Рівняння Системи рівнянь Графіки функції

Глава 1. Рівняння. Системи рівнянь
1. Лінійні рівняння
1. Рівняння першого ступеня виду , Називається лінійним рівнянням. Де - Змінні, числа і стоять перед змінними називаються коефіцієнтами, а і - Вільні члени. Запишемо лінійне рівняння
(1)
Для рішення рівняння (1) перенесемо змінні містять коефіцієнти, в ліву частину рівняння з позитивним знаком, а вільні члени в праву частину рівняння з негативним знаком, отримаємо рівняння виду
(2)
Нехай , А , Тоді рівняння (2) буде мати вигляд
(3)
Приклади.
1) Розв'язати рівняння
Перенесемо невідомі з коефіцієнтами в ліву частину рівняння, а вільні члени в праву частину, отримаємо:
Використовуючи рівняння (3) отримаємо:

Відповідь:
2) Розв'язати рівняння
Видно, що в цьому рівнянні є один негативний вільний член - 4. Але, переносячи його в праву частину рівняння ще з одним негативним знаком, отримаємо , Тоді

Звідси:

Відповідь:
3) Розв'язати рівняння
У цьому рівнянні один коефіцієнт негативний, переносячи його і ще з позитивним знаком у ліву частину немає сенсу, тому що , Тоді:

Звідси:

Відповідь:
4)
Використовуючи пояснення до рівняння 2), отримаємо

Звідси:

Відповідь:
5)
Використовуючи пояснення, наведені до рівнянь 1), 2), 3), 4), отримаємо

Звідси:

Відповідь:
2. Нехай дано лінійне рівняння виду
(4)
На відміну від рівняння (1) змінні, що містять коефіцієнти, переносяться в ліву частину з негативним знаком, в праву частину вільні члени переносяться теж зі знаком негативним. Але вільний член в рівнянні (4) і так стоїть в правій частині, тому він не буде міняти знак, поміняє знак лише член . І так, вирішимо рівняння (4).
Перенесемо змінні з коефіцієнтами в ліву частину з негативним знаком, а член в праву частину теж з негативним знаком, отримаємо
(5)
Звідси:

Якщо , То
Рішення рівняння (4) можна записати у вигляді системи:
(6)
Приклад. Розв'язати рівняння
Перенесемо невідомі з коефіцієнтами в ліву частину з негативним знаком, а член в праву частину зі знаком «мінус», тоді

Звідси:

Відповідь:
3. Лінійне рівняння з двома змінними має вид:
(7)
Для рішення рівняння (7) виразимо змінну через змінну , Тобто отримаємо рівняння виду
(8)
Для знаходження розв'язку рівняння (7) в рівнянні (8) вибирається довільне (будь-яке) значення . Таким чином, рівняння (7) має безліч рішень.
Приклад. Розв'язати рівняння
Скористаємося формулою (8), тоді

Тепер виберемо абсолютно будь-яке значення ікса, наприклад, при , Отримаємо:

Відповідь:
2. Квадратні рівняння
Рівняння другого ступеня виду називається квадратним. Для вирішення такого рівняння скористаємося наступними формулами:
і (9)
Де і - Коріння квадратного рівняння
Нехай , Тоді якщо , То можна записати:
(10)
Якщо , То рівняння не має рішень.
Приклад. Розв'язати рівняння
Користуючись формулами (9) отримаємо:

Відповідь: і

3. Рівняння третього ступеня
Рівняння третього ступеня виду називається кубичной рівнянням. Для вирішення такого рівняння замінимо невідоме - на коефіцієнт і вводячи підстановку .
Отримаємо більш спрощене рівняння третього ступеня:
(11)
Оскільки рівняння в третього ступеня, то відповідно рішеннями цього рівняння будуть три корені, які зараз визначимо з наступної системи
(12)
Коріння - Є рішення рівняння, де - Комплексне число.
4. Рівняння вищих ступенів зводяться до квадратних
1.Рассмотрім рівняння, у якого одна змінна знаходиться в четвертого ступеня, тобто дано рівняння виду:
(13)
Для вирішення такого рівняння, висловимо через , Отримаємо,
(14)
Вирішуючи це рівняння за наступними формулами, маємо:
і (15)
Приклад. Розв'язати рівняння.
Висловимо через , Отримаємо , Вирішуючи це рівняння за формулами (19) отримаємо


Звідси отримуємо безліч коренів (рішень)
Відповідь: .
2. Розглянемо рівняння, у якого одна ступінь знаходиться в п'ятому ступені, тобто є рівняння виду
(16)
Для вирішення такого рівняння виберемо змінну, у якій ступінь сама менша, в порівнянні з іншими ступенями, це буде мінлива , Виносячи її за дужку отримаємо:
(17)
Звідси , Тобто ми отримали деяке безліч нулів. Рівняння , Вирішується через дискримінант.
Приклад. Розв'язати рівняння
Винесемо за дужку, отримаємо , Звідси , Який має безліч коренів (0; 0; 0). Далі, вирішуючи рівняння, отримаємо і . Таким чином, отримали безліч рішень (0, 0, 0; -2; ).
5. Системи рівнянь
Нехай дана система рівнянь
(18)
де - Коефіцієнти при невідомих і , і - Вільні члени.
Система (18) вирішується трьома способами 1) Графічний спосіб; 2) Спосіб підстановки; 3) Спосіб складання. Перший спосіб розглядати не будемо. Інші способи розглянемо при вирішенні таких систем рівнянь.
1) Спосіб підстановки.

Візьмемо перше рівняння системи і з цього рівняння висловимо через , Отримаємо:

Підставивши цей вираз в друге рівняння системи, отримаємо

Звідси,

Запишемо останнє рівняння і вирішимо його:

Підставивши тепер знайдене значення в вираз, що стоїть вище, отримаємо:

Відповідь: і
2) Спосіб складання.

Помножимо перше і друге рівняння система на 2, отримаємо:

Потім, склавши почленно рівняння системи, отримаємо . Знайдемо значення ігрек, для цього знайдене значення ікса підставимо в будь-яке рівняння вихідної (початкової) системи, отримаємо:

3) Метод складання.
Запишемо систему

Помножимо перше рівняння на 2, а друге на 2, отримаємо:

Складемо 6x і 8x, отримаємо 14x і 12 +6 = 18, звідси . Підставивши тепер значення x в будь-яке рівняння системи, отримаємо:

Відповідь:
7. Система трьох рівнянь з трьома змінними
(19)
де - Коефіцієнти при невідомих , - Вільні члени.
Для вирішення системи (19) складемо визначник
(20)
Перше число в індексу вказує число (номер) рядка, друге число - номер стовпця. Сам визначник позначається літерою d.
Для обчислення визначника користуються правилом Крамера, тобто:
d = =
Коріння системи (24) знаходяться за формулами:

Де - Числа, які слід визначити за наступним правилом:

Таким же методом визначаються інші визначники


РОЗДІЛ 2. ГРАФІК ФУНКЦІЇ
1. Графік функції
Функція називається лінійною функцією. Для знаходження точок перетину графіка функції потрібно вирішити два рівняння:

Приклад. Функція задана рівнянням , Знайти точки перетину з осями координат.
Вирішимо два рівняння
Відповідь: точки x =- 2 і y = 4 є точками перетину з осями координат.
2. Квадратична функція
Функція виду називається квадратичною. Для знаходження точок перетину графіка з осями координат, потрібно вирішити квадратне рівняння .