Рішення крайових задач у середовищі віртуальної гібридної машини

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ХПІ"

Кафедра обчислювальної техніки і програмування

Курсова робота

за темою "Рішення крайових задач у середовищі віртуальної

гібридної машини "

Харків - 200 8

ВСТУП

У своєму розвитку обчислювальні засоби, народжені дивовижними ідеями подібності фізичних процесів різної природи, пройшли безліч оригінальних технічних реалізацій. Досвід розвитку показує, що життя технічних рішень у своєму матеріальному втіленні недовговічна. З'являються нові матеріали, технології, фізичні середовища і процеси. На їх основі реалізуються технічні пристрої для успішного застосування зарекомендували себе методик досліджень і обчислень.

Так, завдяки інтенсивному розвитку цифрової обчислювальної техніки та сверхмікромініатюрізаціі електронних елементів, вузлів і блоків, "Аналогові обчислювальні машини" розширили свої обчислювальні та функціональні можливості, перетворившись на гібридні обчислювальні системи моделювання, тренажерні комплекси і спеціалізовану периферію. Час проведення досліджень динамічних об'єктів зменшилося на порядки, стало можливим виконувати одночасно оперативну обробку і відповідне документування результатів.

В даний час в апаратній середовищі цифрових машин можна реалізувати програмну модель універсальної гібридної (аналого-цифровий) обчислювальної машини, в якій операційні блоки будуть функціонувати в квазіпараллельном режимі (у режимі поділу часу). Таку модель зручно створювати за допомогою професійних пакетів моделювання електронних аналогових і цифрових схем, забезпечених розвиненим графічним інтерфейсом користувача.

Використовуючи макровизначеннями для схем операційних блоків і забезпечуючи їх відповідними графічними позначеннями, можна сформувати весь набір операційних блоків, необхідний для подання математичних моделей реальних об'єктів.

Позитивні гідності роботи з псевдооборудованіем гібридного обчислювального комплексу полягає в тому, що в його середовищі можна моделювати об'єкти будь-якої фізичної природи, аби їх можна було описати адекватними математичними моделями. При цьому використовується відпрацьована десятиліттями процедура програмування аналогових пристроїв і природне вміння розробника взаємодіяти з об'єктом, який ним же описаний математично.

У минулому програмування аналогових ЕОМ відбувалося методом перемикання перемичок на комутаційної панелі ЕОМ. Це було незручно і пов'язано з ризиком ураження електричним струмом (напругою до 100 В). Щоб переглянути результати моделювання або виконати виміри, необхідно було підключати осцилограф - для аналізу перехідних процесів, або стрілочні прилади - для аналізу усталених станів.

Робота в середовищі віртуальної гібридної обчислювальної машини спростила складання схем пристроїв, підвищила наочність експериментів, зменшила ризик ураження електричним струмом. Результати моделювання можна переглядати на екрані монітора і роздруковувати на принтері.

У даному розрахунково-графічному завданні віртуальна гібридна обчислювальна машина буде використана в якості обчислювального інструмента для вирішення крайових задач методами математичного і аналогового моделювання, з метою демонстрації можливостей аналогових пристроїв для дослідження фізичних об'єктів, описаних рівняннями математичної фізики в звичайних і приватних похідних.

1 АНАЛІЗ МЕТОДІВ РІШЕННЯ КРАЙОВИХ ЗАВДАНЬ

1.1 Аналіз завдання та постановка задачі дослідження

У завданні на виконання розрахунково-графічного завдання наведено короткий опис вихідних даних наступного змісту:

Провести дослідження кінцево-різницевих методів розв'язання крайових задач шляхом моделювання в середовищі пакету Micro-Cap V. Оцінити ефективність і порівняльну точність отримання рішень методом математичного моделювання, аналогового моделювання та чисельними розрахунками. Тут, по-перше, чітко зазначений клас завдань, для якого необхідно розробити методику рішення і дослідження. Це клас крайових задач, до яких відносяться диференціальні рівняння в звичайних і приватних похідних з умовами, заданими на кордоні області рішення. По-друге, названа моделююча середовище, в якому має функціонувати віртуальна аналогова обчислювальна машина. Це професійний пакет схемотехнічного моделювання електронних схем Micro-Cap V. І, по-третє, з метою зіставлення результатів рішення, рекомендується застосувати різні методи, з яких названі три: метод математичного моделювання, метод обчислень за аналогією і метод традиційних чисельних розрахунків.

