МОСКОВСЬКИЙ АВІАЦІЙНИЙ ІНСТИТУТ
Кафедра
вищої математики.
Дисципліна «Математичний аналіз»
ЗВІТ
по курсовій роботі
Тема
Рішення військово-логічного завдання з розподілу ударної групи авіаційного підрозділу
м.Москва 2008р.
Словесна постановка задачі
В авіаційному підрозділі є 40 вертольотів. Планується удар полковим вильотом по 3-м групових цілях: скупченню танків, двом дивізіонах самохідної артилерії та підрозділу мотопіхоти на бронетранспортерах. Необхідно знайти оптимальний варіант розподілу вертольотів по об'єктах удару і оцінити його ефективність по математичному очікуванню поражаемой сили, вираженої в одиницях бойового потенціалу.
Бойовий потенціал ударної групи наведено в табл. 1. Бойові потенціали групових цілей наведено в табл. 2.
Таблиця 1:
Таблиця 2:
Процес математичного моделювання прикладної задачі умовно можна розбити на три етапи:
I етап: Словесна і математична постановка вихідної задачі.
1) Словесна постановка задачі.
2) Математична постановка задачі.
3) Дослідження математичної задачі на коректність.
II етап: Розробка методів рішення.
1) Розробка методу розв'язання.
2) Обгрунтування обраного методу.
III етап: Проведення розрахунків і аналіз отриманих результатів.
Отже, згідно нашого розбиття переходимо до пункту 1 першого етапу:
Виходячи з словесної постановки завдання (стор.2) (вихідні дані були взяті гіпотетичні). За вихідними даними визначимо тип завдання яку нам необхідно вирішити. Поставлена задача може бути представлена у вигляді задачі на розподіл сил і засобів ураження по цілях.
Для вирішення завдання про оптимальний розподіл вертольотів по групових цілях скористаємося методом ОПТИМІЗАЦІЇ Адитивні ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ.
Адитивна цільова функція, будучи сумою приватних нелінійних цільових функцій, використовується для оптимального розподілу сил і бойових засобів за завданнями або об'єктів удару, що становлять одиночні і групові наземні або повітряні цілі. Оптимізація адитивної функції може реалізуватися у формі аналітичної моделі на основі методу умовного екстремуму.
Далі переходимо до пункту 2 першого етапу:
Математична постановка задачі
Дамо математичну постановку задачі на наступному тактичному фоні. Є S об'єктів з важливістю A i (j = 1 ... S), за якими планується удар N однорідними засобами ураження (вертольотами). Задані ймовірності ураження кожного з об'єктів одним бойовим засобом
При наступних обмеженнях на шукані змінні і її параметри:
У нелінійному цільової функції x i - наряди засобів ураження по об'єктах удару; A i - важливість об'єктів, що виражаються у відсотках або інших фізичних одиницях F - функція збитку, що представляє собою математичне сподівання слабости важливість, виражених в процентній мірі або у вигляді конкретних фізичних величин ( слабости елементарних цілей, що становлять груповий об'єкт, одиницях бойового потенціалу)
Максимізація функції F означає знаходження такого варіанту розподілу N однорідних коштів по S об'єктів удару, при якому сумарний збиток буде найбільшим.
Для вирішення завдання методом умовного екстремуму запишемо функції Лагранжа у вигляді
Загальний результат рішення можна отримати за індукції на основі розгляду деякого окремого випадку, наприклад, S = 3. Для нього маємо
Знаходимо приватні похідні
Виключаючи невизначений множник Лагранжа λ, приходимо до системи трьох рівнянь з трьома невідомими
Де
Вирішуючи цю систему відносно x i отримаємо розрахункову формулу виду
Цей приватний результат можна узагальнити на загальний випадок і записати рішення системи (2) у вигляді такої узагальненої формули:
Зокрема, для S = 3 і J = 1 отримуємо формулу (3). Можливий і інший обчислювальний варіант. Спочатку за формулою
Знаходиться оптимальне вбрання за першим об'єкту удару, а потім по системі формул
Визначаються оптимальні наряди за рештою j = 2,3,,, S об'єктів удару. В якості критерію правильності рішення задачі виступає умова
Далі переходимо до пункту 3 першого етапу:
Дослідження математичної задачі на коректність.
Багато задач військового змісту допускають не один, а безліч варіантів рішень щодо шуканих змінних. Відповісти на питання яке рішення з цієї множини є найкращим без додаткових умов, неможливо. В якості такого додаткового умови виступає цільова функція. Під цільовою функцією будемо розуміти можливий кінцевий результат, який бажано отримати шляхом вибору і реалізації змінних, або це кількісний показник ефективності функціонування процесу.
