Системи лінійних рівнянь і нерівностей
Основні питання лекції: основні поняття і визначення теорії систем рівнянь; система n лінійних рівнянь з n невідомими, метод оберненої матриці; метод Крамера, метод Гаусса; теорема Кронекера-Капеллі, система n лінійних рівнянь з m невідомими; однорідні системи лінійних рівнянь; фундаментальна система рішень; структура загального рішення.
Система m лінійних рівнянь з n змінними має вид:
або
(1)
де a 11, a 12, ..., a mn - довільні числа, звані відповідно коефіцієнтами при змінних і b 1, b 2, ..., b m - вільними членами рівнянь.
Рішенням системи (1) називається така сукупність n чисел х 1, х 2, ... , Х n, при підстановці яких кожне рівняння системи звертається у вірне рівність.
Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має рішень.
Спільна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, якщо вона має більше одного рішення.
Запишемо систему (1) в матричній формі. Позначимо:
; В = (b 1, b 2, ..., b n) т; Х = (x 1, x 2, ..., x n) т
де А-матриця коефіцієнтів при змінних, або матриця системи, X - матриця-стовпець змінних; В - матриця-стовпець вільних членів.
На підставі визначення рівності матриць систему (1) можна записати у вигляді:
А * Х = B (2)
А матриця складається з А, В, Х матриць називається розширеною матрицею:
- Розширена матриця.
Метод Гаусса - метод послідовного виключення змінних - полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до равносильной системі ступеневої (або трикутного) виду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться всі інші змінні.
Розглянемо рішення системи (1) m лінійних рівнянь з n змінними в загальному вигляді:
(3)
Якщо m = n, то розглянемо розширену матрицю. Враховуючи праву частину, наведемо дану матрицю до трикутного вигляду:
Ситема лінійних рівнянні відповідні даній матриці запишемо в следуюшем вигляді
(4)
Якщо в даному рівнянні c nn ≠ 0, c n-1n-1 ≠ 0, ... , C 33 ≠ 0, c 22 ≠ 0, a 11 ≠ 0 то, в першу чергу знайдемо
x n, а потім поступово піднімаючись знаходимо остольние рішення - x n-1, ..., x 3, x 2, x 1.
Формула Крамера
Теорема Крамера. Нехай | A | - визначник матриці системи А, а Δ j - визначник матриці, одержуваної з матриці А заміною j-го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді, якщо Δ ≠ 0, то система має єдине рішення, яке визначається за формулами:
(5)
Формули (5) отримали назву формул Крамера.
Метод оберненої матриці
Нехай число рівнянь системи (1) дорівнює числу змінних, тобто m = n. Тоді матриця системи є квадратною, а її визначник Δ = | A | називається визначником системи.
(1) рівняння можна записати в матричному вигляді
А * Х = B (6)
,
,
.
Примножуючи зліва обидві частини матричного рівності (6) на матрицю А -1, отримаємо А -1 (АХ) = А -1 В. Так як А-1 (АХ) = (А -1 А) Х = ЕХ = Х, то рішенням системи методом зворотної матриці буде матриця-стовпець
Х = А -1 * B (7).
Система n лінійних рівнянь з n змінними
Рішення системи n лінійних рівнянь з n змінними знаходяться нижче укаженнимі методами:
Метод оберненої матриці;
Формула Крамера;
Метод Гаусса.
Теорема Кронекер - Капеллі. Система m лінійних рівнянь з n змінними
Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи.
Для спільних систем лінійних рівнянь вірні наступні теореми.
1. Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює числу змінних, тобто r = n, то система (1) має єдине рішення.
2. Якщо ранг матриці спільної системи менше числа змінних, тобто r <n, то система (1) невизначена і має нескінченну безліч рішень.
Системи лінійних однорідних рівнянь
Система m лінійних рівнянь з n змінними називається системою лінійних однороднихуравненій, якщо всі їхні вільні члени дорівнюють нулю. Така система має вигляд:
(8)
Система лінійних однорідних рівнянь завжди сумісна, тому що вона завжди має, принаймні, нульовий (або тривіальне) рішення (0, 0; ...; 0).
Систему (8) можна записати у виді:
А * Х = 0 (9).
Якщо в системі (8) m = n, а її визначник відмінний від нуля, то така система має тільки нульовий розв'язок, як це випливає з теореми і формул Крамера. Ненульові рішення, отже, можливі лише для таких систем лінійних однорідних рівнянь, в яких число рівнянь менше числа змінних або при їх рівності, коли визначник системи дорівнює нулю.
Інакше: система лінійних однорідних рівнянь має ненульові рішення тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці коефіцієнтів при змінних менше числа змінних, тобто при r (A) <n.