У зв'язку зі сказаним, мені необхідно проаналізувати найбільш поширені методи рішення крайових задач у звичайних похідних, вибрати з них зручний для застосування у віртуальній гібридної середовищі і підібрати для демонстрації контрольні завдання. Аналогічну роботу необхідно провести з крайовими задачами в приватних похідних. Описати методику кінцево-різницевої апроксимації вихідних рівнянь і привести алгоритми або послідовність її виконання.

У результаті розгляду існуючих методів рішення скласти математичні моделі крайових задач, підібравши в якості вихідних рівнянь такі, для яких, з метою контролю, нескладно отримати та аналітичні рішення.

1.2 Методи вирішення завдань в приватних похідних

Серед диференціальних рівнянь в приватних похідних можна виділити рівняння, що описують стаціонарні розподілу в заданій області деякої фізичної величини, і рівняння, що описують зміну в часі розподіленої в заданій галузі фізичної величини. Ознакою, що розділяє рівняння на ці дві підмножини, є присутність у рівнянні приватної похідною за часом. Принципова відмінність просторової і тимчасової незалежних змінних полягає в тому, що на відміну від однонаправленої зміни реального часу ортогональні просторові змінні можуть змінюватися незалежно один від одного в обох напрямках.

Ядром найбільш часто зустрічаються диференціальних рівнянь в приватних похідних служить рівняння Лапласа

,

де (Набла в квадраті) - оператор Лапласа, який у двовимірній декартовій системі координат має вигляд

.

Це рівняння описує стаціонарне поле деякої фізичної величини і відноситься до рівнянь еліптичного, гіперболічного або параболічного типу в залежності від значення визначника диференціальної форми другого ступеня

, Для якої відповідно ,

де - У загальному випадку функції координат і потенціалу u.

До нестаціонарним рівнянням параболічного та гіперболічного типів відносяться відповідно рівняння теплопровідності з параметрами-функціями s і S

і рівняння хвильове і бігармонічних з параметром З

і

Названі рівняння представлені у канонічній формі, яка включає безрозмірні відносні змінні, зазвичай приводяться до діапазонами зміни [0,1] і [-1,1]. Розмірності доданків узгоджуються за допомогою параметрів рівняння.

Основним методом вирішення диференціальних рівнянь в приватних похідних є апроксимація рівняння системою алгебраїчних рівнянь або системою диференціальних рівнянь. Ці два види апроксимацій в літературі отримали назву метод сіток і метод прямих.

Метод сіток реалізується в тому випадку, коли приватні похідні, що входять в рівняння, замінюються в кожній точці заданої області кінцево-різницевими виразами, отриманими із значень шуканого рішення в оточуючих точках. Кількість рівнянь в системі пов'язано з кроком дискретизації тимчасовою і просторових змінних і формою кордону області рішення. Кількість точок, що потрапили всередину області рішення, визначає число невідомих і рівнянь.

Метод прямих відноситься до випадку, коли одна з незалежних змінних є часом (випадок нестаціонарних задач) або коли одну з просторових змінних (випадок стаціонарних задач) пропорційно пов'язують з часом. Приватні похідні від незалежних змінних, не пов'язаних з часом, апроксимують кінцевими різницями. У результаті, залишилися дискретними незалежні змінні поєднанням своїх значень визначають загальне число диференціальних рівнянь, які в загальному випадку є крайовими.

Апроксимуючі диференціальні рівняння з крайовими умовами неможливо інтегрувати як систему рівнянь Коші. Лінійна система крайових задач багаторазово вирішується з приватними початковими умовами і за результатами рішень крайові умови перераховуються в початкові. Нелінійної системі для наближеного обчислення початкових умов потрібні ітераційні процедури, розглянуті вище.

Математичні моделі, сформовані за методами сіток і прямих, можуть бути вирішені методом математичного моделювання із застосуванням аналогових або псевдо аналогових операційних блоків, а також методом аналогій.

Метод аналогій (аналогове моделювання) полягає в тому, що для кожного рівняння математичної моделі підбирається фізичний об'єкт, змінні стану якого пов'язані таким же рівнянням. У переважній більшості випадків як аналогових об'єктів використовуються схеми з електричними та електронними компонентами. Особливо простими аналогами рівнянь математичних моделей є рівняння електричних схем, отримані на підставі законів Ома і Кірхгофа.

Отже, всі розглянуті методи використовують звичайно-різницеву апроксимацію, до розгляду якої ми переходимо.