Отже у нас є тактико-технічні дані вертольотів і трьох видів групових цілей. Знайдемо оптимальний розподіл вертольотів по цілях для нанесення максимального утрати противнику
Розробка методу розв'язання
Виходячи з словесної постановки задачі, дане завдання будемо вирішувати методом вибору оптимального маршруту, за допомогою аналітичної оптимізації.
Завдання вибору оптимального маршруту. Аналітична оптимізація.
Рішення даного завдання включає в себе наступні етапи:
1) Розрахунок уражує потенціалу кожної з груп цілей.
2) Визначення ймовірності ураження, що наноситься одним вертольотом кожної з групових цілей.
3) Визначення важливості цілей висловлюються в одиницях уражує потенціалу.
4) Визначення умовних коефіцієнтів ефективностей.
5) Визначення узагальнених важливості цілей.
6) Визначення оптимального наряду вертольотів по скупченню танків.
7) Визначення оптимального наряду вертольотів по дивізіонах самохідних артилерійських установок і бронетранспортерів.
8) Визначення оптимального рішення задачі.
Отже приступимо до вирішення завдання поетапно:
1) Розрахувати вражає потенціал поодиноких цілей за формулою
Де B 1 i-вражає потенціал поодиноких цілей
n 2 i - кількість засобів ураження на одиничному мети
Р 3 i-ймовірність поразки однієї ракетою одного вертольота
2) Визначення ймовірності ураження, що наноситься одним вертольотом кожної з групових цілей за формулою
Де w i-ймовірність ураження, що наноситься 1 вертольотом кожної з групових цілей
P 1 i-ймовірність поразки 1 вертольотом одиничної мети
N 2 i-кількість одиничних цілей у групі
n 1-кількість ракет на одному вертольоті
3) Визначення важливості цілей висловлюються в одиницях уражує потенціалу за формулою
Де А i-важливість цілей в одиницях бойового потенціалу
N 2 i - кількість одиничних цілей у групі
B 1 i - який вражає потенціал поодиноких цілей
4) Визначення умовних коефіцієнтів ефективностей за формулою
Де K i-умовний коефіцієнт ефективності застосування вертольотів
w i-ймовірність ураження, що наноситься 1 вертольотом кожної з групових цілей
5) Визначення узагальнених важливості цілей за формулою
Де B 2 i-узагальнена важливість групових цілей
А i-важливість цілей в одиницях бойового потенціалу
K i-умовний коефіцієнт ефективності застосування вертольотів
Р 2 i-Імовірність подолання ППО одиничної мети.
6) Визначення оптимального наряду вертольотів по скупченню танків за формулою
Де Р 2 i-Імовірність подолання ППО одиничної мети.
K i-умовний коефіцієнт ефективності застосування вертольотів
B 2 i-узагальнена важливість групових цілей
7) Визначення оптимального наряду вертольотів по дивізіонах самохідних артилерійських установок і бронетранспортерів за формулою
Де Р 2 i-Імовірність подолання ППО одиничної мети.
K i-умовний коефіцієнт ефективності застосування вертольотів
B 2 i-узагальнена важливість групових цілей
8) Визначення оптимального рішення задачі.
Оптимальне рішення задачі є вектор
При такому використанні вертольотів величина шкоди наноситься об'єктів удару, максимальна і дорівнює
Одиниць бойового потенціалу, що становить приблизно 30% від сумарної бойової сили трьох ударних підрозділів противника. Від збитку в одиницях бойового потенціалу можна перейти до збитку в одиницях елементарних цілей за формулою
де B 1 i-вражає потенціал поодиноких цілей
При такому використанні вертольотів буде знищено 4 танки, 14 самохідних артилерійських установок і 29 бронетранспортерів.
Висновок
Деяким недоліком аналітичної моделі є визначення шуканих змінних не в целочисленной формі. Для переходу до целочисленному відповіді необхідно виконати округлення до найближчого цілого числа. В окремих завданнях одна, а може й кілька змінних можуть виходити негативними. У цьому випадку такої змінної або змінним приписуються нульові значення і виконуються повторні обчислення за скороченою на це число системі формул (4)
Література
1) Малявко К.Ф. «Застосування математичних методів у військовій справі».
2) Журко М.Д. «Математичні методи і основи їх застосування в управлінні військами».
3) Іванов П.І. «Застосування методів прикладної математики у військовій справі».
Кафедра
вищої математики.
Дисципліна «Математичний аналіз»
ЗВІТ
по курсовій роботі
Тема
Рішення військово-логічного завдання з розподілу ударної групи авіаційного підрозділу
м.Москва 2008р.
