МОСКОВСЬКИЙ АВІАЦІЙНИЙ ІНСТИТУТ
Кафедра вищої математики
Дисципліна «Математичний аналіз»
ЗВІТ
по курсовій роботі
Тема: «Рішення військово-логістичних завдань з вибору оптимального маршруту для військово-транспортних засобів»
м.Москва 2009р.
Загальна постановка задачі
Транспортний засіб або колона транспортних засобів випливає з пункту А в пункт Б. Існує декілька можливих маршрутів руху колони, кожен з яких характеризується n лінійними ділянкам, протяжністю L і швидкістю руху по них V. Потрібно обгрунтувати вибір оптимального маршруту за критерієм мінімуму часу на його проходження.
В якості цільової функції тут приймається адитивна функція сумарного часу:
а як обмеження функція виду
I Етап: Словесна і математична постановка задачі.
1). Словесна постановка задачі.
2). Математична постановка задачі.
II. Етап:
Математична постановка задачі дана на карті.
III.Етап: Проведення розрахунків і аналіз отриманих результатів.
Словесна постановка маршрутної завдання
У Московській області проводяться навчання 12-армії ,16-армії. Перший передовий загін танкового з'єднання і другий механізований загін 12-армії, діє в оперативній глибині противника (16-армії) і мають поставлену задачу захопити місто Корольов. Перший загін танкового з'єднання вийшов колоною о 9.30 з міста Дубна до 10.00 колона була вже в місті Конаково Тверської області. Другий механізований загін вийшов з міста Олексин і в 10.00 колона прибула в місто Калуга.
У супротивника (16-армії) висуваються до міста Корольов дві мотострілецькі бригади:
Перший мотострілецька бригада 9.50 знаходиться в місті, Рязановский Рязанської області.
Другий мотострілецька бригада о 9.50 знаходиться в місті Кольчугіно, Володимирській області.
Характер місцевості і положення сил армій показані на карті. Швидкість руху колон: V = 20 км / год - поза дороги, V = 40км.ч - за дороги.
Необхідно видати рекомендації командиру батальйону танкового з'єднання та механізованого загону для вибору оптимального маршруту з міст Конаково, Калуга до пункту призначення міста Корольов. Оцінити можливості батальйону з упередження противника у виході до міста Корольов. Зробити висновки.
Отже, згідно нашого розбиття переходимо до пункту 1 першого етапу:
Виходячи з словесної постановки задачі, для визначеності були взяті реальні відстані від міст до пункту призначення. За вихідними даними визначимо тип завдань, які нам доведеться вирішувати.
Завдання вибору оптимального маршруту відноситься до класу задач нелінійного программіровнія, вони мають місце в трьох основних випадках:
- Цільова функція і обмеження є нелінійними формами шуканих змінних;
- Цільова функція лінійна, обмеження - нелінійні форми шуканих змінних;
- Цільова функція не лінійна, обмеження - лінійні форми шуканих змінних.
Маршрутні завдання ставляться до третього класу задач нелінійної оптимізації.
Найбільш ж ефективним і доступним є класичний метод умовного екстремуму.
Суть методу. Умовні екстремуми функції z = f (x1, x2, x3 ... ... xn) називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні x1, x2, x3 ... .. xn пов'язані рівнянням зв'язку H = (x1, x2,
U = f (x1, x2, x3 ... .. xn). + [H-(x1, x2, x3 ... .. xn)]
Де - невизначений постійний множник Лагранжа.
Необхідні умови екстремуму визначається наступною системою рівнянь:
Якщо оптимізується функція є функцією двох змінних f (x, y), то необхідні умови екстремуму запишуться у вигляді
Вирішення цих систем рівнянь дає шуканий результат у вигляді змінних
Математична постановка задачі
Для вирішення дане завдання розіб'ємо на 4 математичних підзадачі:
Оптимізація маршруту з міста Конакова до міста Корольова.
