величини. Відповідно:
α H = К / r 1 і α в = К / г 3, якщо К ≠ 0. (11)
Якщо К = 0, α H = 0, α B = r 0, то відповідно r 0, r 1, r 2 знаходять по відповідних таблиць за значенням j і m = К.
Якщо з партії виробів обсягу N береться вибірка обсягу n, то випадкове число К дефектних виробів у вибірці має пуассонівської розподіл при виконанні 2-х умов:
n <0,1 N,
частка q дефектних виробів в партії не перевершує 0,1.
При виконанні цих умов а = n ∙ q
Оцінка частки дефектних виробів q в партії знаходять за формулою:
q = K / n
і довірчі межі:
при К ≠ 0 маємо q н = q / r 1 і q в = q / r 2, при К = 0 маємо q в = r 0 / n і q н = 0.
ЛІТЕРАТУРА
1. Глудкін О.П. Методи та пристрої випробування РЕЗ і ЕВС. - М.: Вищ. школа., 2001 - 335 з
2. Випробування радіоелектронної, електронно-обчислювальної апаратури та випробувальне обладнання / під ред. А. І. Коробова М.: Радіо і зв'язок, 2002 - 272 с.
3. Мліцкій В.Д., Бегларія В.Х., Дубицький Л.Г. Випробування апаратури і засоби вимірювань на вплив зовнішніх чинників. М.: Машинобудування, 2003 - 567 з
4. Національна система сертифікації Республіки Білорусь. Мн.: Держстандарт, 2007
5. Федоров В., Сергєєв М., Кондрашин А. Контроль і випробування в проектуванні і виробництві радіоелектронних засобів - Техносфера, 2005. - 504с.
Білоруський державний університет інформатики і
радіоелектроніки
кафедра РЕЗ
РЕФЕРАТ
на тему:
«СТАТИСТИЧНІ ОЦІНКИ КРИТЕРІЇВ НАДІЙНОСТІ РЕСІ»
МІНСЬК, 2008
Результати експлуатації РЕСІ та її елементів можуть бути використані для отримання експериментальних значень їх критеріїв надійності.
Такі критерії завжди є наближеними, так як отримані за обмеженою обсягом експериментальних даних і, отже, завжди містять елемент випадковості. Помилку критерію надійності, отриманого експериментальним шляхом, можна оцінити за допомогою довірчого інтервалу (при заданій довірчій ймовірності). Довірчим інтервалом називають область всіх можливих значень критерію надійності, які можуть бути отримані в результаті даного експерименту. Довірча ймовірність вказує, наскільки ймовірно знаходження експериментального значення критерію надійності всередині кордонів довірчого інтервалу.
Будь-яке наближене значення Х * критерію Х надійності, обчислена на основі обмеженої кількості реалізацій, називається оцінкою критерію. Природно, щоб при збільшенні n вона наближалася (сходилася по вертикалі) до шуканого параметру розподілу Х. Оцінка, що володіє такою властивістю, називається заможною. Бажано також, щоб при використанні оцінки Х * замість дійсного значення Х критерію надійності не було математичної помилки в розрахунках, тобто щоб виконувалася умова т (х *) = х. Оцінка, що задовольняє такій умові, називається незміщеної. Особливо це важливо при малому обсязі експериментальних даних. І, по-третє, бажано, щоб обрана оцінка мала в порівнянні з іншими найменшу дисперсію. Така оцінка називається ефективною.
Практично не завжди вдається знайти оцінку критерію, яка б задовольняла всім перерахованим вимогам.
Вид формули оцінки критерію надійності залежить від його закону розподілу, і від типу вибіркового плану випробувань (або експлуатації).
Розглянемо правила визначення оцінок і довірчих меж для параметрів експоненціального розподілу і розподілу Пуассона.
