Рішення військово-логічного завдання з розподілу ударної групи авіаційного підрозділу

МОСКОВСЬКИЙ АВІАЦІЙНИЙ ІНСТИТУТ

Кафедра

вищої математики.

Дисципліна «Математичний аналіз»

ЗВІТ

по курсовій роботі

Тема

Рішення військово-логічного завдання з розподілу ударної групи авіаційного підрозділу

м.Москва 2008р.

Словесна постановка задачі

В авіаційному підрозділі є 40 вертольотів. Планується удар полковим вильотом по 3-м груповим цілям: скупченню танків, двом дивізіонах самохідної артилерії та підрозділу мотопіхоти на бронетранспортерах. Необхідно знайти оптимальний варіант розподілу вертольотів по об'єктах удару і оцінити його ефективність з математичного очікуванню поражаемой сили, вираженої в одиницях бойового потенціалу.

Бойовий потенціал ударної групи наведено в табл. 1. Бойові потенціали групових цілей наведені в табл. 2.

Таблиця 1:

Таблиця 2:

Процес математичного моделювання прикладної задачі умовно можна розбити на три етапи:

I етап: Словесна і математична постановка вихідної завдання.

1. Словесна постановка задачі.

2. Математична постановка задачі.

3. Дослідження математичної задачі на коректність.

II етап: Розробка методів рішення.

1. Розробка методу розв'язання.

2. Обгрунтування обраного методу.

III етап: Проведення розрахунків і аналіз отриманих результатів.

Отже, згідно нашого розбиття переходимо до пункту 1 першого етапу:

Виходячи зі словесної постановки задачі (стор.2) (вихідні дані були взяті гіпотетичні). За вихідними даними визначимо тип завдання яку нам необхідно вирішити. Поставлена ​​задача може бути представлена ​​у вигляді задачі на розподіл сил і засобів ураження по цілям.

Для вирішення задачі про оптимальний розподіл вертольотів по груповим цілям скористаємося методом ОПТИМІЗАЦІЇ Аддитивний ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ.

Адитивна цільова функція, будучи сумою приватних нелінійних цільових функцій, використовується для оптимального розподілу сил і бойових засобів за завданнями або об'єктів удару, що становлять одиночні і групові наземні або повітряні цілі. Оптимізація аддитивной функції може реалізуватися у формі аналітичної моделі на основі методу умовного екстремуму.

Далі переходимо до пункту 2 першого етапу:

Математична постановка задачі

Дамо математичну постановку задачі на наступному тактичному фоні. Є S об'єктів з важливістю A _i (j = 1 ... S), за якими планується удар N однорідними засобами ураження (вертольотами). Задані ймовірності ураження кожного з об'єктів одним бойовим засобом і ймовірність подолання їх ППО P _{2 i} (j = 1 ... s). Потрібно визначити оптимальний вектор X ₀ = (x _{0 i)} s, який доставляє максимум аддитивной цільової функції збитку

При наступних обмеженнях на шукані змінні і її параметри:

У нелінійної цільової функції x _i - наряди засобів ураження по об'єктах удару; A _i - важливість об'єктів, що виражаються у відсотках або інших фізичних одиницях F - функція збитку, що представляє собою математичне сподівання слабости важливості, виражених в процентній мірою або у вигляді конкретних фізичних величин ( слабости елементарних цілей, що становлять груповий об'єкт, одиницях бойового потенціалу)

Максимізація функції F означає перебування такого варіанту розподілу N однорідних коштів по S об'єктів удару, при якому сумарний збиток буде найбільшим.

Для вирішення завдання методом умовного екстремуму запишемо функцію Лагранжа у вигляді

Загальний результат рішення можна отримати за індукції на основі розгляду деякого окремого випадку, наприклад, S = 3. Для нього маємо

Знаходимо приватні похідні і . і прирівнюємо їх до нуля. В результаті отримуємо систему алгебраїчних рівнянь:

(1)

Виключаючи невизначений множник Лагранжа λ, приходимо до системи трьох рівнянь з трьома невідомими

(2)

Де деякі приведені коефіцієнти. Коефіцієнт назвемо наведеним коефіцієнтом ефективності засоби ураження по i-тому об'єкту удару, коефіцієнт B _i назвемо наведеним коефіцієнтом важливості i-ого об'єкта.

Вирішуючи цю систему відносно x _i отримаємо розрахункову формулу виду

(3)

Цей приватний результат можна узагальнити на загальний випадок і записати рішення системи (2) у вигляді такої узагальненої формули:

(4)

Зокрема, для S = 3 і J = 1 отримуємо формулу (3). Можливий і інший обчислювальний варіант. Спочатку за формулою

(5)

Знаходиться оптимальний наряд по першому об'єкту удару, а потім по системі формул

(6)

Визначаються оптимальні наряди по залишилися j = 2,3,,, S об'єктів удару. Як критерій правильності рішення завдання виступає умова

Далі переходимо до пункту 3 першого етапу:

Дослідження математичної задачі на коректність.