1. Оптимізація маршруту з міста Калуга до міста Корольова.
2. Оптимізація маршруту з міста Кольчугіна до Корольова.
3. Оптимізація маршруту з міста Рязановский до міста Корольова.
Швидкість колони поза дороги V1 = 20 км / год , По дорозі V2 = 40 км / год, всі відстані показані на карті.
I. Оптимізація маршруту з міста Конаково до міста Корольова. Оптимізація маршруту сторони А означає вибір такого напрямку руху φ з т окуляри ο в точку b (або що теж саме, вибір координати Х), при якому загальний час, потрібне для здійснення маршруту до переправи, було б мінімальним. З малюнка видно, що маршрут включає два лінійних шляху, а отже, і два інтервали часу: час t 1 руху поза дороги на відстань l = ob і час t 2 руху по дороги на відстань y. Таким чином, Т = t 1 + t 2.
Але t 1 =
І тому цільова функція є нелінійною функцією двох змінних, пов'язаних між собою співвідношенням виду L = x + y, виступаючим в якості лінійного обмеження на змінні х і у. У відповідності до змісту методом умовного екстремуму запишемо функцію Лагранжа.
Т * (х, у, λ) =
+ 
Беручи приватні похідні від Т по х, у і λ і прирівнюючи їх нулю, отримаємо таку систему алгебраїчних рівнянь:
Вирішуючи цю систему відносно х і у, знайдемо шукані ділянки оптимального маршруту
Х 0 =
Відзначимо три можливих варіанти маршруту руху від точки О до Є. I A (o, a, E), II A (o, b, E) для оптимального φ 0 і III A (OE). З урахуванням заданих числових параметрів задачі часи руху по цих маршрутах будуть рівні
t A 1 = 3.25 год, t A 2 = 3.14 год, t A 3 = 5.05 год
II.Оптімізація маршруту з міста Калуга до міста Корольова. Оптимізація маршруту боку С означає вибір такого напрямку руху φ з т окуляри U в точку P (або що теж саме, вибір координати Х), при якому загальний час, потрібне для здійснення маршруту до переправи, було б мінімальним. З малюнка видно, що маршрут включає два лінійних шляху, а отже, і два інтервали часу: час t 1 руху поза дороги на відстань l = up і час t 2 руху по дороги на відстань y. Таким чином, Т = t 1 + t 2.
Але t 1 =
І тому Т ==
Цільова функція є нелінійною функцією двох змінних, пов'язаних між собою співвідношенням виду L1 = x1 + y1, що виступає в якості лінійного обмеження на змінні х1 і у1. У відповідності до змісту методом умовного екстремуму запишемо функцію Лагранжа.
Т * (X1, Y1, λ1) =
Беручи приватні похідні від Т за х1, у1 і λ1 і прирівнюючи їх нулю, отримаємо таку систему алгебраїчних рівнянь:
Вирішуючи цю систему відносно х1 і у1, знайдемо шукані ділянки оптимального маршруту
Х1
Відзначимо три можливих варіанти маршруту руху від точки U до P. I A (U, C, P), II A (U, T, P) для оптимального φ 1 і III A (UP). З урахуванням заданих числових параметрів задачі часи руху по цих маршрутах будуть рівні
t A 4 = 3.5ч, t A 5 = 3.42, t A 6 = 6.02.
Оптимізація маршруту з міста Рязановский до міста Корольова
Оптимальний маршрут для с міста Рязановский до міста Корольова слід шукати на змішаних прямолінійних ділянках руху. Складові маршруту позначимо прямими N, e, d, D. Оптимізація маршруту означає визначення координат z 1, z, і z 2, або те ж саме, кутів φ і η.
За аналогією з попереднім випадком тут оптимизируемой функцією є функція виду
а обмеженням - лінійна функція L = z 1 + z + z 2.