Визначення даних параметрів проводиться для розрахунку характеристик надійності за результатами спеціально організованих випробувань. У нижченаведеної таблиці наведемо характеристики 12 найбільш часто зустрічаються планів випробувань на надійність:
Таблиця 1 - Характеристики планів випробувань на надійність
| План, індекс плану j, вирази для m j, s j | Опис плану |
| 1 | 2 |
| Плани для об'єктів не відновлюваних в процесі випробувань | |
| [N, R, T,] 0 ≤ m 1 ≤ N S 1 = N-T m - число відмов S - напрацювання | План випробувань, згідно з яким починають відчувати N об'єктів; відмовили під час випробувань об'єкти замінюються новими, а випробування припиняються після закінчення часу Т. |
| [N, R, r] m 2 = r> 0 S 2 = N-X r X r - напрацювання i-го об'єкта до r відмови | План випробувань, згідно з яким починають відчувати N об'єктів, що відмовили під час випробувань об'єкти замінюються новими, а випробування припиняються, коли число відмовили об'єктів досягає r. |
| [N, R, (r, T)] S3 = S1 або S 2 m 3 = m1 або m 2 (Див. п.2) | План випробувань, згідно з яким починають відчувати N об'єктів, що відмовили під час випробувань об'єкти замінюються новими, а випробування припиняються, коли число відмовили об'єктів досягає r, або після закінчення часу Т - залежно від того, яка з цих умов буде виконано раніше. |
| [N, U, T] 0 ≤ m 4 ≤ N | План випробувань, згідно з яким починають відчувати N об'єктів, що відмовили під час випробувань об'єкти новими не замінюються, а випробування припиняється після закінчення часу Т |
| [N, U, r] m 5 = r> 0 | План випробувань, згідно з яким починають відчувати N об'єктів, що відмовили об'єкти новими не замінюються, а випробування припиняються, коли число відмовили об'єктів досягає r. При r = N має випадок повністю певної вибірки. |
| [N, U, (r, T)] m 6 = m 4 або m 5 S 6 = S 4 або S 5 | Див. п.3 |
| Плани для відновлюваних об'єктів | |
| [N, M, T] m> 0 S 7 = N-T | План випробувань, згідно з яким випробуванням підлягають N об'єктів; після кожного відмови працездатність кожного об'єкта відновлюється, об'єкти випробовуються до напрацювання Т. |
| [N, m, r] m 8 = N · r> 0 | План випробувань, згідно з яким випробуванням підлягають N об'єктів; після кожного відмови працездатність об'єкта відновлюється, кожен |
| об'єкт випробовується до виникнення у нього r відмов | |
| [N, M, (r, T)] 0 ≤ m 9 ≤ Nr 0 ≤ S 9 ≤ NT | План випробувань, згідно з яким випробуванням підлягають N об'єктів; після кожного відмови працездатність об'єкта відновлюється, кожен об'єкт випробовується або до виникнення у нього r відмов, або до напрацювання T, в залежності від того, яка з цих умов буде виконано раніше |
| [N, m, r Σ] m 10 = r Σ> 0 X "-напрацювання К-го елемента повністю за час випробувань. | План випробувань, згідно з яким випробуванням підлягають N об'єктів; після кожного відмови працездатність об'єкта відновлюється, випробування припиняються при виникненні сумарного числа r Σ відмов з урахуванням всіх об'єктів |
| [N, M, T Σ] m 11 ≥ 0 S 11 = T Σ | План випробувань, згідно з яким випробуванням підлягають N об'єктів; після кожного відмови працездатність об'єкта відновлюється, випробування припиняються при отриманні Т Σ сумарною напрацювання всіх об'єктів |
| [N, M, (r Σ, T Σ)] m 12 = m 10 або m 11 S 12 = S 10 або S 11 | План випробувань, згідно з яким випробуванням підлягають N об'єктів; після кожного відмови працездатність об'єкта відновлюється, випробування припиняються при виникненні сумарного числа r Σ відмов з урахуванням всіх об'єктів або при отриманні Т Σ - сумарною напрацювання всіх об'єктів, в залежності від того, яка з цих умов буде виконано раніше |
плани з індексом R, тобто плани випробувань не відновлюваних виробів, згідно з якими відмовили під час випробувань вироби замінюються новими;
плани з індексом U, тобто плани випробувань невідновлювальних об'єктів, згідно з якими відмовили вироби не замінюються новими;
плани з індексом М, т. е. плани випробувань відновлюваних об'єктів, згідно з якими після відмови працездатність об'єкта відновлюється.
Таким чином при позначенні плану випробувань:
перша буква позначення плану означає, що на випробування було поставлено N виробів;
друга літера - характеризує вибірку (поворотна або безповоротна);
третя буква r, T-позначає обмеження випробувань, тобто:
r - Випробування ведуться до отримання очікуваного числа відмов r;
Т - випробування припиняються після закінчення заданого часу Т;
При випробуванні невідновлювальних об'єктів за планом NUr при r = N одержуємо повністю певну вибірку, тобто таку вибірку, в якій всі значення X 1, X 2, .., X n випадкової величини Х визначені. При решту планів випробувань отримують не повністю визначені вибірки, тобто такі в яких відомі m значень випадкової величини Х (m <n) /
При випробуванні відновлюваних об'єктів за планом NMr при будь-якому r одержують повністю певну вибірку, за інших - не повністю визначені вибірки.
Плани випробувань [N, U, (r, T)], [N, M, (r, T)], [N, R, (r, T)], [N, M, (r Σ, T Σ) ] називають
подвійними, на відміну від інших простих планів.
При випробуванні за двоїстим планам отримують зазвичай результат, що відповідає одному з двох простих планів, окрім плану [N, M, (r, T)].
Дамо графічну інтерпретацію окремих планів:
NRT
NUT
Визначення оцінок параметрів експоненціального розподілу
Експоненційний розподіл має один параметр λ, який пов'язаний із середнім значенням α випадкової величини Х співвідношенням: λ = 1 / α; Таким чином надалі, оцінку середнього значення α випадкової величини Х будемо позначати через Х, оцінка параметра λ буде позначатися через λ.
