Варіант 6
Тема: Алгебра матриць
Завдання: Виконати дії над матрицями.
1) З = 3 A-(A +2 B) B
2) D = A 2 + B 2 +4 E 2
Тема: Звернення матриць
Звернути матрицю за визначенням:
Визначник матриці:
Далі знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень (союзну матрицю):
Обернену матрицю знаходимо:
За визначенням оберненої матриці:
Дійсно:
Тема: рішення матричних рівнянь
Завдання 1: Вирішити матричне рівняння:
Рішення.
Знаходження стовпця Х зводиться до множення матриці на зворотну:
Матриця коефіцієнтів А:
Знайдемо обернену матрицю A -1:
Визначник матриці A:
Алгебраїчні доповнення:
Транспонована матриця алгебраїчних доповнень:
Запишемо вираз для зворотної матриці:
Отже, виконуємо множення матриць і знаходимо матрицю X:
Відповідь:
Завдання 2: Вирішити систему рівнянь матричним способом
Рішення
Матрична запис рівняння:
Матриця коефіцієнтів А:
Знайдемо обернену матрицю A -1:
Визначник матриці A:
Алгебраїчні доповнення:
Транспонована матриця алгебраїчних доповнень (союзна матриця):
Запишемо вираз для зворотної матриці:
Обчислимо стовпець невідомих:
Тема: Рішення систем лінійних рівнянь методом Крамера і Гауса
Завдання 1: Дослідити і вирішити систему за формулами Крамера:
Знайти рішення системи рівнянь за методом Крамера.
Згідно з методом Крамера, якщо визначник матриці системи ненульовий, то система з 4-х рівнянні має одне рішення, при цьому значення коренів:
,
,
,
,
Де:
- Визначник матриці коефіцієнтів - ненульовий.
- Визначник матриці отриманої шляхом заміни першого стовпця матриці коефіцієнтів на стовпець вільних членів.
- Визначник матриці отриманої заміною другого стовпця матриці коефіцієнтів на стовпець вільних членів.
- Визначник матриці отриманої заміною третього стовпця матриці коефіцієнтів на стовпець вільних членів.
- Визначник матриці отриманої заміною четвертого стовпця матриці коефіцієнтів на стовпець вільних членів.
Отже:
,
,
.
Завдання 2: Вирішити цю систему за методом Гаусса.
Метод Гаусса полягає в зведенні системи до трикутного виду.
Бачимо, що рішення системи за методом Гаусса збігається з рішенням за методом Крамера.