C урахуванням їхніх виражень Лангража запишемо в такій формі:
Т * =
Досліджуючи цю функцію у тому ж порядку, що і функцію, остаточно отримаємо:
z 1 =
z 2 =
z
Зазначимо на карті п'ять можливих маршрутів висування колони з точки N в точку DI в (N, f, e, d, D); II в (N, e, d, D); III в (N, f, c, d) ; IV в (N, e, c, d); V в (N, D) і для записаних вихідних даних обчислимо їхні часові тривалості. Результати обчислень представлені наступними значеннями t в1 = 5,8 год, t в2 = 4,9 год, t в3 = 4,95 год, t В4 = 4,7 год, t В5 = 5,97 ч.
Оптимізація маршруту з міста Кольчугіно до міста Корольова
Оптимізація маршруту боку 16 армії означає вибір такого напрямку руху φ з точки R в точку E (або що теж саме, вибір координати Х2), при якому загальний час, потрібне для здійснення маршруту до переправи, було б мінімальним. З малюнка видно, що маршрут включає два лінійних шляху, а отже, і два інтервали часу: час t 1 руху поза дороги на відстань l = rg і час t 2 руху по дороги на відстань Y2. Таким чином, Т = t 1 + t 2.
Але t 1 =
І з цього Т ==
Цільова функція є нелінійною функцією двох змінних, пов'язаних між собою співвідношенням виду L2 = x2 + y2, що виступає в якості лінійного обмеження на змінні х і у. У відповідності до змісту методом умовного екстремуму запишемо функцію Лагранжа.
Т * (х2, у2, λ2) =
Беручи приватні похідні від Т по х, у і λ і прирівнюючи їх нулю, отримаємо таку систему алгебраїчних рівнянь:
Вирішуючи цю систему відносно х2 і у2, знайдемо шукані ділянки оптимального маршруту
Х 2 =
Відзначимо три можливих варіанти маршруту руху від точки R до Є. I A (r, g, E), II A (r, o, E) для оптимального φ 2 і III A (RE). З урахуванням заданих числових параметрів задачі часи руху по цих маршрутах будуть рівні
T B 6 = 3,62 год, t B 7 = 3,48 год, t B 8 = 5,34 год.
Позначимо можливі маршрути 12 армії i = 1,2,3, а можливі маршрути 16 армії j = 1,2,3,4,5 і визначимо попередження у виході 12 армії до міста Королев.Δt j I = T BJ - T AI - 0,17, тому що колони 16 армії почали висунення раніше, ніж колони 12 армії, на 10 хвилин. Результати розрахунків для наочності зведемо в таблицю.
Висновок
З аналізу даних цієї таблиці випливає, що вибір командиром батальйону 12 армії будь-якого з двох перших маршрутів гарантує йому попереджуючий вихід до переправи. Найбільше час попередження має місце для другого маршруту руху, тобто найоптимальнішого. Вибір командиром батальйону четвертого маршруту практично виключає можливість попереджувального виходу на переправу і рішення завдання по її утриманню. Вибір інших маршрутів повністю виключає можливість виходу на переправу. Розглянута модель маршрутної завдання може лягти в основу постановки та вирішення аналогічних завдань військового змісту, з якими доводиться стикатися командиру і штабу при плануванні бойових дій або бойового навчання.
Література
1) Малявко К.Ф. «Застосування математичних методів у військовій справі».
2) Журко М.Д. «Математичні методи і основи їх застосування в управлінні військами».
3) Іванов П.І. «Застосування методів прикладної математики у військовій справі».
Кафедра вищої математики
Дисципліна «Математичний аналіз»
ЗВІТ
по курсовій роботі
Тема: «Рішення військово-логістичних завдань з вибору оптимального маршруту для військово-транспортних засобів»
м.Москва 2009р.
Загальна постановка задачі
Транспортний засіб або колона транспортних засобів випливає з пункту А в пункт Б. Існує декілька можливих маршрутів руху колони, кожен з яких характеризується n лінійними ділянкам, протяжністю L і швидкістю руху по них V. Потрібно обгрунтувати вибір оптимального маршруту за критерієм мінімуму часу на його проходження.