Вирази для оцінки параметрів Х і λ наведені в таблицях 2, 3
Таблиця 2 - Вираз для оцінки Х
| Випадок | X |
| Повністю певна вибірка | Несмещенная оцінка |
| Випробування за планами [nrt], [nmt], [nmt Σ] | Зміщена оцінка при m> 0 S / m |
| Випробування за планом [NUT] | Зміщена оцінка при m> 0 S / m |
| Випробування за планами [NRr], [NUr], [NMr], [NMr Σ] | Несмещенная оцінка при m> 0 S / m |
m - сумарна кількість відмов (m> 0).
Даною таблицею можна користуватися і для двоїстих планів, входячи в цю таблицю з тим простим планом, до якого призвели результати випробувань за двоїстий планом.
Розглянемо вирази для оцінки λ для різних планів:
Таблиця 3 - Вирази для оцінок λ
| Випадок | λ |
| Повністю певна вибірка | Несмещенная оцінка при n> 1 |
| Випробування за планами: [NRT], [NMT], [NMr Σ] | Зміщена оцінка при n = 1 1 / x1 |
| Випробування за планом [NUT] | Зміщена оцінка m / S |
| Випробування за планами [NRr], [NUr], [NMr], [NMr Σ] | Несмещенная оцінка при m> 1 m-1 / S Зміщена оцінка при m = 1 1 / S |
Вирази для λ H і λ B, α H і α B при односторонній довірчої ймовірності представлені в таблиці 4.
Таблиця 4 - Значення параметрів α H, α B, λ H, λ B
| Випадок | а н | а в | λ н | λ в |
| 1. Повністю певна вибірка. | r 3 * X | r 1 * X | n> 1 λ / r 5 n = 1 λ / r 1 | n> 1 λ / r 4 n = 1 λ / r 3 |
| 2.Іспитанія за планами [NRT]; [NMT]; [NMT Σ] | m> 0 r 2 * X m = 0 S / r 0 | m> 0 r 1 * X m = 0 | m> 0 λ / r 1 m = 0 0 | m> 0 λ / r 2 m = 0 r 0 / S |
| 3. Випробування за планом [NUT] | m> 0 -Т / lnРн m = 0 S / r 0 | m> 0 -Т / lnРв m = 0 | m> 0 -LnPв / T m = 0 r 0 / S | m> 0 -LnPн / T m = 0 r 0 / S |
| Випробування за планами [NRr]; [NUr]; [NMr]; [NMr Σ] | R 3 * X | R 1 * X | m> 1 λ / r 5 m = 1 λ / r 1 | m> 1 λ / r 4 m = 1 λ / r 3 |
Довірчі границі для α плану [NUT] знаходять з п.3 таблиці 4, при цьому:
де
Коефіцієнти r 1 і r 2 знаходять по таблиці залежно від значення j та m.
Коефіцієнти r 1 'і r 2' знаходять за цими ж таблицями, в які входять по значенням j і m '= N - m.
Довірчі границі для λ H і λ B у разі плану [N, U, T] знаходять за допомогою рівнянь попереднього пункту при:
Розподіл Пуассона
Розподіл Пуассона має один параметр а, що дорівнює математичного сподівання випадкової величини. Оцінка даного параметра дається формулою:
α = К, (10)
де К - бачимо значення випадкової величини. Відповідно:
α H = К / r 1 і α в = К / г 3, якщо К ≠ 0. (11)
Якщо К = 0, α H = 0, α B = r 0, то відповідно r 0, r 1, r 2 знаходять по відповідних таблиць за значенням j і m = К.
Якщо з партії виробів обсягу N береться вибірка обсягу n, то випадкове число К дефектних виробів у вибірці має пуассонівської розподіл при виконанні 2-х умов:
n <0,1 N,
частка q дефектних виробів в партії не перевершує 0,1.
При виконанні цих умов а = n ∙ q
Оцінка частки дефектних виробів q в партії знаходять за формулою:
q = K / n
і довірчі межі:
при К ≠ 0 маємо q н = q / r 1 і q в = q / r 2, при К = 0 маємо q в = r 0 / n і q н = 0.
ЛІТЕРАТУРА
1. Глудкін О.П. Методи та пристрої випробування РЕЗ і ЕВС. - М.: Вищ. школа., 2001 - 335 з
2. Випробування радіоелектронної, електронно-обчислювальної апаратури та випробувальне обладнання / під ред. А. І. Коробова М.: Радіо і зв'язок, 2002 - 272 с.
3. Мліцкій В.Д., Бегларія В.Х., Дубицький Л.Г. Випробування апаратури і засоби вимірювань на вплив зовнішніх чинників. М.: Машинобудування, 2003 - 567 з
4. Національна система сертифікації Республіки Білорусь. Мн.: Держстандарт, 2007
5. Федоров В., Сергєєв М., Кондрашин А. Контроль і випробування в проектуванні і виробництві радіоелектронних засобів - Техносфера, 2005. - 504с.