Багато задач військового змісту допускають не один, а безліч варіантів рішень щодо шуканих змінних. Відповісти на питання яке рішення з цього безлічі є найкращим без додаткових умов, неможливо. В якості такого додаткового умови виступає цільова функція. Під цільовою функцією будемо розуміти можливий кінцевий результат, який бажано отримати шляхом вибору і реалізації змінних, або це кількісний показник ефективності функціонування процесу.

Отже у нас є тактико-технічні дані вертольотів і трьох видів групових цілей. Знайдемо оптимальний розподіл вертольотів по цілях для нанесення максимального шкоди супротивнику

Розробка методу розв'язання

Виходячи зі словесної постановки завдання, це завдання будемо вирішувати методом вибору оптимального маршруту, за допомогою аналітичної оптимізації.

Завдання вибору оптимального маршруту. Аналітична оптимізація.

Рішення даного завдання включає в себе наступні етапи:

1. Розрахунок вражаючої потенціалу кожної з груп цілей.

2. Визначення ймовірності ураження, що наноситься одним вертольотом кожної з групових цілей.

3. Визначення важливості цілей виражаються в одиницях уражує потенціалу.

4. Визначення умовних коефіцієнтів ефективностей.

5. Визначення узагальнених важливість цілей.

6. Визначення оптимального наряду вертольотів по скупченню танків.

7. Визначення оптимального наряду вертольотів по дивізіонах самохідних артилерійських установок і бронетранспортерів.

8. Визначення оптимального рішення задачі.

Отже приступимо до вирішення завдання поетапно:

1. Розрахувати вражає потенціал поодиноких цілей за формулою

Де B _{1 i-вражає} потенціал поодиноких цілей

n _{2 i} - кількість засобів ураження на одиничної мети

Р _{3 i-ймовірність} ураження однією ракетою одного вертольота

2) Визначення ймовірності ураження, що наноситься одним вертольотом кожної з групових цілей за формулою

Де w _{i-ймовірність} ураження, що наноситься 1 вертоліт кожної з групових цілей

P _{1 i-ймовірність} ураження 1 вертольотом одиничної мети

N _{2 i-кількість} одиничних цілей у групі

n _{1-кількість} ракет на одному вертольоті

3. Визначення важливості цілей виражаються в одиницях уражує потенціалу за формулою

Де А _{i-важливість} цілей в одиницях бойового потенціалу

N _{2 i} - кількість одиничних цілей у групі

B _{1 i} - вражає потенціал поодиноких цілей

4. Визначення умовних коефіцієнтів ефективностей за формулою

Де K _{i-умовний} коефіцієнт ефективності застосування вертольотів

w _{i-ймовірність} ураження, що наноситься 1 вертоліт кожної з групових цілей

5) Визначення узагальнених важливість цілей за формулою

Де B _{2 i-узагальнена} важливість групових цілей

А _{i-важливість} цілей в одиницях бойового потенціалу

K _{i-умовний} коефіцієнт ефективності застосування вертольотів

Р _{2 i-Ймовірність} подолання ППО одиничної мети.

6. Визначення оптимального наряду вертольотів по скупченню танків за формулою

Де Р _{2 i-Ймовірність} подолання ППО одиничної мети.

K _{i-умовний} коефіцієнт ефективності застосування вертольотів

B _{2 i-узагальнена} важливість групових цілей

7) Визначення оптимального наряду вертольотів по дивізіонах самохідних артилерійських установок і бронетранспортерів за формулою

Де Р _{2 i-Ймовірність} подолання ППО одиничної мети.

K _{i-умовний} коефіцієнт ефективності застосування вертольотів

B _{2 i-узагальнена} важливість групових цілей

8) Визначення оптимального рішення задачі.

Оптимальне рішення задачі є вектор

При такому використанні вертольотів величина шкоди наноситься об'єктів удару, максимальна і дорівнює

Одиниць бойового потенціалу, що складає приблизно 30% від сумарної бойової сили трьох ударних підрозділів противника. Від збитку в одиницях бойового потенціалу можна перейти до збитку в одиницях елементарних цілей за формулою

де B _{1 i-вражає} потенціал поодиноких цілей

При такому використанні вертольотів буде знищено 4 танки, 14 самохідних артилерійських установок і 29 бронетранспортерів.

Висновок

Деяким недоліком аналітичної моделі є визначення шуканих змінних не в целочисленной формі. Для переходу до цілочисельного відповіді необхідно виконати округлення до найближчого цілого числа. В окремих задачах одна, а може і декілька змінних можуть виходити негативними. У цьому випадку такої змінної або змінним приписуються нульові значення і виконуються повторні обчислення за скороченою на це число системі формул (4)

Література

1) Малявко К.Ф. «Застосування математичних методів у військовій справі».

2) Журко М.Д. «Математичні методи і основи їх застосування в управлінні військами».

3) Іванов П.І. «Застосування методів прикладної математики у військовій справі».