В якості цільової функції тут приймається адитивна функція сумарного часу:
а як обмеження функція виду
I Етап: Словесна і математична постановка задачі.
1). Словесна постановка задачі.
2). Математична постановка задачі.
II. Етап:
Математична постановка задачі дана на карті.
III.Етап: Проведення розрахунків і аналіз отриманих результатів.
Словесна постановка маршрутної завдання
У Московській області проводяться навчання 12-армії ,16-армії. Перший передовий загін танкового з'єднання і другий механізований загін 12-армії, діє в оперативній глибині противника (16-армії) і мають поставлену задачу захопити місто Корольов. Перший загін танкового з'єднання вийшов колоною о 9.30 з міста Дубна до 10.00 колона була вже в місті Конаково Тверської області. Другий механізований загін вийшов з міста Олексин і в 10.00 колона прибула в місто Калуга.
У супротивника (16-армії) висуваються до міста Корольов дві мотострілецькі бригади:
Перший мотострілецька бригада 9.50 знаходиться в місті, Рязановский Рязанської області.
Другий мотострілецька бригада о 9.50 знаходиться в місті Кольчугіно, Володимирській області.
Характер місцевості і положення сил армій показані на карті. Швидкість руху колон: V = 20 км / год - поза дороги, V = 40км.ч - за дороги.
Необхідно видати рекомендації командиру батальйону танкового з'єднання та механізованого загону для вибору оптимального маршруту з міст Конаково, Калуга до пункту призначення міста Корольов. Оцінити можливості батальйону з упередження противника у виході до міста Корольов. Зробити висновки.
Отже, згідно нашого розбиття переходимо до пункту 1 першого етапу:
Виходячи з словесної постановки задачі, для визначеності були взяті реальні відстані від міст до пункту призначення. За вихідними даними визначимо тип завдань, які нам доведеться вирішувати.
Завдання вибору оптимального маршруту відноситься до класу задач нелінійного программіровнія, вони мають місце в трьох основних випадках:
- Цільова функція і обмеження є нелінійними формами шуканих змінних;
- Цільова функція лінійна, обмеження - нелінійні форми шуканих змінних;
- Цільова функція не лінійна, обмеження - лінійні форми шуканих змінних.
Маршрутні завдання ставляться до третього класу задач нелінійної оптимізації.
Найбільш ж ефективним і доступним є класичний метод умовного екстремуму.
Суть методу. Умовні екстремуми функції z = f (x1, x2, x3 ... ... xn) називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні x1, x2, x3 ... .. xn пов'язані рівнянням зв'язку H = (x1, x2,
U = f (x1, x2, x3 ... .. xn). + [H-(x1, x2, x3 ... .. xn)]
Де - невизначений постійний множник Лагранжа.
Необхідні умови екстремуму визначається наступною системою рівнянь:
Якщо оптимізується функція є функцією двох змінних f (x, y), то необхідні умови екстремуму запишуться у вигляді
Вирішення цих систем рівнянь дає шуканий результат у вигляді змінних
Математична постановка задачі
Для вирішення дане завдання розіб'ємо на 4 математичних підзадачі:
Оптимізація маршруту з міста Конакова до міста Корольова.
1. Оптимізація маршруту з міста Калуга до міста Корольова.
2. Оптимізація маршруту з міста Кольчугіна до Корольова.
3. Оптимізація маршруту з міста Рязановский до міста Корольова.
Швидкість колони поза дороги V1 =
I. Оптимізація маршруту з міста Конаково до міста Корольова. Оптимізація маршруту сторони А означає вибір такого напрямку руху φ з т окуляри ο в точку b (або що теж саме, вибір координати Х), при якому загальний час, потрібне для здійснення маршруту до переправи, було б мінімальним. З малюнка видно, що маршрут включає два лінійних шляху, а отже, і два інтервали часу: час t 1 руху поза дороги на відстань l = ob і час t 2 руху по дороги на відстань y. Таким чином, Т = t 1 + t 2.