Словесна постановка задачі
В авіаційному підрозділі є 40 вертольотів. Планується удар полковим вильотом по 3-м групових цілях: скупченню танків, двом дивізіонах самохідної артилерії та підрозділу мотопіхоти на бронетранспортерах. Необхідно знайти оптимальний варіант розподілу вертольотів по об'єктах удару і оцінити його ефективність по математичному очікуванню поражаемой сили, вираженої в одиницях бойового потенціалу.
Бойовий потенціал ударної групи наведено в табл. 1. Бойові потенціали групових цілей наведено в табл. 2.
Таблиця 1:
| Кількість ударних одиниць N 1 | Типи групових цілей | Кількість АСП на 1 вертольоті n 1 | Можливість поразки одиничної цілі 1 ракетою. Р 1 i | Імовірність подолання ППО одиничної мети. Р 2 i |
| 40 | Танки | 4 | 0,34 | 0,7 |
| САУ | 4 | 0,42 | 0,76 | |
| БТР | 4 | 0,56 | 0,79 |
| Групові цілі | Кількість одиниць в групі N 2 i | Кількість коштів поразки на одиничної мети n 2 i | Імовірність поразки однієї ракетою одного вертольота Р 3 i |
| Танки | 20 | 8 | 0,3 |
| САУ | 40 | 6 | 0,24 |
| БТР | 60 | 4 | 0,21 |
I етап: Словесна і математична постановка вихідної задачі.
1) Словесна постановка задачі.
2) Математична постановка задачі.
3) Дослідження математичної задачі на коректність.
II етап: Розробка методів рішення.
1) Розробка методу розв'язання.
2) Обгрунтування обраного методу.
III етап: Проведення розрахунків і аналіз отриманих результатів.
Отже, згідно нашого розбиття переходимо до пункту 1 першого етапу:
Виходячи з словесної постановки завдання (стор.2) (вихідні дані були взяті гіпотетичні). За вихідними даними визначимо тип завдання яку нам необхідно вирішити. Поставлена задача може бути представлена у вигляді задачі на розподіл сил і засобів ураження по цілях.
Для вирішення завдання про оптимальний розподіл вертольотів по групових цілях скористаємося методом ОПТИМІЗАЦІЇ Адитивні ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ.
Адитивна цільова функція, будучи сумою приватних нелінійних цільових функцій, використовується для оптимального розподілу сил і бойових засобів за завданнями або об'єктів удару, що становлять одиночні і групові наземні або повітряні цілі. Оптимізація адитивної функції може реалізуватися у формі аналітичної моделі на основі методу умовного екстремуму.
Далі переходимо до пункту 2 першого етапу:
Математична постановка задачі
Дамо математичну постановку задачі на наступному тактичному фоні. Є S об'єктів з важливістю A i (j = 1 ... S), за якими планується удар N однорідними засобами ураження (вертольотами). Задані ймовірності ураження кожного з об'єктів одним бойовим засобом
При наступних обмеженнях на шукані змінні і її параметри:
У нелінійному цільової функції x i - наряди засобів ураження по об'єктах удару; A i - важливість об'єктів, що виражаються у відсотках або інших фізичних одиницях F - функція збитку, що представляє собою математичне сподівання слабости важливість, виражених в процентній мірі або у вигляді конкретних фізичних величин ( слабости елементарних цілей, що становлять груповий об'єкт, одиницях бойового потенціалу)
Максимізація функції F означає знаходження такого варіанту розподілу N однорідних коштів по S об'єктів удару, при якому сумарний збиток буде найбільшим.
Для вирішення завдання методом умовного екстремуму запишемо функції Лагранжа у вигляді
Загальний результат рішення можна отримати за індукції на основі розгляду деякого окремого випадку, наприклад, S = 3. Для нього маємо
Знаходимо приватні похідні
Виключаючи невизначений множник Лагранжа λ, приходимо до системи трьох рівнянь з трьома невідомими
Де
Вирішуючи цю систему відносно x i отримаємо розрахункову формулу виду
Цей приватний результат можна узагальнити на загальний випадок і записати рішення системи (2) у вигляді такої узагальненої формули:
Зокрема, для S = 3 і J = 1 отримуємо формулу (3). Можливий і інший обчислювальний варіант. Спочатку за формулою
Знаходиться оптимальне вбрання за першим об'єкту удару, а потім по системі формул
Визначаються оптимальні наряди за рештою j = 2,3,,, S об'єктів удару. В якості критерію правильності рішення задачі виступає умова
Далі переходимо до пункту 3 першого етапу:
Дослідження математичної задачі на коректність.