1.3 Кінцеві різниці і апроксимація похідних

1.3.1 Визначення кінцевих різниць

Кінцева різниця "вперед" для таблично заданої функції в i-тій точці визначається виразом: , Де функція задана, як функція цілого аргумента з одиничним кроком по аргументу i.

Для аналітично заданої і протабулірованной з постійним кроком h функції f (x) визначає співвідношення має вигляд:

f (x) = f (x + h) - f (x)

Перетворення таблиці функції f (x) у функцію цілого аргумента g (i) здійснюють за допомогою лінійного співвідношення між аргументами x і i: .

Повторні кінцеві різниці n-го порядку в i-тій точці для табличної функції g (i) визначаються співвідношенням

Лінійність кінцево-різницевого оператора дозволяє ввести кінцево-різницевий оператор зсуву E = (1 + ) І многочлени від оператора з цілими коефіцієнтами, такі, як

і т.п.,

де повинна розглядатися в якості оператора повторної різниці k-го порядку.

Застосування оператора зсуву до g (i) перетворює останнє в g (i +1):

g (i +1) = Eg (i) = (1 + ) G (i) = g (i) + g (i).

Повторне застосування оператора зсуву дозволяє виразити значення ординати функції g (i) в точці (i + n) через кінцеві різниці різних порядків:

де - Число сполучень із n елементів по k;

-

многочлен ступеня k від цілої змінної n ( ), Що має k співмножників. При k = n .

Щодо початку координат (i = 0 - початок таблиці) функція цілочисельний змінної g (n) представляється розкладанням по многочленів різних ступенів від 0 до n. Для великих ступенів кінцеві різниці дорівнюють нулю.

З іншого боку, так як , То

Таким чином, будь-яка повторна кінцева різниця виражається зваженої алгебраїчною сумою ординат табличній функції.

1.3.2 Взаємозв'язок операторів різниці і диференціювання

Значення функції на видаленні h від деякої точки можна виразити через значення похідних в цій точці, розклавши її в ряд Тейлора:

де - Оператор диференціювання,

- Оператор зсуву, виражений через оператор p.

h-крок по осі дійсної змінної

З рівності операторів зсуву, виражених через p та , Можна отримати взаємозв'язок цих лінійних операторів:

,

Оператор диференціювання порядку n, перенесений в точку, наприклад, на 2 кроки вперед представляється так:

Якщо алгебраїчно перемножити многочлени з кінцево-різницевими операторами і обмежитися операторами зі ступенем не вище n, то вийде одна з можливих апроксимацій оператора диференціювання. Наприклад, для n = 2 і чотирьох точковому завданні функції f (x), відкинувши повторні різниці вище третього порядку, отримаємо:

.

Висловивши повторні різниці через ординати табличній функції, отримаємо другий варіант апроксимації оператора диференціювання:

.

Для цілого аргумента табличній функції запис виразу можна спростити, так як крок h = 1 і :

.

Для k-тій похідної в точці m від початку інтервалу [0, n]:

Після виконання операцій зведення многочленів до степеня і їх перемножування, кінцеві різниці зі ступенями більше n відкидаються, а решта замінюються виразом . Розкривши дужки, підставивши та згрупувавши подібні члени, отримаємо апроксимуючу суму з (n +1)-й ординати функції:

.

Коефіцієнти мінімальні для точок середини інтервалу (m = n / 2) і максимальні - на крайніх. Аналогічно ведуть себе і коефіцієнти у натуральному вираженні похибки апроксимації.

Таким чином, для будь-якої внутрішньої точки з групи вибраних рівномірно розташованих ординат можна сформувати вираз, апроксимуючої похідну зваженою сумою.

1.4 Представлення рівнянь кінцево-різницевої моделлю

При математичному описі реальних фізичних об'єктів найчастіше доводиться мати справу з диференціальними рівняннями в звичайних або приватних похідних другого порядку з початковими, крайовими або граничними умовами.

Для апроксимації таких рівнянь зручно заздалегідь побудувати таблиці коефіцієнтів для виразів похідних за заданою кількістю значень функції. У бакалаврській роботі скористаємося апроксимацією за трьома і п'ятьма точкам, коефіцієнти для яких наведені в таблицях 1, 2, 3, 4. У крайніх праворуч колонках таблиць наведені коефіцієнти виразів, винесених в заголовок колонки, для похибки апроксимації похідної в обраній точці. У виразах похибки присутні значення похідних функції з порядками вище порядку аппроксіміруемой похідної.

Таблиця 1 - Апроксимація першої похідної по трьох точках

Таблиця 2 - Апроксимація другої похідної по трьох точках