Але t 1 =
І тому цільова функція є нелінійною функцією двох змінних, пов'язаних між собою співвідношенням виду L = x + y, виступаючим в якості лінійного обмеження на змінні х і у. У відповідності до змісту методом умовного екстремуму запишемо функцію Лагранжа.
Т * (х, у, λ) =
Беручи приватні похідні від Т по х, у і λ і прирівнюючи їх нулю, отримаємо таку систему алгебраїчних рівнянь:
Вирішуючи цю систему відносно х і у, знайдемо шукані ділянки оптимального маршруту
Х 0 =
Відзначимо три можливих варіанти маршруту руху від точки О до Є. I A (o, a, E), II A (o, b, E) для оптимального φ 0 і III A (OE). З урахуванням заданих числових параметрів задачі часи руху по цих маршрутах будуть рівні
t A 1 = 3.25 год, t A 2 = 3.14 год, t A 3 = 5.05 год
II.Оптімізація маршруту з міста Калуга до міста Корольова. Оптимізація маршруту боку С означає вибір такого напрямку руху φ з т окуляри U в точку P (або що теж саме, вибір координати Х), при якому загальний час, потрібне для здійснення маршруту до переправи, було б мінімальним. З малюнка видно, що маршрут включає два лінійних шляху, а отже, і два інтервали часу: час t 1 руху поза дороги на відстань l = up і час t 2 руху по дороги на відстань y. Таким чином, Т = t 1 + t 2.
Але t 1 =
І тому Т ==
Цільова функція є нелінійною функцією двох змінних, пов'язаних між собою співвідношенням виду L1 = x1 + y1, що виступає в якості лінійного обмеження на змінні х1 і у1. У відповідності до змісту методом умовного екстремуму запишемо функцію Лагранжа.
Т * (X1, Y1, λ1) =
Беручи приватні похідні від Т за х1, у1 і λ1 і прирівнюючи їх нулю, отримаємо таку систему алгебраїчних рівнянь:
Вирішуючи цю систему відносно х1 і у1, знайдемо шукані ділянки оптимального маршруту
Х1
Відзначимо три можливих варіанти маршруту руху від точки U до P. I A (U, C, P), II A (U, T, P) для оптимального φ 1 і III A (UP). З урахуванням заданих числових параметрів задачі часи руху по цих маршрутах будуть рівні
t A 4 = 3.5ч, t A 5 = 3.42, t A 6 = 6.02.
Оптимізація маршруту з міста Рязановский до міста Корольова
Оптимальний маршрут для с міста Рязановский до міста Корольова слід шукати на змішаних прямолінійних ділянках руху. Складові маршруту позначимо прямими N, e, d, D. Оптимізація маршруту означає визначення координат z 1, z, і z 2, або те ж саме, кутів φ і η.
За аналогією з попереднім випадком тут оптимизируемой функцією є функція виду
а обмеженням - лінійна функція L = z 1 + z + z 2.
C урахуванням їхніх виражень Лангража запишемо в такій формі:
Т * =
Досліджуючи цю функцію у тому ж порядку, що і функцію, остаточно отримаємо:
z 1 =
z 2 =
z
Зазначимо на карті п'ять можливих маршрутів висування колони з точки N в точку DI в (N, f, e, d, D); II в (N, e, d, D); III в (N, f, c, d) ; IV в (N, e, c, d); V в (N, D) і для записаних вихідних даних обчислимо їхні часові тривалості. Результати обчислень представлені наступними значеннями t в1 = 5,8 год, t в2 = 4,9 год, t в3 = 4,95 год, t В4 = 4,7 год, t В5 = 5,97 ч.