Багато задач військового змісту допускають не один, а безліч варіантів рішень щодо шуканих змінних. Відповісти на питання яке рішення з цієї множини є найкращим без додаткових умов, неможливо. В якості такого додаткового умови виступає цільова функція. Під цільовою функцією будемо розуміти можливий кінцевий результат, який бажано отримати шляхом вибору і реалізації змінних, або це кількісний показник ефективності функціонування процесу.
Отже у нас є тактико-технічні дані вертольотів і трьох видів групових цілей. Знайдемо оптимальний розподіл вертольотів по цілях для нанесення максимального утрати противнику
Розробка методу розв'язання
Виходячи з словесної постановки задачі, дане завдання будемо вирішувати методом вибору оптимального маршруту, за допомогою аналітичної оптимізації.
Завдання вибору оптимального маршруту. Аналітична оптимізація.
Рішення даного завдання включає в себе наступні етапи:
1) Розрахунок уражує потенціалу кожної з груп цілей.
2) Визначення ймовірності ураження, що наноситься одним вертольотом кожної з групових цілей.
3) Визначення важливості цілей висловлюються в одиницях уражує потенціалу.
4) Визначення умовних коефіцієнтів ефективностей.
5) Визначення узагальнених важливості цілей.
6) Визначення оптимального наряду вертольотів по скупченню танків.
7) Визначення оптимального наряду вертольотів по дивізіонах самохідних артилерійських установок і бронетранспортерів.
8) Визначення оптимального рішення задачі.
Отже приступимо до вирішення завдання поетапно:
1) Розрахувати вражає потенціал поодиноких цілей за формулою
Де B 1 i-вражає потенціал поодиноких цілей
n 2 i - кількість засобів ураження на одиничному мети
Р 3 i-ймовірність поразки однієї ракетою одного вертольота
2) Визначення ймовірності ураження, що наноситься одним вертольотом кожної з групових цілей за формулою
Де w i-ймовірність ураження, що наноситься 1 вертольотом кожної з групових цілей
P 1 i-ймовірність поразки 1 вертольотом одиничної мети
N 2 i-кількість одиничних цілей у групі
n 1-кількість ракет на одному вертольоті
3) Визначення важливості цілей висловлюються в одиницях уражує потенціалу за формулою
Де А i-важливість цілей в одиницях бойового потенціалу
N 2 i - кількість одиничних цілей у групі
B 1 i - який вражає потенціал поодиноких цілей
4) Визначення умовних коефіцієнтів ефективностей за формулою
Де K i-умовний коефіцієнт ефективності застосування вертольотів
w i-ймовірність ураження, що наноситься 1 вертольотом кожної з групових цілей
5) Визначення узагальнених важливості цілей за формулою
Де B 2 i-узагальнена важливість групових цілей
А i-важливість цілей в одиницях бойового потенціалу
K i-умовний коефіцієнт ефективності застосування вертольотів
Р 2 i-Імовірність подолання ППО одиничної мети.
6) Визначення оптимального наряду вертольотів по скупченню танків за формулою
Де Р 2 i-Імовірність подолання ППО одиничної мети.
K i-умовний коефіцієнт ефективності застосування вертольотів
B 2 i-узагальнена важливість групових цілей
7) Визначення оптимального наряду вертольотів по дивізіонах самохідних артилерійських установок і бронетранспортерів за формулою
Де Р 2 i-Імовірність подолання ППО одиничної мети.
K i-умовний коефіцієнт ефективності застосування вертольотів
B 2 i-узагальнена важливість групових цілей
8) Визначення оптимального рішення задачі.
Оптимальне рішення задачі є вектор
При такому використанні вертольотів величина шкоди наноситься об'єктів удару, максимальна і дорівнює
Одиниць бойового потенціалу, що становить приблизно 30% від сумарної бойової сили трьох ударних підрозділів противника. Від збитку в одиницях бойового потенціалу можна перейти до збитку в одиницях елементарних цілей за формулою
де B 1 i-вражає потенціал поодиноких цілей
При такому використанні вертольотів буде знищено 4 танки, 14 самохідних артилерійських установок і 29 бронетранспортерів.
Висновок
Деяким недоліком аналітичної моделі є визначення шуканих змінних не в целочисленной формі. Для переходу до целочисленному відповіді необхідно виконати округлення до найближчого цілого числа. В окремих завданнях одна, а може й кілька змінних можуть виходити негативними. У цьому випадку такої змінної або змінним приписуються нульові значення і виконуються повторні обчислення за скороченою на це число системі формул (4)
Література
1) Малявко К.Ф. «Застосування математичних методів у військовій справі».
2) Журко М.Д. «Математичні методи і основи їх застосування в управлінні військами».
3) Іванов П.І. «Застосування методів прикладної математики у військовій справі».