Оптимізація маршруту з міста Кольчугіно до міста Корольова
Оптимізація маршруту боку 16 армії означає вибір такого напрямку руху φ з точки R в точку E (або що теж саме, вибір координати Х2), при якому загальний час, потрібне для здійснення маршруту до переправи, було б мінімальним. З малюнка видно, що маршрут включає два лінійних шляху, а отже, і два інтервали часу: час t 1 руху поза дороги на відстань l = rg і час t 2 руху по дороги на відстань Y2. Таким чином, Т = t 1 + t 2.
Але t 1 =
І з цього Т ==
Цільова функція є нелінійною функцією двох змінних, пов'язаних між собою співвідношенням виду L2 = x2 + y2, що виступає в якості лінійного обмеження на змінні х і у. У відповідності до змісту методом умовного екстремуму запишемо функцію Лагранжа.
Т * (х2, у2, λ2) =
Беручи приватні похідні від Т по х, у і λ і прирівнюючи їх нулю, отримаємо таку систему алгебраїчних рівнянь:
Вирішуючи цю систему відносно х2 і у2, знайдемо шукані ділянки оптимального маршруту
Х 2 =
Відзначимо три можливих варіанти маршруту руху від точки R до Є. I A (r, g, E), II A (r, o, E) для оптимального φ 2 і III A (RE). З урахуванням заданих числових параметрів задачі часи руху по цих маршрутах будуть рівні
T B 6 = 3,62 год, t B 7 = 3,48 год, t B 8 = 5,34 год.
Позначимо можливі маршрути 12 армії i = 1,2,3, а можливі маршрути 16 армії j = 1,2,3,4,5 і визначимо попередження у виході 12 армії до міста Королев.Δt j I = T BJ - T AI - 0,17, тому що колони 16 армії почали висунення раніше, ніж колони 12 армії, на 10 хвилин. Результати розрахунків для наочності зведемо в таблицю.
| Продолжіт.маршрутов 12 армії t AI | Тривалість маршрутів 16 армії t BJ | |||||||
| t B 1 | t B 2 | t B 3 | t B 4 | t B 5 | t B 6 | t B 7 | t B 8 | |
| t AI | 2,38 | 1,59 | 1,53 | 1,28 | 2,55 | 0,2 | 0,06 | 1,92 |
| t A 2 | 2,49 | 1,59 | 1,64 | 1,39 | 2,66 | 0,31 | 0,17 | 2,03 |
| t A 3 | 0,58 | -0,32 | -0,27 | -0,52 | 0,75 | -1,6 | -1,74 | 0,12 |
| t A 4 | 2,13 | 1,23 | 1,28 | 1,03 | 2,3 | -0,05 | -0,19 | 1,67 |
| t A 5 | 2,15 | 1,25 | 1,3 | 1,05 | 2,32 | -0,03 | -0,17 | 1,69 |
| t A 6 | -0,22 | -1,29 | -1,24 | -1,49 | -0,22 | -2,57 | -2,71 | -0,85 |
Висновок
З аналізу даних цієї таблиці випливає, що вибір командиром батальйону 12 армії будь-якого з двох перших маршрутів гарантує йому попереджуючий вихід до переправи. Найбільше час попередження має місце для другого маршруту руху, тобто найоптимальнішого. Вибір командиром батальйону четвертого маршруту практично виключає можливість попереджувального виходу на переправу і рішення завдання по її утриманню. Вибір інших маршрутів повністю виключає можливість виходу на переправу. Розглянута модель маршрутної завдання може лягти в основу постановки та вирішення аналогічних завдань військового змісту, з якими доводиться стикатися командиру і штабу при плануванні бойових дій або бойового навчання.
Література
1) Малявко К.Ф. «Застосування математичних методів у військовій справі».
2) Журко М.Д. «Математичні методи і основи їх застосування в управлінні військами».
3) Іванов П.І. «Застосування методів прикладної математики у військовій справі».